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三角函數求值問題的解答方法
三角函數求值問題是指在給定條件的情況下，求三角函數值或角的問題。這類問題主要包括：①知角求值；②知值求值；③知值求角三種類型。各種類型具有一定的結構特征，解答的方法也有所不同，那么在實際解答三角函數求值問題時，到底應該如何應對呢？下面通過典型例題的解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
1、=（ ）
A B C 2 D
【解析】
【知識點】①誘導公式及運用；②二倍角公式及運用。
【解題思路】運用誘導公式，二倍角公式通過運算就可得出結果。
【詳細解答】原式= = =2，C正確，選C。
2、4cos-tan=（ ）
A B C D 2-1
【解析】
【知識點】①同角三角函數的基本關系；②誘導公式及運用；③和角，差角，倍角公式及運用；④任意角化特殊角的基本方法；⑤輔助角公式及運用。
【解題思路】運用同角三角函數的基本關系切化弦，結合分式的性質進行運算，根據和角，差角，二倍角公式化成asin+bcos的式子，再利用輔助角公式通過運算得出結果。
【詳細解答】原式=4sin-===
===
=，C正確，選C。
3、求角，的正弦、余弦、正切值；
【解析】
【知識點】①任意角化特殊角的基本方法；②和角，差角公式及運用。
【解題思路】運用=+，=-，結合和角，差角公式通過運算可得出結果。
【詳細解答】=+，sin=sin(+)=sincos+cossin=
(+)=； cos=cos(+)=coscos-sinsin=
(-)=；tan=tan(+)===
= =2+；=+，sin=sin(-)=sincos- cos
sin=(-)=；cos=cos(+)=coscos+sinsin=
(+)=；tan=tan(-)===
= =2-。
4、計算coscos+sincos的值；
【解析】
【知識點】①誘導公式及運用；②差角公式及運用。
【解題思路】運用誘導公式，差角公式通過運算就可得出結果。
【詳細解答】原式= coscos+sinsin=cos(-)=cos=0。
5、求的值；
【解析】
【知識點】①特殊角三角函數值的運用；②和角公式及運用。
【解題思路】運用特殊角三角函數值，和角公式通過運算就可得出結果。
【詳細解答】原式== tan(+)=tan=。
6、計算的值；
【解析】
【知識點】①差角公式及運用；②任意角化特殊角的基本方法。
【解題思路】運用差角公式結合任意角化特殊角的基本方法通過運算就可得出結果。
【詳細解答】原式= = = tan
=tan(-)==== =2-。
7、已知+=，求（1+tan）(1+tan)的值；
【解析】
【知識點】①和角公式及運用；②代數式求值的基本方法。
【解題思路】運用和角公式結合代數式求值的基本方法通過運算就可得出結果。
【詳細解答】+=，tan(+)==tan=1，
=1-，（1+tan）(1+tan)=1++=1+1-
+=2。
8、計算Coscoscoscos的值；
【解析】
【知識點】①二倍角公式及運用；②分式的定義與性質；③誘導公式及運用。
【解題思路】運用分式的定義與性質結合二倍角公式，誘導公式通過運算就可得出結果。
【詳細解答】原式= = .cos
= = = = 。
9、計算cos-cos的值；
【解析】
【知識點】①二倍角公式及運用；②分式的定義與性質；③誘導公式及運用；④和角，差角公式及運用。
【解題思路】運用分式的定義與性質結合二倍角公式，誘導公式，和角，差角公式通過運算可得出結果。
【詳細解答】原式==
===。
10、計算++sincos的值；
【解析】
【知識點】①二倍角公式及運用；②誘導公式及運用；③和角，差角公式及運用。
【解題思路】運用二倍角公式，誘導公式，和角，差角公式通過運算可得出結果。
【詳細解答】原式=++sincos（-）=1-+
+ sincos+ sinsin=1-++ sin- sin+
cos- cos=-+ sin+ cos=-+sin(+)
=-+sin=-+=。
『思考問題1』
（1）【典例1】是知角求值的問題，解答這類問題的基本思路是把任意角轉化為特殊角，從而運用特殊角的函數值求出結果；
（2）解答該類問題上注意知識的綜合運用，同時還要注意和角，差角，二倍角公式的靈活運用（即可以從公式的左邊到右邊，也可以從公式的右邊到左邊）。
〔練習1〕解答下列問題：
1、求- sin（- ）的值；
2、 計算sincos -cos sin 的值；
3、計算的值；
4、計算的值；
5、計算tan+tan+tantan的值；
6、計算Coscoscoscos的值。


【典例2】解答下列問題：
1、若角的頂點為原點，始邊與X軸正半軸重合，終邊在直線y=2x上，則cos2=（ ）
A - B - C D
【解析】
【知識點】①任意角三角函數的定義與性質；②二倍角公式及運用。
【解題思路】運用任意角三角函數的定義與性質求出角的正弦（或余弦）值，根據二倍角公式通過運算就可得出結果。
【詳細解答】角的頂點為原點，始邊與X軸正半軸重合，終邊在直線y=2x上，
sin==， cos2=1-2sin=1-2 =- ，B正確，選B。
2、已知sin2=，則cos（+）=（ ）
A B C D
【解析】
【知識點】①二倍角公式及運用；②誘導公式及運用。
【解題思路】運用二倍角公式和誘導公式得到cos（+）= = ，根據條件通過運算就可得出結果。
【詳細解答】 cos（+）= = ，sin2=，
cos（+）= =，A正確，選A。
3、已知為銳角，且有2tan(-)-3cos(+)+5=0，tan(+)+6sin(+)-1=0，則sin的值是（ ）
A B C D
【解析】
【知識點】①誘導公式及運用；②二元一次方程組及其解法；③同角三角函數的基本關系。
【解題思路】運用誘導公式和二元一次方程組的解法求出tan的值，根據同角三角函數的基本關系通過運算就可得出結果。
【詳細解答】2tan(-)-3cos(+)+5=0，-2tan+3sin+5=0， tan=3，
tan(+)+6sin(+)-1=0， tan-6sin-1=0，
sin=3cos， sin+ sin=1， sin= ，為銳角，
sin= ，C正確，選C。
4、已知sinA+cosA=-，A為第四象限角，則tanA等于（ ）
A B C - D -
【解析】
【知識點】①任意角三角函數的定義與性質；②勾股定理及其運用；③一元二次方程的定義與解法。
【解題思路】運用任意角三角函數的定義與性質，借助圖像和勾股定理求出兩直角邊的值，根據任意角正切函數的定義通過運算就可得出結果。
【詳細解答】如圖，設0B=x， sinA+cosA=-， y
BC=x+7，在RtOBC中，OB+BC=OC， O B x
+=13，+7x-60=0，x=5， 13
BC=5+7=12，A為第四象限角， tanA=-， C
C正確，選C。
5、已知sin.cos=，＜＜，則cos-sin的值為（ ）
A - B C - D
【解析】
【知識點】①同角三角函數的基本關系；②二倍角公式及運用；③完全平方公式及運用。
【解題思路】運用同角三角函數的基本關系求出cos-sin的平方的值，根據＜＜，就可得出cos-sin的值。
【詳細解答】 sin.cos=，= cos-2 sin.cos+ sin
=1-2=，＜＜， cos-sin>0， cos-sin=，B正確，選B。
6、已知sin=，則sin-cos的值為（ ）
A - B - C D
【解析】
【知識點】①平方差公式及運用；②同角三角函數的基本關系。
【解題思路】運用平方差公式分解因式，由同角三角函數的基本關系通過運算就可得出結果。
【詳細解答】 sin-cos=（sin+ cos）（sin- cos）= sin- cos=2 sin- 1，sin=， sin-cos=2-1=-，B正確，選B。
7、已知tan=3，則①= ；②sin-3sincos+1= ；
【解析】
【知識點】①同角三角函數的基本關系；②十字相乘法及運用。
【解題思路】①運用同角三角函數的基本關系通過運算就可得出結果；②運用十字相乘法分解因式，根據同角三角函數的基本關系通過運算就可得出結果。
【詳細解答】 tan=3，①===1；②sin-3sincos+1=2sin-3sincos+ cos=（2sin- cos）（sin- cos）= cos（2tan-1）（tan-1）= （23-1）（3-1）=1。
8、已知角終邊上一點P（-4,3），則的值為 ；
【解析】
【知識點】①任意角三角函數的定義與性質；②誘導公式及運用。
【解題思路】①運用任意角三角函數的定義與性質求出tan的值，根據誘導公式通過運算就可得出結果。
【詳細解答】角終邊上一點P（-4,3）， tan=- ，原式=
= tan=- 。
9、已知，為銳角，cos=，sin（+）=，則cos= ；
【解析】
【知識點】①同角三角函數的基本關系；②差角公式及運用。
【解題思路】①運用同角三角函數的基本關系求出sin，cos（+）的值，根據差角公式通過運算就可得出結果。
【詳細解答】 cos=，為銳角， sin= = ，，為銳角，
sin（+）=， cos（+）= =，0<<+<， cos（+）=-，=（+）-， cos=cos[（+）-]= cos（+）.cos
+ sin（+）.sin=-+=-+ =。
10、已知sin=，并且是第二象限的角。
求下列三角函數的值：①cos； ②tan。
解析】
【知識點】①同角三角函數的基本關系。
【解題思路】①運用同角三角函數的基本關系通過運算就可得出結果。
【詳細解答】sin=，并且是第二象限的角，① cos=-=-；
②tan==-。
11、已知cos=-。
求下列三角函數的值：①sin； ②tan。
解析】
【知識點】①同角三角函數的基本關系。
【解題思路】①運用同角三角函數的基本關系通過運算就可得出結果。
【詳細解答】 cos=-<0，可能是第二或第三象限的角，當是第二象限的角時，①sin==；②tan==-；當是第三象限的角時，①sin=-=-；②tan==。
12、已知sin(--)=，求的值。
解析】
【知識點】①誘導公式及運用。
【解題思路】運用誘導公式通過運算就可得出結果。
【詳細解答】 sin(--)=sin=，原式= =- =-4。
13、已知一元二次方程a+bx+c=0（a≠0且a≠c）的兩個根為tan，tan，求tan（+)的值；
解析】
【知識點】①一元二次方程根與系數的關系定理；②和角公式及運用。
【解題思路】運用一元二次方程根與系數的關系定理求出tan+tan，tan.tan的值，根據和角公式通過運算就可得出結果。
【詳細解答】 tan，tan是元二次方程a+bx+c=0（a≠0且a≠c）的兩個根， tan+tan=- ，tan.tan= ， tan（+)= = =- 。
14、已知cos(+)=，cos=，、均為銳角，求sin的值；
【解析】
【知識點】①同角三角函數的基本關系；②差角公式及運用。
【解題思路】①運用同角三角函數的基本關系求出sin（+），sin的值，根據差角公式通過運算就可得出結果。
【詳細解答】 cos(+)=，、均為銳角， sin（+）= = ，
cos=， 為銳角， sin= =，=(+)-， sin=
sin[(+)-]=sin（+）. cos- cos(+).sin=-=。
15、已知＜＜，0＜＜，cos(-)=，sin(+)=，求
sin(+)的值；
【解析】
【知識點】①同角三角函數的基本關系；②誘導公式及運用；③差角公式及運用。
【解題思路】①運用同角三角函數的基本關系求出sin(-)，cos(+)的值，根據誘導公式和差角公式通過運算就可得出結果。
【詳細解答】 cos(-)=，＜＜， sin(-)=-=-，
sin(+)=，0＜＜， cos(+)=-= -，(+)-
(-)=+(+)， sin(+)=-cos[+(+)]=-cos[ (+)-(-)
]=-[ cos(+).cos(-)+sin(+).sin(-)]=-（--）=。
16、已知sin(x-)cos(x-)=-，求cos4x的值；
【解析】
【知識點】①誘導公式及運用；②二倍角公式及運用。
【解題思路】①運用誘導公式和二倍角公式通過運算就可得出結果。
【詳細解答】 sin(x-)cos(x-)=- cos(x-)cos(x-)=- cos (x-)=-，cos(2x
-)=sin2x=2-1=-，cos4x=1-2=。
17、已知cos(-)=-，cos(+)=，＜-＜，＜+＜。求：①cos2； ②cos2；
【解析】
【知識點】①同角三角函數的基本關系；②和角公式及運用；③差角公式及運用。
【解題思路】運用同角三角函數的基本關系求出sin(-)，sin(+)的值，根據和角，差角公式通過運算就可得出結果。
【詳細解答】 cos(-)=-，＜-＜， sin(-)==，
cos(+)=，＜+＜， sin(+)=-=-，①2=
(+)+(-)，cos2=cos[(+)+(-)]=cos(+)cos(-)-sin(+)sin
(-)=-+=-； ②2=(+)-(-)，cos2=cos[(+)+
(-)]=cos(+)cos(-)+sin(+)sin (-)=--=-1。
18、已知cos（+）=，＜，求cos（2+）的值；
【解析】
【知識點】①同角三角函數的基本關系；②二倍角角公式及運用；③誘導公式及運用；④和角公式及運用。
【解題思路】運用同角三角函數的基本關系求出sin（+）的值，根據二倍角公式，誘導公式求出cos2的值，結合同角三角函數的基本關系與和角公式通過運算就可得出結果。
【詳細解答】 cos（+）=>0，＜， sin(+)=-=-，
sin(2+)= cos2=2 sin(+).cos（+）=2(-)=--，<（+）<2，＜，<2<3， sin2= = ，
cos（2+）= cos2.cos- sin2.sin=-- -=-。
19、已知cos-cos= ，sin-sin= ，求cos(-)的值；
【解析】
【知識點】①完全平方公式及運用；②同角三角函數的基本關系；③差角公式及運用。
【解題思路】運用同角三角函數的基本關系，結合問題條件求出cos.cos+ sin.sin的值，根據差角公式通過運算就可得出結果。
【詳細解答】 cos-cos= ， cos -2cos.cos+ cos=， sin-sin= ， sin-2 sin.sin+ sin=，-2（cos.cos+ sin.sin）+2= ，
cos.cos+ sin.sin= ， cos(-)=cos.cos+ sin.sin= ，
20、已知sin.sin=1，求cos(+)的值；
【解析】
【知識點】①正弦函數的定義與性質；②余弦函數的定義與性質；③和角公式及運用。
【解題思路】運用同角三角函數的基本關系，結合正弦函數的定義與性質求出cos.cos的值，根據和角公式通過運算就可得出結果。
【詳細解答】 sin.sin=1， sin=sin= 1，==k+（kZ）， cos=cos=0， cos.cos=0， cos(+)=cos.cos-sin.sin=0-1=-1。
『思考問題2』
（1）【典例2】是知值求值的問題，解答這類問題的基本思路是變角，把所求三角函數值的角與已知三角函數值的角聯系起來；
（2）同角三角函數的基本關系，誘導公式，和角公式，差角公式，二倍角公式是解答該類問題的基本知識點，深刻理解和掌握這些基本知識點是解答問題的基礎和關鍵。
〔練習2〕解答下列問題：
1、已知tan(-)=，且∈（，），則sin（+）等于（ ）
A B - C D -
2、設tan，tan是方程-3x+2=0的兩根，則tan（+）的值為（）
A -3 B -1 C 1 D 3
3、若sin(-)=，則cos(+2)=（ ）
A - B - C D
4、已知角終邊上一點P（-4,3），則的值為 ；
5、已知＜＜，cos(+)=m，（-1＜m＜0），則sin(-)的值為 ；
6、已知∈（0，），且2sin-sin.cos-3cos=0，則= ；
7、已知sin=，并且是第一象限的角。
求下列三角函數的值：①cos， ②tan。
8、已知cos=-，且為第三象限的角，
求下列三角函數的值：①sin， ②tan。
9、已知cos=。
求下列三角函數的值：①sin， ②tan。
10、已知tan=-。
求下列三角函數的值：①sin， ②cos。
11、已知sin= ，cos=- ，且、都是第二象限的角，求sin(+)，cos(-)，tan(+)的值；
12、已知＜＜＜，cos(-)=，sin(+)=-，求sin2的值；
13、已知cos(-)=-，cos(+)=，且(-)∈（，），(+)∈（，2），求cos2，cos2的值；
14、計算的值；
15、計算tan+tan+tantan的值；
16、計算Coscoscoscos的值。
17、已知cos= ，cos(+)=-，且、∈（0，），求cos的值；
18、已知為第二象限的角，cos+sin=-。
求：①sin-cos； ②sin2+cos2的值。
19、已知sin+cos=，求的值；
20、已知sin+cos= ，求tan+ 的值；
21、已知sin(--)=，求的值。
22、已知sin-sin=-，cos-cos=，求cos(-)的值；
23、已知cos.cos=1，求cos(+)的值。
【典例3】解答下列問題：
1、設，為鈍角，且sin=，cos=-，則+的值為（ ）
A B C D 或
【解析】
【知識點】①同角三角函數的基本關系；②特殊角的三角函數值。
【解題思路】運用同角三角函數的基本關系，結合問題條件求出cos，sin的值，根據和角公式通過運算得到cos（+）的值，根據條件確定角+的取值范圍，由cos（+）的值就可得出結果。
【詳細解答】 sin=，為鈍角， cos= -= -， cos=
-，為鈍角， sin= = ， cos（+）= cos. cos
- sin. sin=-（-）-=，，為鈍角，<+<2，
+=，C正確，選C。
2、已知，∈（0，），且tan(-)=，tan=-，則2-的值為 。
【解析】
【知識點】①二倍角公式及運用；②和角公式及運用；③特殊角的三角函數值。
【解題思路】運用二倍角公式求出tan(2-2)，根據和角公式通過運算得到tan（2-）的值，根據條件確定角2-的取值范圍，由tan（2-）的值就可得出結果。
【詳細解答】 tan(-)=， tan(2-2)= = = ，
2-=(2-2)+， tan（2-）= tan[（2-2）+]=
==1，，∈（0，），tan=->- ，<<，-<-<-
，-<-<， tan(-)=，0<-<，0<2-<，
2-=。
3、若sinA=，sinB=，A，B均為鈍角，求A+B的值；
【解析】
【知識點】①同角三角函數的基本關系；②和角公式及運用；③特殊角的三角函數值。
【解題思路】運用同角三角函數的基本關系，結合問題條件求出cosA，cosB的值，根據和角公式通過運算得到cos（A+B）的值，根據條件確定角A+B的取值范圍，由cos（A+B）的值就可得出結果。
【詳細解答】 sinA=，A為鈍角， cosA= -=-， sinB=，B為鈍角， cosB= -=-， cos（A+B）= cosA. cosB- sinA. sinB=-
（-）-=， A，B均為鈍角，4、已知、均為銳角，且滿足：3+2=1，3sin2-2sin2=0。
求證：+2=；
【解析】
【知識點】①二倍角公式及運用；②和角公式及運用；③④特殊角的三角函數值。
【解題思路】運用二倍角公式，結合問題條件得到cos2，sin2關于角的三角函數式，根據和角公式通過運算得到cos（+2）的值，根據條件確定角+2的取值范圍，由cos（+2）的值就可得出結論。
【詳細解答】證明：3+2=1，3 =1-2= cos2，3sin2
-2sin2=0， sin2= sin2=3 sin. cos， cos（+2）= cos. Cos2
- sin. Sin2= cos. 3- sin. 3 sin. cos=0，、均為銳角，cos2=3
>0，0<+2<，+2=。
『思考問題3』
（1）【典例3】是知值求角的問題，解答這類問題的基本思路是根據問題條件求出所求角的三角函數值，結合條件確定所求角的取值范圍，再利用三角函數值得出角；
（2）求所求角的三角函數值時，如何選擇所求角的三角函數的類別對解答問題具有重要的影響，一般來說，選擇時應該注意三角函數值在角的范圍內的三角函數值的唯一性。
〔練習3〕解答下列問題：
1、已知sin=，sin(-)=-，，均為銳角，則角等于（ ）
A B C D
2、設，為銳角，且sin=，cos=，則+的值為 ；
3、已知tan=，tan=，且、都是銳角，求證：+=；
4、已知tan=2，tan=3，且、都是銳角，求證：+=；
5、已知＜＜，-＜＜0，tan=-，tan=-。
求證：2+=。

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