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2019年重慶市高中數學高考閱卷各題情況梳理
一、理科數學：
填空題典型解法及錯誤：
13題常見答案：0.98；；；98％ ；
14題常見答案：-3；；；；；；；
15題常見答案：；；；；
16題常見答案：第一空26，第二空答案形式較多：；；；；；；；；。此題有兩空，有學生填反。
17題典型解法：
第一問：
幾何法1：參見標準答案；
幾何法2：∵，∴即，∴，∴；
幾何法3：利用三垂線定理，由，證明；
向量法1：通過建系，求得平面的法向量，算得，進而證得平面；
向量法2：利用向量計算，進而證得。
第二問：
幾何法1：利用三垂線定理作二面角的補角。連，過作于，連結，即為二面角的平面角；
幾何法2：延展平面，連結，則平面，再作二面角的補角即可；
向量法：參照校準答案（只是建系時坐標原點的選擇不同）。值得一提的是，有的同學用確定平面的法向量，也有的用行列式計算法向量，比較簡潔且準確，而且可以徹底解決困擾老師多年的二面角銳（鈍）角的判定難題；
幾何法+向量法：易知為平面的法向量，而為平面的法向量，將平移至，連，恰好構成，計算十分簡單。
典型錯誤：
由平面平面，平面，證得平面；
設，再證明；
建系后直接設，解決第二問，沒有證明；
把線面角的公式和二面角的公式混為一談；
向量的坐標與點的坐標沒有區分開，向量書寫不寫箭頭；
沒有法向量計算的中間過程。
18題典型解法：
第二問：前兩次甲、乙一個勝一局，，三、四局甲全勝，所以；
第二問：前三局，；
第二問：。
典型錯誤：
審題不清：第一問； ；；第二問；
；；
第一問也理解成了甲勝，，第二問；
第一問：，第二問多比了一局：；
第二問錯誤理解為甲、乙各勝兩局；
第二問多算了甲甲乙甲或甲甲甲乙的情況，比分誤理解3：1；
誤理解為超幾何分布，第一問，第二問；
誤理解為勝的概率占總的一半：；
獨立重復，條件概率，算了平局；
第一問：
甲乙 甲甲
乙甲 乙乙

第二問多算了乙勝的情況，或者討論了甲、乙先發球的概率：
乙先發球，
甲先發球，
。
19題典型解法：
標準答案解法，兩式相加、相減進行證明并求通項；
第一問用定義法進行證明，如
；
（3）第二問利用等差、等比數列前項和公式，先求得數列、前項和，然后相加減求得數列的前項和，進而求得；
（4），證得是等差數列同理證等比數列；
（5）第二問先求，得，將其代入，得，再累加求得，進一步求；
（6）利用等差中項、等比中項進行證明；
（7）代入法消掉，構造新等比數列，再構造等差數列，從而求得通項。
典型錯誤：
利用特殊值法證明等差、等比數列；
計算出錯較普遍。如：移項時加、減符號出錯；約分時公差、公比出錯，錯算成公差8、公比2，導致第二問失分；第二問求通項時，指數出錯，，化簡錯算為。
20題典型解法：
第一問討論單調性：
法一：定義域為，∵，∴在單調遞增；
法二：當時，，當時，，∴在單調遞增；
第一問證明零點：
法一：∵，∴存在，使，又∵，∴存在，使，結合的單調性得函數有且僅有兩個零點；
法二：當時，，當時，，當時，，當時，，結合的單調性得函數有且僅有兩個零點；
法三：即即，令，，，
∴在單調遞增，令，即，且，∴在單調遞減，單調遞增，
∴，又∵∴在有且僅有兩個零點，∴有且僅有兩個零點
第二問證明公切線：
法一：∵是的零點，∴，由得，∴在處的切線方程， 由得，∴在處的切線方程，時，有，∴，或都化成，∴共線，即在處的切線也是的切線；
法二：∵是的零點，∴，由得∴在處的切線方程，令 得，代入得，∴在曲線上，，得證。
法三：把法二中的代入切線，剛好滿足的解析式。
法四：聯立，結合得
令，，，∴在定義域內單調遞增，令即，∴在單調遞減，單調遞增，∴的極小值為，∴的圖象與軸相切，即曲線與曲線相切。
∴在處的切線也是的切線。
其中討論單調性用導數為常規方法，證明零點用法一、法二居多，法三也有人做，但做對的較少，證明公切線法一、法三居多，法二、法四較少，法四主要是敘述不充分
典型錯誤：
第一問：
求導錯誤；
由于求導錯誤，導致單調區間求解錯誤；
單調區間寫法錯誤，用了并集符號；
（4）由于本小題要證明函數有兩個零點，部分學生會刻意求解對應的區間；
（5）使用作圖的方法求證函數有兩個零點，不能得到滿分；
（6）在單調區間上使用介值定理，用極限表示證明，對“” 處的極限書寫不規范，也有出現之類的不規范寫法。
第二問：
不能正確寫出在點處的切線方程，如：切線斜率寫作；
未正確理解題意，認為曲線的切線切點也是，從而寫錯的切線方程；（注意：與并不相交，切點不同）
由斜率相等，得，但不會求解；
證明兩切線斜率相等，當沒證明兩切線截距相等，證明過程不完整；
由于與關于直線對稱，學生誤認為兩曲線的切點中點在直線上。
21典型解法：
第一問：由已知，得出，所以為一個不含左、右頂點的橢圓；
第二問：
第一小問
法一：設直線，聯立，解得，斜率，聯立，解得，得，，所以為直角三角形；
法二：設，則，則，所以，又由點差法知，所以
所以為直角三角形；
法三：設，，，兩式相減得，所以，又，所以，
所以，
第二小問
法一：，當時，；
法二：設，則，設，則由到角公式有，在中，，
所以
，求法可同法一，也可用求導法如下：設，，
所以，，，所以；
法三：設，，，得，∴，得，
∴，
設，，設，
則，設，，，由求導法可知，。
典型錯誤：
審題不清。由題意抽象出的數學表達式出錯，如“斜率之積為”表達成向量、斜率的和差商；
公式及概念掌握不牢。如：中分母與分子顛倒；二次方程一般形式不知道，圓錐曲線方程的標準形式掌握不夠，化簡結果寫成；由方程不能判斷曲線形態；
求軌跡方程一般思路步驟缺失完備性的考慮；
數學運算素養需提高，如：由化簡出錯；
書寫表達不好。如：表達不規范，缺少邏輯；字小字亂，難理解；
（文理相同）22典型解法：
第一問：
法一：標準答案解法；
法二：直角坐標解法。，∴，∴，∴，∴，∴；
第二問：
法一：標準答案解法：
法二：∵，∴點在以為直徑的圓上，
∴化為極坐標為，又點在線段上，且，∴；
法三：設，則，∵，
∴，即，化為極坐標為，又點在線段上，且，∴；
法四：設，在中，，∴，又，∴，即；
法五：設普通方程為，則普通方程為，由得，∴的軌跡方程為；
法六：設，的極坐標方程為，又，∴，∴的直角坐標方程為，化為極坐標方程為，由（1）（2）知。
典型錯誤：
記錯的正切值；
搞錯互相垂直直線的斜率關系；
直角坐標化極坐標，記錯公式；
收角時化簡出錯；
未寫角的范圍。
（文理相同）23典型解法：
第一問：時，，當時，，當時，，綜上，當；
第二問： ，，
∵，又∵，∴，
∴，∴，即，∴。
典型錯誤：
分類討論混亂，搞不清臨界點；
不等式兩邊平方。
二、文科數學：
填空題常見答案：
13題常見答案：-9，5，1；
14題常見答案：0.98；；；98％ ；；；0.735；0.0735；
15題常見答案：；；；；或；；
16題常見答案：第一空26、24、32，第二空答案形式較多：；；；；；；；；，錯誤答案：；；；；。
填空題典型問題：卷面不整潔、書寫不規范、答案寫錯位、私自加單位、未化簡。
17題典型解法：
第一問：
法一：三垂線定理證明；
法二：向量法證明；
第二問：
法一：等體積法求體積，如或；
法二：向量法；
法三：求常利用勾股定理，三角形全等轉化求解。
典型錯誤：
第一問：
（1）視為中點加以證明；
（2）定理錯誤，如：由一條線線垂直就得線面垂直；由面面垂直證明線面垂直時，未垂直于交線；
（3）定理掌握混亂，如：一個平面內的兩條相交直線分別垂直于另一個平面內的兩條相交直線，則線面垂直；
第二問：
體積公式錯，如或或或；
勾股定理計算錯誤，如；
18題典型解法：
法一：用十字相乘法或用求根公式法求解；
法二：，證明其為等差數列再求和或直接用等差數列求和；
法三：∵，∴，∴；
法四：∵是各項為正數的等比數列，∴，又，
∴，得，∴；
法五：∵是各項為正數的等比數列，，且，
∴，∴，；
典型錯誤：
冪的對數不會算，指數式運算不會，造成第二問也錯，如：，；
非同底化為同底運算不會，如，，；
對數運算不會，法則不清楚，如：
；
書寫不規范造成錯誤，如錯寫成，造成求和錯誤；
十字相乘法不會，公比算錯，導致后面全錯；
移項符號弄錯；
，分不清項數；
，這種錯誤較多；
表達不規范，公比用等表示，公差用等表示；
19題典型錯誤：
計算錯誤。如第一問中7+14=28，7+14=20，7+14=27，，
，；
平均數算錯。如：；
方差公式錯誤.如：沒除100；把100放在根號外；分子中對應組沒有乘以頻數；分子中對應未乘頻數；
混淆方差和標準差；
根號的用法不標準，書寫合適不規范；
讀題不仔細，第二問要求保留兩位小數，但很多考生沒注意此條件。
20題典型解法：
第一問：
法一：設帶入橢圓方程解得，從而；
法二：由題得，再由橢圓定義算出；
法三：消元，得，再由得，再由橢圓定義算出；
法四：由余弦定理、勾股定理、橢圓定義聯立求解離心率；
第二問：


第一小問：
法一：得，解得；
法二：推導得出，解得；
第二小問：
法一：由標準答案推出，∴，推出；
法二：有均值不等式，推出；
法三：先證明頂角最大在短軸頂點，過程如下：由余弦定理和均值定理得。再由，得，推出；；
典型錯誤：
第一問：
點坐標寫反；
勾股定理直角找錯；
方程解錯，，錯解成；
離心率分母有理化化錯；
離心率公式記錯，分子分母反了；
橢圓和雙曲線定義弄反；
離心率兩個值取舍分不清，主要是橢圓和雙曲線離心率范圍混淆導致；
第二問：
計算錯誤，如，算出；
理論錯誤，如，錯誤理解成；
計算不徹底，如算到就結束了；
均值不等式不等號方向記反；
面積公式記錯，錯記成，或；
采用特值法計算，或者使用了第一問的條件是等邊三角形；
21題典型解法：
第二問：
法一：先證有且僅有兩個實根：
由（1）知，或，又
∴在和上各存在唯一零點。
再證兩實根互為倒數：
由以上可知又
，∴是方程的一實根，又
∴。
法二：同法一證明有且僅有兩個實根，
由以上可知又
，又，∴，又在上單調遞減，∴，∴。
法四：令，即，
令，，∴在單調遞增，單調遞增，又，，，由零點存在定理及單調性知，在和上各有唯一零點；
，且，又，又，，在上單調遞增，∴，∴，，又在上單調遞減，，∴。
典型錯誤：
求導計算錯誤，如，；
單調性未說清楚，為檢驗駐點是變號零點；
以圖代證不符合證明要求；
未證“有且僅有兩個實根”，即誤把“有且僅有兩個實根”當作條件用；
未說清楚；
區間端點的極限未說清楚，如；
把待證結論“”當作條件去驗證；
未說明落于的同一單調區間，即由推出。

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