資源簡介

義 務 教 育 教 科 書
數 學
八年級 下冊
QINGDAOCHUBANSHE
伴隨著和煦的春風新的學期開始了。在新的學期里，你打算
怎樣學好數學？
你過去已經認識了平行四邊形，本學期你將運用合情推理和
演繹推理，探索并證明平行四邊形和它的家族中的特殊成員——
矩形、菱形、正方形的一些重要的性質定理和判定定理。
你已經學習了有理數。你知道嗎？現實中還有一類數不是有
理數，如圓周率 π、邊長為 1 的正方形的對角線長等，它們是你
現在還不了解的“無理數”。有理數與無理數又組成一個更大的
家庭——實數。怎樣用有理數估計一個無理數的大小？實數應怎
樣運算？在第 7 章中將結合學習著名的“勾股定理”，走進新的實
數世界。
提起一元一次方程和二元一次方程組，你一定很熟悉，在第
9 章你將學習一元一次不等式和一元一次不等式組。方程是刻畫
現實生活中數量之間相等關系的數學模型，不等式則是刻畫它們
之間不等關系的數學模型。相信你會很感興趣。
宇宙飛船要脫離地球引力，進入圍繞太陽的軌道運行，速度
必須達到 2gR 。這是一個怎樣的算式？這類算式如何進行運算？
你將在第 10 章“二次根式”中學習它。
在第 10 章你將結識函數中的重要成員——一次函數，體會它
的意義，會畫它的圖象，根據圖象和它的表達式探索并理解它的
性質，從而為學習更復雜的函數奠定基礎。
日常生活中，你會經常見到物體的平移和旋轉現象。什么是
平面圖形的平移和旋轉？圖形的平移和旋轉有哪些性質？你愿意
進一步探索嗎？
數學是人類文化的重要組成部分，它幫助你提高創新意識和
推理能力，為未來的工作和學習奠定基礎。數學的大門向每一位
同學都是敞開的。面對新的挑戰，動腦想一想，動手做一做，并
與同學交流。只要你肯付出努力，你會進一步領略數學的美妙，
享受到學習數學的樂趣。
1
目? 錄
2
4
10
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30
33
38
40
43
48
56
61
64
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90
96
100
107
目 錄
第?6?章? 平行四邊形
6.1 平行四邊形及其性質
6.2 平行四邊形的判定
6.3 特殊的平行四邊形
6.4 三角形的中位線定理
回顧與總結
第?7?章? 實? 數
7.1 算術平方根
7.2 勾股定理
7.3 2是有理數嗎
7.4 勾股定理的逆定理
7.5 平方根
7.6 立方根
7.7 用計算器求平方根和立方根
7.8 實 數
回顧與總結
第?8?章? 一元一次不等式?
8.1 不等式的基本性質
8.2 一元一次不等式
8.3 列一元一次不等式解應用題
8.4 一元一次不等式組
回顧與總結
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110
112
120
122
127
130
132
138
144
147
151
154
158
162
164
173
183
191
195
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第?9?章? 二次根式
9.1 二次根式和它的性質
9.2 二次根式的加法與減法
9.3 二次根式的乘法與除法
回顧與總結
第?10?章? 一次函數?
10.1 函數的圖象
10.2 一次函數和它的圖象
10.3 一次函數的性質
10.4 一次函數與二元一次方程
10.5 一次函數與一元一次不等式
10.6 一次函數的應用
回顧與總結
第?11?章? 圖形的平移與旋轉
11.1 圖形的平移
11.2 圖形的旋轉
11.3 圖形的中心對稱
回顧與總結
綜合與實踐? 哪條路徑最短
2
目? 錄
內容提要
■ 平行四邊形、矩形、菱形 、正方形的概念及
它們之間的關系
■ 平行四邊形的性質與判定
■ 矩形、菱形 、正方形的性質與判定
■ 直角三角形斜邊上中線的性質
■ 三角形的中位線定理
四邊形是我們熟悉的幾何圖形.在這幅圖片
中，你看到了哪些四邊形的形象？
平行四邊形是一類特殊的四邊形. 怎樣的四
邊形是平行四邊形？平行四邊形具有哪些性質？
怎樣判定一個四邊形是平行四邊形？
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形.
它們分別有哪些性質？怎樣判定一個四邊形是矩
形、菱形或正方形？
情境導航
第6章 平行四邊形
4
在過去的學習中你已經認識了平行四邊形. 思考下列問題：
（1）圖 6-1中所示的是生活中常見的一些平行四邊形的實例，你還能舉出
類似的實例嗎？
（2）通過觀察上述實例，你發現具有什么特征的四邊形是平行四邊形？你
能根據這一特征畫出平行四邊形嗎？
6.1? 平行四邊形及其性質
圖 6-1
兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形（parallelogram）. 如圖 6-2，
在四邊形 ABCD 中，AB∥CD，AD∥BC，因此它是平行四邊形，記作 ABCD，
讀作“平行四邊形ABCD”.
（3）任意畫 ABCD，連接對角線 AC（圖 6-3），如果沿這條對角線將平
行四邊形剪成兩個三角形，你發現得到的△ABC 和△CDA 能夠重合嗎？如果能
夠重合，說出哪些邊是對應邊，哪些角是對應角. 由此，你猜測平行四邊形的對
邊和對角分別有什么性質？
（4）能證明你發現的結論是真命題嗎？
已知：如圖 6-2，四邊形 ABCD 是平行四邊形 .
求證：AB = CD，AD = BC .
圖 6-2
觀察與思考
樓梯扶欄 車位線 警示牌
5
證明 如圖 6-3，連接 AC .
∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形，
∴ AD∥BC（平行四邊形的定義），
∴∠1 =∠2 .
同理，∠3 =∠4 .
∵ AC = CA，
∴△ABC ≌ △CDA（ASA）.
∴ AB = CD，AD = BC .
于是，就得到
平行四邊形的性質定理 1 平行四邊形的對邊相等．
在上面的證明過程中，由∠1 =∠2和∠3 =∠4，還可以推出∠BAD
=∠BCD . 由△ABC ≌ △CDA 還可以推出∠B =∠D . 于是，又得到
平行四邊形的性質定理 2 平行四邊形的對角相等．
想一想，如果不添加輔助線，你能證明平行四邊形的對角相等嗎？
例1 求證：
（1）夾在兩條平行直線間的平行線段相等；
（2）如果兩條直線平行，那么一條直線上各點到另一條直線的距離相等.
（1）已知：如圖 6-4，l1∥l2，A，D
是直線 l1上的
任意兩點，過點 A，D 作AB∥CD，分別交 l2 于點
B，C .
求證：AB = CD .
證明 ∵AD∥BC，AB∥CD，
∴ 四邊形 ABCD 是平行四邊形（平行四邊形定義），
∴ AB = CD（平行四邊形的性質定理1）.
在活動（3）中，將 ABCD
沿對角線 AC 剪開，這對于證明
AB = CD，AD = BC 有什么啟示？
6.1 平行四邊形及其性質
圖 6-3
A D
B
l1
l2C
圖 6-4
第6章 平行四邊形
6
練 習
（2）已知：如圖 6-5，l1∥l2，A，D
是直線 l1
上的任
意兩點，AB⊥l2 ，垂足是
B，CD⊥l2 ，垂足是
C .
求證：AB = CD .
證明 ∵AB⊥l2，CD⊥l2，
∴ ∠ABC = 90°，∠DCB = 90°.
∴ ∠ABC + ∠DCB = 180°.
∴ AB∥CD .
由（1）可知 AB = CD .
（1）剪一張平行四邊形紙片，記為 ABCD，連
接 AC ，BD，交于點 O（圖 6-7）.
（2）沿對角線AC 與 BD 將平行四邊形紙片剪成
△AOB，△BOC，△COD 和△DOA，你發現它們中哪
1. 在 ABCD 中，試用∠A 表示出平行四邊形的其他三個角.
2. 如圖，在 ABCD 中，點 E，F 分別是 BC，AD 上的點，
AE∥CF . 試用兩種不同的方法證明：BE = FD，∠BAE
=∠DCF .
圖 6-7
（第 2 題）
A
B
F
E
D
C
實驗與探究
A
B
D l1
l2
C
圖 6-5
例1（2）中的結論是
定義兩條平行線之間距離
的依據.
如圖 6-6，P 為 ABCD 內的任意一點，連接 PA，
PB，PC，PD，得到△PAB，△PBC，△PCD，△PAD .
你發現其中兩個不相鄰的三角形的面積之和與平行四邊
形 ABCD 的面積之間有什么關系？從而你能得到什么結
論？證明你的結論.
圖 6-6
挑戰自我
7
線段 OA = OC，OB = OD . 要證明它
們分別相等，只需證明△DOA 與△BOC
（或△AOB 與△COD）全等 .
（4）你能寫出已知、求證和證明過程嗎？
由以上探索和證明，我們得到
平行四邊形的性質定理 3 平行四邊形的對角線互相平分．
例2 如圖 6-8， ABCD 的對角線 AC 與 BD 相
交于點 O，過點 O 作一條直線，分別交 AD，BC 于點
E，F . 求證：OE = OF .
證明 ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形，
∴ OA = OC，AD∥BC .
∴ ∠1 =∠2 .
∵ ∠3 =∠4，
∴ △OAE ≌△OCF（ASA）.
∴ OE = OF .
在例 2 中，如果將條件“分別交 AD，BC 于點 E，F ”
改為“分別交 BA，DC 的延長線于點 E，F（圖 6-9）”，OE
= OF 的結論還成立嗎？
圖 6-8
6.1 平行四邊形及其性質
些是全等三角形？
（3）由（2）你發現在兩條對角線被點 O 分成的四條線段中，哪些是相等線
段？如何證明你的結論？
圖 6-9
D
O
C
E
F
A
B
第6章 平行四邊形
8
練 習
習題6.1
1. 在 ABCD 中，對角線 AC 與 BD 交于點 O，AB = 6，AC
= 8，BD = 12 . 求△AOB 的周長.
2. 如圖，在 ABCD 中，對角線 AC 與 BD 交于點 O，作
AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為 E，F .
（1）指出圖中所有的全等三角形；
（2）求證：OE = OF .
（第 2 題）
1. 在 ABCD 中，∠A 與∠B 的度數之比為 7∶2，求∠C 與∠D 的度數 .
2. 如圖，在直角坐標系中， ABCD 的頂點 B，C，A 的坐標分別是（0，0），（5，0），
（2，3），求頂點 D 的坐標 .
3. 如圖，兩條平行線 l1，l2 被另外一組平行線
l3，l4，l5 所截，交點分別為 A，B，C；D，
E，F . 寫出圖中的相等線段，并證明你的結論.
（第 2 題） （第 3 題）
A
B
C
D
E
F
l3
l1 l2
l4
l5
復習與鞏固
在例 2 中，經過兩對角線的交點 O 作直線，除了圖 6-8、圖 6-9 的兩種情況
外，還可能有其他情況嗎？如果還有，請分別畫出圖形，寫出結論，并給出證明.
把以上各種情況加以歸納，你能得出一個怎樣的結論？
挑戰自我
9
6. 如圖，在 ABCD 中，∠BAD 的平分線 AE 交 CD 于點 E，AB = 10，BC = 6 . 求 CE 的
長.
7. 如圖，在 ABCD 中，AC，BD 相交于點 O，過點 O 作 OE ⊥ BD 交 AD 于點 E . 求
△ABE 的周長與 ABCD 的周長的比.
拓展與延伸
（第 6 題） （第 7 題）
6.1 平行四邊形及其性質
8.（1）如圖①， ABCD 的兩條對角線的交點為 O . 如果△AOB，△BOC，△COD，
△DOA 的面積分別為 S1，S2，S3，S4，試探索
S1，S2，S3，S4 的關系；
（2）如果將（1）中的條件“ ABCD”改為“四邊形 ABCD 的對角線 AC⊥BD”（如圖
②）. 試探索：S1∶S2 與 S4∶S3 之間的關系；
（3）如果將（2）中的對角線 AC⊥BD 的條件去掉（如圖③），試探索 S1，S2，S3，S4
之間的關系.
4. 如圖，在 ABCD 中，對角線 AC 和 BD 交于點 O . 在
圖中共有幾對三角形全等？說明理由.
5. 在 ABCD 中，對角線交點 O 到 AD 的距離與它到 BC
的距離相等嗎？到 AB 的距離與到 CD 的距離呢？說明
理由.
探索與創新
O
A D
C
B
D
C
O
A
B B
O
D
A C
① ② ③
（第 8 題）
（第 4 題）
O
A
B
D
C
第6章 平行四邊形
10
6.2? 平行四邊形的判定
我們已經學習過平行四邊形的定義和性質. 怎樣判定一個四邊形是平行四邊
形呢？除了運用平行四邊形的定義外，還有其他方法嗎？
（1）根據平行四邊形的定義，兩組對邊分別平行
的四邊形是平行四邊形，如果把定義中的“兩組對邊平
行”改為“一組對邊平行且相等”，你能畫出滿足這兩個
條件的四邊形嗎？
觀察與思考
l2
l1
A
B
D
C
圖 6-10
要判定 ABCD 是平行四邊形，只
要能根據條件 AD∥BC，AD = BC 推
出 AB∥CD 就行了.
先畫出兩條平行線 l1，l2，然后在
l1，
l2 上分別截取兩條相等線段
AD = BC，連接
AB，DC，得到四邊形 ABCD（圖 6-10）.
（2）觀察你得到的四邊形，你猜測它是平行四邊形嗎？
（3）能證明你的猜測是正確的嗎？
已知：如圖 6-11，在四邊形 ABCD 中，AD∥BC，AD = BC .
求證：四邊形 ABCD 是平行四邊形.
11
6.2 平行四邊形的判定
交流與發現
（1）利用平行四邊形的定義，即兩組對邊的位置關系（分別平行）可以判
定四邊形是平行四邊形. 判定定理 1 是通過一組對邊的位置關系（平行）和數量
關系（相等），推出另一組對邊的平行關系. 能不能通過兩組對邊分別相等推出
其中一組對邊平行呢？
（2）任意畫一個∠B，在∠B 的兩邊上分別任取兩
點A，C，以點 A 為圓心，BC 的長為半徑作弧，再以點
C為圓心，BA 的長為半徑畫弧，記兩弧的交點為 D，連
接AD，CD，便得到四邊形 ABCD（圖6-12），且滿足
AB = CD，AD = BC . 能判定四邊形 ABCD 是平行四邊形
嗎？如果能，寫出證明過程 .
圖 6-12
證明 連接 AC .
∵ AD∥BC，
∴∠1 =∠2 .
∵ AD = BC，AC = CA，
∴△CDA ≌△ABC（SAS）.
∴∠3 =∠4 .
∴ AB∥CD .
∴ 四邊形 ABCD 是平行四邊形.
于是，就得到
平行四邊形的判定定理 1 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
在圖6-12中，連接 AC，得到△ABC 與
△CDA. 由 SSS，可證△ABC ≌△CDA . 由對
應角相等，可證明對邊平行.
圖 6-11
4
1
3
2
A D
B C
第6章 平行四邊形
12
（3）由（2），你得出什么結論？
平行四邊形的判定定理 2 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
（4）想一想，平行四邊形的判定定理 2 與平行四邊形的性質定理 1 有什么
關系？
例1 如圖 6-13，E，F，G，H 分別是 ABCD 的邊 AD，AB，BC，CD
上的點，且 AE = CG，BF = DH . 求證：四邊形 EFGH 是平行四邊形.
證明 ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形，
∴∠A =∠C，AB = CD .
∵ BF = DH，
∴ AF = CH .
∵ AE = CG，
∴△AFE ≌△CHG（SAS）.
∴ EF = GH .
同理，FG = HE .
∴四邊形 EFGH 是平行四邊形（平行四邊形的判定定理 2）.
圖 6-13
小亮猜測：“在四邊形中，能否根據一組對邊相等，另一組對邊平行，判定
這個四邊形是平行四邊形呢？”小亮的猜測正確嗎？如果正確，請給出證明；
如果不正確，請舉出反例.
挑戰自我
練 習
1. 如圖，在四邊形 ABCD 中，∠ADB =∠CBD，∠ABD
=∠CDB. 利用三種方法證明四邊形 ABCD 是平行四邊
形 .
（第 1 題）
13
6.2 平行四邊形的判定
（第 2 題）
2. 如圖， 在 ABCD 中， 點 E，F 分別是 AD，BC 的中
點. 分別利用判定定理 1 和 2 證明四邊形 BEDF 是平行四
邊形 .
我們已經知道，當四邊形的對邊滿足兩個條件（兩組對邊分別平行或一組
對邊平行且相等或兩組對邊分別相等）時，能判定這個四邊形是平行四邊形. 能
通過對角線所滿足的條件，判定這個四邊形是平行四邊形嗎？
交流與發現
（1）你能說出 6.1 節中平行四邊形的性質定理 3 的逆命題嗎？
（2）任意畫兩條相交直線 l1，l2，記它們的交點
為 O，在 l1 上以
O 為中點，截取 OA = OC，在 l2 上以

O 為中點，截取 OB = OD（OA 不必等于 OB）. 順次連
接AB，BC，CD，DA，你得到一個怎樣的四邊形（圖
6-14）？
（3）怎樣證明你得到的結論？
如圖 6-14，已知 OA = OC，OB = OD，
可證△AOD≌△COB，于是 AD = BC，∠ADO
=∠OBC，從而 AD∥BC . 故由判定定理 1 可證
四邊形 ABCD 是平行四邊形 .
也可以用判定定理 2 證明四
邊形 ABCD 是平行四邊形 .
圖 6-14
D
C
O
A
B
l2
l1
第6章 平行四邊形
14
于是，就得到
平行四邊形的判定定理 3 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
平行四邊形的判定定理 3 是平行四邊形性質定理 3 的逆定理.
例2 如圖 6-15，在 ABCD 中，點 E，F 是對角線 AC 上的兩點，且 AF
= CE. 求證：四邊形 BEDF 是平行四邊形.
證明 連接 BD，交 AC 于點 O .
∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形，
∴ OA = OC，OB = OD .
∵ AF = CE，
∴ OF = OE .
∴ 四邊形 BEDF 是平行四邊形（平行四邊形的判定定理 3）.
對于例 2，你還有其他的證明方法嗎？
圖 6-15
小亮的證明對嗎？
小亮正在研究一個命題：“如果四邊形 ABCD 與 BEFC 都是平行四邊形，那么四邊形
AEFD 也是平行四邊形 . ”
小亮畫出了圖 6-16，并給出了如下的證明.
證明：∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形，
　∴ AB = DC， ①
　　AD = BC . ②
挑戰自我
已知四邊形 ABCD 的兩條對角線相交于點 O，且 OA =OC，AB =CD，能判
定四邊形 ABCD 是平行四邊形嗎？如果能夠判定，寫出證明過程，如果不能判
定，分析其原因，并舉出反例.
圖 6-16
A D
B C
E F
智趣園
15
又∵ 四邊形 BEFC 也是平行四邊形，
∴ BC = EF， ③
BE = CF . ④
由 ② ③ 得 AD = EF，
由 ① ④ 得 AB + BE = DC + CF，即 AE = DF .
∴ 四邊形 AEFD 是平行四邊形.
你對小亮的證明滿意嗎？如果你認為有問題，你能指出問題出在哪里嗎？
6.2 平行四邊形的判定
練 習
1. 延長△ABC 的中線 AD 至 E，使 DE = AD . 連接 BE，CE . 求證：四邊形 ABEC 是平行
四邊形.
2. 下列命題是真命題嗎？如果不是，舉出反例；如果是真命題，給出證明.
（1）一組對角相等，一組對邊平行的四邊形是平行四邊形；
（2）對角線相等的四邊形是平行四邊形；
（3）一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形.
1. 求證：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形 .
2. 如圖，DB∥AC，DB = 12 AC，E
是 AC 的中點. 求
證：BC = DE .
習題6.2
（第 2 題）
復習與鞏固
3. 如圖，在四邊形 ABCD 中，AD∥BC，且 AD＜BC，BC = 6 cm . 動點 P， 分別從點
D，B 同時出發，點 P 以 1 cm/s 的速度向點 A 運動，點 以 2 cm/s 的速度向點 C 運動.
幾秒后四邊形 CDP 是平行四邊形？
第6章 平行四邊形
16
（第 6 題）（第 5 題）
7. 如圖，在 ABCD 中，點 E，F 分別為邊 BC，AD 上的點，AE∥CF，連接 BF，DE，
分別交 CF，AE 于點 G，H. 圖中除 ABCD 外，還有平行四邊形嗎？證明你的結論.
拓展與延伸
（第 7 題） （第 8 題）
9. 有一組對邊相等、一組對角相等的四邊形是平行四邊形嗎？如果是，請給出證明；如
果不是，舉出反例.
（第 4 題）
A D
CB
O
（第 3 題）
4. 如圖，已知 AD∥BC，AC 與 BD 相交于點 O，且 AO = OC . 求證：AB∥CD .
5. 如圖，AB∥CD，AC 與 BD 相交于點 O，過點 O 的直線 EF 分別交 AB， CD 于點 E，
F，且OE = OF . 求證：四邊形 ABCD 是平行四邊形.
6. 如圖，在 ABCD 中，E 為 BC 的中點，連接 AE 并延長交 DC 的延長線于點 F，連接
BF，AC . 求證：四邊形 ABFC 是平行四邊形.
8. 如圖，在 ABCD 中，點 E，F 是對角線 AC 上的兩點，請添加一個不同于“AF = CE”
的條件，使四邊形 BEDF 是平行四邊形，并寫出證明的過程.
探索與創新
17
6.3 特殊的平行四邊形
（1）你還記得四邊形的不穩定性嗎？
（2）如圖 6-17 ①，做一個平行四邊形的框架，記作 ABCD，固定它的四
條邊的長度. 如果改變其中一個內角（例如∠B）的大小，所得到的四邊形還是
平行四邊形嗎？為什么？
（3）當∠B 的大小變化時，其他三個內角的大小是否也發生變化？如果發
生變化，它們與∠B 之間保持怎樣的數量關系？
6.3? 特殊的平行四邊形
（4）當平行四邊形的一個角（例如∠B）成為直角時，得到一個怎樣的圖
形（圖 6-17 ②）？
實驗與探究
當∠B 的大小變化時，仍然有∠A 與
∠B 互補，∠C 與∠B 互補，∠D =∠B .
當∠B 的大小變化時，仍然有 AB = DC，
AD = BC，所以 ABCD 仍然是平行四邊形.
10. 在四邊形 ABCD 中，將下列條件中的哪兩個條件組合，可以判定它是平行四邊形？
（1）AB∥CD； （2）BC∥AD； （3）AB = CD；
（4）BC = AD； （5）∠A =∠C； （6）∠B =∠D .
第6章 平行四邊形
18
（2）利用矩形的軸對稱性質，由矩形的一個角是直角，你發現矩形的另外
三個角有什么性質？證明你的結論.
矩形的性質定理 1 矩形的四個角都是直角.
（3）任意畫一個矩形， 作出它的兩條對角線，并比較它們的長. 你有什么
發現？
已知：如圖 6-19，四邊形 ABCD 是矩形 .
求證：AC = DB .
證明 ∵ 四邊形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC =∠DCB = 90°（矩形的性質定理 1）.
矩形具有平行四邊形的所有性質 . 此外，矩形還具有哪些特殊性質呢？
（1）取一張矩形的紙片，分別沿它的兩組對邊的中點所在的直線折疊，你
發現矩形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸（圖 6-18）？
矩形是軸對稱圖形，它
有兩條對稱軸. 對稱軸分別
是經過兩組對邊中點的兩條
直線（圖 6-18）.
圖 6-18
實驗與探究
有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形（rectangle）.
矩形，即我們所熟悉的長方形，是生活中常見的一種特殊的平行四邊形.
A
B
D
O
C
圖 6-19
圖 6-17
① ②
有一個角是直角
A
B C
A
B
D D
C
19
6.3 特殊的平行四邊形
∵ AB = CD（平行四邊形的對邊相等），
BC = CB，
∴△ABC ≌△DCB（SAS）.
∴ AC = DB .
于是，就得到
矩形的性質定理 2 矩形的對角線相等.
（4）如圖 6-19，矩形 ABCD 的兩條對角線交于點 O，沿對角線 AC 將矩形
剪開，得到 Rt△ABC . 這時，OB 是這個直角三角形的一條什么線段？它與斜邊
AC 之間有怎樣的數量關系？由此你發現了直角三角形的一個怎樣的性質？能證
明你得到的命題是真命題嗎？
直角三角形的性質定理 2 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 .
已知：如圖 6-20，在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，O 是 AC 的中點.
求證：BO = 12
AC .
證明 延長 BO 到 D，使 OD = BO，連接 AD，CD
（圖6-20），在四邊形 ABCD 中，
∵ AO = OC，BO = OD，
∴ 四邊形 ABCD 是平行四邊形 .
∵∠ABC = 90°，
∴ ABCD 是矩形 .
∴ AC = BD .
∵ BO = 12
BD，
∴ BO = 12
AC .
例1 如圖 6-21，在矩形 ABCD 中，AC 與 BD 交于
點 O，∠BOC = 120°，AB = 6 cm . 求 AC 的長 .
解 ∵ 四邊形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD，且 OA = OC = 12
AC，OB = OD = 12
BD，
A
B
D
O
C
圖 6-21
A
B
D
O
C
圖 6-20
第6章 平行四邊形
20
練 習
1. 如圖，在矩形 ABCD 中，E，F 分別是 AD，BC 上的點，在下列三個條件：① AE
= CF；② BE∥DF；③∠1 =∠2 中，選擇其中一個，求證：BE = DF .
2. 如圖，在 Rt △ABC 中，CD 是斜邊 AB 的中線，CE 是高. 求證：∠ACE =∠BCD .
交流與發現
（1）根據矩形的定義，有一個角是直角的平行四邊形是矩形. 如果不通過平
行四邊形，能根據四邊形中直角的個數，直接由四邊形來判定它是矩形嗎？有
幾個角是直角的四邊形是矩形呢？
（第 2 題）（第 1 題）
C
A BE D
A
B
E D
CF
21
木桿 AB 斜靠在墻壁上（圖 6-22），當木桿的上端
A 沿墻壁 NO 豎直下滑時，木桿 AB 的中點 P 也隨之下落.
你能在圖上畫出點 P 下落的路線嗎？
圖 6-22
挑戰自我
∴ OA = OB .
∵∠BOC = 120°，
∴∠AOB = 60°.
∴△AOB 是等邊三角形.
∵ AB = 6 cm，AO = AB = 6 cm .
∴ AC = 2AO = 12 cm .
所以，AC 的長為 12 cm .
對于例 1，你還有其他的解法嗎？
21
矩形的四個角都是直角. 反過來，
四個角都是直角的四邊形是矩形.
（2）小亮說得對嗎？能證明他的結論嗎？
（3）小瑩說：“由于四邊形的內角和等于 360°，因而四個內角中只要有三個
角是直角，第四個內角也一定是直角. 所以可以減少一個條件，有三個角是直角
的四邊形就是矩形.”小瑩的說法正確嗎？
已知：如圖 6-23，在四邊形 ABCD 中，∠A =∠B
=∠C = 90°.
求證：四邊形ABCD是矩形.
證明 ∵∠A =∠B =∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 180°，
∠B +∠C = 180°，
∴ AD∥BC，AB∥CD .
∴ 四邊形 ABCD 是平行四邊形 .
∵∠A = 90°，
∴ ABCD 是矩形 .
（4）比較上面（2）（3）中小亮和小瑩的兩種說法，你認為選擇哪種說法作
為矩形的判定定理更為簡潔？
于是，便得到
矩形的判定定理 1 有三個角是直角的四邊形是矩形.
（5）由矩形的性質定理 2：矩形的兩條對角線相等. 反過來，兩條對角線相
等的四邊形是矩形嗎？
6.3 特殊的平行四邊形
A
B
D
C
圖 6-23
如圖 6-24，我畫了兩條等長的相交線段 AC 與
BD，順次連接點 A，B，C，D，得到的四邊形 ABCD
不是平行四邊形，也就不可能是矩形. 所以，“兩條對
角線相等的四邊形是矩形”不是真命題.
第6章 平行四邊形
22
已知：如圖 6-25，在 ABCD 中，AC = BD .
求證： ABCD 是矩形.
證明 ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形，
∴ AB = CD .
又∵ AC = BD， BC = CB，
∴△ABC ≌△DCB .
∴∠ABC =∠DCB .
∵ AB∥CD，
∴∠ABC +∠DCB = 180°.
∴∠ABC = 180°2 = 90°.
∴ ABCD 是矩形 .
于是，就得到
矩形的判定定理 2 對角線相等的平行四邊形是矩形．
D
C
BA
圖 6-24
（6）如果適當加強命題“兩條對角線相等的四邊形
是矩形”的條件，能使它成為真命題嗎？
對角線相等的平行
四邊形是矩形嗎？
在探索新的數學命題時，如果命
題的條件不能保證結論成立，可以嘗
試適當加強命題的條件，以便使結論
成立 .
加油站
A D
B C
圖 6-25
在問題（6）中，除了小瑩的說法外，你還能適當加強其他的條件，使它成
為真命題嗎？
挑戰自我
23
練 習
1. 在四邊形 ABCD 中，AC，BD 交于點 O . 在下列各組條件中，不能判定四邊形 ABCD 為
矩形的是（ ）.
（A）AB = CD，AD = BC，AC = BD
（B）AO = CO，BO = DO，∠A = 90°
（C）∠A =∠C，∠B +∠C = 180°，AC⊥BD
（D）∠A =∠B = 90°，AC = BD
2. 要檢驗一個四邊形的桌面是不是矩形，你能想出哪些方法？
活動衣架 起重架 隔離網
圖 6-28
（1）剪一張平行四邊形紙片，比較它的一組鄰邊，如果它們不相等，你能
在這張紙片上剪下一刀，得到一個有一組鄰邊相等的平行四邊形嗎？
6.3 特殊的平行四邊形
交流與發現
有一組鄰邊相等
圖 6-26
平行四邊形 菱形
圖 6-27
A D
B C
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形（rhombus）.
例如，圖 6-27 中的 ABCD，AB = AD，記作“菱形 ABCD”.
（2）菱形也是一種常見的特殊平行四邊形. 除下面的一組實例外，你還能
舉出生活中見到的菱形的實例嗎？
第6章 平行四邊形
24
（2）觀察圖 6-29，根據菱形的軸對稱性，你發現菱形的四條邊具有什么大
小關系？菱形的兩條對角線 AC 與 BD 之間具有什么位置關系？
（3）你能運用菱形的定義及平行四邊形的性質，證明你得到的命題是真命
題嗎？與同學交流 .
菱形的性質定理 1 菱形的四條邊都相等.
菱形的性質定理 2 菱形的兩條對角線互相垂直.
利用菱形的性質定理的逆命
題能探索菱形的判定定理嗎？
由兩組對邊分別相等可以判定
它是平行四邊形，再根據一組鄰邊相
等，便可證明它是菱形.
觀察與思考
怎樣判定一個四邊形是菱形？
（1）由菱形的性質定理 1：菱形的四條邊都相等. 反過
來，四條邊都相等的四邊形是菱形嗎？證明你的結論？
菱形具有平行四邊形的所有性質. 此外，菱形還具有哪些特殊性質呢？
（1）觀察圖 6-29，菱形是軸對稱圖形嗎？請利用實驗的方法得出結論. 如
果是，它有幾條對稱軸？與同學交流.
如圖 6-29，菱形是軸對稱圖
形，它有兩條對稱軸. 對稱軸是分
別經過兩組對角頂點的兩條直線.
實驗與探究
A
B D
C
圖 6-29
25
如圖 6 - 3 0 ， A C ⊥ B D ，但
BO≠OB，從而四邊形 ABCD 不是平
行四邊形. 所以，“兩條對角線互相
垂直的四邊形是菱形”不是真命題.
（3）怎樣適當加強命題“兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形”的條件，
使它成為真命題？與同學交流.
已知：如圖 6-31， 在 ABCD 中，AC，BD 相交于點 O，AC⊥BD .
求證： ABCD 是菱形.
證明 ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形，
∴ BO = OD .
∵ AC⊥BD，
∴ AC 是線段 BD 的垂直平分線 .
∴ AB = AD（線段垂直平分線的性質）.
∴ ABCD 是菱形（菱形的定義）.
于是，就得到
菱形的判定定理 2 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
想一想，兩條對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形嗎？為什么？
圖 6-31
6.3 特殊的平行四邊形
菱形的判定定理 1 四條邊相等的四邊形是菱形 .
（2）由菱形的性質定理 2 ：菱形的兩條對角線互相垂直. 反過來，兩條對角
線互相垂直的四邊形是菱形嗎？
挑戰自我
取一張矩形紙片，你能利用折疊的方式，折出一個四個頂點都在矩形邊上
的菱形嗎？你有幾種不同的折法？畫出圖形，說明折出的圖形是菱形，并比較
用不同的折紙方法折出的菱形的面積.
A
D
C
B
圖 6-30
O
第6章 平行四邊形
26
（1）圖 6-32 是你早已認識的正方形. 它是平行四邊形
嗎？你能說出具有什么特征的平行四邊形是正方形嗎？
有 一 組 鄰 邊 相 等 ， 并 且 有 一 個 角 是 直 角 的 平 行 四 邊 形 叫 做正方形
（square）.
（2）由正方形的定義可以知道，正方形既是有一組鄰邊相等的矩形，又是
有一個角是直角的菱形（圖 6-33），所以正方形具有矩形和菱形的一切性質.
你能說出這些性質嗎？
有一組鄰邊相等 有一個角是直角
矩形 正方形
圖 6-33
菱形
（3）正方形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？
（4）怎樣判定一個四邊形是正方形？與同學交流 .
例2 如圖 6-34，點 P 是正方形 ABCD 的對角線 BD 上的一點，PM⊥BC，
PN⊥CD，垂足分別為點 M，N . 求證：AP = MN .
證明 連接 PC .
∵ 正方形 ABCD 是矩形，
∴∠BCD = 90°.
觀察與思考
A
B
D
C
圖 6-32
練 習
1. 菱形的兩條對角線的長分別為 a，b，面積為 S. 求證：菱形的面積為 S = 12 ab .
2. 在菱形 ABCD 中，已知∠BAD = 120°，AE⊥BC，垂足為 E . 求證：E 是 BC 的中點.
27
6.3 特殊的平行四邊形
∵ PM⊥BC，PN⊥CD，
∴∠PMC = 90°，∠PNC = 90°，
∴ 四邊形 PMCN 是矩形.
∴ PC = MN .
連接 AC，交 BD 于點 O .
∵ BD⊥AC， AO = OC .
∴ BD 是 AC 的垂直平分線.
∴ AP = PC .
∴ AP = MN .
練 習
如圖 6-35，P 是正方形 ABCD 內的一點，△PBC 為等
邊三角形，連接 PA，PD . 探索△PAD 的形狀，并求△PAD
各角的大小.
1. 選擇題：在四邊形 ABCD 中，點 O 是對角線的交點. 在下列條件中，能判定這個四邊
形為正方形的是（ ）.
（A）AC = BD，AB∥CD （B）AD∥BC，∠A =∠C
（C）OA = OB = OC = OD，AC⊥BD （D）OA = OC，OB = OD，AB = BC
2. 在正方形 ABCD 中，BD 的長為 20 cm， 點 P 是邊 AB 上任意一點. 求點 P 到 AC 與 BD
的距離之和.
挑戰自我
習題6.3
1. 在矩形 ABCD 中，AC 與 BD 交于點 O，∠AOB = 2∠BOC， AC = 18 cm . 求 AD 的長.
圖 6-35
B
A
C
P
D
圖 6-34
復習與鞏固
O
第6章 平行四邊形
28
（第 9 題）
2. 如圖，在矩形 ABCD 中，AE⊥BD，垂足為 E，∠DAE = 2∠BAE，求證：DE = 3BE .
（第 6 題） （第 7 題）
B
A
O
E
C
D
A
C
B D
（第 10 題）
（第 8 題）
3. 如圖，在直線 MN 上和直線 MN 外分別任取點 A，B，過線段 AB 的中點 O 作 CD∥MN，
分別與∠MAB 與∠NAB 的平分線相交于點 C，D . 求證：四邊形 ACBD 是矩形.
4. 求證：平行四邊形的各內角的平分線的交點是一個矩形的四個頂點.
5. 求證：有一條對角線平分一個內角的平行四邊形是菱形.
6. 如圖，在菱形 ABCD 中，CE⊥AD，垂足為 E，如果 AE = DE. 求菱形各個角的度數.
7. 如圖，O 是矩形 ABCD 的對角線交點，DE∥AC，CE∥BD . 求證：四邊形 OCED 是菱
形.
8. 如圖，在 ABCD 中，E 為 BC 的中點，DE⊥AE . 求證：AD = 2AB .
9. 如圖，在 ABCD 中，AE 平分∠BAD，EF∥AB，交 AD 于點 F . 求證：四邊形 ABEF
是菱形.
10. 如圖，將寬度為 1 cm 的兩張紙條交叉重疊在一起，重疊的部分組成了四邊形 ABCD .
四邊形 ABCD 是菱形嗎？為什么？
11. 如果矩形的一條對角線上任意一點到另一條對角線兩端的距離相等，求證：該矩形
是正方形.
A
B
E
O
D
C
（第 2 題） （第 3 題）
29
拓展與延伸
14. 如圖，在正方形 ABCD 中，點 E，F 分別在 BC，CD 上移動，但點 A 到 EF 的距離 AH
始終保持與 AB 的長相等. 在 E，F 移動過程中：
（1）∠EAF 的大小是否發生變化？請說明理由；
（2）△ECF 的周長是否發生變化？請說明理由.
17. 如圖，E 為 ABCD 外一點，AE⊥EC，BE⊥ED，求證： ABCD 為矩形.
18. 如圖，已知 M 在正方形 ABCD 的一邊 BC 上，連接 AM，并過點 M 作MN⊥AM，交正
6.3 特殊的平行四邊形
12. 如圖，正方形 ABCD 的邊 CD 在正方形 ECGF 的邊 CE 上，連接 BE，DG，求證：BE
= DG .
C
F
B
DA
（第 12 題）
E
G B
A
C
D
E
F
P
（第 13 題）
13. 如圖，點 P 是正方形 ABCD 的邊 BC 上的任意一點，連接 AP，作 DE⊥AP，垂足是
E，BF⊥AP，垂足是 F . 求證：DE = BF + EF .
15. 如圖，在△ABC 中，AD 是角平分線，DE∥AC 交 AB 于點 E，DF∥AB 交 AC 于點 F .
（1）判定四邊形 AEDF 的形狀，并證明你的結論；
（2）當△ABC 滿足什么條件時，四邊形 AEDF 是正方形？
為什么？
16. 如圖，在矩形 ABCD 中，點 O 是 AC 的中點，AC = 2AB，延長
AB 至 G，使 BG = AB，連接 GO 交 BC 于點 E，延長 GO 交 AD
于點 F . 判定四邊形 AECF 的形狀，并證明你的結論.
（第 16 題）
（第 15 題）（第 14 題）
A
B
D
H
E
F
C
探索與創新
第6章 平行四邊形
30
6.4? 三角形的中位線定理
（1）任意畫一個三角形 ABC，分別作出邊 AB，AC 的中點 D，E，連接 DE
（圖 6-36）.
連接三角形兩邊中點的線段，叫做三角形的中位線 .
畫一畫，三角形有幾條中位線？
（2）如圖 6-36，把△ABC 沿中位線 DE 剪開，得到△ADE 和四邊形 BCED.
將△ADE 按圖 6-37 的方式放置，使點 A 與 C 重合，AE 與 CE 重合. 你拼出了一
個什么圖形？說明你的理由.
（3）利用拼出的圖形，你發現中位線 DE 與底邊 BC 有怎樣的位置關系？有
怎樣的數量關系？
DE∥BC，且DE = 12 BC .
圖 6-36 圖 6-37
實驗與探究
（4）對于△ABC 其他的兩條中位線，你也能得到同樣的結論嗎
（5）由（3）（4），你發現三角形的中位線與第三邊之間有怎樣的位置關系
方形 ABCD 的外角∠DCE 的平分線于點 N . 求證：AM = MN .
（第 17 題）
E
A
B
D
C
（第 18 題）
B
A
M C
D
N
E
31
和數量關系？如何證明你的結論？
6.4 三角形的中位線定理
圖 6-39
上面的實驗過程對添
加輔助線有什么啟示？
已知：如圖 6-37，在△ABC 中，AD = DB，AE = EC .
求證：DE∥BC，DE = 12 BC .
證明 延長 DE 至 F，使 EF = DE，連接 CF（圖 6-38）.
∵ AE = CE，∠AED =∠CEF，
∴△ADE ≌△CFE（SAS）.
∴ AD = CF，∠A =∠FCE .
∵ AD = BD，
∴ BD = CF，且 BD∥CF .
∴ 四邊形 BCFD 是平行四邊形（平行四邊形的判定定理 1）.
∴ DF∥BC，DF = BC .
又∵ DE = 12 DF，
∴ DE = 12 BC .
于是，就得到
三角形的中位線定理 三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊
的一半 .
例1 如圖 6-39，點 E，F，G，H 分別是四邊形
ABCD 的邊 AB，BC，CD，DA 的中點. 求證：四邊形
EFGH 是平行四邊形.
解 連接 AC . 在△ABC 中，
∵ 點 E，F 分別是邊 AB，BC 的中點，
∴ EF∥AC，EF = 12 AC （三角形的中位線定理）.
圖 6-38
第6章 平行四邊形
32
練 習
如圖 6-40，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，D 為 AB 的
中點，E 為 AC 的中點，延長 BC 至 F，使 CF = 12 BC，連
接 EF，∠B =∠F 嗎？試至少用兩種方法證明你的結論.
四邊形的分割與拼接
如圖 6-41 ①，有一塊四邊形的木板，能通過分割和拼接把這塊木板的形狀變成平
行四邊形嗎？
設這塊四邊形木板的頂點依次為A，B，C，D，分別取四邊形 ABCD 各邊的中點
E，F，G，H，記 EG 與 FH 的交點為 O（圖 6-41 ②）.
線段 EG 與 FH 互相平分嗎？為什么？
沿著 EG 和 FH 把木板 ABCD 鋸開，得到 4 個小四邊形，將小四邊形的頂點 A，B，
C，D 拼在一起，使 AE 與 BE 重合，BF 與 CF 重合，CG 與 DG 重合，DH 與 AH 重合， 4
個小四邊形就拼成 O1O2O3O4 了（圖
6-41 ③）. 你能用剪紙的方法進行模擬實驗嗎？
你能證明你的結論嗎？
1. 已知三角形的各邊長分別為 8 cm，10 cm 和 12 cm，求連接三角形各邊中點所得到的
三角形的周長.
挑戰自我
A
D
B C F
E
圖 6-40
智趣園
同理 GH∥AC，GH = 12 AC .
∴ EF∥GH，且 EF = GH .
∴ 四邊形 EFGH 是平行四邊形（平行四邊形的判定定理 1）.
②
圖 6-41
③①
C（A，B，D）
33
回顧與總結
習題6.4
1. 順次連接下列四邊形各邊的中點，得到一個怎樣的圖形？證明你的結論.
（1）對角線互相垂直的四邊形；
（2）平行四邊形；
（3）正方形.
2. 求證：三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分.
3. 在△ABC 中，D 是邊 AB 的中點，DE∥BC 交 AC 于點 E . 求證：AE = CE .
拓展與延伸
4. 點 D，E 分別是△ABC 的邊 AB，AC 的中點. 求△ADE 與
△ABC 的面積之比.
5. 如圖，在△ABC 中，D1，D2，D3
是邊 BC 的四等分點，
E1，E2，E3
是邊 AC 的四等分點，F1，F2，F3
是邊 AB 的四
等分點，△ABC 的面積為 1. 求四個陰影三角形 P1，P2，
P3，P4
的面積之和.
6. 在△ABC 中，AB，BC，CA 的中點分別是 E，F，G，AD
是高. 求證：∠EDG =∠EFG .
（第 5 題）
1. 本章學習了哪些內容？總結一下，與同學交流.
2. 平行四邊形是特殊的四邊形，矩形、菱形、正方
形都是特殊的平行四邊形. 其中，正方形既是特
殊的矩形，也是特殊的菱形. 請按照它們的包含
回顧與總結
2. 順次連接矩形各邊的中點，得到一個怎樣的圖形？順次連接菱形各邊的中點呢？證明
你的結論 .
探索與創新
復習與鞏固
A
E G
B CD F
（第 6 題）
第6章 平行四邊形
34
綜合練習
1. 選擇題
（1）在四邊形 ABCD 中，AD∥BC . 要判定 ABCD 是平行四邊形，還需要添加的條件
是 （ ）.
（A）∠A +∠C = 180° （B）∠B +∠D = 180°
（C）∠A +∠B = 180° （D）∠A +∠D = 180°
關系在上圖中適當的空白處分別填上它們的名稱 .
3. 把平行四邊形、矩形、菱形、正方形的定義和性質分別填入下表：
圖形 定 義
性質
邊 角 對角線 對稱性
平行四邊形
矩 形
菱 形
正方形
4. 結合下圖說出各種特殊四邊形的判定定理，并在“→”的上方寫出相應判定定理的要點.
四邊形 平行四邊形
矩形
菱形
正
方
形
5. 在本章中，哪些判定定理可由性質定理的逆命題得到？對此你有什么體會？
6. 特殊四邊形的定義性質及其判定，既是本章研究的重要內容，也是今后用來證明兩角
相等、兩線段相等、兩直線平行或垂直的重要依據. 就這類問題，談談你學習的心得
和感受.
7. 直角三角形斜邊上的中線的性質定理是如何得到的？這個定理能夠幫你解決哪些問題
8. 三角形的中位線定理是什么？這個定理能夠幫你解決哪些問題？
9. 在解決幾何問題時，經常根據需要添加輔助線. 結合本章學習內容說說你在解決問題
時添加輔助線的體會 .
復習與鞏固
35
3. 如圖，在△NMB 中，BM = 6，點 A，C，D 分別在邊 MB，BN，MN 上，DA∥NB，
DC∥MB，∠NDC =∠MDA . 求四邊形 ABCD 的周長.
4. 分別以矩形 ABCD 的邊 AD 和 CD 為一邊，向矩形外作正三角形 ADE 和正三角形
CDF，連接 BE 和 BF . 求證：BE = BF .
5. 如圖，在矩形 ABCD 中，點 E，F 分別在邊 AB，DC 上，BF∥DE，AD = 12 cm，AB =
7 cm ，且 AE∶EB = 5∶2 . 求四邊形 BFDE 的面積 .
6. 如圖是一個邊長為18 cm 的菱形活動衣架. 當 A，B 之間的距離為18 cm 時，求∠D 的度
數.
7. 如圖，把大小相同的兩塊矩形鐵板焊接成“L”型工件，求圖中∠FAC 和∠FCA 的度
數.
（第 2 題） （第 3 題）
M
N
D
C
BA
回顧與總結
（2）以長度分別為 5 cm，4 cm，7 cm 的三條線段中的兩條為邊，以另一條線段為對
角線畫平行四邊形，可以畫出形狀不同的平行四邊形的個數是（ ）.
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（3）如圖，正方形 ABCD 的對角線 BD 是菱形 BEFD 的
一邊，菱形 BEFD 的對角線 BF 交正方形 ABCD 的
一邊 CD 于點 M，∠FMC 的度數是（ ）.
（A）135° （B）120°
（C）112.5° （D）67.5°
2. 如圖，在 ABCD 中，點 E，F 分別在 BC，AD 上 ，BE = DF，點 M，N 分別是 AE，
CF 的中點 . 求證：四邊形 MENF 是平行四邊形.
B C E
M
A D F
（第 1（3）題）
F E
D
G A B
C
（第 7 題）（第 6 題）
8. 如圖，在正方形 ABCD 中，E為邊 CD 上的一點，F 為邊 BC 延長線上的一點，CE =
CF .
（第 5 題）
A
E
B C
F
D
第6章 平行四邊形
36
（1）求證：△BCE ≌△DCF；
（2）已知∠BEC = 60°，求∠EFD 的度數 .
9. 如圖，在△ABC 中，AB = AC，延長 AB 到 D，使 BD = AB，E 是 AB 的中點. 求證：
CD = 2CE.
（第 9 題）
拓展與延伸
11. 如圖，在 ABCD 中，∠BAD 與∠ADC 的平分線分別交 BC 于點 F 與 E . 求證：BE
= FC.
（第 13 題）
10. 有一塊形狀為平行四邊形的鐵片ABCD，其相鄰兩邊之比為AD∶AB = 1∶2 . 能從這
塊鐵片上截下一個以 AB 為斜邊、直角頂點在 CD 上的直角三角形嗎？如果能，應當
怎樣截取？證明你的結論 .
12. 如圖，在矩形 ABCD 中，點 M 是邊 AD 的中點，點 P 是邊 BC 上的動點，PE⊥MC，
PF⊥BM，垂足分別為點 E，F .
（1）當矩形 ABCD 的長與寬滿足什么條件時，四邊形PEMF為矩形？證明你的結論.
（2）如果四邊形 PEMF 為矩形，那么當點 P 運動到什么位置時，矩形 PEMF 變為正
方形 ？能證明你的猜想嗎？
13. 如圖，在△ABC 中，分別以 AB，AC，BC 為一邊，在 BC 的同
側作等邊三角形 ABD，ACE，BCF .
（1）求證：四邊形 DAEF 是平行四邊形；
（2）當△ABC 滿足什么條件時，四邊形 DAEF 是矩形？是菱
形？是正方形？
（第 8 題）
A
B
E
D
C F
（第 11 題） （第 12 題）
37
14. 一個三角形紙片經過適當分割和拼接，可以將這個三角形變成一個面積相等的矩形.
剪切與拼接方法如圖 ① 所示. 你能證明圖 ②是矩形嗎？
回顧與總結
15. 如圖，在△ABC 中，O 是 AC 邊上一點，過點 O 作 BC 的平行線，交∠BCA 的平分線
于點 E，交外角∠ACD 的平分線于點 F.
（1）求證：EO = OF；
（2）連接 AE，AF，當點 O 沿 AC 移動時，四邊形
AECF 是否能成為一個矩形？此時，點 O 在什么
位置？說明理由.
16.（1）如圖 ①，在正方形 ABCD 中，點 E，F 分別是邊BC，CD 上的點，BE = CF，
AF，DE 交于點 G . 求證：AF⊥DE 且 AF = DE；
（2）點 E，F 分別在邊 CB，DC 的延長線上，且 BE = CF .（1）中結論是否也成立？
如果成立，請寫出證明；如果不成立，請寫出理由.
（3）在（2）的基礎上，連接 AE，BF，分別取 AE，EF，FD，AD 的中點 M，N，
P， ，請判斷四邊形 MNP 的形狀，并寫出證明.
中點中點
Ⅰ
ⅢⅡ
Ⅰ
ⅢⅡ
（第 14 題）
① ②
探索與創新
A
B
D
CE
FG
A
G
E
F
B
D
C
A
G
E
F
B
N
M
P
D
C
（第 16 題）
① ② ③
（第 15 題）
B C
O FE
A
D
第7章? 實? 數?
38
內容提要
■??算術平方根
■??勾股定理
■????2?是有理數嗎
■??勾股定理的逆定理
■??平方根
■??立方根
■??用計算器求平方根和立方根
■??實???數
2002?年?8?月?20?日?8?月?28?日，第?24?屆國際數學家大會在北京召開，
大會的會標取材于我國古代數學家趙爽（3?世紀初）的“弦圖”.
（1）它是由哪些圖形拼接而成的？
（2）如果弦圖中直角三角形的兩條直角邊的長分別是?a?和?b，斜邊長是?
c，如何通過弦圖中各圖形面積間的關系推導?a，b，c?之間的數量關系？
（3）如果一個直角三角形的兩條直角邊的長分別是?2?和?3，你能根據
（2）中的結論求出直角三角形的斜邊長嗎？它是一個有理數嗎？
情境導航
39
第7章? 實? 數?
40
已知正方形的邊長，利用平方運算，便可計算出它的面積. 反之，如果知道
正方形的面積，如何求它的邊長呢？
7.1? 算術平方根
（1）一個正方形的面積是 4，它的邊長是多少？
（2）一個正方形的面積是 9，它的邊長是多少？
（3）一個正數的平方是 16，這個數是多少？
你是怎樣求出來的？與同學交流.
一般地，如果一個正數 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么這個正數 x 叫做 a
的算術平方根，記作“ a ”，讀作“根號 a ”.
例如，在上面的問題（1）中，因為 22 = 4，所以 4 的算術平方根是 2，記作
4 = 2. 類似地，你能表示出上面問題（2）與（3）中 9 和 16 的算術平方根嗎？
特別地，規定 0?的算術平方根是?0，即 0 = 0 .
（4）如果將算術平方根定義中的等式 x2 = a 左邊的 x，換成 a，你能得到
一個怎樣的等式？
（ a）2 = a（a≥0）.
這個等式的幾何意義如圖 7-1 所示.
（5）想一想，為什么上面的式子中要注明a≥0？
因為任何數的平方都不是負
數，所以負數沒有算術平方根.
觀察與思考
圖 7-1
a
a
41
例1 求下列各數的算術平方根：
（1）49； （2）100； （3） 916 ； （4）0.64 .
解 （1）∵ 72 = 49，
∴ 49 的算術平方根是 7，即 49 = 7；
（2）∵ 102 = 100，
∴ 100的算術平方根是10，即 100 = 10；
（3）∵ （ 3
4
）2 = 9
16
，
∴ 9
16
的算術平方根是 34 ，即
9
16
= 34 ；
（4）∵ 0.82 = 0.64，
∴ 0.64 的算術平方根是 0.8，即 0.64 = 0.8 .
例2 鋪一間面積為 60 m2 的教室的地面，需用大小完全相同的 240 塊正
方形地板磚 . 每塊地板磚的邊長是多少？
解 設每塊地板磚的邊長為 x m . 由題意，得
240x2 = 60，即 x2 = 0.25 .
于是 x = 0.25 = 0.5 .
所以，每塊地板磚的邊長是 0.5 m .
7.1? 算術平方根

1. 求下列各數的算術平方根：
（1）36； （2）0； （3）1； （4） 19 ； （5）
16
25； （6）（-0.3）
2 .
2. 一個正方形運動場地的面積是 625 m2，它的邊長是多少？
練 習
第7章? 實? 數?
42
1. 填表：
a 121 196 225 324 361
a 12 13 16 17 20
2. 求下列各式的值：
（1） 144 ； （2） 25
49
；
（3） 10 000 ； （4） 0.004 9 .
3. 下面的說法正確嗎？為什么？
（1）5 是 25 的算術平方根；
（2）9 是 3 的算術平方根；
（3）6 是 36 的算術平方根；
（4）-1 是 1 的算術平方根.
4. 計算：
（1）（ 4 ）2； （2）（
81
100 ）
2 .
拓展與延伸
5. 如果一個數的算術平方根等于它本身，這個數是多少？
6. 回答下列問題：
（1）52 的算術平方根是什么？
（2）（-5）2 有沒有算術平方根？如果沒有，說明理由；如果有，寫出它的算術平方根；
（3）當 a 是 a2 的算術平方根時，a 是什么數？
（4）當 -a 是 a2 的算術平方根時，a 是什么數？
7. 計算：
（1） 0.01 - 0.25 ； （2） 4
9
· 9
25
；
（3） 16 （ 100 - 121 ）； （4） 0.36· 225324
.
習題7.1
復習與鞏固
43
圖 7-3圖 7-2
① ②
7.2? 勾股定理
7.2? 勾股定理?
（1）用硬紙片剪 8 個全等的直角三角形（圖 7-2），設每個直角三角形兩
條直角邊分別為 a，b，斜邊為 c .
（2）在紙上畫出兩個邊長均為 a + b 的正方形（圖 7-3）；按圖 7-3 ① 所示
的方式，將剪出的 4 個直角三角形擺放在第一個正方形內；按圖 7-3 ② 所示的
方式，將另外的 4 個直角三角形擺放在第二個正方形內.
（3）判斷圖 7-3 中四邊形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的形狀，說出你的理由.
（4）觀察圖 7-3 ①，小正方形Ⅰ的面積是 ________，小正方形Ⅱ的面積是
________ .
（5）觀察圖 7-3 ②，小正方形Ⅲ的面積是 ________ .
（6）圖 7-3 ① 中小正方形Ⅰ和Ⅱ面積之和與圖 7-3 ② 中小正方形Ⅲ的面積
有什么關系？由此你發現直角三角形的三邊 a，b，c 之間有怎樣的數量關系？
實驗與探究
我 發 現
a2 + b2 = c2.
在直角三角形中，如果兩條直角邊分別為 a 與 b，斜邊為 c，那么
a2 + b2 = c2 .
也就是說，直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
第7章? 實? 數?
44
這個結論稱為勾股定理 1 .
（7）你能只用圖 7-3 ② 解釋勾股定理嗎？
例1 如圖 7-4，電線桿 AC 的高為 8 m，從電線桿 CA 的頂端 A 處扯一根
鋼絲繩，將另一端固定在地面上的 B 點，測得 BC 的長為 6 m . 鋼絲繩 AB 的長度
是多少？
解 在 Rt △ ABC 中，∠C = 90°，AC = 8，BC = 6 .
由勾股定理，得
AB2 = AC2 + BC2
= 82+62 = 100，
于是 AB = 100 = 10 .
所以，鋼絲繩的長度為 10 m .
例2 （中國古代數學問題）2 如圖 7-5 ①，有一架秋千，當靜止時其踏
板離地 1 尺；將踏板向前推進兩步（一步指“雙步”，即左右腳各邁一步，一步
為 5 尺）并使秋千的繩索拉直，其踏板便離地 5 尺. 求繩索的長.
1 在國外，勾股定理被稱為畢達哥拉斯定理（Pythagoras theorem）.
2 本題出自明代程大位所編的《算法統宗》，原題是：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步與人
齊，五尺人高曾記。仕文佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉，良工高士好奇，算出索長有幾？”
圖 7-4
解 如圖 7-5 ②，O 是繩索的頂部，點 A 是秋千靜止時踏板的位置，點
B 是將秋千踏板向前推進兩步時的位置，所以 OA = OB. 延長 OA 交地面于點 C，
過點 B 作 BD 與地面垂直，垂足為 D，連接 CD . 作 AE⊥BD，BF⊥OC，垂足分
別為 E，F，則四邊形 AFBE，ACDE 都是矩形.
圖 7-5
① ②
45
由題意知，AC = 1，BD = FC = 5，BF = 10 . 于是
FA = FC - AC= 5 - 1 = 4 .
設 OB = x，
從而 OF = OA - FA= OB - FA = x - 4 .
在 Rt△OFB 中，∠OFB = 90°，由勾股定理，得
OB 2 = BF 2+OF 2，
即 x2 = 102 +（x - 4）2 .
解這個方程，得 x = 14.5 .
所以，秋千繩索的長為 14.5 尺.
如圖 7-6，將兩個直角邊長為 a，b，斜邊長為 c
的三角形按圖中所示的方式放置. 連接兩個直角三角形
的另外一對銳角的頂點，你能用圖 7-6 解釋勾股定理
嗎？試一試.
漫話勾股定理
在我國古代，人們把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較
長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦. 根據成書約在公元前 1 世紀的
《周髀算經》的記載，商高（公元前 11 世紀西周時期人）在回答
周公的問話時，明確指出“勾廣三，股修四，徑隅五.”大意是：
如果一個直角三角形的勾為 3，股為 4，那么弦就是 5. 這是勾股定
理的一個特例 . 書中還記載周公后人榮方與陳子（約公元前 6、7 世紀）包含勾股定理一
般形式的一段對話：“若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方
除之，得邪至日.”句中的“邪”即斜，用公式表示，即
斜至日（弦）= 勾2 + 股2 .
這是我國勾股定理普通形式的最早表述.
7.2? 勾股定理
圖 7-7
a
b
c
挑戰自我
史海漫游
a
a
b
c
c
b
圖 7-6
第7章? 實? 數?
46
習題7.2

練 習
在西方，古希臘數學家畢達哥拉斯發現并證明了這一定理，并傳說他殺了一百頭牛
以慶賀，所以西方人又稱這個定理為畢達哥拉斯定理或“百牛定理”.
勾股定理的證明方法多達 370 多種，目前還沒有哪一個定理有如此多的證明方法.
公元 3 世紀初，我國數學家趙爽在《周髀算經注》中，給出了勾股定理的一種簡潔而又
嚴格的證明：
如圖 7-7，邊長為 c 的大正方形中放有 4 個勾為 a，股為 b，弦為 c 的直角三角形，
它們又圍成一個邊長為 b - a 的小正方形，由 4 個直角三角形的面積與小正方形的面積
之和等于大正方形的面積，可得
4×12
ab +（b - a）2 = c2 .
化簡，得 a2 + b2 = c2 .
圖 7-7 稱為“弦圖”，又稱為“勾股圓方圖”，2002 年 8 月在北京召開的國際數學
家大會的會標（見本章章頭圖）就使用了這個圖，以展示中國古代數學的偉大成就.
1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，b，c 分別是∠A，∠B，∠C 所對的三條邊.
（1）如果 a = 3，b = 4，求 c 的長；
（2）如果 c = 13，b = 12，求 a 的長.
2. 如圖，梯子的底端與建筑物的底部位于同一地平面上，將梯子的
上端靠在建筑物上. 如果梯子的底端離建筑物底部 9 m，那么 15 m
長的梯子的上端達到的高度是多少？
（第 2 題）
15 m
9 m
1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°.
（1）已知 a = 12，b = 16，求 c 的長；
（2）已知 b = 12，c = 13，求 a 的長.
復習與鞏固
47
2. 如圖，某建筑工地需要制作等腰三角形支架，為了增加支架的耐壓性，需添加一根中
柱 AD（D 為 BC 的中點），如果 AB = AC = 5 m，BC = 8 m，求 AD 的長.
3. 如圖，為了求出分別位于池塘兩岸的點 A 與點 B 的距離，小亮在點 C 處立一標桿，使
∠ABC 是直角. 測得 AC 的長為 85 m，BC 的長為 75 m，那么點 A 與點 B 的距離是多少？
A
B D C
（第 2 題） （第 3 題）
拓展與延伸
5. 一艘輪船以 24 海里/ h 的速度離開港口向南偏東 45°方向航行，另一艘輪船同時以 10
海里/ 時 的速度離開港口向南偏西 45°方向航行，1 小時后這兩艘輪船相距多遠？
6. 如圖，旗桿 AB 的頂端 A 處掛有一根繩子. 小瑩在測量旗桿的高度時，先把繩子沿旗桿
下垂到點 B，固定后再把余下的部分沿地面拉緊成線段 BC（繩子的一端落在地面上
的 C 點處），然后再將繩子重新拉緊成線段 AD（繩子的一端落在地面上的 D 點處）.
小瑩只用卷尺在地面上測量了兩個數據，就計算出了旗桿的高度. 你知道她測量了哪
兩個數據嗎？你能求出旗桿的高度嗎？
（第 6 題）
8. 如圖，圖中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是
直角三角形. 已知最大的正方形的邊長是 7 cm，求正方形
A，B，C，D 面積的和.
7.2? 勾股定理
4. 在 △ABC 中，AB = 13，AC = 15，BC 上的高 AD = 12，則邊 BC 長為多少？
（第 8 題）
D
C
B
A
CB
DA E
F
（第 7 題）
7. 如圖，ABCD 是一張矩形紙片，AB = 6 cm，BC = 8 cm . 將紙片沿 EF 折疊，點 B 恰與
點D 重合. 求折痕 EF 的長.
探索與創新
第7章? 實? 數?
48
9. 如圖，直線 l 的上方有三個正方形 A，B，C，已知 A
和 C 的面積分別是 5 和 11，求 B 的面積.
10. （1）如圖①，P 是矩形 ABCD 的邊 BC 上的一點.
求證：PA2 + PC2 = PB2 + PD2 ；
（2）如圖②，當點 P 在矩形 ABCD 內時，（1）中的等式是否成立？證明你的結論；
（3）如圖③，當點 P 在矩形 ABCD 外時，（1）中的等式是否成立？證明你的結論.
7.3? 2是有理數嗎?
（1）作一個腰長是1的等腰直角三角形 ABC（圖 7-8）.
利用勾股定理，你能計算斜邊 AB 的長 嗎？
實驗與探究 B
C A
圖 7-8
AB = AC 2 + BC 2 = 12 + 12 = 2 .
2 是一個什么樣的數呢？
（2） 2 可能是整數嗎？如果不是，你能估計出 2 在哪兩個連續整數之間
嗎？
（第 9 題）
l
A
B
C
（第 10 題）
B P C
DA
CB
DA
P
CB
DA
P
① ② ③
49
我是利用直角三角形的性質估計的：
∵AC < AB < AC + BC，
∴1 < AB < 2，由于AB = 2 ，因此 2 不可能是整數.
7.3? 2是有理數嗎
∵12 = 1，22 = 4，（ 2）2 = 2，
∴1 <（ 2）2 < 4，1 < 2 < 2，
因此 2 在連續整數 1，2 之間，故它不可能是整數.
（3） 2 可能是整數 1，2 之間的某一個分數嗎？比方說可能是 43
嗎？可能
是 32
嗎？你再猜出一個最簡分數，它的平方會是 2 嗎？
如果 2 是一個分數，那么可把它化成
最簡分數
m
n
. 由于 m 與 n 沒有 1 以外的公約
數，從而（
m
n ）
2 = m·mn·n
仍然是一個最簡分
數，不會是 2 . 所以 2 不可能是分數.
（4）既然 2 不是整數，也不是分數，那么它不是有理數.
利用平方運算，你能估計出 2 的整數部分、十分位、百分位??來嗎？
由 1 < 2 < 2，可知 2 是一個整數部分是 1 的小數，即 2 = 1.
分別計算 12，1.12，1.22，?，1.92，得到下表：
12 1.12 1.22 1.32 1.42 1.52 ?
1 1.21 1.44 1.69 1.96 2.25 ?
由于 1.96 < 2 < 2.25，所以 1.42 < 2 < 1.52，于是 1.4 < 2 < 1.5，
由此可以估計 2 的十分位上的數字是 4，即
第7章? 實? 數?
50
2 = 1.4 ?
利用計算器，再分別計算 1.402，1.412，1.422，?，1.492，得到下表：
1.402 1.412 1.422 1.432 ?
1.960 1.988 1 2.016 4 2.044 9 ?
由于 1.988 1 < 2 < 2.016 4，所以 1.412 < 2 < 1.422，于是 1.41 < 2 < 1.42，
由此可以估計 2 的百分位上的數字是 1，即
2 = 1.41 ?
利用上面的方法繼續做下去，可以依次估算出 2 的千分位、萬分位??得到
2 = 1.414 213 562 ?
如果借助計算機，還可以繼續做下去，得到
2 = 1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948
073 176 679 737 990 732 478 462 107 038 850 387 534 327 641 572 735
013 846 230 912 297 024 924 836 055 850 737 212 644 121 497 099 935
831 413 222 665 927 505 592 755 799 950 501 152 782 060 571 5 ?
（5） 2 可能是有限小數嗎？可能是循環小數嗎？由此你判斷 2 是一個怎
樣的數呢？
因為任何有限小數或循環小數都可化為分數，由
于 2 不是分數，所以 2 不會是有限小數，也不會
是循環小數. 由于 2 的小數位數是無限的，而且是不
循環的，我們把這樣的小數叫做無限不循環小數.
（6）與上面的探索活動類似，借助于計算器或計算機，可以探索出
3 = 1.732 050 80 ?
5 = 2.236 067 97 ?
7 = 2.645 751 31 ?
它們也都不是有限小數或循環小數，而是無限不循環小數.
除了求一些數的算術平方根時可以得到無限不循環小數以外，還有一些
51
數，例如圓周率 π 的值
3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105
820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982
148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481
117 450 284 102 7 ?
也是無限不循環小數.
再如
0.101 001 000 100 001 ?（小數點后面相鄰的兩個 1 之間依次多 1 個 0），
0.101 100 111 000 111 100 00 ?（小數點后面 k 個 1 后面有 k 個 0，再后面是
（k+1）個 1，k = 1，2，?）
等也都是無限不循環小數.
無限不循環小數叫做無理數（irrational number）.
上面提到的 2 ， 3 ， 5 ， 7 ，π 以及 0.101 001 000 1?，0.101 100
111?都是無理數.
3.14 是有理數還是無理數？它與 π 有怎樣的關系？3.141 6 呢？
例1 用有理數估計下列各數的算術平方根的范圍（精確到 0.001）：
（1）29； （2）91 .
解 （1）∵ 52＜29＜62，
借助計算器可以進一步估計 5.32＜29＜5.42，
5.382＜29＜5.392，
5.3852＜29＜5.3862，
∴ 5.385＜ 29 ＜5.386.
由此可以估計 29 的精確到 0.001 的不足近似值是 5.385，過剩近似值是
5.386 .
（2）∵ 92＜91＜102，
借助計算器可以進一步估計 9.52＜91＜9.62，
9.532＜91＜9.542，
9.5392＜91＜9.5402，
∴ 9.539＜ 91 ＜9.540 .
7.3? 2是有理數嗎
第7章? 實? 數?
52

練 習
1. 下面的說法正確嗎？如果不正確，請說明理由：
（1）無限小數都是有理數； （2）無理數都是無限小數；
（3）帶根號的數都是無理數； （4）無理數都是帶根號的數.
2. 用有理數估計下列各數的算術平方根（精確到 0.01）：
（1）8； （2）55 .
3. 解決本章“情境導航”中的問題（3）.
（1）給出長度為 1 的線段，你會作出長度為 2 的線段嗎？會作出長度分別
為 3 與 5 的線段嗎？
由此可以估計 91 的精確到 0.001 的不足近似值是 9.539，過剩近似值是
9.540 .
實驗與探究
圖 7-9 圖 7-10
2 3 4 5 1
3
4
1
1
1
1
1
5
2
圖 7-9 與圖 7-10 給出了長度分別為 3 與 5 的線段的兩種作法. 你還能想
出其他的作法嗎？你還能作出長度為 10 的線段嗎？
（2）你能在數軸上找到表示無理數 2， 3， 5 的點嗎？
在圖 7-10 中，把正方形左下方的頂點作為原點，以下面的邊所在的直線
作為數軸，規定向右的方向為正方向，以正方形的邊長作為單位長度，擦去數
53
任何一個無理數都可以用數軸上的
點來表示，數軸上除去表示有理數的點以
外，其他的點表示的數都是無理數.
0 41 2 3
2 3 5
圖 7-11
例2 如圖 7-12，方格紙上每個小正方形的邊長都
是 1.
（1）分別求出點 A 到 B，C，D，E，F 各點的距離；
（2）以 A，B，C，D，E，F 中的任意三個點為頂點
的三角形中，有沒有等腰三角形？如果有，指出這樣的
三角形；
（3）以點 B 為圓心，BD 為半徑的圓，還經過方格紙上的哪些格點？如果
有，把它們描出來，標上字母，并說明理由.
解 （1）由圖 7-12 可知，AB = 3，
由勾股定理，得
AC = 42+12 = 17 ，AD = 42+22 = 20 ，
AE = 42+32 = 5，AF = 22+32 = 13 .
（2）△BEF 是等腰三角形. 這是因為
BE = 32+12 = 10 ，BF = 32+12 = 10 .
此外，△CEF 與 △BDF 也是等腰三角形.
（3）如圖 7-13，以 B 為圓心，以 BD 為半徑的圓還
經過點 M，N，這是因為 BM = BN = BD = 22+12 = 5 .
A B
F E
D
C
圖 7-12
A B
F
M
N
E
D
C
圖 7-13
軸上方的正方形和矩形的各邊，便得到圖 7-11. 這樣就用數軸上的點表示出了
無理數 2， 3， 5 .
7.3? 2是有理數嗎
第7章? 實? 數?
54

你能在數軸上找出表示無理數 π 的點嗎？試一試.
挑戰自我
無理數的由來
公元前 520 年左右，古希臘數學家畢達哥拉斯創立了畢達哥拉斯學派，這是一個從
事數學研究的學術團體. 畢達哥拉斯學派尊崇“萬物皆數”，認為世界上一切對象皆由整
數組成，分數則是兩個整數之比，除整數與分數以外再沒有其他的數了.
可是隨著勾股定理的發現，就遇到了一個新的問題：邊長為 1 的正方形的對角線的
長是一個怎樣的數？
由勾股定理，邊長為 1 的正方形的對角線的長 2 是客觀存在的. 它既然不是整數，
也不是分數，究竟是個什么數呢？難道除了整數和分數以外還有其他的數嗎？希臘數學
家們面臨了“第一次數學危機”.
經過研究，該學派的一個成員希帕索斯（Hippasus，約前 5 世紀）斷定：正方形的
對角線與邊長的比值是人們還沒有認識的新數.
希帕索斯的發現，推翻了畢達哥拉斯學派的“數只有整數和分數”的論斷，從根本
上動搖了畢達哥拉斯學派的理論基礎，引起了畢達哥拉斯學派的恐慌. 據說，希帕索斯
在船上向同道公布這一事實時，竟被恐慌不已的畢達哥拉斯的信徒們視為異端而扔進了
大海.
希帕索斯雖然被害了，但是無理數并沒有被消滅. 從希帕索斯的發現中，人們知道
除去整數和分數以外，還存在著一種新的數， 2 就是其中之一. 由于從廣義上說，整數
也都能寫成兩個整數之比，例如 2 = 21 ，-3 =
-3
1 ，0 =
0
1
等，后來，人們把可以寫成
兩個整數之比的數叫做有理數（rational number，直譯為可比數），而把不能寫成兩個整
數之比的數叫做無理數（irrational number，直譯為不可比數）.
史海漫游
練 習
1. 在 Rt△ABC 中，如果∠B 是直角，AB = 6，BC = 5，求 AC 的長.
2. 如圖，方格紙上每個小正方形的邊長都是1. 以格點為頂點，分別在三張方格紙上畫出
55

（第 2 題）
習題7.3
1. 下列各數中哪些是有理數？哪些是無理數？
0.121 121 112 ?（小數后面相鄰的兩個 2 之間依次多 1 個 1），345.202
3
， π
2
，
- 2389 + 0.31
3 3
，3.1
3
41 59
3
.
2. 用有理數估計下列各數的算術平方根的范圍（精確到0.01）：
（1）17； （2）65.
3. 校園里有一個面積為 34 m2 的正方形水池. 你能估計出這個水池邊長的大致范圍嗎（精
確到 0.1 m）？
4. 等腰直角三角形的斜邊長為 2，它的一條直角邊的長是多少？
5. 已知 A（3，2），B（-2，-3），C（2，-3），分別求 A，B，C 三點到原點的距離.
6. 如果正方形 ABCD 的頂點 A，B，C 的坐標分別是（2，3），（-2，3）和（-2，-1），
求頂點 D 的坐標和對角線 BD 的長.
拓展與延伸
7. 如圖，Rt△CBA 的兩直角邊長分別為 1，2，以 Rt△CBA 的斜邊 AC 為一直角邊，另一
條直角邊為 1，畫第 2 個 Rt△DCA；再以 Rt△DCA 的斜邊 AD 為一直角邊，另一直角
邊為 1，畫第 3 個 Rt△EDA；?依次類推，寫出第 n 個直角三角形的斜邊長.
三角形，使第一個三角形只有一條邊的長為無理數，第二個三角形有兩條邊的長為無
理數，第三個三角形的三邊長都為無理數.
復習與鞏固
7.3? 2是有理數嗎
第7章? 實? 數?
56
8. 如圖是一種“牛頭”形圖案，其作法是：從正方形 ① 開始，以它的一邊為斜邊向外
作等腰直角三角形，然后再以其直角邊為一邊，分別向外作正方形 ② 和 ②′，依次
類推. 若正方形 ① 的邊長為 64 cm，求正方形 ⑦ 的邊長.
9. 一個有理數與一個無理數相加有可能等于有理數嗎？為什么？
（第 8 題）
10. 請你設計一種不同于本節圖 7-9 和圖 7-10 的方法，作出長度為 2 ， 4 ， 8 ， 16 ??
的線段.
CB
D
A
E
?
（第 7 題）
1
1
1
1
2
F
7.4? 勾股定理的逆定理?
在7.2節中，我們通過探索得到了勾股定理. 你能說出勾股定理的逆命題
嗎？它的逆命題是真命題還是假命題？
（1）選定一個單位長度，然后取一根長度為 12 單位的細繩，將它首尾相接
并圍成一個△ABC，使得三邊的長度分別為 AC = 5，BC = 4，AB = 3，再用圖
釘把這個三角形釘在木板上（圖 7-14）；
（2）驗證 △ABC 各邊的長是否滿足 a2 + b2 = c2；
（3）用三角尺檢驗∠B 是否為直角，由此你判斷 △ABC 是怎樣的三角形？
（4）再取一根長度為 30 單位的細繩，圍成邊長分別為 5，12，13 的三角
形，然后重復（2），（3）兩個步驟（圖 7-15）. 你有什么發現？
實驗與探究
探索與創新
57
7.4? 勾股定理的逆定理
（5）一般地，如果△ABC 的三邊為 a，b，c（圖 7-16 ①），且滿足
a2 + b2 = c2，
那么這個三角形是直角三角形嗎？
作 Rt△A'B'C'（7-16 ②），使
∠C' = 90°，A'C' = AC = b，B'C' = BC = a .
由勾股定理，
A'B' = A'C' 2 + B'C' 2 = a2 + b2 = c = AB .
∴△ABC ≌△A'B'C'（SSS），
∴∠C = ∠C' = 90°，所以△ABC 是直角三角形.
于是，就得到
勾股定理的逆定理? 如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么
這個三角形是直角三角形.
利用勾股定理的逆定理，可以
由三角形三條邊的長度判定它是否
構成直角三角形.
例1 已知三角形三條邊的長度分別是：
（1）1， 2， 3 ；（2）2，3，4；（3）3n，4n，5n（n > 0），
它們是否分別構成直角三角形？
解 （1）在 1， 2， 3 中， 3 是最大邊長，因為 12 +（ 2）2 = 1 + 2
= 3 =（ 3）2，所以，邊長為 1， 2， 3 的三角形是直角三角形.
b
①
b
②
a a
c
B
C A
B'
C' A'
圖 7-16
53
4 12
13
5
圖 7-14 圖 7-15
B C
A
第7章? 實? 數?
58
圖 7-17
A
D
CB
（2）在 2，3，4 中，4 是最大邊
長，22 + 32 = 13≠42，所以，邊長為 2，
3，4 的三角形不是直角三角形.
（3）在 3n，4n，5n（n > 0）中，5n
是最大邊長，
（3n）2 +（4n）2 = 25n2 =（5n）2，
所以，邊長為 3n，4n，5n（n > 0）的三
角形是直角三角形.
例2 如圖 7-17，已知 AB⊥AD，AB = 4，BC = 12，CD = 13，AD = 3.
能判斷 BC⊥BD 嗎？證明你的結論.
解 BC⊥BD . 證明如下：
∵AB⊥AD，
∴△BAD 是直角三角形.
∴BD2 = AB 2 + AD 2 = 42 + 32 = 25 .
在△BCD 中，
∵BC 2 + BD 2 = 122 + 25 = 169 = 132 = CD 2，
∴△BCD 是直角三角形，且 CD 為斜邊，∠CBD = 90°.
∴BC⊥BD .
已知三角形的三邊的長，判斷
三角形是否直角三角形時，由于直
角三角形的最大邊是斜邊，所以只
要檢驗較小的兩條邊的平方和是否
等于最大邊的平方就可以. 如果等式
成立，該三角形是直角三角形，否
則就不是直角三角形.
加油站
利用本節知識，你能用圓規和直尺，作出一個直角嗎？試一試.
挑戰自我
勾股數組
滿足 a2 + b2 = c2 的三個正整數叫做勾股數組. 人類研究勾股數組的歷史可以追溯到遠
古的年代. 迄今為止，考古發現的最早記載，是 3 600 年前古巴比倫人留下的一塊刻有數
學手稿的泥板，上面刻有 15 組勾股數組. 其中，最大的一組竟然是（12 709，13 500，
18 541）.
史海漫游
59
7.4? 勾股定理的逆定理

練 習
1. 已知三角形的三條邊的長度分別是：
（1）a = 10，b = 24，c = 26；
（2）a = 3 ，b = 7 ，c = 10 ；
（3） 3 ， 4 ， 5 ，
判斷這樣的三角形是否為直角三角形.
2. 如圖是一位農民伯伯建房時所挖地基的平面圖. 按建房規
劃，四邊形 ABCD 應為矩形. 他在挖完地基后測量了一下，發
現 AB = DC = 8 m，AD = BC = 6 m，AC = 9 m . 請你幫他分
析一下所挖的地基是否合格. （第 2 題）
A
D
B
C
我國是一個文明古國，也是數學的發源地之一. 在我國古代的數學名著《周髀算
經》中，就給出了勾股數組（3，4，5）. 在稍晚一些的另一部數學名著《九章算術》
中，給出了更多的勾股數組. 例如，（5，12，13）；（7，24，25）；（8，15，17）；
（20，21，29）等.
古希臘數學家畢達哥拉斯給出了勾股數組的一種普遍形式
（2n + 1，2n2 + 2n，2n2 + 2n + 1），
柏拉圖也給出了勾股數組的一種普遍形式
（n2 - 1 ，2n，n2 + 1），
其中，n 均為大于 1 的整數.
丟番圖給出的則是勾股數組的另一種普遍形式
（m2 - n2，2mn，m2 + n2），
這里 m > n，m 與 n 都是正整數.
應當指出，上述幾種普遍形式并不能包括所有的勾股數組. 例如，第一種形式中不
包括勾股數組（8，15，17），第二種形式中不包括勾股數組（5，12，13），第三種形
式中不包括勾股數組（9，12，15）等. 后來人們發現，當 m > n 且 m，n，k 都是正整數
時，利用
a = k（m2 - n2），b = 2kmn，c = k（m2 + n2），
便可以計算出所有的勾股數組.
第7章? 實? 數?
60
拓展與延伸
6. 如圖，在正方形 ABCD 中，E 為 AB 中點，F 為 AD 上一點，且
AF = 14 AD，請判斷△FEC
的形狀.
7. 在本節“史海漫游”中，提到丟番圖的一個結論：設 m > n，
m，n 都是正整數，（m2 - n2，2mn，m2 + n2）是一個勾股數組.
（1）驗證這個結論當 m = 3，n = 2 時是正確的；
（2）證明丟番圖結論的正確性.
習題7.4
1. 已知三角形三邊的長度分別是：
（1）7，24，25； （2）1，2， 5 ；
（3）54，1，
3
2 ； （4）a = n
2－1，b = n2 + 1，c = 2n（n＞1）.
判斷這樣的三角形是否為直角三角形.
2. 當 a 為何值時，長度為 a + 1，a + 2，a + 3 的三條線段能圍成直角三角形？
3. 如果一個三角形三邊長度的平方比為 2 : 3 : 5，這個三角形是直角三角形嗎？
4. 已知兩條線段的長分別為 6 和 10 ，當第三條線段的長取
何值時，這三條線段能圍成一個直角三角形？
5. 在如圖所示的 3×4 正方形網格中，以格點為頂點，能畫出
多少個大小不等的等腰直角三角形？
（第 5 題）
（第 6 題）
B
A
C
E
F D
8. 觀察下列各組勾股數
（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；??
（1）在各組勾股數中，第 1 個數有什么特點？
（2）在各組勾股數中，后兩個數有什么特點？
（3）各組勾股數的第 1 個數的平方與后兩個數的和有怎樣的數量關系？
（4）請按照你發現的規律，寫出上面勾股數組中的第 4 組勾股數；
（5）如果用 2n + 1（n 是整數）表示上面勾股數組的第 1 個數，你能用代數式表示出
復習與鞏固
探索與創新
61
7.5? 平方根
7.5? 平方根?
交流與發現
你能回答下列問題嗎？與同學交流.
（1）平方等于 4 的數有幾個？是哪些數？平方等于 2 的數呢？
平方等于 2 的數有兩
個，分別是 2 或 - 2 .
（2）如果 a 是一個正數，平方等于 a 的數有幾個？怎樣把它們表示出來？
（3）平方等于 0 的數有幾個？是哪個數？
（4）在你所學過的數中，有平方是負數的數嗎？
如果一個數 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么 x 叫做 a 的平方根（square
root），或二次方根.
正數 a 有兩個平方根，它們互為相反數. 其中，正的平方根是它的算術平方
根 a ，負的平方根是它的算術平方根的相反數 - a ，合起來記作 ± a .
同一勾股數組中的后兩個數嗎？如果用 m（ m 是大于 1 的
奇數）表示第 1 個數呢？
9. 如圖，在正方形 ABCD 中，點 E，G 分別在邊 AB、對角線 BD
上，EG∥AD，F 為 GD 的中點，連接 FA，FC . 利用勾股定理
的逆定理，證明EF⊥FC .
A
B C
D
F
E G
（第 9 題）
求一個正數的平方根時，只要先
求出它的算術平方根，就可以知道它
的負的平方根了.
第7章? 實? 數?
62
由于平方等于 0 的數只有一個，所以 0 的平方根也只有一個，就是 0 本身.
因為正數、0、負數的平方都不是負數，所以負數沒有平方根.
求一個數 a 的平方根的運算叫做開平方（extraction of square root），a 叫
做被開方數（radicand）.
例1 求下列各數的平方根：
（1） 49； （2）0.64； （3）3； （4）91（精確到 0.001）.
解 （1）∵（±7）2 = 49，∴ 49 的平方根是 ±7，即± 49 =±7 .
（2）∵（±0.8）2 = 0.64，∴ 0.64 的平方根是 ±0.8，即± 0.64 =±0.8 .
（3）∵（± 3）2 = 3，∴ 3 的平方根是± 3 .
（4）由 7.3 例 1（2）知，91 的算術平方根精確到 0.001 的不足近似值是
9.539，過剩近似值是 9.540，所以 91 的負的平方根的精確到 0.001 的不足近似值
是-9.540， 過剩近似值是-9.539 .
在等式 x2 = a 中，如果已知 x 求 a 的值，需要進行平方運算. 反之，如果已知 a 求 x
的值，需要進行開平方運算. 所以，平方與開平方互為逆運算. 根據它們的這種關系，我
們可以通過平方運算來求一個數的平方根，以及檢驗一個數是不是另一個數的平方根.
加油站
把本節例 1 與 7.1 節例 1 進行比較，你
能說出二者在題目的要求、解題格式及答
案方面有哪些聯系和區別？
例2 求下列各式的值：
（1）- 9
25
； （2）- 10-2 .
解 （1）∵（
3
5 ）
2 = 925，∴
9
25
= 35 ，于是 -
9
25
= - 35 .
（2）∵（10-1）2 = 10-2，∴ 10-2 = 10-1 = 110，
63
7.5? 平方根
練 習
1. 判斷下列說法是否正確：
（1）0 的平方根是 0； （2）1 的平方根是 1；
（3）-1 的平方根是 -1； （4）（-1）2 的平方根是 -1.
2. 求下列各數的平方根：
144， 2 500， 0.81，
49
16， （-2）
2， 10-4 .
3. 求下列各式的值：
（1）- 2581 ； （2）- 0.036 1 ； （3）± 2.25 ； （4）±
121
196 .
挑戰自我
于是 - 10-2 = -
1
10 .
如果一個數的平方等于 a2，這個數等于多少？能用式子表示出來嗎？
習題7.5
1. 判斷下面的說法是否正確，并說明理由：
（1）16 的平方根是 4； （2）2 的平方根是 ± 2 ；
（3）0.1 的平方根是 ±0.01； （4）-3 是（-3）2 的算術平方根.
2. 下列各數有平方根嗎？如果有，求出它的平方根；如果沒有，請說明理由.
（1）-4； （2）0； （3）102； （4）（-5）2； （5）6 .
3. 求下列各數的平方根：
（1）0.25； （2） 225； （3）
121
169 ； （4）10
-6 .
4. 用有理數估計下列各數的平方根的范圍（精確到 0.01）：
（1）8； （2）75 .
5. 求下列各式的值：
（1）± 9 ； （2）- 0.36 ； （3） 0.000 1 + 0.09 ； （4） 82 - （-8）2 .
復習與鞏固
第7章? 實? 數?
64
6. 如果一個數的平方等于 2536，求這個數.
拓展與延伸
7. 下列各式中，哪些有意義？哪些沒有意義？
（1）- 5 ； （2） -5 ； （3） （-5）2 ； （4） 10-5 .
8. 求下列各式中 x 的值：
（1）3x2 = 27； （2）36x2-100 = 0 .
9. 已知 a≠0，下列各數有沒有平方根？為什么？
（-a）2； （ a ）2； -a2 .
10. π 的平方根是有理數嗎？為什么？
7.6? 立方根?
要做一個正方體形狀的水箱，使它的體積為 125 m3，怎樣計算出水箱的棱
長？想一想，與同學交流.
這個問題實質上是求
立方為 125 的數.
因為 53 = 125，所以正方體水箱的棱長為 5 m.
一般地，如果一個數 x 的立方等于 a，即 x3 = a，那么 x 叫做 a 的立方根
（cube root）或三次方根. 數 a 的立方根記作 a 3 ，讀作“三次根號 a ”，其中
a 叫做被開方數，左上角的數 3 叫做根指數（radical exponent）.
求一個數的立方根的運算叫做開立方（extraction of cubic root）.
探索與創新
65
7.6? 立方根
與平方與開平方互為
逆運算類似，立方與開立
方也互為逆運算.
例1 求下列各數的立方根：
（1）64； （2）-64； （3） 827； （4）-0.125 .
解 （1）∵ 43 = 64，
∴ 64 的立方根是 4，即
3
64 = 4 .
（2）∵（-4）3 = -64，
∴ -64 的立方根是 -4，即 3 -64 = -4 .
（3）∵（ 2
3
）3 = 827，
∴ 827
的立方根是 2
3
，即 827
3
= 2
3
.
（4）∵（-0.5）3 = -0.125，
∴ -0.125 的立方根是 -0.5，即 3 -0.125 = -0.5 .
由例 1，你發現正數的立方根是正數還是負數？負數有立方根嗎？它的符號
怎樣確定？與同學交流.
正數有一個正的立方根，負數有一個負的立方根，0 的立方根是 0 .
由例 1（1）（2）還可以看出： 3 -64 = -
3
64 .一般地，如果 a > 0，那么
3
-a = -
3
a . 這就是說，求一個負數的立方根，可以先求出這個負數的絕對值
的立方根，然后再取它的相反數.
例2 求下列各式的值：
（1） 3 -27； （2） 3 0.008；
（3）- 1125
3
； （4）（ 5 3 ）
3 .
解 （1） 3 -27 = -
3
27 = -3；
（2） 3 0.008 = 0.2；
（3）- 1125
3
= - 15 ；
（4）（ 5
3
）3 = 5.
第7章? 實? 數?
66
例3 用有理數估計下列各數的立方根的范圍（精確到 0.1）：
（1）7； （2）-81 .
解 （1）∵ 13＜7＜23，
1.93＜7＜2.03，
∴ 1.9＜ 3 7 ＜2.0 .
3
7 精確到 0.1 的不足近似值是 1.9，過剩近似值是 2.0 .
繼續運用上面的方法還可以估計出 3 7 精確到 0.01，0.001??的不足近似
值和過剩近似值. 事實上，由于 3 7 不是一個整數，也不會是一個最簡分數，所
以， 3 7 =1.912 931 18 ? 也是一個無理數.
（2）∵ 43＜81＜53，
4.33＜81＜4.43，
∴ 4.3＜ 3 81 ＜4.4，
這就是說，
3
81 精確到 0.1 的不足近似值是 4.3，過剩近似值是 4.4 .
因此，
3
-81 精確到 0.1 的不足近似值是 -4.4，過剩近似值是 -4.3 .
挑戰自我
想一想，在絕對值不大于 100 的數中，哪些整數的立方根仍是整數？其他
整數的立方根是怎樣的數？
練 習
1. 說出下列各數的立方根：
216； - 8； -
1
64； -
125
8
； 2； -3 .
2. 求下列各式的值：
（1） -1
3
； （2）- 3 0.001； （3）- - 64125
3
.
67
7.6? 立方根
習題7.6
1. 下面的說法正確嗎？如果不正確，請你給出正確的說法.
（1）8 的立方根是±2；
（2）-0.064 的立方根是 0.4；
（3）-
1
64
的立方根是 -
1
4；
（4）1 的立方根是 1 和 -1.
2. 填表：
a -1 1 000 0.064 -216 127 -
64
27
a 3
3. 求下列各式的值：
（1） 0.125
3
； （2） - 164 ； （3）
27
125
； （4） （-1）2
3
.　
4. 用有理數估計下列各數的立方根的范圍（精確到 0.1）：
（1）35； （2）-95 .
3 3
復習與鞏固
拓展與延伸
5. 求下列各式的值：
（1） 1- 1927
3
； （2） 3764-1
3
； （3） -1
3
-（ 8
3 + 4）÷ （-6）2 .　　
6. 求下列各式中 x 的值：
（1）x3 = -0.125； （2）x3 + 512 = 0；
（3）8x3 = -125； （4）（x-3）3 = -1 .
7. （1）填表：
a 0.000 001 0.001 1 1 000 1 000 000
a 3
（2）觀察上表，當數 a 的小數點每向右（或向左）移動三位時，它的立方根怎樣變
探索與創新
第7章? 實? 數?
68
7.7? 用計算器求平方根和立方根?
利用平方與開平方、立方與開立方互為逆運算，通過觀察或估算可以求出
一些比較簡單的數的平方根和立方根. 在一般情況下，借助科學計算器，可以很
方便、很快捷地求出一個數的平方根和立方根（或精確到 10-9 的近似值）.
例1 利用計算器求下列各式的值：
（1） 289 ； （2） 0.42 .
解 （1）按鍵 ，顯示結果為 17，
即 289 = 17 .
（2）按鍵 ，顯示結果為 0.648 074 069，
即 0.42 ≈ 0.648 074 069 .
例2 利用計算器求下列各式的值（精確到0.001）：1
（1） 3 -47.2； （2）
3
5
3
.
化？你能總結出其中的規律嗎？
（3）已知 178
3 ≈ 5.625，利用（2）的結論，寫出 0.178
3 的近似值.
8. 探索并解決下列問題：
（1）已知 x3 = 10 648，且 x 為兩位數，則 x 的個位數是 .
∵ 8 000 = 203 < x3 < 303 = 27 000，
∴ x 的十位數字是 ，∴ x = .
（2）按照（1）中的思考方法，直接寫出滿足下列兩式的兩位數 x 的值：
① 已知 x3 = 59 319；
② 已知 x3 = 148 877 .
1 如無特殊說明，本教科書中平方根和立方根的近似值都精確到 0.001.
69
7.7? 用計算器求平方根和立方根
解 （1）按下列順序依次按鍵：
，
屏幕上顯示 -3.613 937 739 .
按精確到 0.001 取近似值， 3 -47.2 ≈ -3.614 .
（2）按下列順序依次按鍵：
，
屏幕上顯示 0.843 432 665 .
按精確到 0.001 取近似值， 3
5
3
≈ 0.843 .
練 習
用計算器分別計算 49， 4 489， 444 889， 44 448 889 的值，你發現
了什么規律？你能猜測 444 444 888 889 的值嗎？
1. 利用計算器求下列各式的值：
（1） 484 ； （2） 84.6 ； （3）
5
9 .
2. 利用計算器求下列各式的值：
（1） -1 7283 ； （2） 2.563 ； （3）
3
-
3
7
.
挑戰自我
習題7.7
1. 利用計算器求下列各式的值：
（1） 0.24 ； （2） 1 089 ； （3） 94 .
2. 利用計算器求下列各式的值：
（1） 84.613 ； （2） -7293 ； （3）
3
-
5
6 .
復習與鞏固
第7章? 實? 數?
70
拓展與延伸
3. 利用計算器，判斷下列各式是否正確：
（1） 0.2
3 ＜ 0.3； （2）5.4 ＜ 30 ＜ 5.5；
（3）-2 ＜ -0.87
3 ＜ -1； （4） 165 ＜ 165
3 + 7 .
4. 用計算器計算
9×9+19， 99×99+199， 999×999+1 999，?
你發現了什么規律？你能猜測 99?9×99?9+199?9
n個9 n個9 n個9
的結果嗎？
7.8? 實? 數?
（1）在本章以前，我們曾先后學習了哪些數？數的范圍是怎樣逐步擴充
的？回憶一下，與同學交流.
本章在引進無理數以后，數的范圍又進一步得到擴充.
有理數與無理數統稱為實數（real number）.
（2）你會把實數加以分類嗎？你所確定的分類標準是什么？按你確定的標
準進行一次分類之后，還能再確定另一個指標作為標準，把其中的每一類再進
一步分類嗎？
① 整數可視為有限小數，如 3 可視為 3.0 . 如果先按照是否有限小數和循環
小數，可將實數分為有理數和無理數，然后再按照正、負還可繼續進行分類：
觀察與思考
探索與創新
71
7.8? 實? 數?
實數
有理數 有限小數和循環小數
無限不循環小數
正有理數
零
負有理數
負無理數
正無理數
無理數
實數
正實數
零
正有理數
正無理數
負有理數
負無理數
負實數
② 如果先按照數的正、負、零，可將實數分成三類，然后再按照是否有理
數將正實數和負實數繼續進行分類：
（3）檢查一下，在上面的兩種分類中，有沒有重復和遺漏？
例1 下列各數哪些

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