資源簡介

河北正定中學高三理科數學假期第五套試卷
選擇題：本大題共12小題，每小題5分。在每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.復數的虛部是（　　）
A．i B． C． D．1
2.下列關于命題的說法錯誤的是（ ）
A．命題“若，則x＝2”的逆否命題為“若x≠2，則”
B．“a＝2”是“函數f（x）＝ax在區間（﹣∞，+∞）上為增函數”的充分不必要條件
C．命題“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2+x+1≥0”
D．“若f ′（）＝0，則為y＝f（x）的極值點”為真命題
3.某條公共汽車線路收支差額與乘客量的函數關系如下圖所示（收支差額＝車票收入－支出費用），由于目前本條線路虧損，公司有關人員提出了兩條建議：建議（1）不改變車票價格，減少支出費用；建議（2）不改變支出費用，提高車票價格.下面給出的四個圖形中，實線和虛線分別表示目前和建議后的函數關系，則（ ）

A．①反映建議（2），③反映建議（1） B．①反映建議（1），③反映建議（2）
C．②反映建議（1），④反映建議（2） D．④反映建議（1），②反映建議（2）
4.向量，且，則等于（ ）
A． B． C． D．10
5.關于函數有下述四個結論：①函數是偶函數；②函數的周期是；③函數的最大值為2；④函數在上有無數個零點.其中所有正確結論的序號是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．①③④
6.在元數集中，設，若的非空子集滿足，則稱是集合的一個“平均子集”，并記數集的元“平均子集”的個數為．已知集合，，則下列說法錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
7.我們把叫“費馬數”（費馬是十七世紀法國數學家）.設，，，，表示數列的前項之和，則使不等式成立的最小正整數的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8.一個工業凹槽的軸截面是雙曲線的一部分，它的方程是,在凹槽內放入一個清潔鋼球（規則的球體），要求清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部，則清潔鋼球的最大半徑為（ ）

A．1 B．2
C．3 D．2.5

9.如圖，用四種不同的顏色給圖中的A，B，C，D，E，F，G七個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法有（ ）

A．192 B．336 C．600 D．以上答案均不對
10.在平行四邊形中，，，，分別是上的點，且，，（其中），且.若線段的中點為，則當取最小值時，的值為（ ）
A．36 B．37 C．38 D．39
11.如圖，矩形中，為邊的中點，將直線翻轉成平面)，若分別為線段的中點，則在翻轉過程中，下列說法錯誤的是（ ）
A．與平面垂直的直線必與直線MB垂直
B．異面直線與所成角是定值
C．一定存在某個位置，使
D．三棱錐外接球半徑與棱的長之比為定值
12.如圖，過拋物線的焦點的直線與拋物線交于， 兩點，與拋物線準線交于點，若是的中點，則（ ）

8 B．9 C．10 D．12




二、填空題:本大題共4小題，每小題5分。
13.某所學校計劃招聘男教師名，女教師名，和須滿足約束條件，則該校招聘的教師人數最多是__________名.
14.已知集合，若實數滿足：對任意的，均有，則稱是集合的“可行數對”．以下集合中，不存在“可行數對”的是_________．
①； ②；
③； ④．
15.已知是直線上的動點，是圓的兩條切線，是切點，是圓心，那么四邊形面積的最小值為 ．
16.設數列的前項和為，已知，且，記，則數列的前10項和為______．
三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程和解題步驟。
17.（本小題滿分12分）
已知，，、、是的內角；
（1）當時，求的值；
（2）若，，當取最大值時，求的大小及邊的長．



18.（本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，點、分別在線段、上，且，其中，連接，延長與的延長線交于點，連接．
（1）求證：平面；
（2）若時，求二面角的正弦值；
（3）若直線與平面所成角的正弦值為時，求值．

19.（本小題滿分12分）
已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，動點在橢圓上，的周長為6．
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線與橢圓的另一個交點為，過分別作直線的垂線，垂足為與軸的交點為．若四邊形的面積是面積的3倍，求直線斜率的取值范圍．




20.（本小題滿分12分）
某游戲棋盤上標有第、、、、站，棋子開始位于第站，選手拋擲均勻硬幣進行游戲，若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到跳到第站或第站時，游戲結束.設游戲過程中棋子出現在第站的概率為.
（1）當游戲開始時，若拋擲均勻硬幣次后，求棋子所走站數之和的分布列與數學期望；
（2）證明：；
（3）若最終棋子落在第站，則記選手落敗，若最終棋子落在第站，則記選手獲勝.請分析這個游戲是否公平.








21.（本小題滿分12分）
已知函數．
（1）求曲線的斜率為2的切線方程；
（2）證明：；
（3）確定實數的取值范圍，使得存在,當時,恒有．



請考生從22、23題中任選一題做答，并用2B鉛筆將答題卡上所選題目的對應題號右側方框圖黑，按所涂題號進行評分；多涂、多答按所涂首題進行評分，不涂按本選擇題的首題進行評分。
22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數方程
在極坐標系中，曲線C1的極坐標方程是，在以極點為原點O，極軸為x軸正半軸（兩坐標系取相同的單位長度）的直角坐標系xOy中，曲線C2的參數方程為（θ為參數）.
（1）求曲線C1的直角坐標方程與曲線C2的普通方程；
（2）將曲線C2經過伸縮變換后得到曲線C3，若M，N分別是曲線C1和曲線C3上的動點，求|MN|的最小值.



（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
已知實數正數滿足．
（1）解關于的不等式；
（2）證明：.


河北正定中學高三理科數學假期第五套試卷答案
1.D【解析】因為,即復數的虛部是，故選：D.
2.D【解析】對于A，根據逆否命題的定義，命題“若，則”的逆否命題為“若，則”，故正確；對于B，，可得函數在區間上為增函數，若函數在區間上為增函數，則，“”是“函數在區間上為增函數”的充分不必要條件，故正確；對于C，根據特稱命題的否定是全稱命題，命題“，使得x2+x+1<0”的否定是：“均有”，故正確；對于D， “若f ′（）＝0，則為y＝f（x）的極值點”為假命題，比如：中，，但不是的極值點，錯誤，故選:D.
3.B【解析】對于建議（1），因為不改變車票價格，減少支出費用，故建議后的圖象與目前的圖象傾斜方向相同，且縱截距變大，故①反映建議（1）；對于建議（2），因為不改變支出費用，提高車票價格，故建議后的圖象比目前的圖象的傾斜角大，故③反映建議（2）.故選：B.
4.B【解析】由題意可得 ，則,則故選：B.
5.D【解析】對①, 定義域為,又.故是偶函數.①正確.對②,易得,.故不是的周期.故②錯誤.對③,因為.又當時可以取到等號.故③正確.
對④, 當時,,故.故④正確.故選：D.
6.D【解析】，將中的元素分成5組，，，，．
則，，，，，
同理：，將中的元素分成5組，，，，．
則，，，，，，
∴．故選：D．
7.B【解析】∵∴，∴，
而
∴，
，即，
當n=8時，左邊=，右邊=，顯然不適合；當n=9時，左邊=，右邊=，顯然適合，
故最小正整數的值9,故選B.
8.A【解析】清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部時，軸截面如下圖所示，圓心在雙曲線的對稱軸上，并與雙曲線的頂點相交，設半徑為，圓心為，圓方程為：代入雙曲線方程，得，要使清潔球到達底部，.故選:A.
9.C【解析】E，F，G分別有4，3，2種方法，
當A與F相同時，A有1種方法，此時B有2種，
若與F相同有C有1種方法，同時D有3種方法，
若C與F不同，則此時D有2種方法，故此時共有：種方法；
當A與G相同時，A有1種方法，此時B有3種方法，
若C與F相同，C有1種方法，同時D有2種方法，
?若C與F不同，則D有1種方法，??故此時共有：種方法；
當A既不同于F又不同于G時，A有1種方法，
若B與F相同，則C必須與A相同，同時D有2種方法；
若B不同于F，則B有1種方法，
Ⅰ若C與F相同則C有1種方法同時D有2種方法；
Ⅱ若C與F不同則必與A相同，C有1種方法，同時D有2種方法；
故此時共有：種方法；綜上共有種方法．故選：C．
10.B【解析】依題意可知，，所以①.由于，所以①可化為②，根據二次函數的性質可知，，當時，②取得最小值，此時，所以.故選：B
11.C【解析】取DC中點N，連MN,NB,則，所以平面平面，即平面，A正確；取的中點為F,連接MF,EF，則平面BEFM是平行四邊形，所以為異面直線與所成角，故B正確；A關于直線DE對稱點N，則平面，即過O與DE垂直的直線在平面上，故C錯誤；
三棱錐外接球的半徑為，故D正確.故選C.
12.B【解析】如圖，設在準線上的射影分別為，且設
，直線的傾斜角為。則。 所以， .
由拋物線焦點弦長公式可得.選B. 或：由得，得直線方程與拋物線聯立進而可解得， 于是.故選B.

13.10【解析】由于某所學校計劃招聘男教師x名，女教師y名，且x和y須滿足約束條件，畫出可行域為：




對于需要求該校招聘的教師人數最多，令z＝x+y?y＝﹣x+z 則題意轉化為，在可行域內任意去x，y且為整數使得目標函數代表的斜率為定值﹣1，截距最大時的直線為過?（5，5）時使得目標函數取得最大值為：z＝10．故答案為：10．
14.②③【解析】由題意對任意的，均有，則，即與選項有交點，對①，與有交點，滿足；對②，的圖形在的內部，無交點，不滿足；對③，的圖形在的外部，無交點，不滿足；對④，與有交點，滿足；故答案為②③.
15.【解析】作圖，如下可知當把圓的方程化為標準方程為（x-1）2+（y-1）2=1，
則可知直線與圓相離．四邊形PACB的面積=S△PAC+S△PBC，
當PC與直線垂直時|PC|取最小值，此時|PA|=|PB|取最小值，
即S△PAC=S△PBC取最小值，由此能夠求出四邊形PACB面積的最小值.
16.200【解析】∵，且，
∴，∵，∴時，，
兩式相減可得，，（）即時，即，
∵，∴數列的奇數項和偶數項分別成等比數列，公比均為2，，
∴，則數列，則的前10項和為，故答案為200.
17.（1）時，；∴；………5分
（2）；
取最大值時，；又，；………9分
∴在中，由正弦定理得：；即；∴．………12分
18.（1）在線段上取一點，使得，，且，
，，且，且，四邊形為平行四邊形，
，又平面，平面，平面．………………4分
（2）以為坐標原點，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，，1，，，0，
設平面的一個法向量為，，，，令，，，設平面的一個法向量為，，，
EMBED Equation.DSMT4 ，令，，，，，
，二面角的正弦值為．………………………8分
（3）令，，，，設平面的一個法向量為，
，，，令，，
由題意可得：，，，．
…………………………………………………………………………………………………………………………12分
19.【解析】（1）因為P是E上的點，且F1，F2為E的左、右焦點，所以|PF1|+|PF2|=2a，
又因為|F1F2|=2c，△PF1F2的周長為6，所以2a+2c=6，又因為橢圓的離心率為，所以，解得a=2，c=1．所以，E的方程為；…………………………………………………………4分
（2）依題意，直線PQ與x軸不重合，故可設直線PQ的方程為x=my+1，由，消去x得：（3m2+4）y2+6my-9=0，
設P（x1，y1），Q（x2，y2）則有△＞0且．………………………6分
設四邊形PMNQ的面積和△PQT面積的分別為S1，S2，
則S1=3S2，又因為，S2=．
所以，即3（t-1）=2t-（x1+x2），得t=3-（x1+x2），
……………………………………………………………………………………………………8分
又x1=my1+1，x2=my2+1，于是t=3-（my1+my2+2）=1-m（y1+y2），所以，由t＞2得，解得，設直線PQ的斜率為k，則，所以，解得，
所以直線PQ斜率的取值范圍是．…………………………12分
20.【解析】（1）由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、，
，，
，.
所以，隨機變量的分布列如下表所示：


所以，；…………………………5分
（2）依題意，當時，棋子要到第站，有兩種情況：
由第站跳站得到，其概率為；
可以由第站跳站得到，其概率為.
所以，.
同時減去得；…………………………8分
（3）依照（2）的分析，棋子落到第站的概率為，
由于若跳到第站時，自動停止游戲，故有.
所以，即最終棋子落在第站的概率大于落在第站的概率，游戲不公平.…………………………12分
21.【解析】（1）函數的定義域為. 由得.
令，即，得，（舍）．又，
所以曲線的斜率為２的切線方程為；…………………………3分
（2）設，則.
令得，（舍）．當時，；當時，.
所以在上單調遞增，在上單調遞減. 所以.所以.……………7分
（3）由（2）可知，① 當時，，所以不存在，當時，恒有；
所以不符合題意. ②當時，對于，，所以不存在，當時，恒有；所以不符合題意. …………………………9分
③當時，設.因為，
令即.因為，解得.又因為，所以.取.
當時，；所以在上單調遞增.所以.即.
所以符合題意.所以實數的取值范圍是.………………………………………………12分
22.（1）由題意，曲線C1的極坐標方程是，即4ρcosθ＋3ρsinθ＝24，又由，
所以4x＋3y－24＝0，故C1的直角坐標方程為4x＋3y－24＝0.因為曲線C2的參數方程為（θ為參數），所以x2＋y2＝1，故C2的普通方程為x2＋y2＝1.………………………………………………………………………5分
（2）將曲線C2經過伸縮變換后得到曲線C3，則曲線C3的參數方程為為參數）.
設N（2cosα，2sinα），則點N到曲線C1的距離
（其中滿足）當sin（α＋φ）＝1時，d有最小值，所以|MN|的最小值為.
………………………………………………………………………………………………………………………10分
23.（1）
，解得，所以不等式的解集為；
…………………………………………………………………………………………………………………………5分
（2）解法1： 且，
.
當且僅當時，等號成立. ………………………………………………………10分
解法2： 且，

當且僅當時，等號成立.………………………………10分

展開更多......

收起↑