資源簡介

人說幾何很困難，難點就在輔助線。
輔助線，如何添?把握定理和概念。
還要刻苦加鉆研，找出規律憑經驗。
三角形
圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。
也可將圖對折看，對稱以后關系現。
角平分線平行線，等腰三角形來添。
角平分線加垂線，三線合一試試看。
線段垂直平分線，常向兩端把線連。
要證線段倍與半，延長縮短可試驗。
三角形中兩中點，連接則成中位線。
三角形中有中線，延長中線等中線。
四邊形
平行四邊形出現，對稱中心等分點。
梯形里面作高線，平移一腰試試看。
平行移動對角線，補成三角形常見。
證相似，比線段，添線平行成習慣。
等積式子比例換，尋找線段很關鍵。
直接證明有困難，等量代換少麻煩。
斜邊上面作高線，比例中項一大片。

作輔助線的方法一：中點、中位線，延線，平行線。如遇條件中有中點，中線、中位線等，那么過中點，延長中線或中位線作輔助線，使延長的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過中點作已知邊或線段的平行線，以達到應用某個定理或造成全等的目的。二：垂線、分角線，翻轉全等連。如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對稱的方法，并借助其他條件，而旋轉180度，得到全等形，，這時輔助線的做法就會應運而生。其對稱軸往往是垂線或角的平分線。三：邊邊若相等，旋轉做實驗。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時邊角互相配合，然后把圖形旋轉一定的角度，就可以得到全等形，這時輔助線的做法仍會應運而生。其對稱中心，因題而異，有時沒有中心。故可分“有心”和“無心”旋轉兩種。四:造角、平、相似，和、差、積、商見。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形有關。在制造兩個三角形相似時，一般地，有兩種方法：第一，造一個輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一線段進行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見。”托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表）五：兩圓若相交，連心公共弦。如果條件中出現兩圓相交，那么輔助線往往是連心線或公共弦。六：兩圓相切、離，連心，公切線。如條件中出現兩圓相切（外切，內切），或相離（內含、外離），那么，輔助線往往是連心線或內外公切線。七：切線連直徑，直角與半圓。如果條件中出現圓的切線，那么輔助線是過切點的直徑或半徑使出現直角；相反，條件中是圓的直徑，半徑，那么輔助線是過直徑（或半徑）端點的切線。即切線與直徑互為輔助線。如果條件中有直角三角形，那么作輔助線往往是斜邊為直徑作輔助圓，或半圓；相反，條件中有半圓，那么在直徑上找圓周角——直角為輔助線。即直角與半圓互為輔助線。八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，則弧上的弦是輔助線；如遇弦，則弦心距為輔助線。如遇平行線，則平行線間的距離相等，距離為輔助線；反之，亦成立。如遇平行弦，則平行線間的距離相等，所夾的弦亦相等，距離和所夾的弦都可視為輔助線，反之，亦成立。有時，圓周角，弦切角，圓心角，圓內角和圓外角也存在因果關系互相聯想作輔助線。九：面積找底高，多邊變三邊。如遇求面積，（在條件和結論中出現線段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關鍵。如遇多邊形，想法割補成三角形；反之，亦成立。另外，我國明清數學家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補”有二百多種，大多數為“面積找底高，多邊變三邊”。
三角形
　　圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現。

　　角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。

　　線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗。

　　線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點，連接則成中位線。

　　三角形中有中線，倍長中線得全等。

　　四邊形

　　平行四邊形出現，對稱中心等分點。梯形問題巧轉換，變為三角或平四。

　　平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現腰中點，細心連上中位線。

　　上述方法不奏效，過腰中點全等造。證相似，比線段，添線平行成習慣。

　　等積式子比例換，尋找線段很關鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。

　　斜邊上面作高線，比例中項一大片。

　　圓形

　　半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑聯。

　　切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。

　　是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。弧有中點圓心連，垂徑定理要記全。

　　圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。

　　要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內接圓，內角平分線夢圓。

　　如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內外相切的兩圓，經過切點公切線。

　　若是添上連心線，切點肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目少困難。

　　由角平分線想到的輔助線

　　一、截取構全等

　　如圖，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，點E在AD上，求證：BC=AB+CD。



　　分析：在此題中可在長線段BC上截取BF=AB，再證明CF=CD，從而達到證明的目的。這里面用到了角平分線來構造全等三角形。另外一個全等自已證明。此題的證明也可以延長BE與CD的延長線交于一點來證明。自已試一試。

　　二、角分線上點向兩邊作垂線構全等

　　如圖，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求證：∠ADC+∠B=180



　　分析：可由C向∠BAD的兩邊作垂線。近而證∠ADC與∠B之和為平角。

　　三、三線合一構造等腰三角形

　　如圖，AB=AC，∠BAC=90 ，AD為∠ABC的平分線，CE⊥BE.求證：BD=2CE。



　　分析：延長此垂線與另外一邊相交，得到等腰三角形，隨后全等。

　　四、角平分線+平行線

　　如圖，AB>AC, ∠1=∠2，求證：AB－AC>BD－CD。



　　分析：AB上取E使AC=AE，通過全等和組成三角形邊邊邊的關系可證。

　　由線段和差想到的輔助線

　　截長補短法

　　AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE。



　　分析：過C點作AD垂線，得到全等即可。
由中點想到的輔助線

　　一、中線把三角形面積等分

　　如圖，ΔABC中，AD是中線，延長AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中線。已知ΔABC的面積為2，求：ΔCDF的面積。



　　分析：利用中線分等底和同高得面積關系。

　　二、中點聯中點得中位線

　　如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H。求證：∠BGE=∠CHE。



　　分析：聯BD取中點聯接聯接，通過中位線得平行傳遞角度。

　　三、倍長中線

　　如圖，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長。



　　分析：倍長中線得到全等易得。

　　四、RTΔ斜邊中線

　　如圖，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求證：AC=BD。



　　分析：取AB中點得RTΔ斜邊中線得到等量關系。

　　由全等三角形想到的輔助線

　　一、倍長過中點得線段

　　已知，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是。



　　分析：利用倍長中線做。

　　二、截長補短

　　如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分 ，求證：∠A+∠C=180



　　分析：在角上截取相同的線段得到全等。

　　三、平移變換

　　如圖，在△ABC的邊上取兩點D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE



　　分析：將△ACE平移使EC與BD重合。

　　四、旋轉

　　正方形ABCD中，E為BC上的一點，F為CD上的一點，BE+DF=EF，求∠EAF的度數



　　分析：將△ADF旋轉使AD與AB重合。全等得證。
由梯形想到的輔助線

　　一、平移一腰

　　所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17. 求CD的長。



　　分析：利用平移一腰把梯形分割成三角形和平行四邊形。

　　二、平移兩腰

　　如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分別是AD、BC的中點，連接EF，求EF的長。



　　分析：利用平移兩腰把梯形底角放在一個三角形內。

　　三、平移對角線

　　已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面積。



　　分析：通過平移梯形一對角線構造直角三角形求解。

　　四、作雙高

　　在梯形ABCD中，AD為上底，AB>CD，求證：BD>AC。



　　分析：作梯形雙高利用勾股定理和三角形邊邊邊的關系可得。

　　五、作中位線

　　（1）如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分別是BD、AC的中點，求證：EF//AD



　　分析：聯DF并延長，利用全等即得中位線。

　　（2）在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠BAD=90°，E是DC上的中點，連接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。



　　分析：在梯形中出現一腰上的中點時，過這點構造出兩個全等的三角形達到解題的目的。


1．已知：如圖，在正方形ABCD中，E、F分別在AD、DC上，且DE＝DF，BM⊥EF于M．求證：ME＝MF．??????????????????????????????????????????????????????????
2．如圖，正方形ABCD，E是BC上的一點，延長AB至F使BE=BF，延長AE交CF于G。求證：CFAG?．??
??????????????????????????????????????????????????????? ????
3．如圖，ABCD、BEFG都是正方形，A、B、Ｅ在一條直線上，連結A、G，且延長交CE的連線為H，求證：CEAH?．?
?????????? ??????????????????????????????????????















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