資源簡介

編寫說明
本書根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)?嚴(yán)格遵循新課改理念?以生為本?以學(xué)生為主體?教師為主導(dǎo)的教學(xué)風(fēng)
格進(jìn)行編寫? 并仔細(xì)審視近幾年全國各地中考試題命題方向及重點中學(xué)各年級的學(xué)段測試題?把
這些優(yōu)秀的數(shù)學(xué)題目以及所承載的重要數(shù)學(xué)思維巧妙的揉進(jìn)了本書的各個環(huán)節(jié)? 以“求新、務(wù)實”
的態(tài)度打造出“課堂互動、課后反饋、分段檢測”三位一體的精品教輔書———?巔峰對決?數(shù)學(xué)?
本書分七版塊?具有鮮明的特色與實用的操作程序?現(xiàn)介紹如下:
【目標(biāo)認(rèn)識】
通過目標(biāo)設(shè)計?讓學(xué)生了解本課時需要掌握的主要內(nèi)容?把握住難點?明了從這節(jié)課能獲得什
么樣的數(shù)學(xué)思想?
【自主預(yù)習(xí) 感受新知】
通過預(yù)習(xí)?學(xué)生對本節(jié)課要學(xué)些什么有了大致的了解?對新知的產(chǎn)生?發(fā)展?運(yùn)用有了一定的
認(rèn)知? 為課內(nèi)的深入學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)?使我們的課堂效率得到極大的提升? 如果能在上課之
前完成預(yù)習(xí)效果就更好了?
【互助學(xué)習(xí) 探究新知】
本版塊內(nèi)容是一節(jié)課的核心?通過設(shè)計的幾個探究?把本課承載的知識、考點、規(guī)律等收納進(jìn)
來?選擇了極具代表性的題目? 并在適當(dāng)?shù)臅r候給予了歸納總結(jié)?讓學(xué)生從解過的題目中獲得一
種數(shù)學(xué)思想方法?數(shù)學(xué)經(jīng)驗?從而獲得數(shù)學(xué)的靈魂?
【獨(dú)立思考 運(yùn)用新知】
通過對例題?也就是知識點、考點的梳理與歸納?相信學(xué)生們已掌握了部分解題方法?該他們
大展身手的時候了?這時候設(shè)計了“２＋２”的四個題目?這幾個題目以全基礎(chǔ)題目為載體?檢驗學(xué)生
學(xué)習(xí)新知的程度?
【老師點撥 學(xué)法指津】
本版塊是老師給學(xué)生的溫馨提示與精煉總結(jié)?將本課的精華及易錯、易混等知識點作一個“再
回首”?
【課后作業(yè)】
本版塊的題目是精心挑選的?集中體現(xiàn)了近幾年中考命題方向?涵蓋了三年中考?兩年模擬?
對經(jīng)典題也作了很好的傳承?其中不乏原創(chuàng)好題?有很強(qiáng)的知識覆蓋性與思維性!
【單元檢測】
對于每一周或每一節(jié)知識點進(jìn)行的及時反饋?讓學(xué)生可以達(dá)到更細(xì)致的訓(xùn)練與矯正?
【章末檢測】
對于每章的知識?它自有一個完整的架構(gòu)?同學(xué)們通過章末檢測系統(tǒng)了解對本章的知識掌握
的程度?便于在復(fù)習(xí)中有針對性的彌補(bǔ)?
本書在各個環(huán)節(jié)版塊中均注意到題目的基礎(chǔ)性、普及性、發(fā)展性?精心遴選具有針對性、有效
性、創(chuàng)新性、層次性、精確性的優(yōu)秀題目?
尊敬的老師們?親愛的同學(xué)們?祝愿?巔峰對決?數(shù)學(xué)引領(lǐng)你們登上巔峰?臨絕頂而一覽眾山
小!
２０１８ 年 １１ 月
目　 　 錄
第 ５ 章　 相交線與平行線 (１)????????????????????????????????????????
　 第 １ 課　 相交線(一)———相交線 (１)????????????????????????
　 第 ２ 課　 相交線(二)———垂線 (３)????????????????????????????
　 第 ３ 課　 相交線(三)———同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角
(７)????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
　 第 ４ 課　 平行線及其判定(一)———平行線 (９)????????????
　 第 ５ 課　 平行線及其判定(二)———平行線的判定
(１１)????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
　 第 ６ 課　 平行線的性質(zhì)(一)———平行線的性質(zhì) (１４)????
　 第 ７ 課　 平行線的性質(zhì)(二)———命題、定理、證明
(１７)????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
　 第 ８ 課　 平移 (２０)????????????????????????????????????????????????????????
　 第 ９ 課　 ?相交線與平行線?復(fù)習(xí) (２３)????????????????????????
第 ６ 章　 實數(shù) (２６)????????????????????????????????????????????????????????????
　 第 １ 課　 平方根(一) (２６)????????????????????????????????????????????
　 第 ２ 課　 平方根(二) (２８)????????????????????????????????????????????
　 第 ３ 課　 平方根(三) (３０)????????????????????????????????????????????
　 第 ４ 課　 立方根(一) (３３)????????????????????????????????????????????
　 第 ５ 課　 立方根(二) (３５)????????????????????????????????????????????
　 第 ６ 課　 實數(shù)(一) (３７)????????????????????????????????????????????????
　 第 ７ 課　 實數(shù)(二) (４０)????????????????????????????????????????????????
　 第 ８ 課　 ?實數(shù)?復(fù)習(xí) (４２)????????????????????????????????????????????
第 ７ 章　 平面直角坐標(biāo)系 (４５)????????????????????????????????????????
　 第 １ 課　 平面直角坐標(biāo)系(一)———有序數(shù)對 (４５)????????
　 第 ２ 課　 平面直角坐標(biāo)系(二)———平面直角坐標(biāo)系
(４７)????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
　 第 ３ 課　 坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用(一)
———用坐標(biāo)表示地理位置 (５１)????????????????????????????
　 第 ４ 課　 坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用(二)———用坐標(biāo)表示平移
(５４)????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
　 第 ５ 課　 ?平面直角坐標(biāo)系?復(fù)習(xí) (５７)????????????????????????
第 ８ 章　 二元一次方程組 (６２)????????????????????????????????????????
　 第 １ 課　 二元一次方程組 (６２)????????????????????????????????????
　 第 ２ 課　 消元———解二元一次方程組(一)
———代入消元法 (６４)????????????????????????????????????????
　 第 ３ 課　 消元———解二元一次方程組(二)
———加減消元法 (６７)????????????????????????????????????????
　 第 ４ 課　 消元———解二元一次方程組(三) (７１)????????
　 第 ５ 課　 實際問題與二元一次方程組(一) (７４)????????
　 第 ６ 課　 實際問題與二元一次方程組(二) (７７)????????
　 第 ７ 課　 實際問題與二元一次方程組(三) (８０)????????
　 第 ８ 課　 三元一次方程組的解法 (８３)????????????????????????
　 第 ９ 課　 ?二元一次方程組?復(fù)習(xí) (８６)????????????????????????
第 ９ 章　 不等式與不等式組 (９０)????????????????????????????????????
　 第 １ 課　 不等式(一)———不等式及其解集 (９０)????????????
　 第 ２ 課　 不等式(二)———不等式的性質(zhì) (９２)????????????????
　 第 ３ 課　 一元一次不等式(一) (９４)????????????????????????????
　 第 ４ 課　 一元一次不等式(二) (９７)????????????????????????????
　 第 ５ 課　 一元一次不等式(三) (１００)????????????????????????
　 第 ６ 課　 一元一次不等式組(一) (１０３)????????????????????
　 第 ７ 課　 一元一次不等式組(二)(選講) (１０７)????????
　 第 ８ 課　 ?不等式與不等式組?復(fù)習(xí) (１１０)????????????????
第 １０ 章　 數(shù)據(jù)的收集、整理與描述 (１１４)????????????????????
　 第 １ 課　 統(tǒng)計調(diào)查(一) (１１４)????????????????????????????????????
　 第 ２ 課　 統(tǒng)計調(diào)查(二) (１１７)????????????????????????????????????
　 第 ３ 課　 直方圖 (１２１)????????????????????????????????????????????????
　 第 ４ 課　 課題學(xué)習(xí) 從數(shù)據(jù)談節(jié)水 (１２５)????????????????????
　 第 ５ 課　 ?數(shù)據(jù)的收集、整理與描述?復(fù)習(xí) (１２９)????????
附:
　 單元檢測題(８ 套)
　 章末檢測題(６ 套)
　 期末檢測題(２ 套)
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????????巔峰對決????數(shù)學(xué) 第 ５ 章　 相交線與平行線　
第 ５ 章　 相交線與平行線
　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
第 １ 課　 相交線(一)———相交線
知識目標(biāo)
了解兩條直線相交所構(gòu)成的角?理解并掌
握對頂角、鄰補(bǔ)角的概念和性質(zhì).理解對
頂角性質(zhì)的推導(dǎo)過程?并會用這個性質(zhì)進(jìn)
行簡單的計算.
重、難點 鄰補(bǔ)角對頂角的概念性質(zhì)與運(yùn)用.
思維目標(biāo) 簡單推理中的邏輯思維.
１.鄰補(bǔ)角定義:兩個角有　 公共頂點　 與一條　 公共邊　 ?
且它們的另一邊互為　 反向延長線　 ?具有這種關(guān)系的
兩個角?互為鄰補(bǔ)角.
２.鄰補(bǔ)角性質(zhì):鄰補(bǔ)角　 互補(bǔ)　 .
３.對頂角定義:兩個角有 　 公共頂點　 ?且一個角的兩邊
分別是另一個角兩邊的 　 反向延長線　 ?具有這種位置
關(guān)系的兩個角?互為對頂角.
４.對頂角的性質(zhì):對頂角　 相等　 .
注意:
　 ①兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中?鄰補(bǔ)角有 ４ 對?
對頂角有 ２ 對?
　 ②對頂角形成的前提條件是兩條直線相交
??????
.
對頂角與鄰補(bǔ)角的概念
【例 １】選擇題:
　 (１)下面各圖中∠１ 和∠２ 是對頂角的是 (　 　 )
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
　 (２)下列說法正確的是 (　 　 )
　 Ａ.鄰補(bǔ)角可以看成是平角被過它頂點的一條射線分
成的兩個角?
　 Ｂ.鄰補(bǔ)角是互補(bǔ)的兩個角?互補(bǔ)的兩個角是鄰補(bǔ)角?
　 Ｃ.如果兩個角有公共頂點和一條公共邊?而且這兩角
互為補(bǔ)角?那么它們互為鄰補(bǔ)角?
　 Ｄ.如果兩個角有一個公共頂點?則這兩個角是對頂角.
　 分析:對照對頂角及鄰補(bǔ)角的定義即得?要注意互補(bǔ)
的兩角不一定是鄰補(bǔ)角?對頂角與鄰補(bǔ)角不僅有數(shù)量上
的關(guān)系?還有特別的位置關(guān)系?要仔細(xì)區(qū)分!
　 解:(１)Ｂ?(２)Ａ.
注意:
　 ①兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中?鄰補(bǔ)角有 ４ 對.對
頂角有 ２ 對.
　 ②對頂角形成的前提條件是兩條直線相交
??????
.
鄰補(bǔ)角、對頂角的性質(zhì)運(yùn)用
【例 ２】如圖所示?直線 ＡＢ、ＣＤ 相交于
點 Ｏ?ＯＥ 平分∠ＡＯＤ?∠ＡＯＣ ＝ １２０°?
求∠ＢＯＤ?∠ＡＯＥ 的 度數(shù).
　 分析:利用對頂角相等可得∠ＢＯＤ
＝∠ＡＯＣ?利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得∠ＡＯＣ
＋∠ＡＯＤ＝ １８０°?然后再由 ＯＥ 平分∠ＡＯＤ?得出∠ＡＯＥ ＝
∠ＤＯＥ?從而可以求出∠ＡＯＥ 的度數(shù).
　 解:∵∠ＡＯＣ＝１２０°?
∴∠ＢＯＤ＝∠ＡＯＣ＝１２０°?
∴∠ＡＯＤ＝１８０°－∠ＡＯＣ＝６０°?
又∵ＯＥ 平分∠ＡＯＤ?
∴∠ＡＯＥ＝ １
２
∠ＡＯＤ?
∴∠ＡＯＥ＝３０°.
思考:
　 直線 ＡＢ、ＣＤ 相交于點 Ｏ?ＯＥ 平分∠ＡＯＤ?∠ＢＯＤ －
∠ＢＯＣ＝ ５０°?求∠ＥＯＣ 的度數(shù).
　 解:∠ＥＯＣ＝１４７.５°.
歸納:
幾何的解答題要注意推理嚴(yán)密?注意圖形已知(如對頂
角?鄰補(bǔ)角等)與文字告知的準(zhǔn)確運(yùn)用.
１.如圖?在所標(biāo)識的角中?互為對頂角的兩個角是
(　 Ａ　 )
Ａ.∠２ 和∠３ Ｂ.∠１ 和∠３
Ｃ.∠１ 和∠４ Ｄ.∠１ 和∠２
２.如圖?直線 ＣＤ、ＥＦ 相交于點 Ｏ?則∠１＋∠２＋∠３ 的度
數(shù)是 (　 Ｂ　 )
Ａ.１５０° Ｂ.１８０° Ｃ.２１０° Ｄ.１２０°
第 １ 題
　 　 　 　
第 ２ 題
３.圖中是對頂角量角器?用它測量角的原理是　 對頂角相
—１—
　 七年級(下)冊
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???? ????
????????巔峰對決????數(shù)學(xué)
等　 .
４.如圖?已知直線 ＡＢ 與 ＣＤ 交于點 Ｏ?ＯＮ 平分∠ＤＯＢ?
若∠ＢＯＣ＝ １１０°?則∠ＡＯＮ 的度數(shù)為　 １４５　 度.
第 ３ 題
　 　 　 　
第 ４ 題
１.對頂角和鄰補(bǔ)角都是指兩個角之間的關(guān)系?既有位置
關(guān)系?也有數(shù)量關(guān)系?
２.對頂角相等?但相等的角卻不一定是對頂角?鄰補(bǔ)角互
補(bǔ)?但互補(bǔ)的兩角卻不一定是鄰補(bǔ)角.
Ａ 組　 夯實基礎(chǔ)
一.選擇題:
１.(１７????賀州)下列各圖中?∠１ 與∠２ 互為鄰補(bǔ)角的是
(　 Ｄ　 )
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
２.下列語句正確的是 (　 Ａ　 )
Ａ.對頂角相等
Ｂ.相鄰的兩個角是鄰補(bǔ)角
Ｃ.相等的角是對頂角
Ｄ.互補(bǔ)的兩個角就是鄰補(bǔ)角
３.如圖?已知直線 ＡＢ、ＣＤ 相交于點 Ｏ?ＯＡ 平分∠ＥＯＣ?
∠ＥＯＣ＝ １１０°?則∠ＢＯＤ 的度數(shù)是 (　 Ｄ　 )
Ａ.２５° Ｂ.３５° Ｃ.４５° Ｄ.５５°
４.(１８????邵陽)如圖所示?直線 ＡＢ?ＣＤ 相交于點 Ｏ?已知
∠ＡＯＤ＝ １６０°?則∠ＢＯＣ 的大小為 (　 Ｄ　 )
Ａ.２０° Ｂ.６０° Ｃ.７０° Ｄ.１６０°
第 ３ 題
　 　 　 　
第 ４ 題
二.填空題
５.如圖?當(dāng)剪子口∠ＡＯＢ 增大 １５°時?∠ＣＯＤ 增大　 １５° 　 .
其根據(jù)是:　 對頂角相等　 .
６.如圖?直線 ＡＢ、ＣＤ 相交于點 Ｏ 已知∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＤ ＝
７０°?則∠ＢＯＣ＝ 　 １４５°　 .
７.如圖?直線 ａ?ｂ?ｃ 兩兩相交?已知∠１＝ ４０°?∠２＝
４
１１
∠４?
則∠３＝　 １５０°　 .
第 ５ 題 第 ６ 題 第 ７ 題
三.解答題
８.如圖?直線 ＡＢ、ＣＤ 相交于點 Ｏ?∠ＥＯＣ ＝ ８０°?ＯＡ 平分
∠ＥＯＣ.求:∠ＢＯＤ 的度數(shù).
解:∵∠ＥＯＣ＝８０°?ＯＡ 平分∠ＥＯＣ?
∴∠ＡＯＣ＝ １
２
∠ＥＯＣ ＝ ４０°?
∴∠ＢＯＤ＝∠ＡＯＣ＝４０°
９.如圖?直線 ＡＢ、 ＣＤ、 ＥＦ 相交于點 Ｏ?∠ＡＯＥ ＝ ３０°?
∠ＢＯＣ＝ ２∠ＡＯＣ?求∠ＤＯＦ 的度數(shù).
解:∵∠ＢＯＣ＝２∠ＡＯＣ?
∠ＢＯＣ＋∠ＡＯＣ＝１８０°?
∴∠ＡＯＣ＝ １
３
×１８０° ＝６０°?
∴∠ＡＯＥ＝３０°?
∴∠ＥＯＣ＝６０°－３０° ＝３０°?
∴∠ＤＯＦ＝∠ＥＯＣ＝３０°
１０.如圖?直線 ＡＢ、ＣＤ 相交于 Ｏ?已知∠ＡＯＣ ＝ ７５°?ＯＥ 把
∠Ｂ ＯＤ 分成兩部分?且 ∠ＢＯＥ ∶ ∠ＥＯＤ ＝ ２ ∶ ３?
求∠ＡＯＥ.
解:∵∠ＢＯＤ＝∠ＡＯＣ＝７５°?
∠ＢＯＥ ∶ ∠ＥＯＤ＝２ ∶ ３?
∴∠ＢＯＥ＝ ２
５
×７５° ＝３０°?
∴∠ＡＯＥ＝１８０°－∠ＢＯＥ＝１５０°
—２—
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????????巔峰對決????數(shù)學(xué) 第 ５ 章　 相交線與平行線　
Ｂ 組　 提高鞏固
１１.如圖?直線 ＡＢ?ＣＤ 交于點 Ｏ?射線 ＯＭ 平分∠ＡＯＣ?若
∠ＢＯＤ＝ ７６°?則∠ＢＯＭ 等于 (　 Ｃ　 )
Ａ.３８° Ｂ.１０４° Ｃ.１４２° Ｄ.１４４°
(提示:∵ ∠ＢＯＤ ＝ ７６°?∴ ∠ＡＯＣ ＝ ∠ＢＯＤ ＝ ７６°?∵ 射線 ＯＭ 平分
∠ＡＯＣ?∴ ∠ＡＯＭ ＝ １
２
∠ＡＯＣ ＝ １
２
× ７６° ＝ ３８°?∴ ∠ＢＯＭ ＝ １８０° －
∠ＡＯＭ＝１８０°－３８° ＝１４２°.故選:Ｃ.)
１２.如圖?點 Ａ、Ｏ、Ｅ 在一條直線上?∠ＡＯＢ＝ ９０°?∠ＣＯＤ＝
９０°?則圖中互補(bǔ)的角有　 ７　 對.
(提示:由已知可得∠ＣＯＤ?∠ＡＯＢ?∠ＢＯＥ 均為 ９０°?兩兩互補(bǔ)得 ３
對?又∠ＡＯＣ 與∠ＥＯＣ?∠ＢＯＤ 與∠ＥＯＣ?∠ＤＯＥ 與∠ＡＯＤ?∠ＢＯＣ
與∠ＡＯＤ 均互補(bǔ)?故一共有 ７ 對?故填 ７.)
第 １１ 題
　 　 　 　
第 １２ 題
１３.如圖?ＡＢ 與 ＣＤ 交于點 Ｏ?ＯＭ 為射線.
(１)寫出∠ＢＯＤ 的對頂角.
(２)寫出∠ＢＯＤ 與∠ＣＯＭ 的鄰補(bǔ)角.
(３) 已知∠ＡＯＣ ＝ ７０°?∠ＢＯＭ ＝ ８０°?求∠ＤＯＭ 和
∠ＡＯＭ 的度數(shù).
解:(１)∠ＢＯＤ 的對頂角為∠ＡＯＣ?
(２)∠ＢＯＤ 的鄰補(bǔ)角為∠ＢＯＣ 和∠ＤＯＡ?
∠ＣＯＭ 的鄰補(bǔ)角為∠ＭＯＤ.
(３)∵∠ＡＯＣ＝７０°?∠ＢＯＭ＝８０°?
∴∠ＢＯＤ＝∠ＡＯＣ＝７０°?
∠ＣＯＭ ＝１８０° －∠ＡＯＣ
＝７０° －∠ＢＯＭ＝３０°?
∴∠ＤＯＭ ＝∠ＤＯＢ＋∠ＢＯＭ
＝７０° ＋８０°
＝１５０°?
∠ＡＯＭ ＝∠ＡＯＣ＋∠ＣＯＭ
＝７０° ＋３０°
＝１００°.
第 ２ 課　 相交線(二)———垂線
知識目標(biāo)
理解垂線、垂線段的概念?會用三角尺或
量角器過一點畫已知直線的垂線.掌握點
到直線的距離的概念?并會度量點到直線
的距離.掌握垂線的性質(zhì)?并會利用所學(xué)
知識進(jìn)行簡單的推理.
重、難點 垂線的定義及性質(zhì).
思維目標(biāo) 數(shù)形結(jié)合思想.
１.垂線的定義:兩條直線相交所成的四個
角中?有一個角是　 直角　 時?這兩條直
線就互相垂直?記為 ａ⊥ｂ.其中一條直線
叫做另一條直線的 　 垂線 　 ?它們的交
點叫做　 垂足　 .
　 符號表示:
　 ①如果直線 ＡＢ、ＣＤ 互相垂直?記作 ＡＢ
⊥ＣＤ?垂足為 Ｏ?
　 ②由兩條直線垂直?可知四個角為直角.
　 幾何語言:
　 ∵ ＡＢ⊥ＣＤ(已知)?
　 ∴ ∠ＡＯＤ＝ ９０°(垂直定義)
　 ③由兩條直線交角為直角?可知兩條直線互相垂直.
　 幾何語言:
　 ∵ ∠ＡＯＤ＝ ９０°(已知)
　 ∴ ＡＢ⊥ＣＤ(垂直定義)
注意:
　 ①垂直是相交的一種特殊情況?
　 ②垂直是一種相互關(guān)系?即 ａ⊥ｂ?同時 ｂ⊥ａ?
　 ③當(dāng)提到線段與線段?線段與射線?射線與射線?射線
與直線的垂直情況時?是指它們所在的直線互相垂直.
２.垂線的性質(zhì):
　 ①經(jīng)過一點(已知直線上或直線外)?能畫出已知直線
的一條垂線?并且只能畫出一條垂線.即:
　 過一點　 有且只有　 一條直線與已知直線垂直.
　 ②連接直線外一點與直線上各點的所有線段中?　 垂
線段　 最短.簡單說成:　 垂線段最短　 .
３.點到直線的距離:直線外一點到這條直線的垂線段的
　 長度　 ?叫做點到直線的距離
???????
.
垂線的畫法
【例 １】按要求作圖:
—３—
　 七年級(下)冊
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????????????????????????????????????????????
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????????巔峰對決????數(shù)學(xué)
　 (１)用三角尺或量角器畫已知直線 ｌ 的垂線?這樣的
垂線能畫出幾條?
　 (２)經(jīng)過直線 ｌ 上一點 Ａ 畫 ｌ 的垂線?這樣的垂線能畫
出幾條?
　 (３)經(jīng)過直線 ｌ 外一點 Ｂ 畫 ｌ 的垂線?這樣的垂線能畫
出幾條?
　 分析:畫垂線的方法是:用三角板的一條直角邊的已
知直線重合?沿重合的直線平移三角板?使三角板的另
一條直角邊和 Ａ 點(或 Ｂ 點)重合?過 Ａ 點(或 Ｂ 點)沿
直角邊向已知直線畫直線即可?在兩線相交處標(biāo)出垂足
(直角符號)?據(jù)此即可解答.
　 解:(１)能畫出無數(shù)條?(２)１ 條?(３)１ 條.
歸納:
　 畫垂線的方法是:
　 用直角三角板畫過點 Ａ 作線段 ＢＣ 的垂線?可簡單地
說成:“一落”、“二過”、“三畫”、“四標(biāo)” .(如下圖)
　 ① “一落”:如圖 ２?將三角板一條直角邊緊貼已知直
線上?另一條直角邊落在點 Ａ 的同一側(cè)?不蓋住點.
　 ② “二過”: 如圖 ３?使三角板的另一直角邊經(jīng)過已知
點 Ａ?用鉛筆尖點住 Ａ 點.
　 ③ “三畫”: 如圖 ４?沿已知點所在直角邊畫直線.
　 ④“四標(biāo)”:如圖 ４?標(biāo)出直角標(biāo)號“┓” .到此?垂線 ＡＤ
便作出了.
思考:
　 你能通過折紙找到過 Ａ 點或過 Ｂ 點垂直于 ｌ 的垂
線嗎?
　 解:先沿已知直線 ｌ 折一下?再在已知點處對折即可?第二次的折痕
即為過點 Ａ 或點 Ｂ 垂直于 ｌ 的垂線.
試一試:
　 如圖?請你過點 Ｐ 畫出射線 ＡＢ 或線段 ＡＢ 的垂線.
　 解:略.
注意:
　 ①畫一條線段或射線的垂線?就是畫它們所在直線的
垂線?
　 ②在垂足處要標(biāo)上直角“┐”符號.
垂線段的性質(zhì)
【例 ２】如圖在 Ｃ 村要挖一條水渠與
河相通?灌溉水田?最省力的路線是
怎樣的? 并說明這樣挖的原因.
　 分析:因為直線外一點與這條直
線所有點的連線中?垂線段最短?所以?只要作出從張村
到小河的垂線段即可.
　 解:作出從張村到小河的垂線段?如圖:
因為直線外一點與這條直線所有點的連
線中?垂線段最短.
畫一畫:
　 (１)在圖中分別畫出點 Ａ、點 Ｂ 到直線 ＣＤ 的垂線段
ＡＥ?ＢＦ.
　 　 　 　 　
　 (２)作出下面各三角形的高線(注:高線是垂線段)
　 解:畫圖略.
利用垂直定義進(jìn)行角度計算
【例 ３】如圖?已知直線 ＡＢ?ＣＤ 相交于點 Ｏ?ＯＥ⊥ＡＢ?ＯＦ
平分∠ＡＯＤ?∠ＣＯＥ＝ ６０°.
　 求:∠ＡＯＦ 和∠ＤＯＥ 的度數(shù).
　 分析:由 ＯＥ⊥ＡＯ 知∠ＡＯＥ＝ ９０°?則易得
∠ＡＯＣ 度數(shù)?從而知道∠ＡＯＤ 的度數(shù)?由
ＯＦ 平分∠ＡＯＤ 不難解得.
　 解:∵ＯＥ⊥ＡＢ?
∴∠ＡＯＥ＝∠ＢＯＥ＝９０°?
∵∠ＣＯＥ＝６０°?∴∠ＡＯＣ＝３０°?
∴∠ＡＯＤ＝１５０°?∠ＢＯＤ＝３０°?
∴∠ＤＯＥ＝∠ＢＯＥ ＋∠ＢＯＤ＝１２０°?
又∵ＯＦ 平分∠ＡＯＤ?
∴∠ＡＯＦ＝１５０°÷２＝７５°.
歸納:
　 在角度計算中?要注意角平分線的作用及垂直產(chǎn)生
９０°的作用.
１.若 Ｐ?Ｑ 分別是∠ＡＯＢ 的邊 ＯＡ?ＯＢ 上的點?分別畫出
點 Ｐ 到 ＯＢ 的垂線段 ＰＭ?點 Ｑ 到 ＯＡ 的垂線段 ＱＮ?正
確的圖形是圖中的 (　 Ｄ　 )
—４—
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????????巔峰對決????數(shù)學(xué) 第 ５ 章　 相交線與平行線　
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
２.(１６????常州)如圖?已知三角形 ＡＢＣ 中?ＢＣ ＝ ６?ＡＣ ＝ ３?
ＣＰ⊥ＡＢ?垂足為 Ｐ?則 ＣＰ 的長可能是 (　 Ａ　 )
Ａ.２ Ｂ.４ Ｃ.５ Ｄ.７
３.已知?如圖?∠ＡＣＢ ＝ ９０°?即是 ＡＣ 　 ⊥ 　 ＢＣ?若 ＢＣ ＝
８ｃｍ?ＡＣ ＝ ６ｃｍ?ＡＢ ＝ １０ ｃｍ?則點 Ｂ 到 ＡＣ 的距離是　
８ｃｍ　 ?點 Ａ 到 ＢＣ 的距離是　 ６ ｃｍ　 ?點 Ｃ 到 ＡＢ 的距
離是　 ４.８ ｃｍ　 .
４.如圖?若把水渠中的水引到水池 Ｃ?挖一條溝 ＣＤ 垂直
于渠岸 ＡＢ?垂足為 Ｄ?這時溝 ＣＤ 最短?這種做法的根
據(jù)是　 垂線段最短　 .
第 ２ 題 第 ３ 題 第 ４ 題
１.垂直是兩條直線相交的特例?通過垂直可以得到特殊
的角?
２.畫已知直線的垂線可以畫出無數(shù)條?但過一點畫已知
直線的垂線有且只有一條?垂足可能在所給圖形的延
長線上?過直線外一點的斜線段有無數(shù)條?
３.注意“點到直線的距離”與“垂線段”的區(qū)別與聯(lián)系?點
到直線的距離是指垂線段的長度?是一個數(shù)量?而垂線
段是指一條線段?是一個圖形.若要求點到直線的距
離?則需先作出垂線段?再計算其長度.
Ａ 組　 夯實基礎(chǔ)
一.選擇題:
１.已知直線 ＡＢ?ＣＢ?ｌ 在同一平面內(nèi)?若 ＡＢ⊥ｌ?垂足為 Ｂ?
ＣＢ⊥ｌ?垂足也為 Ｂ?則符合題意的圖形可以是
(　 Ｃ　 )
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
２.如圖?直線 ＡＢ?ＣＤ 相交于點 Ｏ?射線 ＯＭ 平分∠ＡＯＣ?
ＯＮ⊥ＯＭ?若∠ＡＯＭ＝ ３５°?則∠ＣＯＮ 的度數(shù)為(　 Ｃ　 )
Ａ.３５° Ｂ.４５° Ｃ.５５° Ｄ.６５°
３.(１７????北京)如圖所示?點 Ｐ 到直線 ｌ 的距離是
(　 Ｂ　 )
Ａ.線段 ＰＡ 的長度 Ｂ.線段 ＰＢ 的長度
Ｃ.線段 ＰＣ 的長度 Ｄ.線段 ＰＤ 的長度
第 ２ 題
　 　 　 　
第 ３ 題
４.Ｐ 為直線 ｌ 外一點?Ａ、Ｂ、Ｃ 為直線 ｌ 上三點?ＰＡ ＝ ５ｃｍ?
ＰＢ＝３ｃｍ?ＰＣ＝４ｃｍ?則點 Ｐ 到直線 ｌ 的距離為 (　 Ｄ　 )
Ａ.４ｃｍ Ｂ.３ｃｍ
Ｃ.小于 ３ｃｍ Ｄ.不大于 ３ｃｍ
二.填空題
５.如圖是小凡同學(xué)在體育課上跳遠(yuǎn)后留下的腳印?他的
跳遠(yuǎn)成績是線段　 ＰＡ　 的長度.
６.(１８????河南)如圖?直線 ＡＢ?ＣＤ 相交于點 Ｏ?ＥＯ⊥ＡＢ 于
點 Ｏ?∠ＥＯＤ＝ ５０°?則∠ＢＯＣ 的度數(shù)為　 １４０°　 .
７.如圖?ＡＯ⊥ＢＯ?ＣＯ⊥ＤＯ?∠ＡＯＣ ∶ ∠ＢＯＣ ＝ １ ∶ ５?則
∠ＢＯＤ＝ 　 １５７.５°　 .
第 ５ 題 第 ６ 題 第 ７ 題
三.解答題
８.按下列要求作圖:
　 (１)在下列各圖中?分別過點 Ｐ 作直線 ＡＢ 的垂線.
　 (２)如圖?有兩條高速公路 ｌ、ｍ?點 Ｐ 為公路 ｌ 上的一
個出口?現(xiàn)要經(jīng)過點 Ｐ 建一連接兩公路的一段通道?欲
使通道長最短?應(yīng)沿怎樣的線路施工?
　 解:略.
—５—
　 七年級(下)冊
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????????巔峰對決????數(shù)學(xué)
９.如圖?點 Ｏ 為直線 ＡＢ 上一點?且∠ＡＯＤ ∶ ∠ＤＯＢ ＝
３ ∶ １?ＯＤ 平分∠ＣＯＢ.
(１)求∠ＡＯＣ 的度數(shù)?
(２)判斷 ＡＢ 與 ＯＣ 的位置關(guān)系.
解:(１)設(shè)∠ＤＯＢ 的度數(shù)為 ｘ°?
則∠ＡＯＤ 的度數(shù)為 ３ｘ°.
∵∠ＡＯＤ＋∠ＤＯＢ＝１８０°?
∴３ｘ＋ｘ＝１８０°.
解得 ｘ＝４５°.∴∠ＡＯＤ＝１３５°?∠ＤＯＢ＝４５°?
又∵ＯＤ 平分∠ＣＯＢ?
∴∠ＣＯＤ＝∠ＤＯＢ＝４５°?
∴∠ＡＯＣ＝∠ＡＯＤ－∠ＣＯＤ＝１３５°－４５° ＝９０°.
(２)ＡＢ 與 ＯＣ 垂直.
１０.如圖?ＯＡ⊥ＯＢ?ＯＣ⊥ＯＤ?ＯＥ 是 ＯＤ 的反向延長線.
(１)證明:∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ?
(２)若∠ＢＯＤ＝ ３２°?求∠ＡＯＥ 的度數(shù).
證明:(１)∵ＯＡ⊥ＯＢ?ＯＣ⊥ＯＤ?
∴∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＣ＝９０°?
∠ＢＯＤ＋∠ＢＯＣ＝９０°?
∴∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ
解:(２)∵∠ＢＯＤ＝３２°?∠ＡＯＢ＝９０°?
∴∠ＡＯＥ＝１８０°－９０°－３２° ＝５８°
Ｂ 組　 提高鞏固
１１.如圖?ＡＢ⊥ＡＣ?ＡＤ⊥ＢＣ?垂足分別為 Ａ?Ｄ?則圖中能
表示點到直線距離的線段共有 (　 Ｄ　 )
Ａ.２ 條 Ｂ.３ 條 Ｃ.４ 條 Ｄ.５ 條
(提示:如圖所示:線段 ＡＢ 的長度是點 Ｂ 到 ＡＣ 的距離?線段 ＣＡ 的長
度是點 Ｃ 到 ＡＢ 的距離?線段 ＡＤ 的長度是點 Ａ 到 ＢＣ 的距離?線段
ＢＤ 的長度是點 Ｂ 到 ＡＤ 的距離?線段 ＣＤ 的長度是點 Ｃ 到 ＡＤ 的距
離?故圖中能表示點到直線距離的線段共有 ５ 條.故選 Ｄ.)
１２.如圖所示?直線 ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ 相交于點 Ｏ?ＥＦ⊥ＡＢ?ＯＧ
為∠ＣＯＦ 的平分線?若∠ＣＯＧ ∶ ∠ＢＯＣ ＝ １ ∶ ７?則
∠ＤＯＦ 的度數(shù)是　 １４４°　 .
(提示:設(shè)∠ＣＯＧ＝ｘ?∵ＯＧ 平分∠ＣＯＦ?∴∠ＦＯＧ＝∠ＣＯＧ＝ｘ?又∵ＥＦ⊥
ＡＢ?∴∠ＢＯＦ＝９０°?∴∠ＢＯＣ＝９０°＋２ｘ?∵∠ＣＯＧ ∶ ∠ＢＯＣ＝１ ∶ ７?∴９０°＋
２ｘ＝７ｘ?∴ｘ＝１８°?∴∠ＤＯＦ＝１８０°－２×１８° ＝１４４°.故填 １４４°)
第 １１ 題
　 　 　 　
第 １２ 題
１３.操作與猜想:
(１)在下面 ３ 幅圖中以 Ｐ 為頂點畫∠Ｐ?使∠Ｐ 的兩
邊分別和∠１ 的兩邊垂直.
(２)量一量∠Ｐ 和∠１ 的度數(shù)?它們之間的數(shù)量關(guān)系
是　 　 　 　 .
(３)由上述三種情形可以得到一個結(jié)論:如果一個角的
兩邊分別和另一個角的兩邊垂直?那么這兩個角　 　 　 .
結(jié)論與運(yùn)用:
(４)∠Ａ 的兩邊分別垂直于∠Ｂ 的兩邊?∠Ａ 比∠Ｂ
大 ６０°?則∠Ａ 是(　 　 )
Ａ.１２０° Ｂ.３５° Ｃ.４０° Ｄ.３８°
(５)∠Ａ 的兩邊分別垂直于∠Ｂ 的兩邊?∠Ａ 的 ２ 倍
比∠Ｂ 大 ３０°?則∠Ａ＝ 　 　 　 　 .
解:(１)畫圖如下:
(２)∠Ｐ 與∠１ 相等或互補(bǔ)?
(３)相等或互補(bǔ)?
(４)Ａ?
(５)３０°或 ７０°.
—６—
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????????巔峰對決????數(shù)學(xué) 第 ５ 章　 相交線與平行線　
第 ３ 課　 相交線(三)
———同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角
知識目標(biāo)
了解同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念.在
較復(fù)雜的圖形中辨認(rèn)同位角、內(nèi)錯角、同
旁內(nèi)角.
重、難點 同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念與識別
思維目標(biāo) 分析、抽象、歸納能力
１.如圖?∠１ 和∠５ 分別在直線 ＡＢ、ＣＤ
的　 同一方 　 ?在直線 ＥＦ 的 　 同側(cè)
　 ?具有這種位置關(guān)系的一對角叫
做同位角.右圖中兩條直線被第三
條直線所截構(gòu)成的八個角中?共有
　 ４　 對同位角.
２.如圖?∠３ 和∠５ 分別在直線 ＡＢ、ＣＤ 　 之間 　 ?在直線
ＥＦ 的　 兩側(cè)　 ?具有這種位置關(guān)系的一對角叫做內(nèi)錯
角.右圖中兩條直線被第三條直線所截構(gòu)成的八個角
中?共有　 ２　 對內(nèi)錯角.
３.如圖?∠３ 和∠６ 分別在直線 ＡＢ、ＣＤ 　 之間 　 ?在直線
ＥＦ 的　 同側(cè)　 ?具有這種位置關(guān)系的一對角叫做同旁
內(nèi)角.右圖中兩條直線被第三條直線所截構(gòu)成的八個
角中?共有　 ２　 對同旁內(nèi)角.
識別同位角、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角
【例 １】如圖?直線 ＤＥ、ＢＣ 被直線 ＡＢ
所截.
　 (１)∠１ 與∠２?∠１ 與∠３?∠１ 與
∠４ 各是什么關(guān)系的角?
　 (２)如果∠１＝∠４?那么∠１ 和∠２ 相等嗎? ∠１ 和∠３
互補(bǔ)嗎? 為什么?
　 分析:利用同位角、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角定義即得.
　 解:(１)∠１ 和∠２ 是內(nèi)錯角?∠１ 和∠３ 是同旁內(nèi)角?∠１ 和∠４ 是同
位角?
(２)∠１ 和∠２ 相等?∠１ 和∠３ 互補(bǔ).理由如下:
∵∠１＝∠４?(已知)
∠２＝∠４(對頂角相等)
∴∠１＝∠２(等量代換)
∵∠３＋∠４＝ １８０°?(鄰補(bǔ)角定義)
∴∠１＋∠３＝ １８０°.(等量代換)
歸納:
角的名稱 基本圖形 位置特征 圖形結(jié)構(gòu)特征
同位角 形如字母“Ｆ”
內(nèi)錯角 形如字母“Ｚ”
同旁內(nèi)角 形如字母“Ｕ”
識別截線與被截線
【例 ２】根據(jù)右圖?填空:
　 ①直線　 　 　 、　 　 　 被直線　 　
　 所截?得∠１ 與∠２ 是內(nèi)錯角?
　 ②直線　 　 　 、　 　 　 被直線　 　
　 所截?得∠１ 與∠Ｂ 是同位角?
　 ③直線　 　 　 、　 　 　 被直線　 　 　 所截?得∠３ 和∠Ｃ
是同旁內(nèi)角.
　 分析:利用同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義知它們的
共線邊即為截線?非共線邊即為被截線易得.
　 解:①ＡＢ?ＤＥ?ＥＦ?②ＥＦ?ＢＣ?ＡＢ?③ＤＥ?ＡＣ?ＤＣ.
歸納:
　 (１)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角都有一邊共線?這條線
是第三條直線 (截線) .即兩角的共線邊所在直線是
截線?
　 (２)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角中每對角有一組非公共
邊?叫兩條被截線.
１.(１７????玉林)如圖?直線 ａ?ｂ 被 ｃ 所截?則∠１ 與∠２ 是
(　 Ｂ　 )
Ａ.同位角 Ｂ.內(nèi)錯角
Ｃ.同旁內(nèi)角 Ｄ.鄰補(bǔ)角
２.(１８????金華)如圖?∠Ｂ 的同位角可以是 (　 Ｄ　 )
Ａ.∠１ Ｂ.∠２ Ｃ.∠３ Ｄ.∠４
第 １ 題
　 　 　 　
第 ２ 題
３.如圖所示?∠Ｂ 與　 ∠ＤＡＢ　 是內(nèi)錯角?∠Ｂ 與 　 ∠Ｃ 或
∠ＢＡＣ 或∠ＢＡＥ 　 是同旁內(nèi)角?∠Ｃ 與 　 ∠ＣＡＥ 　 是內(nèi)
錯角.
４.如圖所示?若∠１＝ ３０°?∠２ ＝ １１０°?那么?∠３ 的同位角
—７—
　 七年級(下)冊
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???? ????
????????巔峰對決????數(shù)學(xué)
等于　 ７０°　 ?∠３ 的內(nèi)錯角等于　 ７０° 　 ?∠３ 的同旁內(nèi)
角等于　 １１０°　 .
第 ３ 題
　 　 　 　
第 ４ 題
１.“三線八角”中?角與角之間的關(guān)系是位置關(guān)系?而不
是大小關(guān)系?兩角之間沒有公共頂點?角的某一邊一定
是截線的一部分?三種角均成對出現(xiàn)?
２.同位角的特征:兩角在截線同旁?被截兩線的同方向?
內(nèi)錯角的特征:兩角在截線兩側(cè)?被截兩線之間?同旁
內(nèi)角的特征:兩角在截線同旁?被截兩線之間?
３.注意識別在復(fù)雜圖形中三種角的位置特征?特別要運(yùn)
用截線與被截線的判斷方法來記憶三種不同的角?
４.找復(fù)雜圖形中角的位置關(guān)系時要做到不重不漏.
Ａ 組　 夯實基礎(chǔ)
一.選擇題:
１.如圖所示?在下列圖形中?∠１ 和∠２ 是同位角的是
(　 Ｃ　 )
Ａ.②③ Ｂ.①②③
Ｃ.①②④ Ｄ.①④
２.如圖所示?下列敘述正確的是 (　 Ｄ　 )
Ａ.∠１ 和∠３ 是同旁內(nèi)角 Ｂ.∠６ 和∠２ 是同位角
Ｃ.∠４ 和∠２ 是同位角 Ｄ.∠５ 和∠４ 是內(nèi)錯角
３.(１８????廣州)如圖?直線 ＡＤ?ＢＥ 被直線 ＢＦ 和 ＡＣ 所截?
則∠１ 的同位角和∠５ 的內(nèi)錯角分別是 (　 Ｂ　 )
Ａ.∠４?∠２ Ｂ.∠２?∠６
Ｃ.∠５?∠４ Ｄ.∠２?∠４
４.如圖?下列說法不正確的是 (　 Ｃ　 )
Ａ.∠１ 與∠２ 是同位角 Ｂ.∠２ 與∠３ 是同位角
Ｃ.∠１ 與∠３ 是同位角 Ｄ.∠１ 與∠４ 是內(nèi)錯角
第 ２ 題 第 ３ 題 第 ４ 題
二.填空題
５.如圖?同位角有　 ２　 對?它們是　 ∠３ 與∠１?∠２ 與∠５　 .
６.如圖?屬于內(nèi)錯角的是　 ∠３ 與∠４　 (用數(shù)字表示) .
７.如圖?∠ＡＢＣ 與　 ∠ＥＡＤ　 是同位角?∠ＡＢＣ 與　 ∠Ｃ(或
∠ＢＡＤ) 　 是同旁內(nèi)角.
第 ５ 題 第 ６ 題 第 ７ 題
三.解答題
８.根據(jù)如圖所示填空:(填“內(nèi)錯角?同位角?同旁內(nèi)角?
對頂角或鄰補(bǔ)角”)
(１)∠ＡＥＧ 和∠ＨＧＥ 是　 內(nèi)錯角　 ?
(２)∠ＨＧＥ 和∠ＥＤＣ 是　 同位角　 ?
(３)∠ＫＡＢ 和∠ＢＡＤ 是　 鄰補(bǔ)角　 ?
(４)∠ＡＢＣ 和∠ＡＣＢ 是　 同旁內(nèi)角　 ?
(５)∠ＫＡＭ 和∠ＤＡＢ 是　 對頂角　 ?
(６)∠ＦＨＣ 和∠ＤＦＩ 是　 同旁內(nèi)角　 .
９.如圖?在三角形 ＡＢＣ 中?∠ＡＢＣ ＝
９０°?過點 Ｂ 作三角形 ＡＢＣ 的 ＡＣ
邊上的高 ＢＤ?過 Ｄ 點作三角形
ＡＢＤ 的 ＡＢ 邊上的高 ＤＥ.
　 (１)∠Ａ 的同位角是　 ∠ＢＤＣ、∠ＢＥＤ、∠ＥＤＣ　 .
　 (２)∠ＡＢＤ 的內(nèi)錯角是　 ∠ＢＤＣ　 .
　 (３)點 Ｂ 到直線 ＡＣ 的距離是線段　 ＢＤ　 的長度.
　 (４)點 Ｄ 到直線 ＡＢ 的距離是線段　 ＤＥ　 的長度.
１０.如圖?∠１ 和∠２、∠３ 和∠４ 分別是由哪兩條直線被
哪一條直線所截而成的? 它們各是什么角?
解:圖 １ 中?∠１ 和∠２ 是直線
ＤＣ、ＡＢ 被 ＤＢ 所截而成的內(nèi)
錯角?∠３ 和∠４ 是直線 ＡＤ、
ＢＣ 被 ＢＤ 所 截 而 成 的 內(nèi)
錯角?
圖 ２ 中?∠１ 和∠２ 是直線 ＤＣ、ＡＢ 被 ＣＢ 所截而成的同位角?∠３
和∠４ 是直線 ＡＢ、ＢＣ 被 ＡＣ 所截而成的同旁內(nèi)角.
—８—
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????????巔峰對決????數(shù)學(xué) 第 ５ 章　 相交線與平行線　
Ｂ 組　 提高鞏固
１１.如圖所示?已知 ＢＥ 平分∠ＡＢＣ?ＣＦ 平分∠ＢＣＤ?圖中
內(nèi)錯角有 (　 Ｄ　 )
Ａ.１ 對 Ｂ.２ 對 Ｃ.３ 對 Ｄ.４ 對
(提示:圖中∠ＡＢＣ 與∠ＢＣＦ?∠ＡＢＣ 與∠ＢＣＤ?∠ＢＣＦ 與∠ＣＢＥ?
∠ＢＣＤ 與∠ＥＢＣ 共 ４ 對內(nèi)錯角?故選 Ｄ.)
１２.如圖?已知與∠１ 構(gòu)成同位角的角的個數(shù)是 ａ?與∠２
構(gòu)成內(nèi)錯角的角的個數(shù)是 ｂ?與∠Ｅ 構(gòu)成同旁內(nèi)角的
角的個數(shù)是 ｃ?則 ａ＋ｂ＋ｃ 的值為　 ７　 .
(提示:由圖可知與∠１ 構(gòu)成同位角的角有∠Ｅ?故 ａ ＝ １?與∠２ 構(gòu)成內(nèi)
錯角的角有∠ＢＤＦ 與∠ＡＤＦ?故 ｂ ＝ ２?與∠Ｅ 構(gòu)成同旁內(nèi)角的角有
∠Ｃ?∠Ａ?∠ＥＢＤ?∠ＥＦＤ 共 ４ 個?故 ｃ＝４?所以 ａ＋ｂ＋ｃ＝７.)
第 １１ 題
　 　 　 　
第 １２ 題
１３.觀察下面表格?并閱讀相關(guān)文字:
示意圖 ????
相交情況
１ 直線與
２ 條平行
線相交
１ 直線與
３ 條平行
線相交
１ 直線與
４ 條平
行線相交
????
同位角對數(shù) ２×１×２ ２×２×３ ２×３×４ ????
內(nèi)錯角對數(shù) １×２ ２×３ ３×４ ????
同旁內(nèi)角對數(shù) １×２ ２×３ ３×４ ????
則由上述規(guī)律可知:
(１)１ 條直線與 ６ 條平行直線相交產(chǎn)生:　 ６０　 對同
位角?　 ３０　 對內(nèi)錯角?
(２)１ 條直線與 ｎ 條平行直線相交產(chǎn)生:　 ２ｎ(ｎ－１) 　
對同位角?　 ｎ(ｎ－１) 　 對內(nèi)錯角?
(３)利用(２)中的結(jié)論?解決下列問題:三條直線兩
兩相交(不交于同一點)?可構(gòu)成同位角的對數(shù)是
(　 Ａ　 )
Ａ.１２ 對 Ｂ.８ 對 Ｃ.６ 對 Ｄ.４ 對
第 ４ 課　 平行線及其判定(一)
———平行線
知識目標(biāo)
了解平行線的概念、平面內(nèi)兩條直線相交
和平行的兩種位置關(guān)系?知道平行公理以
及平行公理的推論.會用符號語言表示平
行公理推論?會用三角尺和直尺過已知直
線外一點畫一條直線的平行線.
重、難點 平行公理也及平行公理的推論
思維目標(biāo) 抽象思維的培養(yǎng)
１.平行線定義:在同一平面內(nèi)
??????
?　 不相交的兩條直線　 是平
行線.
　 記法:直線 ａ 與 ｂ 互相平行?記作　 ａ∥ｂ　 .
２.若兩條直線只有一個公共點?則稱這兩直線　 相交　 .
３.同一平面內(nèi)兩條直線有兩種位置關(guān)系:　 相交　 和　 平
行　 .
４.平行公理:經(jīng)過　 直線外　 一點?有且只有　 一條　 直線
與這條直線平行.
５.平行公理的推論(平行線的傳遞性):如果兩條直線都
與第三條直線平行?那么這兩條直線也　 互相平行　 .
　 符號語言:
　 ∵ ｂ∥ａ?ｃ∥ａ?
　 ∴ ｂ∥ｃ.
平行線畫法及平行公理
【例 １】已知:直線 ａ?點 Ｂ?點 Ｃ.
　 (１)過點 Ｂ 畫直線 ａ 的平行線?能
畫幾條?
　 (２)過點 Ｃ 畫直線 ａ 的平行線?它
與過點 Ｂ 的平行線平行嗎?
　 分析:利用三角板的平移畫平行線?其畫法可以總結(jié)
為:“一落”、“二靠”、“三移”、“四畫” .
　 一落:三角板的一邊落在已知直線?
　 二靠:靠緊三角板的另一邊放上另一塊三角板?
　 三移:使第一塊三角板沿著第二塊三角板移動?使其
經(jīng)過原直線的一邊經(jīng)過已知點?
　 四畫:沿三角板過已知點的一邊畫出直線.
　 這時所畫直線就一定與已知直線平行.
　 解:(１)畫線略?能畫一條?
(２)畫線略?該線與過 Ｂ 點的平行線互相平行.
格點上的平行識別
【例 ２】如圖?網(wǎng)格中?互相平行的線段有 (　 　 )
—９—
　 七年級(下)冊
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???? ????
????????巔峰對決????數(shù)學(xué)
　 Ａ.３ 對 Ｂ. ４ 對 Ｃ.５ 對 Ｄ.６ 對
　 分析:先找出相互平行的線段?然后再看能組成多少
對.據(jù)此易選得 Ｃ.
平行線間的距離(選講)
【例 ３】(１８????銅仁)在同一平面內(nèi)?設(shè) ａ、ｂ、ｃ 是三條互相
平行的直線?已知 ａ 與 ｂ 的距離為 ４ｃｍ?ｂ 與 ｃ 的距離為
１ｃｍ?則 ａ 與 ｃ 的距離為 (　 　 )
　 Ａ.１ｃｍ Ｂ.３ｃｍ
　 Ｃ.５ｃｍ 或 ３ｃｍ Ｄ.１ｃｍ 或 ３ｃｍ
　 分析:分兩種情況:當(dāng)直線 ｃ 在 ａ、ｂ 之間或直線 ｃ 不在
ａ、ｂ 之間?然后利用平行線間的距離的意義分別求解.
　 解:當(dāng)直線 ｃ 在 ａ、ｂ 之間時?
∵ ａ、ｂ、ｃ 是三條平行直線?
而 ａ 與 ｂ 的距離為 ４ｃｍ?ｂ 與 ｃ 的距離為 １ｃｍ?
∴ ａ 與 ｃ 的距離＝４－１＝３(ｃｍ)?
當(dāng)直線 ｃ 不在 ａ、ｂ 之間時?
∵ ａ、ｂ、ｃ 是三條平行直線?
而 ａ 與 ｂ 的距離為 ４ｃｍ?ｂ 與 ｃ 的距離為 １ｃｍ?
∴ ａ 與 ｃ 的距離＝４＋１＝５(ｃｍ)?
綜上所述?ａ 與 ｃ 的距離為 ５ｃｍ 或 ３ｃｍ.
故選:Ｃ.
歸納:
　 從一條平行線上的任意一點到另一條直線作垂線段?
垂線段的長度叫兩條平行線之間的距離.
１.如圖?長方體 ＡＢＣＤ－Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′中與棱 ＡＢ 平行的棱有
(　 Ｂ　 )
Ａ.２ 條 Ｂ.３ 條 Ｃ.４ 條 Ｄ.５ 條
２.工人師傅在架設(shè)電線時?為了檢驗三條電線是否平行?
工人師傅只檢查了其中兩條是否與第三條平行即可?
這種做法的根據(jù)是 (　 Ｂ　 )
Ａ.兩點決定一條直線
Ｂ.如果兩直線都和第三條直線平行?則這兩條直線也平行
Ｃ.兩點之間?線段最短
Ｄ.經(jīng)過直線外一點?有且只有一條直線與已知直線平行
３.如圖?在同一平面內(nèi)?有三條直線ａ、ｂ、ｃ?且ａ∥ｂ?如果直線ａ
與 ｃ 交于點Ｏ?那么直線 ｃ 與 ｂ 的位置關(guān)系是　 相交　 .
４.如圖?方格紙中每個最小正方形的邊長為 １?則兩平行
直線 ＡＢ、ＣＤ 之間的距離是　 ３　 .
第 １ 題 第 ３ 題 第 ４ 題
１.平行線是指兩條直線?而不是線段或射線?雖然有時我
們說兩條線段或射線平行?實際上是指它們所在的直
線平行?
２.平行公理中的“有且只有” 指出了平行線的存在性
(有)和唯一性(只有) .
Ａ 組　 夯實基礎(chǔ)
一.選擇題:
１.如圖所示?在這些四邊形中?ＡＢ 不平行于 ＣＤ 的是
(　 Ｄ　 )
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
２.三條直線 ａ、ｂ、ｃ?若 ａ∥ｃ?ｂ∥ｃ?則 ａ 與 ｂ 的位置關(guān)系是
(　 Ｂ　 )
Ａ.ａ⊥ｂ Ｂ.ａ∥ｂ
Ｃ.ａ⊥ｂ 或 ａ∥ｂ Ｄ.無法確定
３.如圖?經(jīng)過直線 ａ 外一點 Ｏ 的 ４ 條
直線中?與直線 ａ 相交的直線至少有
(　 Ｂ　 )
Ａ.４ 條 Ｂ.３ 條
Ｃ.２ 條 Ｄ.１ 條
４.下列說法錯誤的是 (　 Ｃ　 )
Ａ.在同一平面內(nèi)?兩條不平行的直線是相交線
Ｂ.與同一條直線平行的兩直線必平行
Ｃ.與同一條直線相交的兩直線必相交
Ｄ.過直線外一點有且只有一條直線平行于已知直線
二.填空題:
５.若點 Ｐ 為直線 ＡＢ 外一點?則過點 Ｐ 且平行于 ＡＢ 的直
線有　 １　 條.
６.下列各種說法中錯誤的是　 ①②③　 (填序號) .
①過一點有且只有一條直線與已知直線平行?
②在同一平面內(nèi)?兩條不相交的線段是平行線段?
③兩條直線沒有交點?則這兩條直線平行?
④在同一平面內(nèi)?若直線 ＡＢ∥ＣＤ?直線 ＡＢ 與 ＥＦ 相
交?則 ＣＤ 與 ＥＦ 相交.
７.如圖:表示一個正方體表面的一
種展開圖?圖中有四條線段 ＡＢ、
ＣＤ、ＥＦ 和 ＧＨ 在原正方體中相
互平行有 　 １ 　 對?它們是 　 ＥＦ
和 ＣＤ　 .
三.解答題
８.按要求作圖:
—０１—
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????????巔峰對決????數(shù)學(xué) 第 ５ 章　 相交線與平行線　
　 (１)如圖①:過 Ｐ 點分別作直線 ｍ∥直線 ａ?直線 ｎ∥
直線 ｂ.
　 (２)如圖②:過 Ｂ 點作 ＢＥ∥ＡＣ 交 ＡＤ 的延長線于 Ｅ.
　 解:畫圖略.
９.把圖中的互相平行的線?互相垂直的線寫出來:
解:互相平行的有:ＡＢ∥ＣＤ?ＥＦ∥ＧＨ?ＭＮ∥ＯＰ?
互相垂直的有:ＡＢ⊥ＧＨ?ＡＢ⊥ＥＦ?ＣＤ⊥ＥＦ?ＣＤ⊥ＧＨ.
１０.觀察如圖所示的長方體后填空:
(１)用符號表示下列兩棱的位置關(guān)系:(填“∥”或“⊥”)
Ａ１Ｂ１ 　 ∥　 ＡＢ?Ａ１Ａ　 ⊥　 ＡＢ?Ａ１Ｄ１ 　 ⊥　 Ｃ１Ｄ１?ＡＤ　 ∥　 ＢＣ?
(２)Ａ１Ｂ１ 與 ＢＣ 所在的直線是兩條不
相交的直線?它們 　 不是 　 平行線 (填
“ 是 ” 或 “ 不 是 ”)? 由 此 可 知? 在
　 同一平面　 內(nèi)?兩條不相交的直線才能
叫做平行線.
Ｂ 組　 提高鞏固
１１.在平面上畫出三條直線?它們的交點個數(shù)是 (　 Ｄ　 )
Ａ.０ 或 １ Ｂ.１ 或 ２
Ｃ.２ 或 ３ Ｄ.０ 或 １ 或 ２ 或 ３
(提示:考慮三條直線交于一點?三條直線兩兩相交但不交于一點?三
條直線中有兩條互相平行?三條直線相互平行四種情況?故易得交點
個數(shù)可能為 ０ 或 １ 或 ２ 或 ３?故選 Ｄ.)
１２.在同一平面內(nèi)有 ２０１８ 條直線 ａ１?ａ２??????ａ２０１８?如果 ａ１
⊥ａ２?ａ２∥ａ３?ａ３⊥ａ４?ａ４∥ａ５??????按此規(guī)律?那么 ａ１ 與
ａ２０１８的位置關(guān)系是　 垂直　 .
(提示:通過畫圖可知?ａ４ｎ與 ａ４ｎ＋１互相平行?ａ４ｎ＋２與 ａ４ｎ＋３互相平行?ａ４ｎ
與 ａ４ｎ＋２或 ａ４ｎ＋３互相垂直?ａ４ｎ＋１與 ａ４ｎ＋２或 ａ４ｎ＋３互相垂直.故填“垂直” .)
１３.如圖所示?在書寫藝術(shù)字時?常常運(yùn)用畫“平行線段”
這種基本作圖方法?此圖是在書寫字“Ｍ”:
(１)請從正面?上面?右側(cè)三個不同方向上各找出一
組平行線段?并用字母表示出來?
(２)ＥＦ 與 Ａ′Ｂ′有何位置關(guān)系? ＣＣ′與 ＤＨ 有何位置
關(guān)系?
(３)你能用“平行線段”法寫出一個類似的字或字母
嗎? 請試一試.
解:(１)正面:ＡＢ∥ＥＦ?ＡＥ∥ＭＦ 等等?
上面:Ａ′Ｂ′∥ＡＢ?Ｃ′Ｄ′∥ＣＤ 等等?
右側(cè):ＤＤ′∥ＨＲ?ＤＨ∥Ｄ′Ｒ.
(２)ＥＦ∥Ａ′Ｂ′?ＣＣ′⊥ＤＨ.
(３)略.
第 ５ 課　 平行線及其判定(二)
———平行線的判定
知識目標(biāo)
使學(xué)生掌握平行線的四種判定方法?并初
步運(yùn)用它們進(jìn)行簡單的推理論證.初步學(xué)
會簡單的論證和推理?認(rèn)識幾何證明的必
要性和證明過程的嚴(yán)密性.
重、難點 定理形成過程中邏輯推理及書面表達(dá).
思維目標(biāo) 邏輯推理與轉(zhuǎn)化思想.
１.平行線的判定方法 １: 兩條直線被第三條直線所截?如
果　 同位角　 相等?那么這兩條直線平行?
　 簡記為:同位角相等?兩直線平行.
　 幾何語言:
　 ∵ ∠１＝∠２(已知)
　 ∴ ａ∥ｂ(同位角相等?兩直線平行)
２.平行線的判定方法 １: 兩條直線被第
三條直線所截?如果　 內(nèi)錯角　 相等?那么這兩條直線
平行?
　 簡記為:內(nèi)錯角相等?兩直線平行.
　 幾何語言:
　 ∵ ∠４＝∠５(已知)
　 ∴ ａ∥ｂ(內(nèi)錯角相等?兩直線平行)
３.平行線的判定方法 １: 兩條直線被第三條直線所截?如
果　 同旁內(nèi)角　 互補(bǔ)?那么這兩條直線平行?
　 簡記為:同旁內(nèi)角互補(bǔ)?兩直線平行.
　 幾何語言:
　 ∵ ∠１＋∠５＝ １８０°(已知)
　 ∴ ａ∥ｂ(同旁內(nèi)角互補(bǔ)?兩直線平行)
利用判定方法簡單推理
【例 １】在同一平面內(nèi)?如果兩條直線
都垂直于同一條直線?那么這兩條
直線平行嗎? 為什么?
　 分析:發(fā)現(xiàn)∠１?∠２ 均為 ９０°?可以
考慮使用平行線的判定方法 １ 即可
得到.
　 解:這兩直線平行?理由如下:
如圖?∵ ｂ⊥ａ?ｃ⊥ａ?(已知)
∴∠１＝ ９０°?∠２＝ ９０°?(垂直定義)
∴∠１＝∠２?(等量代換)
—１１—
　 七年級(下)冊
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????????巔峰對決????數(shù)學(xué)
∴ ｂ∥ｃ.(同位角相等?兩直線平行)
思考:
　 你還能用其他方法說明 ａ∥ｂ 嗎? 請試一試.
　 答:還可利用內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)來說明 ａ∥ｂ.
歸納:
　 判斷直線平行的方法:
　 方法 １:定義:同一平面內(nèi)不相交的兩直線叫平行線?
　 方法 ２:若 ａ∥ｂ?ｂ∥ｃ?則 ａ∥ｃ?
　 方法 ３:同位角相等?兩直線平行?
　 方法 ４:內(nèi)錯角相等?兩直線平行?
　 方法 ５:同旁內(nèi)角互補(bǔ)?兩直線平行?
　 方法 ６:在同一平面內(nèi)?若 ａ⊥ｂ?ａ⊥ｃ?則 ｂ∥ｃ.
認(rèn)一認(rèn):
　 如圖?填空:
　 (１)若∠１＝∠４?得　 ＡＢ　 ∥　 ＣＤ　 ?
　 (２)若∠ＡＢＣ＋∠Ａ ＝ １８０°?得 　 ＡＤ 　
∥　 ＢＣ　 ?
　 (３)若∠２＝∠３?得　 ＡＤ　 ∥　 ＢＣ　 .
用平行線的判定方法進(jìn)行簡單推理
【例 ２】如圖?已知∠Ａ＝∠Ｄ?∠Ｂ＝∠ＦＣＢ?試問 ＥＤ 與 ＣＦ
平行嗎? 說明理由.
　 分析:先利用內(nèi)錯角相等?兩直線
平行證明 ＥＤ∥ＡＢ?ＣＦ∥ＡＢ?再根據(jù)
平行于同一條直線的兩直線平行可
證得 ＥＤ∥ＣＦ.
　 解:ＥＤ∥ＣＦ.理由是:
∵∠Ａ＝∠Ｄ (已知)
∴ＡＢ∥ＥＤ(內(nèi)錯角相等?兩直線平行)
又∵∠Ｂ＝∠ＦＣＢ(已知)?
∴ＡＢ∥ＣＦ(內(nèi)錯角相等?兩直線平行)
∴ＥＤ∥ＣＦ(平行于同一直線的兩直線平行)
１.下列圖形中?由∠１＝∠２ 能得到 ＡＢ∥ＣＤ 的是
(　 Ｂ　 )
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
２.如圖?下列說法錯誤的是 (　 Ｃ　 )
Ａ.若 ａ∥ｂ?ｂ∥ｃ?則 ａ∥ｃ
Ｂ.若∠１＝∠２?則 ａ∥ｃ
Ｃ.若∠３＝∠２?則 ｂ∥ｃ
Ｄ.若∠３＋∠５＝ １８０°?則 ａ∥ｃ
３.(１７????德州)如圖利用直尺和三角板過已知直線 ｌ 外一
點 Ｐ 作直線 ｌ 平行線的方法?其理由是　 同位角相等?兩
直線平行　 .
４.(１８????湘潭)如圖?點 Ｅ 是 ＡＤ 延長線上一點?如果添加
一個條件?使 ＢＣ∥ＡＤ?則可添加的條件為　 ∠Ｃ ＝∠ＣＤＥ
(不唯一) 　 (任意添加一個符合題意的條件即可) .
第 ２ 題
　 　
第 ３ 題
　 　
第 ４ 題
１.涉及平行線的判定一定要先找準(zhǔn)“三線八角”?
２.判定兩條直線平行的方法有六種:①平行線的定義?②
平行線的傳遞性?③平行線的判定公理?④平行線的判
定定理 １?⑤平行線的判定定理 ２?⑥平行線的判定推
論.但一般是使用中間 ４ 種方法.
Ａ 組　 夯實基礎(chǔ)
一.選擇題:
１.(１８????吉林)如圖?將木條 ａ?ｂ 與 ｃ 釘在一起?∠１ ＝
７０°?∠２＝ ５０°?要使木條 ａ 與 ｂ 平行?木條 ａ 旋轉(zhuǎn)的度
數(shù)至少是 (　 Ｂ　 )
Ａ.１０° Ｂ.２０° Ｃ.５０° Ｄ.７０°
２.(１７????邵陽)如圖所示?要在一條公路的兩側(cè)鋪設(shè)平行
管道?已知一側(cè)鋪設(shè)的角度為 １２０°?為使管道對接?另
一側(cè)鋪設(shè)的角度大小應(yīng)為 (　 Ｄ　 )
Ａ.１２０° Ｂ.１００° Ｃ.８０° Ｄ.６０°
第 １ 題
　 　 　
第 ２ 題
３.(１７????深圳)如圖?在下列條件中?不能判定直線 ａ 與 ｂ
平行的是 (　 Ｃ　 )
Ａ.∠１＝∠２ Ｂ.∠２＝∠３
Ｃ.∠３＝∠５ Ｄ.∠３＋∠４＝ １８０°
４.如圖?已知∠１＝∠２＝∠３＝∠４?則圖形中平行的是
(　 Ｄ　 )
Ａ.ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ Ｂ.ＣＤ∥ＥＦ
Ｃ.ＡＢ∥ＥＦ Ｄ.ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ?ＢＣ∥ＤＥ
第 ３ 題
　 　 　 　
第 ４ 題
—２１—
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????????巔峰對決????數(shù)學(xué) 第 ５ 章　 相交線與平行線　
二.填空題:
５.如圖?裝修工人向墻上釘木條.若∠２＝ １００°?要使木條
ｂ 與 ａ 平行?則∠１ 的度數(shù)等于　 ８０°　 .
６.如圖?點 Ｅ 在 ＡＣ 的延長線上?對于給出的四個條件:
①∠３ ＝ ∠４?②∠１ ＝ ∠２?③ ∠Ａ ＝ ∠ＤＣＥ?④ ∠Ｄ ＋
∠ＡＢＤ＝ １８０°.能判斷 ＡＢ∥ＣＤ 的有　 ３　 個.
７.如圖?在甲、乙兩地之間要修一條公路?從甲地測得公
路的走向是北偏東 ５５°.若甲、乙兩地同時開工?那么在
乙地公路走向按　 南偏西 ５５° 　 施工?才能使公路準(zhǔn)確
接通.
第 ５ 題 第 ６ 題 第 ７ 題
三.解答題:
８.如圖?若∠１＝∠４?∠１＋∠２ ＝ １８０°?則 ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ 的位
置關(guān)系如何? 并說明理由.
解:ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ?理由如下:
∵∠１＋∠２＝ １８０°?(已知)
∠３＋∠２＝ １８０°?(鄰補(bǔ)角定義)
∴∠１＝∠３?(同角的補(bǔ)角相等)
∴ＡＢ∥ＣＤ?(同位角相等?兩直線平行)
∵∠１＝∠４?(已知)
∴ＡＢ∥ＥＦ?(同位角相等?兩直線平行)
∴ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ.(平行線的傳遞性)
９.如圖?一個由 ４ 條線段構(gòu)成的“魚”形圖案?其中∠１ ＝
５０°?∠２＝ ５０°?∠３ ＝ １３０°?找出圖中的平行線?并說明
理由.
解:ＯＡ∥ＢＣ?ＯＢ∥ＡＣ.理由如下:
∵∠１＝ ５０°?∠２＝ ５０°?(已知)
∴∠１＝∠２?(等量代換)
∴ＯＢ∥ＡＣ?(同位角相等?二直線平行)
∵∠２＝ ５０°?∠３＝ １３０°?(已知)
∴∠２＋∠３＝ １８０°?(等式性質(zhì))
∴ＯＡ∥ＢＣ.(同旁內(nèi)角互補(bǔ)?二直線平行)
１０.如圖所示?ＢＥ 平分∠ＡＢＤ?ＤＥ 平分∠ＢＤＣ?∠１＋∠２＝
９０°?那么直線 ＡＢ、ＣＤ 的位置關(guān)系如何? 說明你的
理由.
解:平行.理由如下:
∵ＢＥ 平分∠ＡＢＤ?ＤＥ 平分∠ＢＤＣ?(已知)
∴∠ＡＢＤ ＝ ２∠１?∠ＢＤＣ ＝ ２∠２.(角平分線
定義)
∵∠１＋∠２＝ ９０°?(已知)
∴∠ＡＢＤ＋∠ＢＤＣ＝１８０°.
∴ＡＢ∥ＣＤ(同旁內(nèi)角互補(bǔ)?兩直線平行) .
Ｂ 組　 提高鞏固
１１.一學(xué)員在廣場上練習(xí)駕駛汽車?兩次拐彎后?行駛方向
與原來方向相同?這兩次拐彎的角度可能是 (　 Ａ　 )
Ａ.第一次向左拐 ３０°?第二次向右拐 ３０°
Ｂ.第一次向右拐 ５０°?第二次向左拐 １３０°
Ｃ.第一次向右拐 ５０°?第二次向右拐 １３０°
Ｄ.第一次向左拐 ５０°?第二次向左拐 １３０°
(提示:根據(jù)各選項畫出示意圖?依據(jù)平行線的判定方法可選得 Ａ.)
１２.直線 ａ、ｂ、ｃ 在同一平面內(nèi)?下列說法:
①如果 ａ⊥ｂ?ｂ⊥ｃ?那么 ａ∥ｃ?
②如果 ａ∥ｂ?ｂ∥ｃ?那么 ａ∥ｃ?
③如果 ａ∥ｂ?ｂ⊥ｃ?那么 ａ⊥ｃ?
④如果 ａ 與 ｂ 相交?ｂ 與 ｃ 相交?那么 ａ 與 ｃ 相交.
在上述四種說法中?正確的有　 ３　 個.
(提示:根據(jù)“同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩直線平行”及“平行線的
傳遞性”可知①②③正確?而④中 ａ、ｃ 有可能平行?故④錯?故正確的
有 ３ 個.)
１３.如圖?已知 ＡＦ 平分∠ＢＡＣ?ＤＥ 平分
∠ＢＤＦ?且∠１＝∠２.
(１)ＤＦ∥ＡＣ 嗎? 為什么?
(２)ＤＥ 與 ＡＦ 的位置關(guān)系又如何?
證明:(１)∵ＤＥ 平分∠ＢＤＦ?ＡＦ 平分∠ＢＡＣ?(已知)
∴∠ＢＤＦ＝２∠１?∠ＢＡＣ＝２∠２?(角平分線定義)
又∵∠１＝∠２?(已知)
∴∠ＢＤＦ＝∠ＢＡＣ?(等量代換)
∴ＤＦ∥ＡＣ?(同位角相等?兩直線平行)
(２)∵ＡＦ 平分∠ＢＡＣ?(已知)
∴∠ＢＡＦ＝∠２.(角平分線定義)
又∵∠１＝∠２?(已知)
∴∠１＝∠ＢＡＦ?(等量代換)
∴ＤＥ∥ＡＦ.(同位角相等?兩直線平行)
—３１—
　 七年級(下)冊
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????????巔峰對決????數(shù)學(xué)
第 ６ 課　 平行線的性質(zhì)(一)
———平行線的性質(zhì)
知識目標(biāo)
使學(xué)生理解平行線的性質(zhì)?能初步運(yùn)用平
行線的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計算.
重、難點 平行線的性質(zhì)與判定的區(qū)分與運(yùn)用.
思維目標(biāo) 分類討論與類比思想.
１.平行線的性質(zhì) １:兩條平行線被第三條直線所截?同位
角　 相等　 ?簡記:兩直線平行?同位角相等.
　 幾何語言:
　 ∵ ａ∥ｂ
　 ∴ ∠１＝∠２
２.平行線的性質(zhì) ２:兩條平行線被第三條直線所截?內(nèi)錯
角　 相等　 ?簡記:兩直線平行?內(nèi)錯角相等.
　 幾何語言:
　 ∵ ａ∥ｂ
　 ∴ ∠１＝∠２
３.平行線的性質(zhì) ３:兩條平行線被第三條直線所截?同旁
內(nèi)角　 互補(bǔ)　 ?簡記:兩直線平行?同旁內(nèi)角互補(bǔ).
　 幾何語言:
　 ∵ ａ∥ｂ
　 ∴ ∠１＋∠２＝ １８０°
利用平行線性質(zhì)計算
【例 １】如圖有一塊梯形的玻璃殘余部
分?已知量得∠Ａ＝ １００°?∠Ｂ ＝ １１５°?請你
想一想?梯形的另外兩個角各是多少度.
　 分析:因為梯形上、下底 ＡＢ、ＤＣ 互相
平行?根據(jù)“兩直線平行?同旁內(nèi)角互補(bǔ)”可得∠Ａ、∠Ｄ
互補(bǔ)?∠Ｂ、∠Ｃ 互補(bǔ)?從而得解.
　 解:∵ＡＢ∥ＤＣ
∴∠Ａ＋∠Ｄ＝１８０°?
∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°?
∵∠Ａ＝１００°?∠Ｂ＝１１５°?
∴∠Ｃ＝１８０°－１１５° ＝６５°?∠Ｄ＝１８０°－１００° ＝８０°.
利用平行線的性質(zhì)與判定說理
【例 ２】 (１７????重慶)如圖?ＡＢ∥ＣＤ?點
Ｅ 是 ＣＤ 上一點?∠ＡＥＣ ＝ ４２°?ＥＦ 平
分∠ＡＥＤ 交 ＡＢ 于點 Ｆ?求∠ＡＦＥ 的
度數(shù).
　 分析:由平角求出∠ＡＥＤ 的度數(shù)?由角平分線得出
∠ＤＥＦ 的度數(shù)?再由平行線的性質(zhì)即可求出∠ＡＦＥ 的
度數(shù).
　 解:∵∠ＡＥＣ＝４２°?
∴∠ＡＥＤ＝１８０°－∠ＡＥＣ＝１３８°?
∵ＥＦ 平分∠ＡＥＤ?
∴∠ＤＥＦ＝ １
２
∠ＡＥＤ＝６９°?
又∵ＡＢ∥ＣＤ?
∴∠ＡＦＥ＝∠ＤＥＦ＝６９°.
作輔助線運(yùn)用平行線的性質(zhì)(一)
【例 ３】如圖?若直線 ＡＢ∥ＥＤ?你能推
得∠Ｂ、∠Ｃ、∠Ｄ 之間的數(shù)量關(guān)系嗎?
請說明理由.
　 分析:過點 Ｃ 作 ＣＦ∥ＡＢ?根據(jù)平行
于同一條直線的兩直線平行?可得 ＥＤ∥ＣＦ?再根據(jù)兩直
線平行?同旁內(nèi)角互補(bǔ)?可得∠１＋∠Ｄ ＝ １８０°?由∠１ ＝
∠ＢＣＤ－∠２＝∠ＢＣＤ－∠Ｂ?即可得到結(jié)果.
　 解:∠Ｃ＋∠Ｄ－∠Ｂ＝１８０°.理由如下:
如圖?過點 Ｃ 作 ＣＦ∥ＡＢ?
∴∠Ｂ＝∠２(兩直線平行?內(nèi)錯角相等) .
∵ＡＢ∥ＥＤ?ＣＦ∥ＡＢ?
∴ＥＤ∥ＣＦ(平行于同一條直線的兩直線平行).
∴∠１＋∠Ｄ＝１８０°(兩直線平行?同旁內(nèi)角互補(bǔ)).
而∠１＝∠ＢＣＤ－∠２＝∠ＢＣＤ－∠Ｂ?
∴∠ＢＣＤ－∠Ｂ＋∠Ｄ＝１８０°?
即∠ＢＣＤ＋∠Ｄ－∠Ｂ＝１８０°.
注意:
　 過關(guān)鍵點做已知直線的平行線是本章常用輔助線!
當(dāng)角的關(guān)系不易轉(zhuǎn)化時?要想到作平行線.
作輔助線運(yùn)用平行線的性質(zhì)(二)
【例 ４】選擇題:
　 (１)如圖?直線 ａ∥ｂ?直角三角形 ＡＢＣ 的頂點 Ｂ 在直
線 ａ 上?∠Ｃ＝ ９０°?∠β＝ ５５°?則∠α 的度數(shù)為 (　 　 )
　 Ａ.１５° Ｂ.２５° Ｃ.３５° Ｄ.５５°
　 (２)已知?ＡＣ∥ＥＤ?∠Ｃ ＝ ２６°?∠ＣＢＥ ＝ ３７°?則∠ＢＥＤ
的度數(shù)是 (　 　 )
　 Ａ.５３° Ｂ.　 ６３° Ｃ.　 ７３° Ｄ.　 ８３°
第(１)題
　 　 　 　
第(２)題
　 分析:(１)先過點 Ｃ 作 ＣＥ∥ａ?可得 ＣＥ∥ａ∥ｂ?然后根
據(jù)兩直線平行?內(nèi)錯角相等?即可求得答案?(２)過 Ｂ 作
ＢＦ∥ＡＣ?則由平行線性質(zhì)可得∠Ｃ ＝ ∠ＣＢＦ?∠ＡＢＦ ＝
—４１—
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????????巔峰對決????數(shù)學(xué) 第 ５ 章　 相交線與平行線　
∠ＥＡＣ＝∠ＢＥＤ?從而易得答案.
　 解:(１)過點 Ｃ 作 ＣＥ∥ａ?
∵ ａ∥ｂ?∴ＣＥ∥ａ∥ｂ?
∴∠ＢＣＥ＝∠α?∠ＡＣＥ＝∠β＝５５°?
∵∠Ｃ＝９０°?
∴∠α＝∠ＢＣＥ＝∠ＡＢＣ－∠ＡＣＥ＝３５°.
故選 Ｃ.
(２)解:作 ＢＦ∥ＡＣ?
∴∠ＣＢＦ＝∠Ｃ＝２６°?
∠ＥＡＣ＝∠ＡＢＦ＝∠ＣＢＦ＋∠ＣＢＥ＝６３°?
∵ＡＣ∥ＥＤ?∴ＢＦ∥ＥＤ?
∴∠ＢＥＤ＝∠ＣＡＥ＝６３°.
∴∠ＢＥＤ＝∠ＣＡＥ＝６３°.
故選 Ｂ
１.(１８????陜西)如圖?若 ｌ１∥ｌ２?ｌ３∥ｌ４?則圖中與∠１ 互補(bǔ)
的角有 (　 Ｄ　 )
Ａ.１ 個 Ｂ.２ 個 Ｃ.３ 個 Ｄ.４ 個
２.(１８????淮安)如圖?三角板的直角頂點落在矩形紙片的
一邊上.若∠１＝ ３５°?則∠２ 的度數(shù)是 (　 Ｃ　 )
Ａ.３５° Ｂ.４５° Ｃ.５５° Ｄ.６５°
第 １ 題
　 　 　 　
第 ２ 題
３.(１８????杭州)如圖?直線 ａ∥ｂ?直線 ｃ 與直線 ａ?ｂ 分別交
于點 Ａ?Ｂ.若∠１＝ ４５°?則∠２＝ 　 １３５°　 .
４.(１８????廣安)一大門欄桿的平面示意圖如圖所示?ＢＡ
垂直地面 ＡＥ 于點 Ａ?ＣＤ 平行于地面 ＡＥ?若∠ＢＣＤ ＝
１５０°?則∠ＡＢＣ＝ 　 １２０　 度.
第 ３ 題
　 　 　 　
第 ４ 題
１.平行線的三個性質(zhì)要記清?
２.直線平行的性質(zhì)與直線平行的判定的區(qū)別.
　 (１)判定與性質(zhì)的條件與結(jié)論有什么關(guān)系?
　 (２)使用判定時是已知角的相互關(guān)系?得到兩線平行?
使用性質(zhì)時是已知兩直線平行?得到角的相互關(guān)系?
３.幾何中的計算往往要說理?要熟悉幾何里計算題的格
式?學(xué)會合情說理.
Ａ 組　 夯實基礎(chǔ)
一.選擇題:
１.(１８????濱州)如圖?直線 ＡＢ∥ＣＤ?則下列結(jié)論正確的是
(　 Ｄ　 )
Ａ.∠１＝∠２ Ｂ.∠３＝∠４
Ｃ.∠１＋∠３＝ １８０° Ｄ.∠３＋∠４＝ １８０°
２.(１８????湖北)如圖?ＡＤ∥ＢＣ?∠Ｃ ＝ ３０°?∠ＡＤＢ ∶ ∠ＢＤＣ
＝ １ ∶ ２?則∠ＤＢＣ 的度數(shù)是 (　 Ｄ　 )
Ａ.３０° Ｂ.３６° Ｃ.４５° Ｄ.５０°
第 １ 題
　 　 　 　
第 ２ 題
３.(１８????聊城)如圖?直線 ＡＢ∥ＥＦ?點 Ｃ 是直線 ＡＢ 上一
點?點 Ｄ 是直線 ＡＢ 外一點?若∠ＢＣＤ ＝ ９５°?∠ＣＤＥ ＝
２５°?則∠ＤＥＦ 的度數(shù)是 (　 Ｃ　 )
Ａ.１１０° Ｂ.１１５° Ｃ.１２０° Ｄ.１２５°
４.(１７????濰坊)如圖?∠ＢＣＤ ＝ ９０°?ＡＢ∥ＤＥ?則∠α 與∠β
滿足 (　 Ｂ　 )
Ａ.∠α＋∠β＝ １８０° Ｂ.∠β－∠α＝ ９０°
Ｃ.∠β＝ ３∠α Ｄ.∠α＋∠β＝ ９０°
第 ３ 題
　 　 　 　
第 ４ 題
二.填空題:
５.(１８????湘西州)如圖?ＤＡ⊥ＣＥ 于點 Ａ?ＣＤ∥ＡＢ?∠１ ＝
３０°?則∠Ｄ＝ 　 ６０°　 .
６.(１８????青海)如圖?直線 ＡＢ∥ＣＤ?直線 ＥＦ 與 ＡＢ、ＣＤ 相
交于點 Ｅ、Ｆ?∠ＢＥＦ 的平分線 ＥＮ 與 ＣＤ 相交于點 Ｎ.若
∠１＝ ６５°?則∠２＝ 　 ５０°　 .
７.(１７????威海)如圖?直線 ｌ１∥ｌ２?∠１ ＝ ２０°?則∠２＋∠３ ＝
　 ２００°　 .
第 ５ 題 第 ６ 題 第 ７ 題
三.解答題:
８.填空:
　 (１)如圖?點 Ｄ、Ｅ、Ｆ 分別是 ＢＣ、ＡＢ、ＡＣ 邊上的點.
—５１—
　 七年級(下)冊
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????????巔峰對決????數(shù)學(xué)
　 ①∵ ＡＣ∥ＥＤ?
　 ∴ ∠１＝ 　 ∠Ｃ　 . (　 兩直線平行?同位角相等　 )
　 ②∵ ＡＢ∥　 ＤＦ　 ?
　 ∴ ∠Ｂ＝ 　 ∠３　 .(　 兩直線平行?同位角相等　 )
　 ③∵ 　 ＡＢ　 ∥　 ＤＦ　 ?
　 ∴ ∠２＝∠４?(　 兩直線平行?內(nèi)錯角相等　 )
　 ④∵ 　 ＡＣ　 ∥　 ＤＥ　 ?
　 ∴ ∠２＋∠５＝ １８０°?(　 兩直線平行?同旁內(nèi)角互補(bǔ)　 )
　 (２)如圖?已知:∠１＝∠２?ＡＥ∥ＢＣ. 求證:∠Ｂ＝∠Ｃ.
　 證明:∵ ＡＥ∥ＢＣ(　 已知　 )
　 ∴ ∠Ｂ ＝　 ∠１　 (　 兩直線平行?同位角相等　 )
　 ∠Ｃ ＝　 ∠２　 (　 兩直線平行?內(nèi)錯角相等　 )
　 又∵ ∠１＝∠２(　 已知　 )
　 ∴ ∠Ｂ＝∠Ｃ(　 等量代換　 )
９.推理題:
　 (１)如圖?直線 ＡＤ 與 ＡＢ、ＣＤ 相交于 Ａ、Ｄ 兩點?ＥＣ、ＢＦ
與 ＡＢ、ＣＤ 相交于 Ｅ、Ｃ、Ｂ、Ｆ?如果∠１＝∠２?∠Ｂ＝∠Ｃ.
　 求證:∠Ａ＝∠Ｄ.
　 證明:∵∠１＝∠２(已知)?
∠２＝∠ＢＧＡ(對頂角相等)?
∴∠１＝∠ＢＧＡ(等量代換) .
∴ＣＥ∥ＢＦ(同位角相等?兩直線平行) .
∴∠Ｂ＋∠ＢＥＣ＝１８０°(兩直線平行?同旁內(nèi)角互補(bǔ)) .
又∵∠Ｂ＝∠Ｃ?∴∠Ｃ＋∠ＢＥＣ＝１８０°(等量代換) .
∴ＡＢ∥ＣＤ(同旁內(nèi)角互補(bǔ)?兩直線平行)
∴∠Ａ＝∠Ｄ(兩直線平行?內(nèi)錯角相等) .
　 (２)如圖所示?已知 ＢＤ⊥ＡＣ?ＥＦ⊥ＡＣ?點 Ｄ、Ｆ 分別為
垂足?且∠１＝∠４?試說明∠ＡＤＧ＝∠Ｃ.
　 解:∵ＢＤ⊥ＡＣ?ＥＦ⊥ＡＣ?(已知)
∴∠２＝∠３＝ ９０°?(垂直定義)
∴ＢＤ∥ＥＦ(同位角相等?二直線平行)?
∴∠４＝∠ＤＢＣ(二直線平行?同位角相等)
∵∠１＝∠４?(已知)
∴∠１＝∠ＤＢＣ(等量代換)
∴ＤＧ∥ＢＣ?(內(nèi)錯角相等?二直線平行)
∴∠ＡＤＧ＝∠Ｃ.(二直線平行?同位角相等)
　 (３)如圖?已知 ＡＢ∥ＣＤ?∠１ ＝∠２?
試探索∠ＢＥＦ 與∠ＥＦＣ 之間的關(guān)系?
并說明理由.
　 解:∠ＢＥＦ＝∠ＥＦＣ.理由如下:
如圖?延長 ＢＥ 交 ＤＣ 的反向延長線于點 Ｇ.
∵ＡＢ∥ＣＤ(已知)?
∴∠１＝∠Ｇ(兩直線平行?內(nèi)錯角相等) .
∵∠１＝∠２(已知)?
∴∠２＝∠Ｇ(等量代換)?
∴ＢＥ∥ＦＣ(同位角相等?二直線平行) .
∴∠ＢＥＦ＝∠ＥＦＣ(兩直線平行?內(nèi)錯角相等).
另法:也可連接 ＢＣ?易證∠ＥＢＣ＝∠ＦＣＢ?從而得 ＢＥ∥ＣＦ.
１０.已知:ＢＦ?ＤＥ 分別平分∠ＡＢＣ 和∠ＡＤＣ?∠１ ＝ ∠２?
∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣ?由此可推得圖中哪些線段平行? 并
寫出你的推理過程.
解:可得:ＤＥ∥ＢＦ?ＡＤ∥ＢＣ?ＤＣ∥ＡＢ?理
由如下:
∵∠１＝∠２?∴ＤＥ∥ＢＦ?
又∵ＢＦ?ＤＥ是∠ＡＢＣ和∠ＡＤＣ角平分線?
∴∠ＡＤＥ＝∠ＥＤＣ?∠１＝∠ＣＢＦ?
又∵∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣ?
∴∠ＡＤＥ＝∠ＥＤＣ＝∠１＝∠ＣＢＦ?
∴∠２＝∠ＥＤＣ?∴ＤＣ∥ＡＢ?
∴∠ＡＤＣ＋∠Ａ＝１８０°?
∴∠ＡＢＣ＋∠Ａ＝１８０°?
∴ＡＤ∥ＢＣ.
Ｂ 組　 提高鞏固
１１.如圖?∠ＡＯＢ 的一邊 ＯＡ 為平面鏡?∠ＡＯＢ＝ ３７°３６′?在
ＯＢ 上有一點 Ｅ?從 Ｅ 點射出一束光線經(jīng) ＯＡ 上一點 Ｄ
反射?反射光線 ＤＣ 恰好與 ＯＢ 平行?則∠ＤＥＢ 的度數(shù)
是 (　 Ｂ　 )
Ａ.７５°３６′ Ｂ.７５°１２′ Ｃ.７４°３６′ Ｄ.７４°１２′
(提示:由 ＤＣ∥ＯＢ?得∠ＡＤＣ＝∠ＡＯＢ＝ ３７°３６′?由光線反射性質(zhì)可知
∠ＯＤＥ＝∠ＡＤＣ＝３７°３６′?故∠ＥＤＣ＝１８０°－２×３７°３６′＝ １０４°４８′?而 ＤＣ
∥ＯＢ?故∠ＥＤＣ＋∠ＤＥＢ＝１８０°?故∠ＤＥＢ＝７５°１２′?故選 Ｂ.)
１２.如圖折疊一張矩形紙片?已知∠１＝ ７０°?則∠２ 的度數(shù)
是　 ５５°　 .
(提示:根據(jù)折疊得出∠ＥＦＧ ＝∠２?∵
∠１ ＝ ７０°?∴ ∠ＢＥＦ ＝∠１ ＝ ７０°?∵ ＡＢ
∥ ＤＣ? ∴ ∠ＥＦＣ ＝ １８０° － ∠ＢＥＦ ＝
１１０°?∴∠２＝∠ＥＦＧ＝∠ＥＦＣ＝ ５５°?故
填 ５５°.)
第 １１ 題
　 　 　 　
第 １２ 題
—６１—
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????????巔峰對決????數(shù)學(xué) 第 ５ 章　 相交線與平行線　
１３.探究與發(fā)現(xiàn):
(１)如圖 ａ?若 ＡＢ∥ＣＤ?則∠Ｂ＋∠Ｄ＝∠ＢＥＤ?你能說
明為什么嗎?
(２)反之?如圖 ａ?若∠Ｂ＋∠Ｄ ＝ ∠ＢＥＤ?直線 ＡＢ 與
ＣＤ 有什么位置關(guān)系? 請證明?
(３) 若將點 Ｅ 移至圖 ｂ 所示位置?此時∠Ｂ、∠Ｄ、
∠ＢＥＤ 之間有什么關(guān)系? 請證明?
(４)若將 Ｅ 點移至圖 ｃ 所示位置?情況又如何?
(５)在圖 ｄ 中?ＡＢ∥ＣＤ?∠Ｅ＋∠Ｇ 與∠Ｂ＋∠Ｆ＋∠Ｄ
又有何關(guān)系?
(６)在圖 ｅ 中?若 ＡＢ∥ＣＤ?又得到什么結(jié)論?
解:(１)過 Ｅ 作 ＥＦ∥ＡＢ?
則∠Ｂ＝∠ＢＥＦ?∵ＡＢ∥ＣＤ?
∴ＥＦ∥ＣＤ?∴∠Ｄ＝∠ＤＥＦ?
∴∠ＢＥＤ＝∠ＢＥＦ＋∠ＤＥＦ＝∠Ｂ＋∠Ｄ.
(２)若∠Ｂ＋∠Ｄ＝∠ＢＥＤ?由 ＥＦ∥ＡＢ?
∴∠Ｂ＝∠ＢＥＦ?
∵∠ＢＥＤ＝∠ＢＥＦ＋∠ＤＥＦ＝∠Ｂ＋∠Ｄ?
∴∠Ｄ＝∠ＤＥＦ?
∴ＥＦ∥ＣＤ?∴ＡＢ∥ＣＤ?
(３)若將點 Ｅ 移至圖 ｂ 所示位置?過 Ｅ 作 ＥＦ
∥ＡＢ?
∴∠ＢＥＦ＋∠Ｂ＝１８０°?
∵ＥＦ∥ＣＤ?
∴∠Ｄ＋∠ＤＥＦ＝１８０°?
∠ＢＥＤ＋∠Ｂ＋∠Ｄ＝３６０°?
(４)∠Ｄ＋∠Ｅ＝∠Ｂ?
(５)∠Ｅ＋∠Ｇ＝∠Ｂ＋∠Ｆ＋∠Ｄ?
(６)∠Ｅ１＋∠Ｅ２＋????＋∠Ｅｎ ＝∠Ｂ＋∠Ｆ１＋∠Ｆ２＋????＋∠Ｆｎ－１＋∠Ｄ.
第 ７ 課　 平行線的性質(zhì)(二)
———命題、定理、證明
知識目標(biāo)
掌握命題的概念?并能分清命題的組成部
分.經(jīng)歷判斷命題真假的過程?對命題的
真假有一個初步的了解.對證明能寫出簡
單的推理過程.
重、難點 命題的條件與結(jié)論區(qū)分及證明過程.
思維目標(biāo) 邏輯推理思維能力的培養(yǎng).
１.對某一件事情作出　 判斷　 的語句?叫做　 命題　 .
２.命題由　 題設(shè)　 和 　 結(jié)論　 兩部分組成. 　 題設(shè) 　 是已
知事項?　 結(jié)論　 是由已知事項推出(或推不出)的事
項.如果題設(shè)成立?那么結(jié)論一定成立?這樣的命題叫
做　 真命題　 ? 由題設(shè)成立?不能保證結(jié)論一定成立?
這樣的命題叫做　 假命題　 .
　 命題常可以寫成“如果?????????那么????????”的形式.“如果”
后接的部分
?????
是　 題設(shè)　 ?“那么”后接的的部分
??????
是　 結(jié)論　 .
３.一些命題是從公理或其他真命題出發(fā)?用邏輯推理的
方法判斷得到的真命題叫做　 定理　 .
４.對命題的正確性需要經(jīng)過推理?才能作出判斷?這個推
理過程叫做　 證明　 .
命題的認(rèn)識
【例 １】下列語句中?哪些是命題?哪些不是命題?
　 ①兩直線平行?同位角相等?
　 ②正數(shù)大于負(fù)數(shù)?
　 ③同角的余角相等?
　 ④兩直線平行?同旁內(nèi)角相等?
　 ⑤對頂角相等?
　 ⑥在直線 ＡＢ 上任取一點 Ｃ?
　 ⑦明天會下雨嗎?
　 ⑧不許大聲說話?
　 ⑨相等的角都是直角?
　 ⑩同旁內(nèi)角互補(bǔ).
　 分析:首先看是不是完整的語句?再看這語句能否用
來判斷一件事情.
　 解:①②③④⑤⑨⑩是命題?⑥⑦⑧不是命題
歸納:
　 ①命題是句子?而且必須是能判斷正確和錯誤的句子.
如對“兩直線相交”這個句子?我們無法判斷它是正確的
—７１—
　 七年級(下)冊
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????????巔峰對決????數(shù)學(xué)
還是錯誤的?因而它不是命題.
　 ②錯誤的命題也是命題.如?“相等的角是對頂角”這
個句子?我們可以判斷它是錯誤的?因而是命題?而且是
假命題.
　 ③作圖步驟及疑問句不是命題.如“同位角相等嗎?”
未作出判斷?不是命題.
命題的題設(shè)、結(jié)論及其真假的判斷
【例 ２】下列各命題的題設(shè)是什么? 結(jié)論是什么? 并指
明命題中哪些是正確的? 哪些是不正確的? 你怎么知
道它們是不正確的?
　 (１)如果兩個角相等?那么它們是對頂角?
　 (２)如果 ａ>ｂ?ｂ>ｃ?那么 ａ＝ ｃ?
　 (３)末位數(shù)是 ５ 的整數(shù)能被 ５ 整除.
　 解:(１)題設(shè):兩個角相等?結(jié)論:它們是對頂角.
(２)題設(shè):ａ>ｂ?ｂ>ｃ?結(jié)論:ａ＝ｃ.
(３)題設(shè):一個整數(shù)的末位數(shù)是 ５?結(jié)論:這個數(shù)能被 ５ 整除.
其中第三個命題是正確的.第一個、第二個命題是不正確的.對于第
一個與第二個命題可以通過如下反例來說明:第一個命題中如果兩
個角是等腰三角形的兩個底角?它們也相等?但不是對頂角?第二個
命題中的 ａ 取 ６?ｂ 取 ３?ｃ 取 ２?這樣可知:ａ 與 ｃ 是不相等的.所以第
二個命題是不正確的.
注意:
　 要說明一個命題是假命題?只要舉出反例就可以?而
要說明一個命題是真命題?必須把所有的情況加以驗證.
改寫命題的形式
【例 ３】把下列命題寫成“如果?????????那么????????”的形式.
　 (１)兩直線平行?同位角相等?
　 (２)垂直于同一條直線的兩直線平行?
　 (３)經(jīng)過兩點有且只有一條直線?
　 (４)同角的余角相等?
　 (５)直角都相等.
　 分析:記住“如果后接題設(shè)?那么后接結(jié)論”?分清題設(shè)
與結(jié)論即可?注意有些時候需加一些“修飾性”語言.
　 解:(１)如果兩條平行線被第三條直線所截?那么同位角相等?
(２)如果兩條直線都和第三條直線垂直?那么這兩條直線互相平行?
(３)如果有兩個點?那么經(jīng)過這兩個點的直線有且只有一條?
(４)如果兩個角是同一個角的余角?那么這兩個角相等?
(５)如果兩(幾)個角都是直角?那么這兩(幾)個角相等.
會進(jìn)行邏輯推理對命題證明
【例 ４】如圖?已知直線 ｂ∥ｃ?ａ⊥ｂ.求證:ａ⊥ｃ.
　 分析:由 ａ⊥ｂ 可得∠１ 為 ９０°?由 ｂ∥ｃ
可得∠１＝∠２?從而得到∠２＝ ９０°?由垂
直定義得 ａ⊥ｃ.
　 證明:∵ ａ⊥ｂ(已知)
∴∠１＝ ９０°(垂直定義)
又 ｂ∥ｃ(已知)
∴∠１＝∠２(兩直線平行?同位角相等)
∴∠１＝∠２＝ ９０°(等量代換)
∴ ａ⊥ｃ(垂直定義)
歸納:
　 證明中的每一步推理都要有根據(jù)?不能“想當(dāng)然” .這
些根據(jù)可以是已知條件(圖形或文字)?也可以是學(xué)過的
定義、基本事實、定理.
１.下列語句是命題的個數(shù)為 (　 Ｂ　 )
①畫∠ＡＯＢ 的平分線?②直角都相等?③同旁內(nèi)角互補(bǔ)
嗎? ④若│ａ│＝３?則 ａ＝ ３.
Ａ.１ 個 Ｂ.２ 個 Ｃ.３ 個 Ｄ.４ 個
２.下列說法正確的是 (　 Ｄ　 )
Ａ.互補(bǔ)的兩個角是鄰補(bǔ)角
Ｂ.兩直線平行?同旁內(nèi)角相等
Ｃ.“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”不是命題
Ｄ.“相等的兩個角是對頂角”是假命題
３.命題“對頂角相等”的題設(shè)是　 兩個角是對頂角　 .
４.下列 ５ 個命題:①兩個銳角之和一定是鈍角?②直角小
于平角?③同位角相等?兩直線平行?④內(nèi)錯角互補(bǔ)?兩
直線平行?⑤如果 ａ<ｂ?ｂ<ｃ?那么 ａ<ｃ.其中真命題的是
　 ②③⑤　 .
１.要理解命題的定義?會正確判斷一句話是否是命題?
２.在分析命題的結(jié)構(gòu)時要理清題設(shè)與結(jié)論兩部分?要注
意命題有真假之分?
３.對證明題進(jìn)行說理時要注意運(yùn)用圖形已知?如對頂角?
鄰補(bǔ)角等特殊的圖形條件.另外?推理時要注意步步有
據(jù)?前后要有因果關(guān)系.
Ａ 組　 夯實基礎(chǔ)
一.選擇題:
１.(１７????無錫)對于命題“若 ａ２>ｂ２?則 ａ>ｂ”?下面四組關(guān)
于 ａ?ｂ 的值中?能說明這個命題是假命題的是
(　 Ｂ　 )
Ａ.ａ＝ ３?ｂ＝ ２ Ｂ.ａ＝ －３?ｂ＝ ２
Ｃ.ａ＝ ３?ｂ＝ －１ Ｄ.ａ＝ －１?ｂ＝ ３
２.下列命題中真命題是 (　 Ｃ　 )
Ａ.兩個銳角之和為鈍角 Ｂ.兩個銳角之和為銳角
Ｃ.鈍角大于它的補(bǔ)角 Ｄ.銳角小于它的余角
３.(１８????棗莊)已知直線 ｍ∥ｎ?將一塊含 ３０°角的直角三
角板 ＡＢＣ 按如圖方式放置(∠ＡＢＣ＝ ３０°)?其中 Ａ?Ｂ 兩
—８１—
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???? ????
????????巔峰對決????數(shù)學(xué) 第 ５ 章　 相交線與平行線　
點分別落在直線 ｍ?ｎ 上?若∠１＝ ２０°?則∠２ 的度數(shù)為
(　 Ｄ　 )
Ａ.２０° Ｂ.３０° Ｃ.４５° Ｄ.５０°
４.(１８????達(dá)州)如圖?ＡＢ∥ＣＤ?∠１ ＝ ４５°?∠３ ＝ ８０°?則∠２
的度數(shù)為 (　 Ｂ　 )
Ａ.３０° Ｂ.３５° Ｃ.４０° Ｄ.４５°
第 ３ 題
　 　 　 　
第 ４ 題
二.填空題:
５.命題“若 ａ≠ｂ?則 ａ２≠ｂ２”的題設(shè)是　 ａ≠ｂ　 ?結(jié)論是　
ａ２≠ｂ２ 　 .
６.兩條平行線被第三條直線所截?則一組同旁內(nèi)角的平
分線的位置關(guān)系是　 垂直　 .
７.有下列四個命題:
①相等的角是對頂角?
②兩條直線被第三直線所截?同位角相等?
③兩直線平行?同旁內(nèi)角互補(bǔ)?
④垂直于同一直線的兩直線互相平行.
請把你認(rèn)為正確的命題的序號填在橫線上:　 ③　 .
三.解答題:
８.觀察下面幾個句子是否是命題?是否是真命題?如果是
假命題?請舉出反例.
① 如果 ａ∥ｂ?ｂ∥ｃ?那么 ａ∥ｃ?
② 畫線段 ＡＢ＝ ３ｃｍ?
③ 直角都相等?
④ 兩條直線相交?有幾個交點?
⑤ 相等的角都是直角?
⑥ 如果兩個角不相等?那么這兩個角不是對頂角.
　 解:①是命題?是真命題?②不是命題?
③是命題?是真命題?④不是命題?
⑤是命題?是假命題?反例:∠Ａ＝∠Ｂ＝６０°.
⑥是命題?是真命題.
９.已知?如圖?點 Ｅ 是 ＢＣ 延長線上一點?ＡＥ 交 ＣＤ 于點
Ｆ?ＡＢ∥ＣＤ?∠１＝∠２?∠３＝∠４.
求證:ＡＤ∥ＢＥ.
證明:∵ＡＢ∥ＣＤ(已知)
∴∠４＝ ∠ＢＡＥ(兩直線平行?同位角相等)
∵∠３＝∠４(已知)
∴∠３＝ ∠ＢＡＥ (等量代換)
∵∠１＝∠２(已知)
∴∠１＋∠ＣＡＦ＝∠２＋∠ＣＡＦ(等式性質(zhì))
即∠ ＢＡＥ ＝∠ ＤＡＣ
∴∠３＝∠ ＤＡＣ (等量代換)
∴ＡＤ∥ＢＥ(內(nèi)錯角相等?兩直線平行)
１０. 如 圖? ＥＦ ⊥ ＧＦ 于 Ｆ. ∠ＡＥＦ ＝
１５０°?∠ＤＧＦ＝ ６０°?試判斷 ＡＢ 和
ＣＤ 的位置關(guān)系?并說明理由!
解:ＡＢ∥ＣＤ.證明如下:
作 ＦＨ∥ＡＢ?
∴∠ＡＥＦ＋∠ＥＦＨ＝１８０°.
∵∠ＡＥＦ＝１５０?
∴∠ＥＦＨ＝３０°.
又∵ＥＦ⊥ＧＦ?
∴∠ＨＦＧ＝９０°－３０° ＝６０°.
又∵∠ＤＧＦ＝６０°?
∴∠ＨＦＧ＝∠ＤＧＦ.
∴ＦＨ∥ＣＤ?
∴ＡＢ∥ＣＤ.
Ｂ 組　 提高鞏固
１１.若∠１ 和∠２ 是直線 ＡＢ、ＣＤ 被直線 ＥＦ 所截而成的內(nèi)
錯角?則∠１ 和∠２ 的關(guān)系是 (　 Ｄ　 )
Ａ.∠１＝∠２ Ｂ.∠１>∠２
Ｃ.∠１<∠２ Ｄ.以上三種均有可能
(提示:注意只有當(dāng) ＡＢ、ＣＤ 平行時∠１ ＝∠２?而題中并末說明 ＡＢ、ＣＤ
的位置關(guān)系?故選 Ｄ.)
１２.如圖?從①:∠１ ＝ ∠２?②:∠Ｃ ＝ ∠Ｄ?
③:∠Ａ＝∠Ｆ.三個條件中選出兩個作
為已知條件?另一個作為結(jié)論所組成
的命題中?正確命題的個數(shù)　 ３　 個.
(提示:直接利用平行線的判定與性質(zhì)分別判斷可得正確命題有 ３ 個?
故填 ３.)
１３.如圖?已知 ａ∥ｂ?ｃ∥ｄ?∠１ ＝ １００°?求∠２?∠３?∠４ 的
度數(shù).
(１)在這個解題過程中包含著這樣一個規(guī)律:如果一
個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊?那么這兩個角
　 　 　 　 .
(２)如果兩個角的兩邊分別平行?其中一個角比另一
角大 ２０°?那么這兩個角分別是　 　 　 　 和　 　 　 　 .
(３)如果兩個角的兩邊分別平行?其中一個角比另一
角的 ３ 倍少 ２０°?那么這兩個角的度數(shù)分別是　 　 　 　 　 .
解:∵ ａ∥ｂ?∴∠１＝∠２＝ １００°.
∵ ｃ∥ｄ?∴∠２＝∠３＝ １００°.
∵∠３＋∠４＝ １８０°?∴∠４＝ １８０°－１００° ＝８０°.
(１)相等或互補(bǔ)
(２)１００°?８０°
(３)１０°?１０°或 ５０°?１３０°
—９１—
　 七年級(下)冊
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????????巔峰對決????數(shù)學(xué)
第 ８ 課　 平移
知識目標(biāo)
了解平移的概念?會進(jìn)行點的平移?理解
平移的性質(zhì)?能解決簡單的平移問題.
重、難點 平移的特征及平移的畫法.
思維目標(biāo) 圖形變化(換)思想.
１.平移定義:在平面內(nèi)?將一個圖形沿某一直線方向　 移
動　 一定的距離?這樣的圖形運(yùn)動稱為　 平移　 .
注意:
　 ①圖形的平移是由　 方向　 和　 距離　 決定的?
　 ②平移的方向不一定水平?可以是任意方向.
２.平移的特征:
　 ①把一個圖形整體沿某一直線方向移動?會得到一個新
的圖形?新圖形與原圖形的　 形狀　 和　 大小　 完全相同?
　 ②新圖形中的每一個點?都是由原圖形中的某一點移
動后得到的?這兩個點是對應(yīng)點?連接各組對應(yīng)點的線
段　 平行　 (或　 在同一條直線上　 )且　 相等　 .
平移圖形的識別
【例 １】選擇題:
　 (１)在下列四個汽車標(biāo)志圖案中?能用平移變換來分
析其形成過程的圖案是 (　 　 )
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
　 (２)下面各組中的兩個圖形?把一個圖形經(jīng)過平移后?
可以和另一個圖形重合的是 (　 　 )
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
　 (３)如圖?把邊長為 ２ 的正方形的局部進(jìn)行圖①~ 圖
④的變換?拼成圖⑤?則圖⑤的面積是 (　 　 )
　 Ａ.１８ Ｂ.１６ Ｃ.１２ Ｄ.８
　 分析:(１)(２)根據(jù)平移的特征即可選出?(３)由平移
的特征知最后的圖案實際是 ４ 個邊長為 ２ 的正方形組
成?故不難選出.
　 解:(１)Ｄ?(２)Ｄ?(３)Ｂ.
按要求作出平移后的圖形
【例 ２】 如圖?經(jīng)過平移?三角形
ＡＢＣ 的邊 ＡＢ 移到了 ＥＦ?作出平
移后的三角形.
　 分析:連接 ＡＥ、ＢＦ?因為平移時
對應(yīng)點的連線段平行且相等?故作 ＣＧ∥ＢＦ 且 ＣＧ ＝ ＢＦ?
得到 Ｇ 點?則三角形 ＥＦＧ 為所作平移后三角形.
　 解:如下圖所示.
思考:
　 若只給出點 Ａ 的對應(yīng)點 Ｅ 呢? 能否作出?
歸納:
　 作出平移后的圖形只需要兩個要素:平移方向?平移
距離.
平移思想的應(yīng)用
【例 ３】填空題:
第(１)題
　 (１)如圖?要在一塊長方形耕地中修
筑同樣寬的兩條 “之” 字形路?路寬
２ｍ?則剩余耕地的面積為　 　 　 　 ｍ２ .
　 (２)某商場重新裝修后?準(zhǔn)備在大廳
的主樓梯上鋪設(shè)一種紅色的地毯?已知這種地毯的批發(fā)
價為每平方米 ４０ 元?已知主樓梯道的寬為 ３ 米?其側(cè)面
如圖所示?則買地毯至少需要　 　 　 　 元.
　 (３)如圖?把三角板的斜邊緊靠直尺平移?一個頂點從
刻度“５”平移到刻度“１０”?則頂點 Ｃ 平移的距離 ＣＣ′ ＝
　 　 　 　 .
第(２)題
　 　 　
第(３)題
　 分析:(１)通過平移可將“之”字形路平移到長方形的
邊上?從而計算剩下的長方形面積即可?(２)由圖示?可
知地毯的長度為(２.８＋５.６)米?從而易得購買地毯需(２.８
＋５.６)×３×４０＝ １００８ 元?(３)由平移性質(zhì)知對應(yīng)點連線段
平行且相等?故 ＣＣ′＝ １０－５＝ ５.
　 解:(１)５４０?(２)１００８?(３)５.
—０２—
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????????巔峰對決????數(shù)學(xué) 第 ５ 章　 相交線與平行線　
１.如圖?直角三角形 ＡＢＣ(∠ＡＢＣ ＝ ９０°)沿直角邊 ＢＣ 所
在的直線向右平移得到三角形 ＤＥＦ?下列結(jié)論中錯誤
的是 (　 Ｄ　 )
Ａ.ＢＥ＝ＣＦ Ｂ.∠ＤＥＦ＝ ９０°
Ｃ.ＡＣ＝ＤＦ Ｄ.ＥＣ＝ＣＦ
２.如圖?將三角形 ＡＢＣ 沿 ＢＣ 方向平移 ２ｃｍ 得到三角形
ＤＥＦ?若三角形 ＡＢＣ 的周長為 １６ｃｍ?則四邊形 ＡＢＦＤ
的周長為 (　 Ｃ　 )
Ａ.１６ｃｍ Ｂ.１８ｃｍ Ｃ.２０ｃｍ Ｄ.２２ｃｍ
第 １ 題
　 　 　 　
第 ２ 題
３.如圖?直角三角形 ＡＢＣ 的周長為 １８?在其內(nèi)部有 ５ 個
小直角三角形?同一方向直角邊都互相平行?則這 ５ 個
小直角三角形的周長之和是　 １８　 .
４.夏季荷花盛開?為了便于游客領(lǐng)略“人從橋上過?如在
荷中行”的美好意境?某景點擬在如圖所示的矩(長
方)形荷塘上架設(shè)小橋?若荷塘周長為 ２８０ｍ?且橋?qū)捄?br/>略不計?則小橋總長為　 １４０　 ｍ.
第 ３ 題
　 　 　 　
第 ４ 題
１.本節(jié)要掌握平移的畫法兩要素:平移方向與距離?
２.要掌握平移性質(zhì)?兩個平行且相等:對應(yīng)線段平行且相
等?對應(yīng)點連線段平行(或在一條直線上)且相等?
３.認(rèn)識平移圖形并要體會利用平移性質(zhì)作圖形變化.
Ａ 組　 夯實基礎(chǔ)
一.選擇題:
１.如圖?三角形 ＡＢＣ 沿著由點 Ｂ 到點 Ｅ
的方向?平移到三角形 ＤＥＦ?已知 ＢＣ
＝ ５?ＥＣ＝ ３?那么平移的距離為 (　 Ａ　 )
Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.５ Ｄ.７
２.下列各網(wǎng)格中的圖形是用其圖形中的一部分平移得到
的是 (　 Ｃ　 )
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
３.某數(shù)學(xué)興趣小組開展動手操作活動?設(shè)計了如圖所示
的三種圖形?現(xiàn)計劃用鐵絲按照圖形制作相應(yīng)的造型?
則所用鐵絲的長度關(guān)系是 (　 Ｄ　 )
Ａ.甲種方案所用鐵絲最長
Ｂ.乙種方案所用鐵絲最長
Ｃ.丙種方案所用鐵絲最長
Ｄ.三種方案所用鐵絲一樣長
４.如圖?在 ６×６ 方格中有兩個涂有陰影的圖形 Ｍ、Ｎ?①
中的圖形 Ｍ 平移后位置如②所示?以下對圖形 Ｍ 的平
移方法敘述正確的是 (　 Ｂ　 )
Ａ.向右平移 ２ 個單位?向下平移 ３ 個單位
Ｂ.向右平移 １ 個單位?向下平移 ３ 個單位
Ｃ.向右平移 １ 個單位?向下平移 ４ 個單位
Ｄ.向右平移 ２ 個單位?向下平移 ４ 個單位
第 ３ 題
　
第 ４ 題
二.填空題:
５.如圖?在寬為 ３０ｍ?長為 ４０ｍ 的矩形地面上修建兩條寬
都是 １ｍ 的道路?余下部分種植花草.那么?種植花草的
面積為　 １１３１　 ｍ２ .
６.如圖?將面積為 ５ 的三角形 ＡＢＣ 沿 ＢＣ 方向平移至三
角形 ＤＥＦ 的位置?平移的距離是邊 ＢＣ 長的兩倍?那么
圖中的四邊形 ＡＣＥＤ 的面積為　 １５　 .
７.如圖將直角三角形 ＡＢＣ 沿 ＡＢ 方向平移 ＡＤ 距離得到
三角形 ＤＥＦ?已知∠ＡＢＣ ＝ ９０°?ＢＥ ＝ ５?ＥＦ ＝ ８?ＣＧ ＝ ３?
則圖中陰影部分面積是　 ３２.５　 .
第 ５ 題 第 ６ 題 第 ７ 題
三.解答題:
８.如圖?方格中有一條美
麗可愛的小金魚.
　 (１)若方格的邊長為 １?
則小魚的面積為　 　 .
　 (２)畫出小魚向左平移
３ 格后的圖形(不要求寫作圖步驟和過程) .
　 解:(１)１６?(２)畫圖如下:
—１２—
　 七年級(下)冊
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????????巔峰對決????數(shù)學(xué)
９.在正方形網(wǎng)格中?每個小正方形的邊長均為 １ 個單位
長度?三角形 ＡＢＣ 的三個頂點的位置如圖所示.現(xiàn)將三
角形 ＡＢＣ 平移?使點 Ａ 變換為點 Ｄ?點 Ｅ、Ｆ 分別是 Ｂ、
Ｃ 的對應(yīng)點.
　 (１)請畫出平移后的三角形 ＤＥＦ?并求三角形 ＤＥＦ 的
面積.
　 (２)若連接 ＡＤ、ＣＦ?則這兩條線段之間的關(guān)系是 　 .
　 解:(１)畫圖略?
Ｓ三角形ＤＥＦ ＝４×４－
１
２
×２×４－ １
２
×１×４－ １
２
×２×３＝７?
(２)ＡＤ 與 ＣＦ 平行且相等.
１０.如圖?長方形 ＡＢＣＤ 中?ＡＢ ＝ ６?第 １ 次平移將長方形
ＡＢＣＤ 沿 ＡＢ 的方向向右平移 ５ 個單位?得到長方形
Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１?第 ２ 次平移將長方形 Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 沿 Ａ１Ｂ１ 的
方向向右平移 ５ 個單位?得到長方形 Ａ２Ｂ２Ｃ２Ｄ２?????第
ｎ 次平移將長方形 Ａｎ－１Ｂｎ－１Ｃｎ－１Ｄｎ－１沿 Ａｎ－１Ｂｎ－１的方向
平移 ５ 個單位?得到長方形 ＡｎＢｎＣｎＤｎ(ｎ>２) .
(１)求 ＡＢ１ 和 ＡＢ２ 的長.
(２)若 ＡＢｎ 的長為 ５６?求 ｎ.
解:(１)∵ＡＢ＝６?第 １ 次平移將長方形 ＡＢＣＤ 沿 ＡＢ 的方向向右
平移 ５ 個單位?得到長方形 Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１?
第 ２ 次平移將長方形 Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 沿 Ａ１Ｂ１ 的方向向右平移 ５ 個單
位?得到長方形 Ａ２Ｂ２Ｃ２Ｄ２?????
∴ＡＡ１ ＝５?Ａ１Ａ２ ＝５?Ａ２Ｂ１ ＝Ａ１Ｂ１－Ａ１Ａ２ ＝６－５＝１?
∴ＡＢ１ ＝ＡＡ１＋Ａ１Ａ２＋Ａ２Ｂ１ ＝５＋５＋１＝１１?
∴ＡＢ２ 的長為:５＋５＋６＝１６?
(２)∵ＡＢ１ ＝２×５＋１＝１１?ＡＢ２ ＝３×５＋１＝１６?
∴ＡＢｎ ＝(ｎ＋１)×５＋１＝５６?
解得:ｎ＝１０.
Ｂ 組　 提高鞏固
１１.如圖?有 ａ、ｂ、ｃ 三戶家用電路接入電表?相鄰電路的
電線等距排列?則三戶所用電線 (　 Ｄ　 )
Ａ. ａ 戶最長 Ｂ.ｂ 戶最長
Ｃ.ｃ 戶最長 Ｄ.三戶一樣長
(提示:∵ ａ、ｂ、ｃ 三戶家用電路接入電表?相鄰電路的電線等距排列?∴
將 ａ 向右平移即可得到 ｂ、ｃ?∵圖形的平移不改變圖形的大小?∴三戶
一樣長.故選 Ｄ.)
１２.如圖?是一塊電腦主板模型?每一個轉(zhuǎn)角處都是直角?
其數(shù)據(jù)如圖所示 (單位: ｃｍ)?則該主板的周長是
　 ９６　 ｃｍ.
(提示:根據(jù)平移思想?易得主板周長為 ２(１６＋ ２４) ＋４×４ ＝ ９６ｃｍ?故
填 ９６.)
第 １１ 題
　 　 　 　
第 １２ 題
１３.如圖①所示?已知?ＢＣ∥ＯＡ?∠Ｂ ＝∠Ａ ＝ １００°?試回答
下列問題:
(１)試說明:ＯＢ∥ＡＣ?
(２)如圖②?若點 Ｅ、Ｆ 在 ＢＣ 上?且∠ＦＯＣ ＝∠ＡＯＣ?
ＯＥ 平分∠ＢＯＦ.試求∠ＥＯＣ 的度數(shù)?
(３)在(２)的條件下?若左右平行移動 ＡＣ?如圖③?那
么∠ＯＣＢ ∶ ∠ＯＦＢ 的比值是否隨之發(fā)生變化? 若變化?
試說明理由?若不變?求出這個比值?
(４) 在 ( ３) 的條件下?當(dāng)∠ＯＥＢ ＝ ∠ＯＣＡ 時?試求
∠ＯＣＡ 的度數(shù).
解:(１)∵ＢＣ∥ＯＡ?∴∠Ｂ＋∠Ｏ＝１８０°?又∵∠Ｂ＝∠Ａ?
∴∠Ａ＋∠Ｏ＝１８０°?∴ＯＢ∥ＡＣ?
(２)∵∠Ｂ＋∠ＢＯＡ＝１８０°?∠Ｂ＝１００°?∴∠ＢＯＡ＝８０°?
∵ＯＥ 平分∠ＢＯＦ?∴∠ＢＯＥ＝∠ＥＯＦ?
又∵∠ＦＯＣ＝∠ＡＯＣ?
∴∠ＥＯＦ＋∠ＦＯＣ ＝ １
２
(∠ＢＯＦ＋∠ＦＯＡ)＝ １
２
∠ＢＯＡ＝４０°?
(３)結(jié)論:∠ＯＣＢ ∶ ∠ＯＦＢ 的值不發(fā)生變化.理由為:
∵ＢＣ∥ＯＡ?∴∠ＦＣＯ＝∠ＣＯＡ?
又∵∠ＦＯＣ＝∠ＡＯＣ?∴∠ＦＯＣ＝∠ＦＣＯ?
∴∠ＯＦＢ＝∠ＦＯＣ＋∠ＦＣＯ＝２∠ＯＣＢ?
∴∠ＯＣＢ ∶ ∠ＯＦＢ＝１ ∶ ２?
(４)由(１)知:ＯＢ∥ＡＣ?則∠ＯＣＡ＝∠ＢＯＣ?
由(２)可以設(shè):∠ＢＯＥ＝∠ＥＯＦ＝α?∠ＦＯＣ＝∠ＣＯＡ＝β?
則∠ＯＣＡ＝∠ＢＯＣ＝２α＋β?
∠ＯＥＢ＝∠ＥＯＣ＋∠ＥＣＯ＝α＋β＋β＝α＋２β?
∵∠ＯＥＣ＝∠ＯＣＡ?

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