資源簡(jiǎn)介

高考數(shù)學(xué)：考前必記的54個(gè)公式、原理
搶分點(diǎn)1　集合問(wèn)題必須牢記的重要結(jié)論
a與{a}的區(qū)別:一般地,a表示一個(gè)元素,而{a}表示只有一個(gè)元素a的集合.

(2)易混淆的0,?,{0}:0是一個(gè)實(shí)數(shù);?是一個(gè)集合,它含有0個(gè)元素;{0}是只有一個(gè)元素0的集合,但0??,而??{0}.

(3)求解集合的補(bǔ)集時(shí),要先求出集合,然后寫(xiě)其補(bǔ)集,不要直接轉(zhuǎn)化條件導(dǎo)致出錯(cuò),如A={x|>0}的補(bǔ)集是{x|x≤0},而不是{x|≤0}.

(4)交集的補(bǔ)集等于補(bǔ)集的并集,即?U(A∩B)=?UA∪?UB;并集的補(bǔ)集等于補(bǔ)集的交集,即?U(A∪B)=?UA∩?UB.

(5)若A∩B=A,則A?B,反之也成立;若A∪B=B,則A?B,反之也成立.利用這兩個(gè)結(jié)論時(shí)一定不要忘記集合A=?這個(gè)特例.

(6)對(duì)于含有n個(gè)元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個(gè)數(shù)依次為2n,2n-1,2n-1,2n-2.

【臨考必記】集合問(wèn)題注意“四看”
(1)一看代表元素:代表元素反映了集合中元素的特征,解題時(shí)需分清是點(diǎn)集、數(shù)集,還是其他集合.

(2)二看元素組成:集合是由元素組成的,從研究集合的元素入手是解集合問(wèn)題的常用方法.

(3)三看能否化簡(jiǎn):有些集合是可以化簡(jiǎn)的,如果先化簡(jiǎn)再研究其關(guān)系,可使問(wèn)題變得簡(jiǎn)捷.

(4)四看能否數(shù)形結(jié)合:常運(yùn)用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)軸和Venn圖.

搶分點(diǎn)2　集合之間關(guān)系的判斷方法
(1)A?B?A?B或A=B,類(lèi)比于a≤b?a(2)A?B?A?B且A≠B,類(lèi)比于a(3)A=B?A?B且B?A,類(lèi)比于a=b?a≤b且a≥b.

注意　判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系可以比照兩實(shí)數(shù)間的關(guān)系進(jìn)行,也可以用韋恩圖直觀地表示上述各種關(guān)系.




搶分點(diǎn)3　四種命題的真假性,有且僅有下面四種情況
原命題 逆命題 否命題 逆否命題
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 真 假
假 假 假 假


【臨考必記】　
(1)兩個(gè)命題互為逆否命題,它們有相同的真假性.
(2)互逆命題或互否命題,它們的真假性沒(méi)有關(guān)系.
(3)一個(gè)命題的逆命題與它的否命題具有相同的真假性.
(4)在判斷一些命題的真假時(shí),如果不容易直接判斷,可以反向判斷其逆否命題的真假.

搶分點(diǎn)4　全稱量詞與存在量詞
(1)全稱命題p:?x∈M,p(x),它的否定?p:?x∈M,?p(x).

特稱命題p:?x∈M,p(x),它的否定?p:?x∈M,?p(x).

　　【臨考謹(jǐn)記】　(1)全稱命題的否定是特稱命題,特稱命題的否定是全稱命題.
(2)命題的“否定”與一個(gè)命題的“否命題”是兩個(gè)不同的概念,對(duì)命題p的否定是否定命題所作的判斷,而“否命題”是對(duì)“若p,則q”形式的命題而言,既要否定條件也要否定結(jié)論.

搶分點(diǎn)5　充要條件與必要條件的三種判斷方法
(1)定義法:尋找條件p,q間的推式,即先對(duì)命題“若p,則q”與“若q,則p”進(jìn)行真假判斷,再下結(jié)論.注意p是q的什么條件有四種:充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件.

(2)集合法:當(dāng)所要判斷的命題與方程的根、不等式的解集有關(guān),或所描述的對(duì)象可以用集合表示時(shí),可以借助集合間的包含關(guān)系進(jìn)行充分條件與必要條件的判斷.

等價(jià)法:在判斷?q與?p之間的關(guān)系時(shí),可由原命題與其逆否命題的等價(jià)性,轉(zhuǎn)化為判斷p與q的關(guān)系.

【臨考謹(jǐn)記】　　　　
有關(guān)充分必要性的判斷不可混淆的四點(diǎn)
⑴若p?q且 q?/ p,則p是q的充分不必要條件;
⑵若p?/ q 且q?p,則p是q的必要不充分條件;
⑶若p?/ q且q?/ p,則p是q的既不充分也不必要條件;
⑷若p?q且q?p,即p?q,則p是q的充要條件.


搶分點(diǎn)6　指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的對(duì)比區(qū)分表
解析式 y=ax(a>0且a≠1) y=logax(a>0且a≠1)
定義域 R (0,+∞)
值域 (0,+∞) R
圖像
關(guān)系 指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)
奇偶性 非奇非偶 非奇非偶
單調(diào)性 01時(shí),在R上是增函數(shù) 01時(shí),在(0,+∞)上是增函數(shù)




















【臨考必記】　
指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)活學(xué)巧記口訣
指數(shù)增減要看清,抓著底數(shù)不放松,反正底數(shù)大于零,不等于1已表明.
底數(shù)若是大于1,圖像從下向上增,底數(shù)0到1之間,圖像從上往下減.
無(wú)論函數(shù)增和減,圖像都過(guò)(0,1)點(diǎn).
對(duì)數(shù)增減有思路,函數(shù)圖像看底數(shù),底數(shù)只能大于0,等于1來(lái)也不行.
底數(shù)若是大于1,圖像從下往上增,底數(shù)0到1之間,圖像從上往下減.
無(wú)論函數(shù)增和減,圖像都過(guò)(1,0)點(diǎn).

搶分點(diǎn)7　方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)
(1)方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系　由函數(shù)的零點(diǎn)的定義,可知函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根,也就是函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).所以方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn).

函數(shù)零點(diǎn)的存在性　如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,并且f(a)·f(b)<0,那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn),即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個(gè)c也是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根.





【臨考必記】　函數(shù)與方程的活學(xué)巧記口訣
函數(shù)連續(xù)值兩端,相乘為負(fù)有零點(diǎn),區(qū)間之內(nèi)有一數(shù),方程成立很顯然. 更多學(xué)習(xí)資料，請(qǐng)關(guān)注微信公眾號(hào)：高中學(xué)習(xí)幫

要求方程近似值,先看零點(diǎn)的區(qū)間,每次區(qū)間分為二,分后兩端近零點(diǎn).

【臨考謹(jǐn)記】　函數(shù)的零點(diǎn)的存在定理應(yīng)用中的誤區(qū)

函數(shù)的零點(diǎn)的存在定理只能判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的變號(hào)零點(diǎn),而不能判斷函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn),而且連續(xù)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處函數(shù)值異號(hào)是這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分條件,不是必要條件,即函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處函數(shù)值同號(hào)時(shí),函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上也可能存在零點(diǎn),所以在判斷一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上不存在零點(diǎn)時(shí),不能完全依賴函數(shù)零點(diǎn)的存在定理,要綜合函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.

搶分點(diǎn)8　用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的一般步驟
第一步　確定區(qū)間[a,b],驗(yàn)證f(a)·f(b)<0,給定精確度ε.
第二步　求區(qū)間[a,b]的中點(diǎn)c.
第三步　計(jì)算f(c).
①若f(c)=0,則c就是函數(shù)的零點(diǎn);
②若f(a)·f(c)<0,則令b=c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a,c));
③若f(c)·f(b)<0,則令a=c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(c,b)).

第四步　判斷是否達(dá)到精確度ε,即若|a-b|<ε,則得到零點(diǎn)近似值a或b,否則重復(fù)第二步到第四步.

【臨考必記】　　　　“精確度”與“精確到”
二分法是不斷把零點(diǎn)所在區(qū)間二等分,從而縮小零點(diǎn)所在區(qū)間,求零點(diǎn)近似值的一種方法.在求零點(diǎn)近似值的時(shí)候,注意“精確度”與“精確到”是兩種不同的要求.“精確度為0.1”是指函數(shù)零點(diǎn)的近似值與零點(diǎn)差的絕對(duì)值不大于0.1,在求解時(shí),往往利用零點(diǎn)所在區(qū)間(a,b)的兩個(gè)端點(diǎn)之差的絕對(duì)值即|b-a|來(lái)衡量精確度,即|b-a|≤0.1.

搶分點(diǎn)9　熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
(1)C'=0(C為常數(shù)).
(2)(xn)'=nxn-1(n∈N*).
(3)(sin x)'=cos x,(cos x)'=-sin x.
(4)(ln x)'=(x>0),(logax)'=(x>0,a>0,且a≠1).
(5)(ex)'=ex,(ax)'=axln a(a>0,且a≠1).


【臨考必記】　
(1)()'=-.
(2)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù),周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).
(3)(ln|x|)'=.

搶分點(diǎn)10　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
(1)(u±v)'=u'±v'?[f1(x)+f2(x)+…+fn(x)]'=f '1(x)+f '2(x)+…+
f 'n(x).
(2)(uv)'=vu'+v'u?(cv)'=c'v+cv'=cv'(c為常數(shù)).
(3)()'=(v≠0).
注意　
(1)u,v必須是可導(dǎo)函數(shù).
(2)若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo),則它們的和、差、積、商必可導(dǎo);若兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo),則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo).

【臨考必記】　
(1)利用公式求導(dǎo)時(shí),一定要注意公式的適用范圍及符號(hào),如(xn)'=nxn-1中n≠0且n∈Q,(cos x)'=-sin x.
(2)注意公式不要用混,如(ax)'=axln a,而不是(ax)'=xax-1.
(3)導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則,可由兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)推廣到任意有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形,即[u(x)±v(x)±…±w(x)]'=u'(x)±v'(x)±…±w'(x).
(4)一般情況下,[f(x)g(x)]'≠f '(x)g'(x),[f(x)g(x)]'≠f '(x)+g'(x),
[]'≠,[]'≠f '(x)-g'(x).

搶分點(diǎn)11　求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟
(1)確定y=f(x)的定義域.
(2)求導(dǎo)數(shù)f '(x).
(3)求出f '(x)=0的根,將f(x)的定義域分成若干區(qū)間,列表考查這若干區(qū)間內(nèi)f '(x)的符號(hào),進(jìn)而確定f(x)的單調(diào)區(qū)間.

　　【臨考謹(jǐn)記】　(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間往往易忽視函數(shù)的定義域,這樣不但使解答結(jié)果錯(cuò)誤,而且使解題過(guò)程復(fù)雜,因此,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)應(yīng)優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域.
(2)如果一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不止一個(gè),這些單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連接,而只能用逗號(hào)或“和”字隔開(kāi).
(3)如果在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi),恒有f '(x)=0,那么函數(shù)y=f(x)是常數(shù)函數(shù),在此區(qū)間內(nèi)不具有單調(diào)性.

搶分點(diǎn)12　判別極大值、極小值的方法
第一步:確定函數(shù)的定義域,求導(dǎo)數(shù)f '(x).
第二步:求方程f '(x)=0的根.
第三步:檢查f '(x)在f '(x)=0的根的左右兩側(cè)的值的符號(hào),如果“左正右負(fù)”,那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值;如果“左負(fù)右正”,那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值;如果左右不改變符號(hào),即都為正或都為負(fù),則f(x)在這個(gè)根處無(wú)極值.在此步驟中,最好利用方程f '(x)=0的根,順次將函數(shù)的定義域分成若干小開(kāi)區(qū)間,并列成表格,后依表格內(nèi)容得其結(jié)論.表格的使用,使極值點(diǎn)兩邊的符號(hào)一目了然,便于求極值.

【臨考謹(jǐn)記】　
(1)可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0,但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),如函數(shù)f(x)=x3,當(dāng)x=0時(shí)就不是極值點(diǎn),但f '(0)=0.
(2)極值點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn),而是一個(gè)數(shù)x0,當(dāng)x=x0時(shí),函數(shù)取得極值;在x0處有 f '(x0)=0是函數(shù)f(x)在x0處取得極值的必要不充分條件.
(3)函數(shù)f(x)在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極大值與其端點(diǎn)值中的最大值,函數(shù)f(x)在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極小值與其端點(diǎn)值中的最小值.

搶分點(diǎn)13　弧度制的相關(guān)必備公式
(1)角度與弧度的換算:360°=2π rad,180°=π rad,1 rad=()°≈57.30°=57°18',1°= rad≈0.017 45 rad.
注意　正角的弧度數(shù)為正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù),零角的弧度數(shù)為零.
(2)弧長(zhǎng)公式:l=|α|·r.扇形面積公式:S扇形=lr=|α|·r2.
搶分點(diǎn)14　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)商的關(guān)系　=tan α.
(2)平方關(guān)系　sin2α+cos2α=1.













【臨考必記】　
(1)公式常見(jiàn)變形:
sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,sin α=±,cos α=±,sin α=cos αtan α,cos α=等.
　　(2)對(duì)“同角”的理解:只要是同一個(gè)角,基本關(guān)系式就成立,不拘泥于角的形式,比如sin2(α+)+cos2(α+)=1,tan 3α=等都成立,但sin2(α+)+cos2(α+)=1就不一定成立.

搶分點(diǎn)15　三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
公式一:
sin(2kπ+α)=sin α,　cos(2kπ+α)=cos α,　tan(2kπ+α)=tan α,k∈Z.

公式二:
sin(π+α)=-sin α,　cos(π+α)=-cos α,　tan(π+α)=tan α.

公式三:
sin(-α)=-sin α,　cos(-α)=cos α,　tan(-α)=-tan α.

公式四:
sin(π-α)=sin α,　cos(π-α)=-cos α,　tan(π-α)=-tan α.

公式五:
sin(-α)=cos α, cos(-α)=sin α.

公式六:
sin(+α)=cos α,　cos(+α)=-sin α.

推算公式:
sin(+α)=-cos α, cos(+α)=sin α,
sin(-α)=-cos α, cos(-α)=-sin α.


【臨考必記】　奇變偶不變,符號(hào)看象限
“奇、偶”指的是的倍數(shù)的奇偶,“變與不變”指的是三角函數(shù)的名稱的變化,“變”是指正弦變余弦(反之亦然成立).“符號(hào)看象限”的含義是:把角α看作銳角,看n·±α是第幾象限角,從而得到等式右邊是正號(hào)還是負(fù)號(hào).

搶分點(diǎn)16　三角函數(shù)圖像的基本變換
y=sin x的圖像向左平移φ(φ>0)個(gè)單位得到y(tǒng)=sin(x+φ)的圖像(當(dāng)φ<0時(shí),則向右平移|φ|個(gè)單位).
y=sin x的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍,得到y(tǒng)=sin ωx的圖像.
y=sin x的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍,得到y(tǒng)=Asin x的圖像.

【臨考謹(jǐn)記】　
(1)由y=sin ωx的圖像經(jīng)過(guò)平移變換得到y(tǒng)=sin(ωx+φ)的圖像,平移的單位不是|φ|,而是||.

(2)函數(shù)圖像平移伸縮變換的實(shí)質(zhì)是點(diǎn)的變化,所以可以借助三角函數(shù)圖像上特征點(diǎn)坐標(biāo)的變化尋找平移伸縮變換的規(guī)律,一般借助于兩個(gè)函數(shù)圖像上的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)分析.

搶分點(diǎn)17　兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β.
cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β.
tan(α±β)=.
sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β(平方正弦公式).
cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.





【臨考謹(jǐn)記】　
(1)兩角和的余弦和正弦公式是本章各類(lèi)公式的基礎(chǔ),在這兩個(gè)公式中,兩角和的余弦公式又是基礎(chǔ)中的基礎(chǔ),因?yàn)閮山呛偷恼夜绞怯伤c誘導(dǎo)公式導(dǎo)出的.
(2)公式S(α±β),C(α±β)具有一般性,即α,β可為任意角,公式T(α±β)也具有一般性,但應(yīng)明確:公式T(α±β)在α≠kπ+,β≠kπ+,α±β≠kπ+,k∈Z時(shí)成立,否則不成立.當(dāng)tan α,tan β或tan(α±β)不存在時(shí),不能用此公式,而只能改用誘導(dǎo)公式或其他方法.

搶分點(diǎn)18　半角公式、二倍角公式
(1)半角公式
sin=±.
cos=±.
tan=±==.

【臨考謹(jǐn)記】　
若給出角α的范圍(即某一區(qū)間)時(shí),可先求出的范圍,再根據(jù)所在的范圍來(lái)確定符號(hào);如果沒(méi)有給出決定符號(hào)的條件,則在根號(hào)前保留正負(fù)兩個(gè)符號(hào).

(2)二倍角公式
sin 2α=2sin αcos α.
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
tan 2α=.


　　【臨考必記】　(1)1+sin 2α=(sin α+cos α)2.
(2)1-sin 2α=(sin α-cos α)2.

搶分點(diǎn)19　和差化積、積化和差公式
(1)和差化積公式
sin α+sin β=2sincos.
sin α-sin β=2cossin .
cos α+cos β=2coscos.
cos α-cos β=-2sinsin.

【臨考必記】　
(1)其中前兩個(gè)公式可合并為一個(gè):sin θ+sin φ=2sincos.
(2)只有系數(shù)相同或互為相反數(shù)的同名函數(shù)的和與差,才能直接運(yùn)用公式化成積的形式,如果是一個(gè)正弦與一個(gè)余弦的和或差,則要先用誘導(dǎo)公式化成同名函數(shù)后再運(yùn)用公式化積.

(2)積化和差公式
sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)].
cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)].
cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)].
sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)].

【臨考必記】　
(1)兩角正弦、余弦的積都能化成±[f(α+β)±f(α-β)]的形式.
(2)如果兩角的函數(shù)同為正弦或余弦,那么“f ”表示余弦,如果一個(gè)為正弦一個(gè)為余弦,那么“f ”表示正弦.
(3)只有第四個(gè)式子的右端取“-”號(hào).


(3)萬(wàn)能公式
sin θ=,cos θ=,tan θ=.
(4)輔助角公式
asin α+bcos α=sin(α+φ),
其中sin φ=,cos φ=(0≤φ<2π).

搶分點(diǎn)20　平面向量中的幾種特殊向量
特殊向量 定義 備注
零向量 長(zhǎng)度為零的向量 零向量記作0,其方向是任意的
單位向量 長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量 單位向量記作a0,a0=
平行向量 方向相同或相反的非零向量(也叫共線向量) 0與任意向量共線
相等向量 長(zhǎng)度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量
相反向量 長(zhǎng)度相等且方向相反的兩個(gè)向量 若a,b為相反向量,則a=-b


















【臨考必記】　零向量和單位向量的特殊性

零向量和單位向量是兩個(gè)特殊的向量,它們的模是確定的,但是方向不確定,因此在解題時(shí)要注意它們的特殊性.比如:命題“若a∥b,b∥c,則a∥c”是假命題,因?yàn)楫?dāng)b為零向量時(shí),a,c可為任意向量,兩者不一定平行. 更多學(xué)習(xí)資料請(qǐng)關(guān)注微信公眾號(hào)：高中學(xué)習(xí)幫

搶分點(diǎn)21　平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ是實(shí)數(shù),則a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1).
(2)已知A(x1,y1),B(x2,y2),則=-=(x2-x1,y2-y1).
(3)平面向量共線的坐標(biāo)表示:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0),則a∥b的充要條件是x1y2-x2y1=0.
(4)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),要證三點(diǎn)共線,只需證明∥.又=(x2-x1,y2-y1),=(x3-x2,y3-y2),所以只需證明(x2-x1)(y3-y2)-(x3-x2)(y2-y1)=0即可.

(5)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2.

搶分點(diǎn)22　平面向量的數(shù)量積
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則|a|2=a2=a·a,a·b=|a|·|b|·cos =x1x2+y1y2,cos==,a在b上的投影為|a|cos==.
【臨考謹(jǐn)記】　
(1)為銳角?a·b>0且a,b不同向,為直角?a·b=0且a,b≠0,為鈍角?a·b<0且a,b不反向,a·b<0是為鈍角的必要不充分條件.

(2)對(duì)于一個(gè)向量等式,可以移項(xiàng)、兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)、兩邊同時(shí)取模、兩邊同乘以一個(gè)向量,但不能兩邊同除以一個(gè)向量,即兩邊不能同時(shí)約去一個(gè)向量;向量的乘法不滿足結(jié)合律,即a·(b·c)≠(a·b)·c.

搶分點(diǎn)23　判斷等差數(shù)列的常用方法
(1)定義法:an+1-an=d(d為常數(shù))(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列.
(2)通項(xiàng)公式法:不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式,若有,也不一定唯一.
(3)中項(xiàng)公式法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列.
(4)前n項(xiàng)和公式法:Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù),n∈N*)?{an}是等差數(shù)列.











搶分點(diǎn)24　an和Sn的關(guān)系
若an為數(shù)列{an}的通項(xiàng),Sn為其前n項(xiàng)和,則有:
an和Sn之間的關(guān)系an=
【臨考謹(jǐn)記】　
在使用關(guān)系式an=時(shí),一定要注意分n=1,n≥2兩種情況,求出結(jié)果后,再看這兩種情況能否整合在一起.

搶分點(diǎn)25　判斷等比數(shù)列的常用方法
(1)定義法:=q(q是不為0的常數(shù),n∈N*)?{an}是等比數(shù)列.
(2)通項(xiàng)公式法:an=cqn(c,q均是不為0的常數(shù),n∈N*)?{an}是等比數(shù)列.
(3)中項(xiàng)公式法:=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)?{an}是等比數(shù)列.

【臨考謹(jǐn)記】　
(1)等比數(shù)列中任一項(xiàng)都不為0,且公比q≠0.
(2)q=1時(shí),數(shù)列為常數(shù)列,同時(shí)此數(shù)列也是等差數(shù)列.但要注意:若一個(gè)數(shù)列是常數(shù)列,則此數(shù)列一定是等差數(shù)列,但不一定是等比數(shù)列,如:0,0,0,….

搶分點(diǎn)26　比較兩個(gè)數(shù)或者兩個(gè)式子的大小的方法
(1)作差比較法:對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b(a,b∈R),
a>b?a-b>0,a=b?a-b=0,a(2)作商比較法:設(shè)a,b∈R+,則>1?a>b,=1?a=b,<1?a但最常使用的還是作差比較的方法.
(3)利用單調(diào)性比較大小.






搶分點(diǎn)27　含參不等式恒成立或有解的必備條件
(1)在給定區(qū)間(-∞,+∞)的子區(qū)間L(形如[α,β],(-∞,α],[β,+∞)等)上,含參數(shù)的不等式f(x)≥t(t為參數(shù))恒成立的充要條件是f(x)min≥t(x∈L).
(2)在給定區(qū)間(-∞,+∞)的子區(qū)間L上,含參數(shù)的不等式f(x)≤t(t為參數(shù))恒成立的充要條件是f(x)max≤t(x∈L).
(3)在給定區(qū)間(-∞,+∞)的子區(qū)間L上,含參數(shù)的不等式f(x)≥t(t為參數(shù))有解的充要條件是f(x)max≥t(x∈L).
(4)在給定區(qū)間(-∞,+∞)的子區(qū)間L上,含參數(shù)的不等式f(x)≤t(t為參數(shù))有解的充要條件是f(x)min≤t(x∈L).

搶分點(diǎn)28　線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題
(1)解線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by在約束條件下的最值問(wèn)題,就是在滿足約束條件的可行解(x,y)組成的可行域內(nèi),利用線性平移的方法找到點(diǎn)(x0,y0),使目標(biāo)函數(shù)取得最值.

(2)已知目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)的關(guān)鍵,是確定在可行域哪個(gè)點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)取得最值,建立等式即可求出參數(shù)的值.需要注意的是,如果目標(biāo)函數(shù)存在一個(gè)最優(yōu)解,則最優(yōu)解通常在可行域的頂點(diǎn)處取得;如果目標(biāo)函數(shù)存在多個(gè)最優(yōu)解,則最優(yōu)解一般在可行域的邊界上.

【臨考必記】　線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)整數(shù)解
線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)整數(shù)解不一定在可行域的頂點(diǎn)或邊界處取得,此時(shí)不能直接代入頂點(diǎn)坐標(biāo)求最值,可用下面的方法求解.

(1)平移直線法:先在可行域內(nèi)打網(wǎng)格,再描整點(diǎn),平移目標(biāo)函數(shù)所表示的直線,最先經(jīng)過(guò)或最后經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)坐標(biāo)是最優(yōu)整數(shù)解.

(2)檢驗(yàn)優(yōu)值法:當(dāng)可行域內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)較少時(shí),也可將整點(diǎn)坐標(biāo)逐一代入目標(biāo)函數(shù)求值,經(jīng)過(guò)比較得出最優(yōu)解.

(3)調(diào)整優(yōu)值法:先求非整數(shù)點(diǎn)最優(yōu)解及最優(yōu)值,再借助不定方程知識(shí)調(diào)整最優(yōu)值,最后篩選出最優(yōu)解.










搶分點(diǎn)29　已知圖形與直觀圖面積、體積之間的關(guān)系
(1)由平面圖形直觀圖的畫(huà)法可得結(jié)論: 如果平面圖形F的面積為S,它的直觀圖F'的面積為S',那么S=2S'.

(2)畫(huà)空間圖形直觀圖時(shí),因?yàn)槠叫杏趜軸的線段平行性及長(zhǎng)度都不變,因此也有結(jié)論:如果空間圖形W的體積為V,它的直觀圖W'的體積為V',那么V=2V'.

搶分點(diǎn)30　空間幾何體的表面積和體積
(1)直棱柱的側(cè)面積:S側(cè)=cl(c是底面周長(zhǎng),l為側(cè)棱長(zhǎng)).
正棱錐的側(cè)面積:S側(cè)=ch'(c是底面周長(zhǎng),h'為斜高).
正棱臺(tái)的側(cè)面積:S側(cè)=(c+c')h'(c,c'分別是上、下底面周長(zhǎng),h'為斜高).
圓柱的側(cè)面積:S側(cè)=cl=2πrl(c是底面周長(zhǎng),l為母線長(zhǎng)).
圓錐的側(cè)面積:S側(cè)=cl=πrl(c是底面周長(zhǎng),l為母線長(zhǎng)).
圓臺(tái)的側(cè)面積:S側(cè)=(c+c')l=π(r+R)l(c,c'分別是上、下底面周長(zhǎng),l為母線長(zhǎng)).
球的表面積:S=4πR2.

(2)柱體的體積:V柱=Sh(S為底面積,h是柱體的高).
錐體的體積:V錐=Sh(S為底面積,h是錐體的高).
球的體積:V球=πR3=S表R.




【臨考必記】　柱體、錐體、臺(tái)體側(cè)面面積公式間的關(guān)系
(1)當(dāng)正棱臺(tái)的上底面與下底面全等時(shí),得到正棱柱;當(dāng)正棱臺(tái)的上底面縮為一個(gè)點(diǎn)時(shí),得到正棱錐,由此可得:S=chS=(c+c')h'S=ch'.
(2)當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑與下底面半徑相等時(shí),得到圓柱;當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑為零時(shí),得到圓錐,由此可得:S=2πrlS=π(r+r')lS=πrl.

搶分點(diǎn)31　證明空間位置關(guān)系的6種方法
線面平行:
?a∥α,?a∥α,?a∥α.
線線平行:
?a∥b,?a∥b,?a∥b,?c∥b.

面面平行:
?α∥β,?α∥β,?α∥γ.
線線垂直:
?a⊥b.

線面垂直:
?l⊥α,?a⊥β,?a⊥β,?b⊥α.
面面垂直:
?α⊥β,?α⊥β.

【臨考謹(jǐn)記】　
利用定理證明線面關(guān)系時(shí)要注意結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征,尤其注意正棱柱、正棱錐等特殊幾何體性質(zhì)的靈活運(yùn)用,進(jìn)行空間線面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.


搶分點(diǎn)32　直線方程的5種形式
點(diǎn)斜式:
y-y1=k(x-x1)(直線過(guò)點(diǎn)P1(x1,y1),且斜率為k,不包括y軸和平行于y軸的直線).
(2)斜截式:
y=kx+b(b為直線l在y軸上的截距,且斜率為k,不包括y軸和平行于y軸的直線).
兩點(diǎn)式:
=(直線過(guò)點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,不包括坐標(biāo)軸和平行于坐標(biāo)軸的直線).
截距式:
+=1(a,b分別為直線的橫、縱截距,且a≠0,b≠0,不包括坐標(biāo)軸,平行于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線).
一般式:Ax+By+C=0(其中A,B不同時(shí)為0).



【臨考謹(jǐn)記】　
(1)應(yīng)用直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式設(shè)直線方程時(shí),一般可設(shè)直線的斜率為k,但要注意直線垂直于x軸,即斜率k不存在的情況.

(2)為了研究方便,經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(x0,y0)的直線也可以有如下設(shè)法:當(dāng)直線與y軸垂直時(shí),可設(shè)為y-y0=0;當(dāng)直線與y軸不垂直時(shí),可設(shè)為x-x0=m(y-y0),這樣直線方程與曲線方程聯(lián)立時(shí)消去x比較方便.

搶分點(diǎn)33　兩條直線的位置關(guān)系
(1)已知直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,A2,B2全不為0),則l1,l2相交?≠,l1∥l2?=≠,l1,l2重合?==.
當(dāng)A1,B1,A2,B2中有0時(shí),應(yīng)單獨(dú)討論.

(2)直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(+≠0,且+≠0)垂直?A1A2+B1B2=0.

【臨考謹(jǐn)記】　
(1)討論兩條直線的位置關(guān)系應(yīng)注意斜率不存在或斜率為0的情況,當(dāng)兩條直線中的一條直線斜率不存在,另一條直線斜率為0時(shí),它們也垂直.

(2)已知直線l:Ax+By+C=0,則
與直線l平行的直線方程可設(shè)為Ax+By+m=0(m≠C),
與直線l垂直的直線方程可設(shè)為Bx-Ay+n=0.

搶分點(diǎn)34　圓的方程的三種形式
(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).
(2)圓的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
(3)圓的直徑式方程:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(圓的直徑的兩端點(diǎn)是A(x1,y1),B(x2,y2)).

搶分點(diǎn)35　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)
(1)標(biāo)準(zhǔn)方程:若焦點(diǎn)在x軸上,其方程為+=1(a>b>0);若焦點(diǎn)在y軸上,其方程為+=1(a>b>0).
(2)幾何性質(zhì):
①離心率e==∈(0,1);
②過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑,其長(zhǎng)度為.

【臨考謹(jǐn)記】　
(1)滿足|PF1|+|PF2|=2a的點(diǎn)P的軌跡不一定是橢圓,當(dāng)2a>|F1F2|時(shí),點(diǎn)P的軌跡是橢圓;當(dāng)2a=|F1F2|時(shí),點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2;當(dāng)2a<|F1F2|時(shí),點(diǎn)P的軌跡不存在.
(2)經(jīng)過(guò)已知兩點(diǎn)的橢圓方程可以設(shè)為Ax2+By2=1的形式,其中A>0,B>0,且A≠B.
(3)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,短軸長(zhǎng)為2b,焦距為2c,且c2=a2-b2.

【臨考必記】　
(1)橢圓的離心率e的取值范圍:0(2)若直線l過(guò)焦點(diǎn)F1(-c,0)或F2(c,0),交橢圓于M(x1,y1),N(x2,y2)兩點(diǎn),則|MN|=2a+e(x1+x2)(左焦點(diǎn))或|MN|=2a-e(x1+x2)(右焦點(diǎn)),△F2MN的周長(zhǎng)為4a.

搶分點(diǎn)36　雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)
(1)標(biāo)準(zhǔn)方程:若焦點(diǎn)在x軸上,其方程為-=1(a>0,b>0);若焦點(diǎn)在y軸上,其方程為-=1(a>0,b>0).
(2)幾何性質(zhì):
①離心率e==∈(1,+∞);
②過(guò)焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦叫通徑,其長(zhǎng)度為;
③雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x,焦點(diǎn)到漸近線的距離等于b.

【臨考必記】　
(1)離心率e的取值范圍:e>1.當(dāng)e越接近1時(shí),雙曲線開(kāi)口越小;e越接近+∞時(shí),雙曲線開(kāi)口越大.
(2)滿足||PF1|-|PF2||=2a的點(diǎn)P的軌跡不一定是雙曲線,當(dāng)2a=0時(shí),點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2的中垂線;當(dāng)0<2a<|F1F2|時(shí),點(diǎn)P的軌跡是雙曲線;當(dāng)2a=|F1F2|時(shí),點(diǎn)P的軌跡是兩條射線;當(dāng)2a>|F1F2|時(shí),點(diǎn)P的軌跡不存在.

搶分點(diǎn)37　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)
(1)焦點(diǎn)在x軸正半軸上的拋物線方程為y2=ax(a>0),其焦點(diǎn)為F(,0),準(zhǔn)線方程為x=-;焦點(diǎn)在y軸正半軸上的拋物線方程為x2=ay(a>0),其焦點(diǎn)為F(0,),準(zhǔn)線方程為y=-.

(2)已知CD是拋物線y2=2px(p>0)的過(guò)焦點(diǎn)F的弦,且點(diǎn)C(x1,y1),D(x2,y2).
①焦半徑|CF|=x1+,|DF|=x2+;
②過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)|CD|=x1+x2+p= (其中α為直線CD的傾斜角),+=(定值);
③x1x2=,y1y2=-p2;
④以拋物線上的點(diǎn)為圓心,焦半徑為半徑的圓必與準(zhǔn)線相切;以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓,必與準(zhǔn)線相切.

搶分點(diǎn)38　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
(1)直線與圓錐曲線相交的必要條件是它們構(gòu)成的方程組有實(shí)數(shù)解,當(dāng)出現(xiàn)一元二次方程時(shí),務(wù)必要求“判別式Δ≥0”,尤其在應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題時(shí),必須先有“判別式Δ≥0”.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),弦長(zhǎng)公式:
|AB|==|x2-x1|=|y1-y2|.
(3)如果有三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)在一條直線上,那么可選擇以斜率為橋梁進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

搶分點(diǎn)39　三種抽樣方法的特點(diǎn)、聯(lián)系及適用范圍
類(lèi)別 共同點(diǎn) 各自特點(diǎn) 聯(lián)系 適用范圍
簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 ①抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等; ②每次抽出個(gè)體后不再將它放回,即不放回抽樣 從總體中逐個(gè)抽取 最基本的抽樣方法 總體中的個(gè)體較少
將總體分成幾部分,按預(yù)先確定的規(guī)則在各部分中抽取 在第一部分抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 總體中的個(gè)體較多
將總體分成幾層,分層按比例進(jìn)行抽取 各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成
系統(tǒng)抽樣
分層抽樣



搶分點(diǎn)40　線性相關(guān)關(guān)系強(qiáng)弱的分析與判斷
對(duì)于變量x與y隨機(jī)抽到的n對(duì)數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),利用相關(guān)系數(shù)r來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系,樣本相關(guān)系數(shù)的具體計(jì)算公式為:
r= .
當(dāng)r>0時(shí),表明兩個(gè)變量正相關(guān).
當(dāng)r<0時(shí),表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).






【臨考謹(jǐn)記】　
(1)r= .
(2)|r|≤1,并且|r|越接近于1,兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng),|r|越接近于0,線性相關(guān)程度越弱.
當(dāng)|r|大于0.75時(shí),我們認(rèn)為x與y有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,這時(shí)求回歸直線方程有必要也有意義,而當(dāng)|r|<0.75時(shí),求回歸直線方程的意義就不大.

搶分點(diǎn)41　獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本方法
一般地,假設(shè)有兩個(gè)分類(lèi)變量X和Y,它們的取值分別為{x1,x2}和{y1,y2},其樣本頻數(shù)列聯(lián)表如下:
y1 y2 總計(jì)
x1 a b a+b
x2 c d c+d
總計(jì) a+c b+d a+b+c+d


若要推斷的論述為H1:“X與Y有關(guān)系”,常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征.可以利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)考查兩個(gè)分類(lèi)變量是否有關(guān)系,并且能較為準(zhǔn)確地給出這種判斷的可靠程度,具體做法是:根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)由公式K2=計(jì)算得到K2的觀測(cè)值k,并且k的值越大,說(shuō)明“X與Y有關(guān)系”成立的可能性越大,可以利用數(shù)據(jù)來(lái)確定“X與Y有關(guān)系”的可信程度.

【臨考謹(jǐn)記】　
(1)在列聯(lián)表中注意事件的對(duì)應(yīng)及有關(guān)值的確定,避免混亂.
(2)若要求判斷X與Y無(wú)關(guān),先假設(shè)X與Y有關(guān)系.
(3)K2與k的關(guān)系并不是k=,而是k是K2的觀測(cè)值,或者說(shuō)K2是一個(gè)隨機(jī)變量,它在a,b,c,d取不同的值時(shí),K2可能不同,而k是取定一組數(shù)a,b,c,d后的一個(gè)確定的值.
搶分點(diǎn)42　算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)
(1)順序結(jié)構(gòu):如圖2-1-1(1)所示.


圖2-1-1
(2)條件結(jié)構(gòu):如圖2-1-1(2)和圖2-1-1(3)所示.
(3)循環(huán)結(jié)構(gòu):如圖2-1-1(4)和圖2-1-1(5)所示.
你能從圖上說(shuō)明這些結(jié)構(gòu)是怎么執(zhí)行的嗎?

搶分點(diǎn)43　復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則
(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.
(a+bi)÷(c+di)=+i(a,b,c,d∈R,c+di≠0).

【臨考謹(jǐn)記】　幾個(gè)結(jié)論:
(1)(1±i)2=±2i.
(2)=i,=-i.
(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0.
(4)ω=-±i,且ω0=1,ω2=,ω3=1,1+ω+ω2=0.
(5)涉及復(fù)數(shù)問(wèn)題的最值,一般要考慮復(fù)數(shù)的幾何意義,借助數(shù)形結(jié)合的方法求解,明確的幾何意義是點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)連線的斜率.







搶分點(diǎn)44　平行線分線段成比例定理
平行線等分線段定理
定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等.
推論1:經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊.
推論2:經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn),且與底邊平行的直線平分另一腰.

平行線分線段成比例定理
定理:三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

【臨考必記】　與平行線分線段成比例定理有關(guān)的推論
(1)平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線),所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.
(2)三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線分對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例.
(3)梯形的中位線平行于兩底,且等于兩底和的一半.
(4)若一條直線截三角形的兩邊(或其延長(zhǎng)線)所得對(duì)應(yīng)線段成比例,則此直線與三角形的第三邊平行.

搶分點(diǎn)45　相似三角形的判定與性質(zhì)
相似三角形的判定定理:
①兩角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似;
②兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等,兩三角形相似;
③三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩三角形相似.

相似三角形的性質(zhì)定理:
①相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比;
②相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;
③相似三角形面積的比等于相似比的平方.

直角三角形的射影定理:直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng),兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng).

【臨考必記】　
(1)相似三角形的傳遞性:如果△ABC∽△A1B1C1,△ABC∽△A2B2C2,那么△A1B1C1∽△A2B2C2.

(2)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.




搶分點(diǎn)46　圓中有關(guān)定理及應(yīng)用
(1)圓周角定理:圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.
(2)圓心角定理:圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù).
推論1:
同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧也相等.
推論2:
半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角,90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.
(3)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理
性質(zhì)定理1:
圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).
性質(zhì)定理2:
圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角.
判定定理:
如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ),那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.
推論:如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角,那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.
(4)圓的切線的性質(zhì)及判定定理
性質(zhì)定理:圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑 .
推論1:
經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn).
推論2:
經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心.
判定定理:經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
弦切角定理 :弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角.

【臨考必記】　
圓周角定理與弦切角定理多用于證明角的關(guān)系,從而證明三角形全等或相似,也可用于求線段長(zhǎng)或角的大小及與圓的切線有關(guān)的問(wèn)題

(6)與圓有關(guān)的比例線段
相交弦定理:圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等.
割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等.
切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng).
切線長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等,圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.





搶分點(diǎn)47　平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換
設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn),在變換φ:的作用下,點(diǎn)P(x,y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P'(x',y'),稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換,簡(jiǎn)稱伸縮變換.
搶分點(diǎn)48　直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化
把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸的正半軸作為極軸,并在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位,設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)是(x,y),極坐標(biāo)是(ρ,θ),則
x=ρcos θ,y=ρsin θ,且ρ2=x2+y2,tan θ=(x≠0).
這就是直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化公式.

搶分點(diǎn)49　參數(shù)方程與普通方程的互化
代入法:運(yùn)用解方程的技巧求出參數(shù),然后代入消去參數(shù).
三角法:運(yùn)用三角恒等式消去參數(shù).
整體消元法:根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征,從整體上消去.
化參數(shù)方程為普通方程F(x,y)=0時(shí),在消參過(guò)程中應(yīng)注意變量x,y取值范圍的一致性,必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍,確定f(t)和g(t)的值域,從而得x,y的取值范圍.

搶分點(diǎn)50　常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程
(1)圓x2+y2=r2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))
(2)圓(x-x0)2+(y-y0)2=r2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))
(3)橢圓+=1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))
(4)拋物線y2=2px的參數(shù)方程為(t為參數(shù))
(5)過(guò)定點(diǎn)P(x0,y0)的傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為
(t為參數(shù))



搶分點(diǎn)51　基本不等式
定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.
定理2:(基本不等式)如果a,b>0,那么≥,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.即兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于(大于或等于)它們的幾何平均.
定理3:如果a,b,c∈R+,那么≥,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),等號(hào)成立.即三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均.
推廣:對(duì)于n個(gè)正數(shù)a1,a2,…,an,它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均,即≥,當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí),等號(hào)成立.

搶分點(diǎn)52　絕對(duì)值三角不等式
定理1:如果a,b是實(shí)數(shù),則|a+b|≤|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí),等號(hào)成立.
定理2:如果a,b,c是實(shí)數(shù),那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)·(b-c)≥0時(shí),等號(hào)成立.

搶分點(diǎn)53　絕對(duì)值不等式的解法
(1)|x|0)?-aa(a>0)?x>a或x<-a.
(2)|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c?ax+b≤-c或ax+b≥c.
(3)|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c的解法有三種:一是根據(jù)絕對(duì)值的意義結(jié)合數(shù)軸直觀求解;二是用零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值,轉(zhuǎn)化為三個(gè)不等式求解;三是構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)圖像求解.

搶分點(diǎn)54　證明不等式的基本方法
(1)比較法:作差比較法、作商比較法.
(2)綜合法:由因?qū)Ч?
(3)分析法:執(zhí)果索因法.
(4)反證法:假設(shè)命題不成立推出矛盾.
(5)放縮法:通過(guò)把不等式中的某部分的值放大或縮小,簡(jiǎn)化不等式.
　　【臨考必記】　證明不等式的常用方法有比較法、綜合法、分析法.如果已知條件與待證結(jié)論直接聯(lián)系不明顯,可考慮用分析法;如果待證命題是否定性命題、唯一性命題或以“至少”“至多”等方式給出的,則考慮用反證法等.在必要的情況下,可能還需要使用換元法、構(gòu)造法等技巧簡(jiǎn)化對(duì)問(wèn)題的表述和證明.
考前必會(huì)的21個(gè)總結(jié)、推論
搶分點(diǎn)1　集合運(yùn)算的5個(gè)重要推論
(1)A∩B?A,A∩B?B;A=A∩A,A?A∪B,B?A∪B; A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A;A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A.
(2)若A?B,則A∩B=A;反之若A∩B=A,則A?B.若A?B,則A∪B=B;反之若A∪B=B,則A?B.
(3)A∩?UA=?,A∪?UA=U, ?U(?UA)=A.
(4)?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB),?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).
(5)A∩B=A∪B?A=B.

搶分點(diǎn)2　充分必要條件的判斷方法
(1)定義法:正、反方向推理,若p?q,p是q的充分條件,或q是p的必要條件;若p?q且q?/ p,則p是q的充分非必要條件(或q是p的必要非充分條件).
(2)集合法:利用集合間的包含關(guān)系.例如,若A?B,則A是B的充分條件或B是A的必要條件;若A=B,則A是B的充要條件.
(3)等價(jià)法:將命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為另一個(gè)便于判斷真假的命題.

搶分點(diǎn)3　有關(guān)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的重要結(jié)論
(1)f(x)與f(x)+c(c為常數(shù))具有相同的單調(diào)性.
(2)當(dāng)k>0時(shí),函數(shù)f(x)與kf(x)的單調(diào)性相同;當(dāng)k<0時(shí),函數(shù)f(x)與kf(x)的單調(diào)性相反.
(3)當(dāng)f(x),g(x)同為增(減)函數(shù)時(shí),函數(shù)f(x)+g(x)為增(減)函數(shù).
(4)奇函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相反的單調(diào)性.
(5)f(x)為奇函數(shù)?f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,f(x)為偶函數(shù)?f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.
(6)偶函數(shù)的和、差、積、商是偶函數(shù);奇函數(shù)的和、差是奇函數(shù),積、商是偶函數(shù);奇函數(shù)與偶函數(shù)的積、商是奇函數(shù).
(7)函數(shù)f(x)與kf(x)(k為非零常數(shù)),(f(x)≠0)的奇偶性相同.
(8)定義在(-∞,+∞)上的奇函數(shù)的圖像必過(guò)原點(diǎn),即f(0)=0.存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù),即函數(shù)f(0)=0.
(9)f(x)+f(-x)=0?f(x)為奇函數(shù),f(x)-f(-x)=0?f(x)為偶函數(shù).

搶分點(diǎn)4　函數(shù)的最值
(1)函數(shù)最大(小)值的幾何意義:函數(shù)的最大值對(duì)應(yīng)圖像最高點(diǎn)的縱坐標(biāo),函數(shù)的最小值對(duì)應(yīng)圖像最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).
(2)利用函數(shù)單調(diào)性求最值的常用結(jié)論:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減,則函數(shù)y=f(x),x∈[a,c]在x=b處有最大值f(b);如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增,則函數(shù)y=f(x),x∈[a,c]在x=b處有最小值f(b).

搶分點(diǎn)5　函數(shù)圖像對(duì)稱變換的相關(guān)結(jié)論
(1)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的圖像是函數(shù)y=f(-x)的圖像.
(2)y=f(x)的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱的圖像是函數(shù)y=-f(x)的圖像.
(3)y=f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖像是函數(shù)y=-f(-x)的圖像.
(4)y=f(x)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圖像是函數(shù)y=f-1(x)的圖像.
(5)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=m對(duì)稱的圖像是函數(shù)y=f(2m-x)的圖像.
(6)y=f(x)的圖像關(guān)于直線y=n對(duì)稱的圖像是函數(shù)y=2n-f(x)的圖像.
(7)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱的圖像是函數(shù)y=2b-f(2a-x)的圖像.

搶分點(diǎn)6　函數(shù)圖像平移變換的相關(guān)結(jié)論
(1)把y=f(x)的圖像沿x軸向左或向右平移|c|個(gè)單位長(zhǎng)度(c>0時(shí)向左平移,c<0時(shí)向右平移)得到函數(shù)y=f(x+c)的圖像(c為常數(shù)).
(2)把y=f(x)的圖像沿y軸向上或向下平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度(b>0時(shí)向上平移,b<0時(shí)向下平移)得到函數(shù)y=f(x)+b的圖像(b為常數(shù)).

搶分點(diǎn)7　函數(shù)圖像伸縮變換的相關(guān)結(jié)論
(1)把y=f(x)的圖像上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(a>1)或縮短(00)的圖像.
(2)把y=f(x)的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)(01)到原來(lái)的倍,而縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=f(bx)(b>0)的圖像.

搶分點(diǎn)8　三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)“三看”原則
(1)一看“角”,這是最重要的一環(huán),通過(guò)看角之間的差別與聯(lián)系,把角進(jìn)行合理的拆分,從而正確使用公式.
(2)二看“函數(shù)名稱”,看函數(shù)名稱之間的差異,從而確定使用的公式,常見(jiàn)的有“切化弦”.
(3)三看“結(jié)構(gòu)特征”,分析結(jié)構(gòu)特征,可以幫助我們找到變形的方向,常見(jiàn)的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升冪”等.

搶分點(diǎn)9　正、余弦定理及其相關(guān)推論
(1)正弦定理
===2R(R為△ABC外接圓的半徑)?
a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C?a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
(2)余弦定理　
a2=b2+c2-2bccos A,b2=c2+a2-2cacos B,c2=a2+b2-2abcos C.
(3)面積定理　
①S=aha=bhb=chc(ha,hb,hc分別表示a,b,c邊上的高).
②S=absin C=bcsin A=casin B.
(4)三角形內(nèi)角和定理　
在△ABC中,有A+B+C=π?C=π-(A+B)?=-?2C=2π-2(A+B).

搶分點(diǎn)10　數(shù)量積、長(zhǎng)度、夾角、垂直和平行的坐標(biāo)表示
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則
(1)a·b=x1x2+y1y2;
(2)|a|=,|b|=;
(3)cos=;
(4)a⊥b?x1x2+y1y2=0;
(5)a∥b?x1y2-x2y1=0.

搶分點(diǎn)11　中點(diǎn)坐標(biāo)和三角形的重心坐標(biāo)
(1)P1,P2的坐標(biāo)為(x1,y1),(x2,y2),=?P為P1P2的中點(diǎn),中點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,).
(2)三角形的重心坐標(biāo)公式:△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),則△ABC的重心坐標(biāo)是G(,).

搶分點(diǎn)12　三角形“四心”向量形式的充要條件
設(shè)O為△ABC所在平面上一點(diǎn),角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,則
(1)O為△ABC的外心?||=||=||=.
(2)O為△ABC的重心?++=0.
(3)O為△ABC的垂心?·=·=·.
(4)O為△ABC的內(nèi)心?a+b+c=0.
搶分點(diǎn)13　基本不等式的變形及其推論
(1)根式形式:a+b≥2(a≥0,b≥0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.
(2)整式形式:
ab≤()2(a,b∈R),a2+b2≥2ab(a,b∈R),(a+b)2≥4ab(a,b∈R),()2≤(a,b∈R)(以上不等式當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立).
分式形式:
+≥2(ab>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.
倒數(shù)形式:
a+≥2(a>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí),等號(hào)成立;a+≤-2(a<0),當(dāng)且僅當(dāng)a=-1時(shí),等號(hào)成立.

【臨考必記】　不等式活學(xué)巧記口訣
解不等式的途徑,利用函數(shù)的性質(zhì).對(duì)指無(wú)理不等式,化為有理不等式.
高次向著低次代,步步轉(zhuǎn)化要等價(jià).數(shù)形之間互轉(zhuǎn)化,幫助解答作用大.
證不等式的方法,實(shí)數(shù)性質(zhì)威力大.求差與0比大小,作商和1爭(zhēng)高下.
直接困難分析好,思路清晰綜合法.非負(fù)常用基本式,正面難則反證法.

搶分點(diǎn)14　利用基本不等式求最值的相關(guān)結(jié)論
(1)對(duì)于正數(shù)x,y,若積xy是定值p,則當(dāng)x=y時(shí),和x+y有最小值2.
(2)對(duì)于正數(shù)x,y,若和x+y是定值s,則當(dāng)x=y時(shí),積xy有最大值s2.
(3)已知a,b,x,y∈R+,若ax+by=1,則有
+=(ax+by)(+)=a+b++≥a+b+2=(+)2.
(4)已知a,b,x,y∈R+,若+=1,則有
x+y=(x+y)(+)=a+b++≥a+b+2=(+)2.
【臨考必記】　利用基本不等式求最大值、最小值時(shí)應(yīng)注意“一正、二定、三相等”,即:
所求式中的相關(guān)項(xiàng)必須是正數(shù);
求積xy的最大值時(shí),要看和x+y是否為定值,求和x+y的最小值時(shí),要看積xy是否為定值,求解時(shí),常用到“拆項(xiàng)”“湊項(xiàng)”等解題技巧;
(3)當(dāng)且僅當(dāng)各項(xiàng)相等時(shí),才能取等號(hào).以上三點(diǎn)應(yīng)特別注意,缺一不可.更多學(xué)習(xí)資料，請(qǐng)關(guān)注微信公眾號(hào)：高中學(xué)習(xí)幫

搶分點(diǎn)15　等差數(shù)列的重要規(guī)律與推論
(1)an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d,p+q=m+n?ap+aq=am+an.
(2)ap=q,aq=p(p≠q)?ap+q=0;Sm+n=Sm+Sn+mnd.
(3)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列.
(4)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2m,公差為d,所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇,所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶,則所有項(xiàng)之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,=.
(5)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2m-1,所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇,所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶,則所有項(xiàng)之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,=.

搶分點(diǎn)16　等比數(shù)列的重要規(guī)律與推論
(1)an=a1qn-1=amqn-m,p+q=m+n?ap·aq=am·an.
(2){an},{bn}成等比數(shù)列?{anbn}成等比數(shù)列.
(3)連續(xù)m項(xiàng)的和(如Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…)仍然成等比數(shù)列(注意:這連續(xù)m項(xiàng)的和必須非零才能成立).
(4)若等比數(shù)列有2n項(xiàng),公比為q,奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇,偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶,則=q.




搶分點(diǎn)17　數(shù)列中項(xiàng)的最值的求解方法
(1)根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)f(n)=an,利用求解函數(shù)最值的方法(多利用函數(shù)的單調(diào)性)進(jìn)行求解,但要注意限制條件,即自變量的取值必須是正整數(shù).
(2)利用數(shù)列的單調(diào)性求解,利用不等式an+1≥an(或an+1≤an)求解n的取值范圍,從而確定數(shù)列單調(diào)性的變化,進(jìn)而確定相應(yīng)的最值.
(3)轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的不等式組求解:若求數(shù)列{an}的最大項(xiàng),則可解不等式組若求數(shù)列{an}的最小項(xiàng),則可解不等式組求出n的取值范圍,再確定取得最值的項(xiàng).

搶分點(diǎn)18　等差、等比數(shù)列的區(qū)別與聯(lián)系
(1)如果數(shù)列{an}成等差數(shù)列,那么數(shù)列{}(總有意義)必成等比數(shù)列.
(2)如果數(shù)列{an}成等比數(shù)列,且an>0,那么數(shù)列{logaan}(a>0且a≠1)必成等差數(shù)列.
(3)如果數(shù)列{an}既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列,那么數(shù)列{an}是非零常數(shù)數(shù)列;數(shù)列{an}是常數(shù)數(shù)列僅是數(shù)列{an}既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要不充分條件.
(4)如果兩個(gè)等差數(shù)列有公共項(xiàng),那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列,且新等差數(shù)列的公差是原來(lái)兩個(gè)等差數(shù)列的公差的最小公倍數(shù).
(5)如果一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列由其公共項(xiàng)順次組成新數(shù)列,那么常選用“由特殊到一般”的方法進(jìn)行討論,且以等比數(shù)列的項(xiàng)為主,探求等比數(shù)列中哪些項(xiàng)是它們的公共項(xiàng),構(gòu)成什么樣的新數(shù)列.

【臨考謹(jǐn)記】　
公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng),其在各自數(shù)列中所處位置不一定相同,即研究的是an=bm.但也有少數(shù)問(wèn)題研究an=bn,這時(shí)既要求項(xiàng)相同,也要求在各自數(shù)列中所處位置相同.







搶分點(diǎn)19　求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法
(1)公式法:①等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;②等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)已知Sn(即a1+a2+…+an=Sn),求an,用作差法:an=
(3)已知a1·a2·…·an=f(n),求an,用作商法:an=
(4)若an+1-an=f(n),求an,用累加法:
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(1)+a1(n≥2).
(5)若=f(n),求an,用累乘法:
an=··…··a1=f(n-1)·f(n-2)·…·f(1)·a1(n≥2).
(6)形如an=kan-1+b,an=kan-1+bn(k,b為常數(shù)且k≠1)的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法,先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列,再求an.
(7)形如an=的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng).
【臨考謹(jǐn)記】　
(1)對(duì)通項(xiàng)公式中含有(-1)n的一類(lèi)數(shù)列,在求Sn時(shí),要注意討論n的奇偶性.
(2)在用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí),一定要分q=1和q≠1兩種情況進(jìn)行討論.
(3)用an=Sn-Sn-1(n≥2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí),你注意到此等式成立的條件了嗎?
(4)一般地,當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時(shí),常需運(yùn)用關(guān)系式an=Sn-Sn-1(n≥2),先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含an或Sn的關(guān)系式,然后求解.
(5)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式遇到an+1-an-1=d或=q(n≥2)時(shí),要分奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)討論,其結(jié)果多是分段形式.









搶分點(diǎn)20　數(shù)列求和的常用方法
公式法:
①等差數(shù)列的求和公式;
②等比數(shù)列的求和公式;
③常用公式,即1+2+3+…+n=n(n+1),12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1),1+3+5+…+(2n-1)=n2,n∈N*.
(2)分組求和法:在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí),常將“和式”中的“同類(lèi)項(xiàng)”先合并在一起,再運(yùn)用公式法求和.
(3)倒序相加法:在數(shù)列求和中,若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性,則常可考慮選用倒序相加法,發(fā)揮其共性的作用求和.
(4)錯(cuò)位相減法:如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成的,那么常選用錯(cuò)位相減法,將其和轉(zhuǎn)化為“一個(gè)新的等比數(shù)列的和”求解.
(5)裂項(xiàng)相消法:如果數(shù)列的通項(xiàng)可分裂成“兩項(xiàng)差”的形式,且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián),那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用的裂項(xiàng)形式有
①=-;
②=(-);
③<=(-),
-=<<=-;
④=[-].

搶分點(diǎn)21　概率事件的重要結(jié)論
(1)事件B包含事件A:事件A發(fā)生,則事件B一定發(fā)生,記作A?B.
(2)事件A與事件B相等:若A?B,B?A,則事件A與B相等,記作A=B.
(3)并(和)事件:某事件發(fā)生,當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生,記作A∪B(或A+B).
(4)交(積)事件:某事件發(fā)生,當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生,記作A∩B(或AB).
(5)事件A與事件B互斥:若A∩B為不可能事件(A∩B=?),則事件A與事件B互斥.
(6)對(duì)立事件:若A∩B為不可能事件,A∪B為必然事件,則A與B互為對(duì)立事件.
【臨考謹(jǐn)記】　
從集合的角度來(lái)看,互斥事件是交集為空集的事件,對(duì)立事件就是互補(bǔ)事件,對(duì)立一定互斥,互斥不一定對(duì)立,不互斥一定不對(duì)立.

展開(kāi)更多......

收起↑