資源簡介

5.1.1相交線 教材同步拓展
知識解讀：相交線
一、兩條相交直線所成的角—對頂角：
1．定義：兩條直線相交時，形成的四個角（如圖1）：∠1，∠2，∠3，∠4，∠1和∠3，具有公共的頂點O，并且兩邊互為反向延長線，我們把這樣兩個具有特殊位置的角叫做對頂角?！?和∠4也是對頂角。
解讀：（1）判定兩個角是不是對頂角，不僅要看這兩個角是
否是兩條直線相交所得到的，而且要看這兩個角是不是有公共的
頂點，兩個角的兩邊是否互為反向延長線，符合這三個條件時，
才能判定這兩個角是對頂角。（2）對頂角是成對出現(xiàn)的，是具有
特殊位置關(guān)系的兩個角。（3）兩條直線相交所成的四個角中共有
兩對對頂角。
2．性質(zhì)：對頂角相等。
解讀：（1）此性質(zhì)可用以下推理格式得到：因為∠1+∠2=1800，∠3+∠2=1800，所以∠1=∠3。（2）利用對頂角的性質(zhì)解決幾何里的計算題，常常要用到圖形的幾何性質(zhì)。
二、兩條相交直線的特殊情形—垂線：
1．垂線的定義：當兩條相交直線所成的四個角中有一
個角是直角時，則稱這兩條直線互相垂直，其中一條直線
叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。
解讀：（1）如圖3直線AB、CD互相垂直，記作“AB⊥
CD”讀作“AB垂直于CD”，若垂足為O，記作AB⊥CD，
垂足為O。
（2）用三角板過一點畫垂線的方法：①讓三角板的
一條直角邊與已知直線重合；②沿已知直線左右移動三角
板，使另一直角邊經(jīng)過已知點；③沿此直角邊畫直線。
則此直線為已知直線的垂線（如圖4）。上述畫垂線的過程
可總結(jié)為“一靠、二過、三畫”
2．垂線的性質(zhì)：
性質(zhì)1．經(jīng)過直線外或直線上一點有且只有一條直線與已知直線垂直。
性質(zhì)2．直線外一點與直線上各點連編者按所有線段中垂線段最短。
解讀：如圖5，設直線PO⊥，垂足為O，則稱PO為點P到直線的垂線段；過P點的其他直線與交于A、B、C……，線段PA、PB、PC…… 稱為斜線段。
3．點到直線的距離：從直線外一點到這條直線的垂線段
的長度，叫做點到直線的距離。
解讀：（1）點到直線的距離是垂線段的長度，是一個數(shù)
量；而垂線段是一條線段，是一個幾何圖形。
（2）要明確線段不是距離，距離是指線段的長度。

“相交線”學習三注意
在日常生活中，我們會經(jīng)常遇到兩條直線相交的情形，所以同學們在學習“相交線”時應重點注意掌握以下幾個問題：
一、注意正確理解垂線的含義，掌握垂線的性質(zhì)，并能過一點會畫已知直線的垂線
當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條的垂線，它們的交點叫做垂足.
如圖1，直線AB與CD互相垂直，記作“AB⊥CD”或“CD⊥AB”，讀作“AB垂直于CD”或“CD垂直于AB”，如果垂足是O，可記作“AB⊥CD垂足為O”.
由此可知，由兩條直線互相垂直，我們可以有下列的簡單推理（如圖1）：
因為∠AOC＝90°（已知），所以AB⊥CD（垂直的定義）.
反過來，因為AB⊥CD（已知），所以∠AOC＝90°（垂直的定義）
值得注意的是，垂線是相交線的特殊情況，在今后的學習中，我們遇到的兩條線段垂直、兩條射線垂直等等，都是指它們所在的直線.





垂線有兩個重要性質(zhì)：①過一點有且只有一條直線和已知直線垂直.就是說，過直線上或直線外一點，可以作這條直線的一條垂線，并且只能作一條.②直線外一點與直線上各點連結(jié)的所有線段中，垂線段最短. 簡稱：垂線段最短.
如圖2，設點P是直線外一點，PA、PB、PC、PO都和直線l相交，其中PO⊥l，垂足為O，則線段PO就叫做點P到直線l的垂線段，可見直線外一點到這條直線的垂線段只有一條，其余的PA、PB、PC、…都是斜線段，斜線段有無數(shù)條.
過一點會畫已知直線的垂線的畫法是指下列兩種情況：一是過直線上一點畫已知直線的垂線；二是過直線外一點畫已知直線的垂線.
過一點畫已知直線的垂線一般用三角板或量角器畫圖.
應該注意的是，畫一條線段或射線的垂線就是畫它們所在直線的垂線，至于過一點畫線段的垂線，其垂足可以在線段上，也可以在線段的延長線上.
二、注意理解什么是點到直線的距離，注意點到直線的距離、垂線、垂線段、兩點間距離等概念之間的區(qū)別與聯(lián)系
從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.如圖2中PO的長度就是點到直線l的距離，其余各條線段PA、PB、PC等都不是點P到l的距離.
值得注意的是，點到直線的距離是指垂線段的長度.
點到直線的距離、垂線、垂線段、兩點間距離的這些概念相近而又相異，主要表現(xiàn)在：①垂線與垂線段的區(qū)別是：垂線是一條直線，不可度量長度，垂線段是一條線段，可以度量長度；聯(lián)系在于都具有垂直于已知直線的共同特性.②兩點間的距離與點到直線的距離的區(qū)別是：兩點之間的距離是點與點之間，點到直線的距離是點與直線之間，聯(lián)系在于都是線段的長度，點到直線的距離是特殊的兩點（即已知點與垂足）間距離，同時都是由“最短”的特性引入的.③線段與距離的區(qū)別是：距離是線段的長度，是一個量；線段則是一種圖形，它們之間是不能等同的.
三、注意了解“三線八角”，掌握同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，能從復雜的圖形中辨別出同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角
所謂三線八角就是兩條直線被第三條直線所截形成八個角，如圖3中的∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8.
兩條直線被第三條直線所截形成八個角，這樣它們就構(gòu)成了同位角、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角.如圖1，直線a、b被直線l所截：①∠1與∠5在截線l的同側(cè)，同在被截直線a、b的上方，叫做同位角（位置相同）.②∠5與∠3在截線l的兩旁（交錯），在被截直線a、b之間（內(nèi)），叫做內(nèi)錯角（位置在內(nèi)且交錯）.③∠5與∠4在截線l的同側(cè)，在被截直線a、b之間（內(nèi)），叫做同旁內(nèi)角.





要回答這些問題，除了要弄清楚同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角、對頂角的概念外，還要學會將復雜的圖形分解出來，略去與角無關(guān)的線，以便清楚的看出各對角的位置關(guān)系.
如，要說出如圖4中∠1與∠2；∠1與∠7；∠1與∠BAD；∠2與∠6；∠5與∠8的各對角的關(guān)系，我們可以將圖2分解成圖5的6個圖形.









這樣就知道：∠1與∠2是同旁內(nèi)角；∠1與∠7是同位角；∠1與∠BAD是同旁內(nèi)角；∠2與∠6是內(nèi)錯角；∠5與∠8是對頂角.順便說一下，由圖3的最后一個圖可知，∠2與∠9不存在任何關(guān)系，不能誤認為是同位角.






例題講解：相交線
【例1】 如圖5-3，直線AB、CD、EF相交于點O，∠AOE=40°，∠BOC=∠AOC，求∠DOF.
【解析】圖形中∠BOC與∠AOC互為鄰補角，結(jié)合已知條件：∠BOC=2∠AOC，則可求出∠AOC，要求∠DOF只需求它的對頂角∠EOC即可，本題可用方程求解.

圖5-3
【答案】 設∠AOC=x°，則∠BOC=(2x)°.
因為∠AOC與∠BOC是鄰補角，所以∠AOC+∠BOC=180°
所以x+2x=180
解得x=60
所以∠AOC=60°.因為∠DOF與∠EOC是對頂角，
所以∠DOF=∠EOC=∠AOC-∠AOE=60°-40°=20°
【例2】 (山東)如圖5-4，兩條筆直的街道AB、CD相交于點O,街道OE、OF分別平分∠AOC、∠BOD，說明街道EOF是筆直的.

圖5-4
【解析】 要說明街道EOF是筆直的，也就是判斷EOF是一條直線，即只需判斷∠1+∠AOF=180°.判斷三點共線(三個點在同一條直線上)，只需判定以中間位置的點為頂點角是平角即可.
【答案】 因為∠AOC與∠BOD是對頂角，所以∠AOC=∠BOD.
因為∠1=∠AOC，∠2=∠BOD，所以∠1=∠2.
因為AB為直線，∠2與∠AOF是鄰補角.
所以∠2+∠AOF=180°.所以∠1+∠AOF=180°.
即∠EOF=180°.
所以EOF是一條直線，即街道EOF是筆直的.
【例3】 如圖5-5，已知∠2與∠BOD是鄰補角，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠2∶∠1=4∶1，求AOF.

圖5-5
【解析】 此題圖形復雜，相等關(guān)系較多，可考慮列方程求解.條件中有比值時，如a∶b=m∶n時，解題時常設a=mx，b=nx，再列方程求解.
【答案】 設∠1=x，則∠2=4x
因為OE平分∠BOD，所以∠BOD=2∠1=2x
因為∠2+∠BOD=180°，所以4x+2x=180°，解得x=30°.
因為∠DOE+∠COE=180°，所以∠COE=150°.
因為OF分∠COE，所以∠COF=∠COE=75°.
因為∠AOC與∠BOD是對頂角，所以∠AOC=∠BOD=60°.
所以∠AOF=∠AOC+∠COF=60°+75°=135°.


D

圖1

O

A

B

C

l

P

圖2

C

B

A

O

5

6

8

l

2

3

1

b

a

4

7

圖3

8

4

E

A

B

D

C

F

11

2

3

5

6

7

9

圖4

E

2

1

A

B

F

A

B

C

7

1

B

A

D

F

1

圖5

6

B

A

C

D

2

B

A

E

F

8

5

2

9

A

C

B

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