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線段的和差倍分問題的證明

在初中幾何中，證明線段的相等關系是一個重要的教學內容，而有關線段的和、差、倍、分問題，則是其中的教學難點。如何搞好線段的和差倍分的教與學？本文通過一些例題，談談它的一般證明方法。
一、運用定理法
即直接或間接運用某些涉及線段和差倍分關系的定理或推論進行證明。此類定理和推論有：三角形中位線定理；梯形中位線定理；直角三角形30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
例1 如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC
于D，M為BC中點.
求證：DM = AB
分析：如圖，因為AB等于△ABC的
中位線NM的長，所以原命題就轉化為證明DM＝NM?！逥N為Rt△ADC斜邊上的中線，∴DN=NC；∴∠2=∠C，又∵2∠C=∠B=∠1=∠2+∠3,∴∠2=∠3=∠C ，∴DM=MN，問題得證。
說明：證明線段的和差倍分問題，大都是采取間接的方法進行，即把線段的和差倍分問題轉化為證明兩條線段相等的問題?！稗D化”是證明線段的和差倍分問題的指導思想，它通過對原問題進行變形，促使矛盾的轉移，從而達到化未知為已知，化難為易，化繁為簡的目的，一般說來，運用定理法證明線段的和差倍分問題，就是根據有關定理將原命題轉化后再證明。
二、割補線段法
這是證明線段的和差倍分問題的一種重要方法。即通過“分割”或“添補”的形式，在相關線段或其延長線上構造一線段，使之能夠表示幾條線段的和差倍分關系，從而將多線段問題轉化為兩線段問題。
例2 如圖，在△ABC中，BD=FC，FG∥DE∥BA，D、F在BC上，E、G在AC上.
求證：FG=AB-DE
分析：本題的關鍵在于構造一條線段，
使之等于（AB-DE）,如圖，在AB上載取線
段AH=DE，則AB-DE=BH，從而把原命題轉化
為證明FG=BH的問題，進而通過證△BHD≌FGC，使原命題得證。
例3 如圖，P是正方形ABCD的邊BC上的任意一點，AQ平分∠PAD.
求證：AP=BP+DQ.
證明：延長PB至E，使BE=DQ，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BA=AD，∠EBA=∠QDA=90°
∴△ABE≌△ADQ，∴∠E=∠4，∠3=∠1，
∵∠1=∠2，∴∠3=∠2，∴∠PAQ=∠BAQ=∠4
∴∠E=∠PAE，∴PE=AP，既BP+BE=AP，
∴BP+DQ=AP
說明：例2通過“分割”的形式構造從兩條線段之差，例3通過“添補”的形式構造從兩條線段之和，從而將原命題轉化為兩條線段的問題，值得注意的是：在運用“割補法”證明線段的和差倍分關系時，是運用“添補”的形式構造線段的“和”或“倍”，還是運用“分割”的形式構造線段的“差”或“幾分之幾”，這不能取決于原命題的和差倍分形式。因為“和”與“差”，“倍”與“分”是可以互相轉化的。因此，我們在選擇割補的形式時要結合圖形和題目的已知條件，即所割補的線段不是“孤立”的，而應能夠與原來的圖形產生聯系。
從以上三個例題可知，在證明線段的和差倍分關系時，往往通過添輔助線，構造出能表示線段的和差倍分關系的線段，促使問題的轉化。但在添加輔助線之前一定要結合題意和圖形深入分析，想一想，圖形中是否已經存在能表示有關線段和差倍分關系的線段，否則亂添加輔助線只能把圖形復雜化，使思路步人歧途。下面請看一個例子。
例4 如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AE是經過點A的一條直線，交BC于F，且B、C在AE在的異側，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，
求證：DB=DE+CE。
分析：通過分析題目的已知條件可知：
△ABD≌△CAE ,從而得AD=CE，則DE+CE=AE，
而BD=AE，原命題得證。
三、比例線段法
即找出與所證明有關的比例式，通過對比例式進行變形或重新組合，從而得出線段之間的和差倍分關系。
例5 如圖，在△ABC中，BD是∠B的平分線，△ABD的外接園交BC于E，若AB=AC，
求證：CE=2AD。
分析與證：
因為“CE=2AD”與“AB=AC”的倍分關系一致，因此想辦法通過比例式將這些線段聯系起來，連接DE，則∠CDE=∠ABC，故△CDE∽△CBA，得CE：DE=AC：AB=2，又由BD為∠ABC的平分線得DE=AD，所以CE：AD=2，即CE=2AD。
運用定理法、割補法和比例線段法是證明線段的和差倍分問題常用的方法，它們的共同點是：通過變換，促使問題的轉化從而達到證明的目的。鑒于幾何問題的復雜多樣性，在證明線段的和差倍分問題時，不應局限于這三種方法，而應積極開動腦筋，拓展思路，即能夠運用定勢思維進行思考，又要防止定勢思維的局限性。


A

B

D

C

N

M

1

2

3

A

B

C

D

F

H

E

G

A A

B

C

D

P

Q

E

1

2

3

A

B

E

D

F

C

A

B

E

D

C






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