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第2章 實數章末達標檢測卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．（3分）（2019春?越秀區校級期中）下列各數：，，，，（兩個1之間依次多一個，中無理數的個數為（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【分析】無理數就是無限不循環小數．理解無理數的概念，一定要同時理解有理數的概念，有理數是整數與分數的統稱．即有限小數和無限循環小數是有理數，而無限不循環小數是無理數．由此即可判定選擇項．
【答案】解：，，（兩個1之間依次多一個是無理數，
故選：．
【點睛】此題主要考查了無理數的定義，其中初中范圍內學習的無理數有：，等；開方開不盡的數；以及像，等有這樣規律的數．
2．（3分）（2018春?閔行區期中）下列說法正確的是（　　）
A．的平方根是 B．的平方根是
C．的算術平方根是 D．是的平方根
【分析】根據平方根和算術平方根的定義解答．
【答案】解：的平方根是，的算術平方根是，是的平方根．觀察選項，只有選項正確．
故選：．
【點睛】考查了平方根和算術平方根．求一個非負數的算術平方根與求一個數的平方互為逆運算，在求一個非負數的算術平方根時，可以借助乘方運算來尋找．
3．（3分）（2019春?南昌期中）若，，則的值是（　　）
A．1 B． C．1或 D．或3
【分析】根據題意，利用平方根，立方根的定義求出與的值，再代入計算即可求出的值．
【答案】解：，，
，，
，時，；
，時，．
故選：．
【點睛】此題考查了平方根，立方根，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
4．（3分）（2019春?海陽市期中）若兩個最簡二次根式和是同類二次根式，則的值是（　　）
A． B．4或 C．1或 D．4
【分析】根據最簡二次根式以及同類二次根式即可求出答案．
【答案】解：由題意可知：，
解得：或，
當時，
，
當時，
，
故選：．
【點睛】本題考查二次根式，解題的關鍵是正確理解最簡二次根式以及同類二次根式，本題屬于基礎題型．
5．（3分）（2019春?全椒縣期中）設為正整數，且，則的值為（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】先估算出的范圍，再求出答案即可．
【答案】解：，
，
故選：．
【點睛】本題考查了估算無理數的大小，能估算出的范圍是解此題的關鍵．
6．（3分）（2019春?蒼溪縣期中）如圖，長方形中，，，在數軸上，若以點為圓心，的長為半徑作弧交數軸于點，則點表示的數為（　　）

A． B． C．2 D．
【分析】根據勾股定理，可得的長，根據圓的性質，可得答案．
【答案】解：由勾股定理，得
，
，
點的坐標是，
故選：．
【點睛】本題考查了實數與數軸，利用勾股定理得出的長是解題關鍵，注意點的坐標是．
7．（3分）（2018秋?奉化區期中）已知在實數，，，，，中，互為倒數，，互為相反數，是絕對值，的算術平方根是8，則的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用倒數以及相反數、絕對值、算術平方根的性質計算得出答案．
【答案】解：，互為倒數，，互為相反數，是絕對值，的算術平方根是8，
，，，，
則．
故選：．
【點睛】此題主要考查了實數運算，正確得出各式的值是解題關鍵．
8．（3分）（2019春?昭平縣期中）已知，，，則的值為（　　）
A．2 B．4 C．5 D．7
【分析】根據二次根式的性質進行化簡解答即可．
【答案】解：把，代入，
故選：．
【點睛】此題考查二次根式的化簡求值，關鍵是根據二次根式的性質進行化簡．
9．（3分）（2018春?梁子湖區期中）把式子中根號外的因式移入根號內，正確的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先根據二次根式的定義得到，則有，然后把根號外的式子變形為正數，再利用二次根式的性質計算即．
【答案】解：，
，
．
故選：．
【點睛】本題考查了二次根式的性質與化簡：；．
10．（3分）實數、、在數軸上的位置如圖所示，則化簡的結果為（　　）

A． B． C． D．
【分析】由數軸上點的位置判斷出，及的正負，所求式子先利用二次根式的化簡公式變形，再利用絕對值的代數意義化簡，去括號合并即可得到結果．
【答案】解：根據數軸上點的位置得：，
，，，
則原式

．
故選：．
【點睛】此題考查了二次根式的性質及化簡，實數與數軸，以及絕對值的代數意義，熟練掌握二次根式的化簡公式是解本題的關鍵．
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．（3分）（2019春?曲阜市校級期中）已知和是的平方根，則　49　．
【分析】首先根據正數的兩個平方根互為相反數，列的方程：，解方程即可求得的值，代入即可求得的兩個平方根，則可求得的值．
【答案】解：一個正數的平方根為和，
，
解得：．
，，
．
故答案為：49．
【點睛】此題考查了平方根的定義．明確正數有兩個平方根，且此兩根互為相反數的知識是解題的關鍵．
12．（3分）（2018秋?福田區校級期中）化簡：　　．
【分析】找分母的有理化因式，將原式分母有理化即可．
【答案】解：原式．
【點睛】總結：有關二次根式的除法，可先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進行運算．
13．（3分）（2019春?昭陽區期中）如果有意義，那么的取值范圍是　　．
【分析】根據二次根式及分式有意義的條件列出關于的不等式，求出的取值范圍即可．
【答案】解：有意義，
，解得．
故答案為：．
【點睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式具有非負性是解答此題的關鍵．
14．（3分）（2019春?泰山區期中）計算：　　．
【分析】先利用積的乘方得到原式，然后利用平方差公式計算．
【答案】解：原式

．
故答案為．
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往能事半功倍．
15．（3分）（2019春?壽光市期中）設整數部分是，小數部分是，求的值為　　．
【分析】先求出的范圍，求出、，再代入，計算即可得出答案．
【答案】解：，
，
，，
．
故答案為．
【點睛】此題主要考查了估算無理數的大小，得出，的值是解題關鍵．
16．（3分）（2019春?海陽市期中）若滿足等式，則的值為　2020　．
【分析】根據二次根式有意義的條件可得，再利用絕對值的性質計算即可．
【答案】解：，
，
，
，
，
，
，
故答案為：2020．
【點睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關鍵是根據二次根式中的被開方數是非負數確定的取值范圍．
三．解答題（共6小題，滿分52分）
17．（8分）（2019春?惠城區校級期中）解方程：
（1）
（2）
【分析】（1）根據平方根，即可解答；
（2）根據立方根，即可解答．
【答案】解：（1）
，
或；
（2）
．
【點睛】本題考查平方根、立方根，解決本題的關鍵是熟記平方根、立方根．
18．（8分）（2019春?全椒縣期中）計算：
（1）
（2）
【分析】（1）先利用零指數冪的意義計算，然后化簡后合并即可；
（2）先利用平方差公式計算，然后利用二次根式的除法法則和絕對值的意義計算．
【答案】解：（1）原式
；
（2）原式

．
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可．在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往能事半功倍．
19．（8分）（2019春?曾都區校級期中）已知是的算術平方根，是的立方根．求的平方根．
【分析】利用算術平方根及立方根定義求出與的值，進而確定出與，即可求出所求．
【答案】解：由題意得：，
解得：，
，，
則，9的平方根是．
【點睛】此題考查了立方根、平方根、以及算術平方根，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵．
20．（8分）（2019春?蕪湖期中）已知，，分別求下列代數式的值；
（1）；
（2）．
【分析】（1）先將、進行分母有理化，得到，，再求出與的值，然后根據完全平方公式得出，再整體代入即可；
（2）將所求式子變形為，再整體代入即可．
【答案】解：（1），，
，，
；
（2），，
原式．
【點睛】本題考查二次根式的化簡求值，分母有理化，解題的關鍵是運用完全平方公式以及整體思想，本題屬于基礎題型．
21．（10分）（2019春?江漢區期中）我們用表示不大于的最大整數，的值稱為數的小數部分．
如，2.13的小數部分為．
（1）　1　，　　，的小數部分　　；
（2）設的小數部分為，則　　；
（3）設的小數部分為，為有理數，已知計算的結果為有理數，求的值．
【分析】（1）根據新定義的意義，結合無理數的估算，逐個進行計算即可；
（2）利用新定義表示出，再代入代數式求值；
（3）表示出的小數部分，再根據的結果為有理數，進而確定的值，再代入求值即可．
【答案】解：（1）表示不大于的最大整數，，
，
表示不大于的最大整數，，
，
的小數部分為
故答案為：1，2，0.8．

（2）由題意得：，，
，
故答案為：1．

（3）由題意得：，
，
若使結果是有理數，則，
此時，
答：的值為．
【點睛】考查一元一次不等式組的解集、新定義的概念的理解、以及無理數的運算等知識，準確理解新定義的意義，和兩個無理數的積為有理數的特征是解決問題的關鍵．
22．（10分）（2018秋?金堂縣期中）閱讀下面材料，并解答后面的問題：
；
；
．
（1）觀察上面的等式，請直接寫出的結果　　；
（2）計算　 　，此時稱與互為有理化因式；
（3）請利用上面的規律與解法計算：
．
【分析】（1）根據上面的材料直接寫答案；
（2）利用平方差公式進行計算并填空；
（3）利用（1）中的規律進行計算．
【答案】解：（1）觀察上面的等式可知：；
故答案是：；

（2）；
故答案是：1；

（3）由（1）知，原式．
【點睛】主要考查二次根式的有理化．根據二次根式的乘除法法則進行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點的式子．即一項符號和絕對值相同，另一項符號相反絕對值相同．










第2章 實數章末達標檢測卷
【北師大版】
考試時間：90分鐘；滿分：100分
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
題號 一 二 三 總分
得分
注意事項：
1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上
第Ⅰ卷（選擇題）

評卷人 得 分

一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．（3分）（2019春?越秀區校級期中）下列各數：，，，，（兩個1之間依次多一個，中無理數的個數為（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
2．（3分）（2018春?閔行區期中）下列說法正確的是（　　）
A．的平方根是 B．的平方根是
C．的算術平方根是 D．是的平方根
3．（3分）（2019春?南昌期中）若，，則的值是（　　）
A．1 B． C．1或 D．或3
4．（3分）（2019春?海陽市期中）若兩個最簡二次根式和是同類二次根式，則的值是（　　）
A． B．4或 C．1或 D．4
5．（3分）（2019春?全椒縣期中）設為正整數，且，則的值為（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．（3分）（2019春?蒼溪縣期中）如圖，長方形中，，，在數軸上，若以點為圓心，的長為半徑作弧交數軸于點，則點表示的數為（　　）

A． B． C．2 D．
7．（3分）（2018秋?奉化區期中）已知在實數，，，，，中，互為倒數，，互為相反數，是絕對值，的算術平方根是8，則的值是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）（2019春?昭平縣期中）已知，，，則的值為（　　）
A．2 B．4 C．5 D．7
9．（3分）（2018春?梁子湖區期中）把式子中根號外的因式移入根號內，正確的是（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）實數、、在數軸上的位置如圖所示，則化簡的結果為（　　）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非選擇題）

評卷人 得 分

二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
11．（3分）（2019春?曲阜市校級期中）已知和是的平方根，則　　．
12．（3分）（2018秋?福田區校級期中）化簡：　 　．
13．（3分）（2019春?昭陽區期中）如果有意義，那么的取值范圍是　 　．
14．（3分）（2019春?泰山區期中）計算：　　．
15．（3分）（2019春?壽光市期中）設整數部分是，小數部分是，求的值為　　．
16．（3分）（2019春?海陽市期中）若滿足等式，則的值為　　．
評卷人 得 分

三．解答題（共6小題，滿分52分）
17．（8分）（2019春?惠城區校級期中）解方程：
（1）
（2）
18．（8分）（2019春?全椒縣期中）計算：
（1）
（2）
19．（8分）（2019春?曾都區校級期中）已知是的算術平方根，是的立方根．求的平方根．
20．（8分）（2019春?蕪湖期中）已知，，分別求下列代數式的值；
（1）；
（2）．
21．（10分）（2019春?江漢區期中）我們用表示不大于的最大整數，的值稱為數的小數部分．
如，2.13的小數部分為．
（1）　　，　　，的小數部分　　；
（2）設的小數部分為，則　　；
（3）設的小數部分為，為有理數，已知計算的結果為有理數，求的值．
22．（10分）（2018秋?金堂縣期中）閱讀下面材料，并解答后面的問題：
；
；
．
（1）觀察上面的等式，請直接寫出的結果　 　；
（2）計算　 　，此時稱與互為有理化因式；
（3）請利用上面的規律與解法計算：
．




專題2 實數章末重難點題型匯編【舉一反三】
【考點總攬】

【典例分析】
【考點1 無理數的概念】
【方法點撥】無限不循環小數又叫做無理數。在理解無理數時，要抓住“無限不循環”這一實質，歸納起來有三類：
（1）開方開不盡的數，如等；
（2）有特定意義的數，如圓周率，或化簡后含有π的數，如等；
（3）有特定結構的數，如0.1010010001…等；
【例1】（2019春?博興縣期中）在3.14、、、、、2π、0.2020020002這六個數中，無理數有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】根據無理數的定義求解即可．
【答案】解：3.14、、、0.2020020002是有理數，
、、2π是無理數，無理數的個數是3，
故選：C．
【點睛】此題主要考查了無理數的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數，無限不循環小數為無理數．如π，，0.8080080008…（每兩個8之間依次多1個0）等形式．
【變式1-1】（2018春?新羅區校級期中）下列說法中 ①無限小數都是無理數 ②無理數都是無限小數 ③﹣2是4的平方根 ④帶根號的數都是無理數．其中正確的說法有（　　）
A．3個 B．2個 C．1個 D．0個
【分析】分別根據無理數、有理數的定義即可判定選擇項．
【答案】解：①無限不循環小數都是無理數，故①錯誤；
②無理數都是無限不循環小數，故②正確；
③﹣2是4的平方根，故③正確；
④帶根號的數不一定都是無理數，故④錯誤；
故選：B．
【點睛】此題主要考查了無理數的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數，無限不循環小數為無理數．如π，0.8080080008…（每兩個8之間依次多1個0）等形式．
【變式1-2】（2018秋?東臺市期中）下列實數中，、、、、﹣3.14、、、0、0.3232232223…（相鄰兩個3之間依次增加一個2），無理數的個數是（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【分析】根據無理數的三種形式：①開方開不盡的數，②無限不循環小數，③含有π的數，找出無理數的個數．
【答案】解：2，，3，
則無理數有：、、、、0.3232232223…，共5個．
故選：D．
【點睛】本題考查了無理數，解答本題的關鍵是掌握無理數的三種形式：①開方開不盡的數，②無限不循環小數，③含有π的數．
【變式1-3】（2019秋?安寧區校級期中）在下列各數中是無理數的有（　　）
、、、0、﹣π、、3.1415、、2.010101…（相鄰兩個1之間有1個0）．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】無理數就是無限不循環小數．理解無理數的概念，一定要同時理解有理數的概念，有理數是整數與分數的統稱．即有限小數和無限循環小數是有理數，而無限不循環小數是無理數．由此即可判定選擇項．
【答案】解：﹣π、、是無理數，
故選：C．
【點睛】此題主要考查了無理數的定義，其中初中范圍內學習的無理數有：π，2π等；開方開不盡的數；以及像0.1010010001…，等有這樣規律的數．
【考點2 無理數的估算】
【方法點撥】無理數的估算，關鍵掌握二次根式的性質，能對根式進行估算.
【例2】（2018春?巫山縣期中）估計的值在（　　）
A．1到2之間 B．2到3之間 C．3到4之間 D．4到5之間
【分析】直接利用的取值范圍進而計算得出答案．
【答案】解：∵34，
∴41＜5，
∴的值在2到3之間．
故選：B．
【點睛】此題主要考查了估算無理數的大小，正確得出的取值范是解題關鍵．
【變式2-1】（2019春?北流市期中）設n為正整數，且nn+1，則n的值為（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】首先得出，得出的取值范圍，即可得出n的值．
【答案】解：∵，
∴，
又∵n為正整數，
∴n＝9．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了無理數的估算，熟練掌握二次根式的性質是解答本題的關鍵．
【變式2-2】（2019春?嘉陵區期中）已知a，b分別是6的整數部分和小數部分，則2a﹣b的值是（　　）
A． B．2 C． D．9
【分析】先估算34，然后分別求出a＝2，b＝62＝4，再求解即可；
【答案】解：∵34，
∴6的整數部分是2，即a＝2，
6的小數部分是62＝4，即b＝4，
∴2a﹣b＝4﹣4；
故選：C．
【點睛】本題考查無理數的估算；熟練掌握無理數的估算方法是解題的關鍵．
【變式2-3】（2019春?郯城縣期中）若a是1的整數部分，b是5的小數部分，則a（b）的值為（　　）
A．6 B．4 C．9 D．3
【分析】先估算和的大小，然后求出a、b的值，代入所求式子計算即可．
【答案】解：∵21＜3，
∴a＝2，
又∵7＜58，
∴5的整數部分為7
∴b＝572；
∴a（b）＝2×（2）＝4．
故選：B．
【點睛】本題主要考查估算無理數的大小，解題的關鍵是求出無理數整數部分的值，屬于基礎題．
【考點3 實數的大小比較】
【方法點撥】實數大小比較常見方法有：倒數法、作差法、作商法、放縮法、兩邊平方法等等.
【例3】（2019秋?河北期中）已知a，b，c＝3，則a、b、c三個數的大小關系是（　　）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b
【分析】首先求出a，b，c的倒數，進而比較它們的大小，進而得出a、b、c三個數的大小關系．
【答案】解：∵a，b，c＝3，
∴，
，
，
∵，
∴，
∵3，
∴，
∴，
∴b＞a＞c．
故選：B．
【點睛】此題主要考查了實數比較大小，正確求出a，b，c的倒數大小是解題關鍵．
【變式3-1】（2019春?洪山區期中）比較實數：2、、的大小，正確的是（　　）
A．2 B．2 C．2 D．2
【分析】應用放縮法，判斷出2、、的大小關系即可．
【答案】解：∵2，
∴2，
∵2，
∴2，
∴2．
故選：A．
【點睛】此題主要考查了實數大小比較的方法，要熟練掌握，注意放縮法的應用．
【變式3-2】（2019春?淮北期中）比較1與的大小，結果是（　　）
A．前者大 B．后者大 C．一樣大 D．無法確定
【分析】首先用1減去，判斷出1與的差的正負，然后根據1與的差的正負情況，判斷出1與的大小關系即可．
【答案】解：∵111＝1﹣1＝0，
∴10，
∴1，
∴比較1與的大小，結果是后者大．
故選：B．
【點睛】此題主要考查了實數大小比較，要熟練掌握，解答此題的關鍵是判斷出1與的差的正負．
【變式3-3】（2019秋?樂山校級期中）已知a，那么a、b、c的大小關系是（　　）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．.b＜a＜c D．.c＜a＜b
【分析】利用作差法比較a和b、b和c、a和c的大小，再比較a、b、c三者的大小．
【答案】解：∵a﹣c1﹣（2）
（1）
≈2.449﹣2.414＞0，
∴a＞c；
∵a﹣b1﹣（2）1
≈2.414﹣2.449＜0，
∴a＜b，
∴c＜a＜b．
故選：D．
【點睛】此題主要考查了實數的大小的比較，其中比較兩個實數的大小，可以采用作差法、取近似值法、比較n次方的方法等．
【考點4 二次根式相關概念】
【方法點撥】（1）二次根式的定義：一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式。
最簡二次根式滿足的條件：①被開方數不含分母；②被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。
同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式。 要判斷幾個根式是不是同類二次根式，須先化簡根號里面的數，把非最簡二次根式化成最簡二次根式，然后判斷。
【例4】（2018春?禹州市期中）下列各式：，，，，，，中，一定是二次根式的個數是（　　）
A．3個 B．4個 C．5個 D．7個
【分析】直接利用二次根式的定義分析得出答案．
【答案】解：，，，，，，中，一定是二次根式的是：
，，，共4個．
故選：B．
【點睛】此題主要考查了二次根式的定義，正確把握相關定義是解題關鍵．
【變式4-1】（2019春?萊蕪期中）二次根式：①；②；③；④；⑤中最簡二次根式是（　　）
A．①② B．③④⑤ C．②③ D．只有④
【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．
【答案】解：③|a﹣1|，被開方數含有開得盡方的因式，不是最簡二次根式；
④，被開方數含有分母，不是最簡二次根式；
⑤，被開方數含有小數（分數），不是最簡二次根式；
因此只有①②符合最簡二次根式的條件．
故選：A．
【點睛】根據最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：
（1）被開方數不含分母；
（2）被開方數不含能開得盡方的因數或因式．
被開方數是多項式時，還需將被開方數進行因式分解，然后再觀察判斷．
【變式4-2】（2019春?泰興市期中）如果與最簡二次根式是同類二次根式，那么a的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】根據最簡二次根式與同類二次根式的定義列方程組求解．
【答案】解：2．
由題意，得
7﹣2a＝3，解得a＝2，
故選：D．
【點睛】此題主要考查了同類二次根式的定義，即：二次根式化成最簡二次根式后，被開方數相同的二次根式叫做同類二次根式．
【變式4-3】（2019春?定州市期中）與不是同類二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據同類二次根式的意義，將題中的根式化簡，找到被開方數相同者即可．
【答案】解：
A、與被開方數不同，不是同類二次根式；
B、與被開方數相同，是同類二次根式；
C、與被開方數相同，是同類二次根式；
D、與被開方數相同，是同類二次根式．
故選：A．
【點睛】此題主要考查了同類二次根式的定義，即化成最簡二次根式后，被開方數相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式．
【考點5 二次根式有意義條件】
【方法點撥】二次根式有意義條件需滿足被開方數大于等于0.
【例5】（2018秋?東營區校級期中）二次根式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是　 　．
【分析】直接利用二次根式的定義結合分式的定義分析得出答案．
【答案】解：∵二次根式在實數范圍內有意義，
∴2﹣x≥0，且x+3≠0，
解得：x≤2且x≠﹣3．
故答案為：x≤2且x≠﹣3．
【點睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握二次根式的定義是解題關鍵．
【變式5-1】（2019春?杭錦后旗期中）已知y3，則x﹣y＝　 　．
【分析】根據二次根式有意義的條件確定出x的值，進而得出y的值，代入即可求解．
【答案】解：∵y3，
∴
解得：x＝1
∴y＝3
∴x﹣y＝﹣2
故答案為：﹣2
【點睛】本題考查考查二次根式有意義的條件，解題的關鍵是熟練運用二次根式的性質，本題屬于基礎題型．
【變式5-2】（2019春?黃石期中）已知實數a滿足|2006﹣a|a，則a﹣20062＝　 　．
【分析】根據被開方數大于等于0可以求出a≥2007，然后去掉絕對值號整理，再兩邊平方整理即可得解．
【答案】解：根據題意得，a﹣2007≥0，
解得a≥2007，
∴原式可化為：a﹣2006a，
即2006，
兩邊平方得，a﹣2007＝20062，
∴a﹣20062＝2007．
故答案為：2007．
【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，解法巧妙，先求出a的取值范圍然后去掉絕對值號是解題的關鍵，也是本題的突破口．
【變式5-3】（2018春?荔灣區校級期中）已知，則a+b的立方根是　 　．
【分析】根據二次根式的被開方數是非負數求得b＝﹣2，繼而求得a的值，代入求值即可．
【答案】解：由題意，得b2＝4且b﹣2≠0．
所以b＝﹣2，
所以a＝﹣6．
所以a+b＝﹣8．
所以2．
故答案是：﹣2．
【點睛】考查了二次根式的意義和性質．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性質：二次根式中的被開方數必須是非負數，否則二次根式無意義．
【考點6 二次根式的性質與化簡】
【方法點撥】掌握二次根式的性質是關鍵：① (a≥0)； ② (a≥0)； ③ (a
取全體實數)。

【例6】（2019春?昌江區校級期中）把根號外的因式移到根號內：　 　．
【分析】根據條件可以得到1﹣a＞0，原式可以化成＝﹣（1﹣a），然后根據二次根式的乘法法則即可求解．
【答案】解：原式＝﹣（1﹣a）?．
故答案是：．
【點睛】本題考查了二次根式的化簡，正確理解題目中的隱含條件：1﹣a＞0是關鍵．
【變式6-1】（2018春?宜興市期中）已知xy＞0，則化簡代數式x的結果是　 　．
【分析】首先判斷出x，y的符號，再利用二次根式的性質化簡求出答案．
【答案】解：∵xy＞0，且有意義，
∴x＜0，y＜0，
∴xx?．
故答案為：．
【點睛】此題主要考查了二次根式的性質與化簡，正確掌握二次根式的性質是解題關鍵．
【變式6-2】（2018春?肥城市期中）若1﹣2x，則x的取值范圍是　 　．
【分析】已知等式變形后，利用二次根式性質及絕對值的代數意義判斷即可求出x的范圍．
【答案】解：已知等式變形得：|2x﹣1|＝1﹣2x，
∴2x﹣1≤0，
解得：x．
故答案為：x．
【點睛】此題考查了二次根式的性質與化簡，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
【變式6-3】（2018秋?杞縣期中）實數a、b、c在數軸上的對應點的位置如圖，化簡：
　 　．

【分析】根據圖可得出c＞0＞b＞a，再去絕對值和根號即可．
【答案】解：由題得，c＞0＞b＞a，
∴
＝﹣a﹣a﹣b+c﹣a+b﹣c
＝﹣3a．
故答案為﹣3a．
【點睛】本題考查了二次根式的性質化簡以及絕對值、數軸，是基礎知識要熟練掌握．
【考點7 實數的運算】
【例7】（2019春?老河口市期中）計算：
（1）
（2）
【分析】（1）直接利用立方根以及二次根式的性質化簡得出答案；
（2）直接利用絕對值的性質以及二次根式的性質計算得出答案．
【答案】解：（1）原式
＝4﹣1﹣3
＝0；

（2）原式
．
【點睛】此題主要考查了實數運算，正確化簡各數是解題關鍵．
【變式7-1】（2019春?費縣期中）（1）計算：（1）
（2）解方程：3（x﹣2）2＝27
【分析】（1）直接利用二次根式以及立方根的性質分別化簡進而得出答案；
（2）直接利用平方根的性質計算得出答案．
【答案】解：（1）原式＝42
＝4；

（2）3（x﹣2）2＝27
（x﹣2）2＝9，
則x﹣2＝±3，
解得：x＝﹣1或5．
【點睛】此題主要考查了實數運算，正確化簡各數是解題關鍵．
【變式7-2】（2019春?閬中市期中）計算
（1）||；
（2）．
【分析】（1）直接利用立方根以及算術平方根的定義分別化簡得出答案；
（2）直接利用絕對值的性質以及二次根式的乘法運算法則計算得出答案．
【答案】解：（1）原式＝2﹣3﹣22
＝﹣4；

（2）原式＝1﹣3﹣（2）
＝﹣4．
【點睛】此題主要考查了實數運算，正確化簡各數是解題關鍵．
【變式7-3】（2019春?泰山區期中）計算：
（1）
（2）
（3）
（4）．
【分析】（1）先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可；
（2）根據二次根式的乘除法則運算；
（3）先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可；
（4）先利用完全平方公式計算，然后利用平方差公式計算．
【答案】解：（1）原式＝4254
＝96；
（2）原式
；
（3）原式＝23
；
（4）原式＝（2+3﹣2）（5+2）
＝25﹣24
＝1．
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往能事半功倍．
【考點8 平方根與立方根的性質應用】
【方法點撥】理解平方根、算術平方根、立方根的定義是關鍵：
（1）一般地，如果一個正數x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數x叫做a的算術平方根。
（2）一般地，如果一個數的平方等于a，那么這個數叫做a的平方根或二次方根。
（3）一般地，如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根或三次方根。
【例8】（2019春?中山市期中）已知一個正數m的平方根是2a﹣1與2﹣a，a+b+2立方根是2，求m+b的平方根．
【分析】首先根據：一個正數的平方根是2a﹣1和2﹣a，可得：（2a﹣1）+（2﹣a）＝0，據此求出a和m的值；然后根據a+b+2的立方根是2，可得：a+b+2＝23＝8，據此求出b的值；最后求出m+b的平方根即可．
【答案】解：∵2a﹣1與2﹣a是正數m的平方根
∴（2a﹣1）+（2﹣a）＝0，
∴a＝﹣1；
∴m＝（﹣1）2＝1；
∵a+b+2立方根是2，
∴a+b+2＝8，
∴b＝7；
∴m+b＝1+7＝8．
所以m+b的平方根是±2．
【點睛】此題主要考查了平方根的性質和應用，以及立方根的性質和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：一個數的立方根只有一個，正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0．
【變式8-1】（2019春?樂陵市期中）已知一個正數的平方根是2a﹣3和5﹣a，b的立方根是﹣2，求2a﹣b的平方根．
【分析】首先根據：一個正數的平方根是2a﹣3和5﹣a，可得：（2a﹣3）+（5﹣a）＝0，據此求出a的值是多少；然后根據：b的立方根是﹣2，可得：b＝（﹣2）3＝﹣8，據此求出2a﹣b的平方根是多少即可．
【答案】解：∵一個正數的平方根是2a﹣3和5﹣a，
∴（2a﹣3）+（5﹣a）＝0，
∴a+2＝0，
解得a＝﹣2；
∵b的立方根是﹣2，
∴b＝（﹣2）3＝﹣8，
∴2a﹣b
＝2×（﹣2）﹣（﹣8）
＝﹣4+8
＝4
2a﹣b的平方根是：±±2．
【點睛】此題主要考查了平方根的性質和應用，以及立方根的性質和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：一個數的立方根只有一個，正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0．
【變式8-2】（2018春?孝南區期中）已知正數x的兩個不同的平方根分別是2a﹣1和a﹣5，且x﹣y﹣3的立方根為3．
（1）填空：x＝　 　，y＝　 　，a＝　 　；
（2）求x﹣y+3a的平方根．
【分析】（1）根據一個正數的兩個平方根互為相反數，可得a的值，再根據平方根的意義，可得x，根據立方根的意義，可得y，
（2）根據平方根的意義，可得答案．
【答案】解：（1）由正數x的兩個不同的平方根分別是2a﹣1和a﹣5，得
2a﹣1+a﹣5＝0，
解得a＝2，
由平方根的意義，得
x＝（2a﹣1）2＝9；
x﹣y﹣3的立方根為3，
得x﹣y﹣3＝33，
解得y＝﹣21，
故答案為：9，﹣21，2；
（2）x﹣y+3a＝9﹣（﹣21）+3×2＝36，
x﹣y+3a的平方根是±±6．
【點睛】本題考查了立方根、平方根，利用立方根的意義、平方根的意義是解題關鍵．
【變式8-3】（2018春?鄂城區期中）已知是m+3的算術平方根是n﹣2的立方根，試求：
（1）m和n的值；
（2）A﹣B的值．
【分析】根據算術平方根和立方根的定義得出方程組，求出m、n，再求出A、B，即可得出答案．
【答案】解：（1）∵A是m+3的算術平方根，B是n﹣2的立方根，
∴m﹣4＝2，2m﹣4n+3＝3，
解得：m＝6，n＝3，
（2）∵m＝6，n＝3，
∴A3，B1，
∴A﹣B＝3﹣1＝2．
【點睛】本題考查了算術平方根和立方根的定義，能根據算術平方根和立方根的定義求出m、n的值是解此題的關鍵．
【考點9 二次根式的化簡求值】
【例9】（2019春?蕪湖期中）已知，，分別求下列代數式的值；
（1）x2+y2；
（2）．
【分析】（1）先將x、y進行分母有理化，得到x1，y1，再求出x﹣y與xy的值，然后根據完全平方公式得出x2+y2＝（x﹣y）2+2xy，再整體代入即可；
（2）將所求式子變形為，再整體代入即可．
【答案】解：（1）∵1，1，
∴x﹣y＝﹣2，xy＝2﹣1＝1，
∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝（﹣2）2+2×1＝6；

（2）∵x2+y2＝6，xy＝1，
∴原式6．
【點睛】本題考查二次根式的化簡求值，分母有理化，解題的關鍵是運用完全平方公式以及整體思想，本題屬于基礎題型．
【變式9-1】（2018秋?通川區校級期中）已知x，y，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．
【分析】先將x和y的值分母有理化后，計算xy和x+y的值，再分別代入（1）和（2）問代入計算即可．
【答案】解：∵x3+2，y3﹣2，
∴xy1，x+y＝3+23﹣26，
∴（1）x2y﹣xy2，
＝xy（x﹣y），
＝1，
＝4；
（2）x2﹣xy+y2，
＝（x+y）2﹣3xy，
＝62﹣3×1，
＝36﹣3，
＝33．
【點睛】本題主要考查了二次根式的化簡求值，在解答時應先化簡x和y的值，并利用提公因式法和完全平方公式將所求式子進行變形是關鍵．
【變式9-2】（2018秋?雁塔區校級期中）已知：x，y．求下列代數式x2﹣3xy+y2的值．
【分析】先將x，y分母有理化，再將其代入到原式＝（x﹣y）2﹣xy，計算可得．
【答案】解：x11+2，
y11﹣2，
∴原式＝（x﹣y）2﹣xy
＝（11+211+2）2﹣（11+2）×（11﹣2）
＝（4）2﹣（121﹣120）
＝480﹣1
＝479．
【點睛】本題主要考查二次根式的化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握二次根式的混合運算順序和運算法則．
【變式9-3】（2018春?蕪湖期中）已知．甲、乙兩個同學在的條件下分別計算了M和N的值．甲說M的值比N大，乙說N的值比M大．請你判斷他們誰的結論是正確的，并說明理由．
【分析】先由題意計算出xy的值，再將xy的值分別代入M、N，求出結果，再進行比較即可．
【答案】解：乙的結論正確．（1分）
理由：由，可得x＝8，y＝18．（3分）
因此．（6分）
．（9分）
∴M＜N，
即N的值比M大．（10分）
【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，解題的關鍵是根據二次根是有意義的條件，被開方數大于等于0，求得x、y的值．
【考點10 二次根式分母有理化】
【例10】（2019春?瑤海區期中）閱讀理解材料：把分母中的根號化掉叫做分母有理化，例如：
①；②1等運算都是分母有理化．根據上述材料，
（1）化簡：
（2）計算：．
【分析】（1）原式分母有理化，計算即可得到結果；
（2）原式各自分母有理化化簡后，合并即可得到結果．
【答案】解：（1）原式；
（2）原式11．
【點睛】此題考查了分母有理化，正確選擇兩個二次根式，使它們的積符合平方差公式是解答問題的關鍵．
【變式10-1】（2019秋?唐河縣期中）閱讀下列材料，然后回答問題：
在進行二次根式運算時，我們有時會碰上如、這樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：；1．
以上這種化簡過程叫做分母有理化．
還可以用以下方法化簡：1．
請任用其中一種方法化簡：①；②．
【分析】①根據平方差公式分母有理化即可求解；
②把分子5變為12﹣7，再根據平方差公式分解因式，再約分計算即可求解．
【答案】解：①

；
②


＝2．
【點睛】本題主要考查了分母有理化，解題的關鍵是找準有理化因式．
【變式10-2】（2019春?金平區校級期中）觀察下列等式：
第一個等式：a11
第二個等式：a2
第三個等式：a32
按上述規律，回答以下問題：
（1）請寫出第四個等式：a4＝　 　＝　 　；
（2）利用以上規律計算：a1+a2+a3+…+a11；
（3）求（）（）的值．
【分析】（1）先根據所給的式子找出第一、第二、第三個式子的規律，進而可求出第四個等式；
（2）把所給式子相加，找出規律即可進行計算；
（3）根據所給規律探索可得出原式（）（），再根據平方差公式易得結果．
【答案】解：（1）第四個等式：a42；
（2）a1+a2+a3+…+a11；
122
＝21；
（3）（）×（）
（）（）
（7﹣3）
＝2．
故答案為：，2．
【點睛】考查的是規律型：數字的變化類，是一道找規律的題目，關鍵是通過觀察，分析、歸納發現其中的規律，并應用發現的規律解決問題，熟練掌握分數的拆分計算．
【變式10-3】（2019秋?東明縣期中）閱讀理解：【知識鏈接】
（1）有理化因式：兩個含有根式的代數式相乘，如果它們的積不含有根式，那么這兩個代數式相互叫做有理化因式．例如：的有理化因式是；1的有理化因式是1．
（2）分母有理化：分母有理化又稱“有理化分母”，也就是把分母中的根號化去，指的是如果二次根式中分母有根號，那么通常在分子、分母上同乘以一個二次根式，達到化去分母中根號的目的．
【知識運用】
　（1）填空：的有理化因式是　 　；a的有理化因式是　 　；的有理化因式是　 　．
（2）把下列各式的分母有理化：
①；②．
【分析】（1）根據有理化因式定義可知，有理化因式的兩個式子是平方差公式或是同一個二次根式；
（2）通過觀察，發現：分母有理化的兩個步驟：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解達到約分的目的．
【答案】解：（1）的有理化因式是；a的有理化因式是；的有理化因式是．
故答案為：；a；；
（2）①；
②2．
【點睛】本題主要考查了分母有理化，解題的關鍵是根據材料能正確的進行分母有理化．

專題2 實數章末重難點題型匯編【舉一反三】
【考點總攬】

【典例分析】
【考點1 無理數的概念】
【方法點撥】無限不循環小數又叫做無理數。在理解無理數時，要抓住“無限不循環”這一實質，歸納起來有三類：
（1）開方開不盡的數，如等；
（2）有特定意義的數，如圓周率，或化簡后含有π的數，如等；
（3）有特定結構的數，如0.1010010001…等；
【例1】（2019春?博興縣期中）在3.14、、、、、2π、0.2020020002這六個數中，無理數有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式1-1】（2018春?新羅區校級期中）下列說法中 ①無限小數都是無理數 ②無理數都是無限小數 ③﹣2是4的平方根 ④帶根號的數都是無理數．其中正確的說法有（　　）
A．3個 B．2個 C．1個 D．0個
【變式1-2】（2018秋?東臺市期中）下列實數中，、、、、﹣3.14、、、0、0.3232232223…（相鄰兩個3之間依次增加一個2），無理數的個數是（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【變式1-3】（2019秋?安寧區校級期中）在下列各數中是無理數的有（　　）
、、、0、﹣π、、3.1415、、2.010101…（相鄰兩個1之間有1個0）．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【考點2 無理數的估算】
【方法點撥】無理數的估算，關鍵掌握二次根式的性質，能對根式進行估算.
【例2】（2018春?巫山縣期中）估計的值在（　　）
A．1到2之間 B．2到3之間 C．3到4之間 D．4到5之間
【變式2-1】（2019春?北流市期中）設n為正整數，且nn+1，則n的值為（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【變式2-2】（2019春?嘉陵區期中）已知a，b分別是6的整數部分和小數部分，則2a﹣b的值是（　　）
A． B．2 C． D．9
【變式2-3】（2019春?郯城縣期中）若a是1的整數部分，b是5的小數部分，則a（b）的值為（　　）
A．6 B．4 C．9 D．3
【考點3 實數的大小比較】
【方法點撥】實數大小比較常見方法有：倒數法、作差法、作商法、放縮法、兩邊平方法等等.
【例3】（2019秋?河北期中）已知a，b，c＝3，則a、b、c三個數的大小關系是（　　）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b
【變式3-1】（2019春?洪山區期中）比較實數：2、、的大小，正確的是（　　）
A．2 B．2 C．2 D．2
【變式3-2】（2019春?淮北期中）比較1與的大小，結果是（　　）
A．前者大 B．后者大 C．一樣大 D．無法確定
【變式3-3】（2019秋?樂山校級期中）已知a，那么a、b、c的大小關系是（　　）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．.b＜a＜c D．.c＜a＜b
【考點4 二次根式相關概念】
【方法點撥】（1）二次根式的定義：一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式。
最簡二次根式滿足的條件：①被開方數不含分母；②被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。
同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式。 要判斷幾個根式是不是同類二次根式，須先化簡根號里面的數，把非最簡二次根式化成最簡二次根式，然后判斷。
【例4】（2018春?禹州市期中）下列各式：，，，，，，中，一定是二次根式的個數是（　　）
A．3個 B．4個 C．5個 D．7個
【變式4-1】（2019春?萊蕪期中）二次根式：①；②；③；④；⑤中最簡二次根式是（　　）
A．①② B．③④⑤ C．②③ D．只有④
【變式4-2】（2019春?泰興市期中）如果與最簡二次根式是同類二次根式，那么a的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【變式4-3】（2019春?定州市期中）與不是同類二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【考點5 二次根式有意義條件】
【方法點撥】二次根式有意義條件需滿足被開方數大于等于0.
【例5】（2018秋?東營區校級期中）二次根式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是　 　．
【變式5-1】（2019春?杭錦后旗期中）已知y3，則x﹣y＝　 　．
【變式5-2】（2019春?黃石期中）已知實數a滿足|2006﹣a|a，則a﹣20062＝　 　．
【變式5-3】（2018春?荔灣區校級期中）已知，則a+b的立方根是　 　．
【考點6 二次根式的性質與化簡】
【方法點撥】掌握二次根式的性質是關鍵：① (a≥0)； ② (a≥0)； ③ (a
取全體實數)。

【例6】（2019春?昌江區校級期中）把根號外的因式移到根號內：　 　．
【變式6-1】（2018春?宜興市期中）已知xy＞0，則化簡代數式x的結果是　 　．
【變式6-2】（2018春?肥城市期中）若1﹣2x，則x的取值范圍是　 　．
【變式6-3】（2018秋?杞縣期中）實數a、b、c在數軸上的對應點的位置如圖，化簡：
　 　．

【考點7 實數的運算】
【例7】（2019春?老河口市期中）計算：
（1）
（2）
【變式7-1】（2019春?費縣期中）（1）計算：（1）
（2）解方程：3（x﹣2）2＝27
【變式7-2】（2019春?閬中市期中）計算
（1）||；
（2）．
【變式7-3】（2019春?泰山區期中）計算：
（1）
（2）
（3）
（4）．
【考點8 平方根與立方根的性質應用】
【方法點撥】理解平方根、算術平方根、立方根的定義是關鍵：
（1）一般地，如果一個正數x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數x叫做a的算術平方根。
（2）一般地，如果一個數的平方等于a，那么這個數叫做a的平方根或二次方根。
（3）一般地，如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根或三次方根。
【例8】（2019春?中山市期中）已知一個正數m的平方根是2a﹣1與2﹣a，a+b+2立方根是2，求m+b的平方根．
【變式8-1】（2019春?樂陵市期中）已知一個正數的平方根是2a﹣3和5﹣a，b的立方根是﹣2，求2a﹣b的平方根．
【變式8-2】（2018春?孝南區期中）已知正數x的兩個不同的平方根分別是2a﹣1和a﹣5，且x﹣y﹣3的立方根為3．
（1）填空：x＝　 　，y＝　 　，a＝　 　；
（2）求x﹣y+3a的平方根．
【變式8-3】（2018春?鄂城區期中）已知是m+3的算術平方根是n﹣2的立方根，試求：
（1）m和n的值；
（2）A﹣B的值．
【考點9 二次根式的化簡求值】
【例9】（2019春?蕪湖期中）已知，，分別求下列代數式的值；
（1）x2+y2；
（2）．
【變式9-1】（2018秋?通川區校級期中）已知x，y，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．
【變式9-2】（2018秋?雁塔區校級期中）已知：x，y．求下列代數式x2﹣3xy+y2的值．
【變式9-3】（2018春?蕪湖期中）已知．甲、乙兩個同學在的條件下分別計算了M和N的值．甲說M的值比N大，乙說N的值比M大．請你判斷他們誰的結論是正確的，并說明理由．
【考點10 二次根式分母有理化】
【例10】（2019春?瑤海區期中）閱讀理解材料：把分母中的根號化掉叫做分母有理化，例如：
①；②1等運算都是分母有理化．根據上述材料，
（1）化簡：
（2）計算：．
【變式10-1】（2019秋?唐河縣期中）閱讀下列材料，然后回答問題：
在進行二次根式運算時，我們有時會碰上如、這樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：；1．
以上這種化簡過程叫做分母有理化．
還可以用以下方法化簡：1．
請任用其中一種方法化簡：①；②．
【變式10-2】（2019春?金平區校級期中）觀察下列等式：
第一個等式：a11
第二個等式：a2
第三個等式：a32
按上述規律，回答以下問題：
（1）請寫出第四個等式：a4＝　 　＝　 　；
（2）利用以上規律計算：a1+a2+a3+…+a11；
（3）求（）（）的值．
【變式10-3】（2019秋?東明縣期中）閱讀理解：【知識鏈接】
（1）有理化因式：兩個含有根式的代數式相乘，如果它們的積不含有根式，那么這兩個代數式相互叫做有理化因式．例如：的有理化因式是；1的有理化因式是1．
（2）分母有理化：分母有理化又稱“有理化分母”，也就是把分母中的根號化去，指的是如果二次根式中分母有根號，那么通常在分子、分母上同乘以一個二次根式，達到化去分母中根號的目的．
【知識運用】
　（1）填空：的有理化因式是　 　；a的有理化因式是　 　；的有理化因式是　 　．
（2）把下列各式的分母有理化：
①；②．

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