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三角函數化簡問題的解答方法
三角函數化簡是指把復雜的三角函數式通過一系列的恒等變換，使之成為簡單的三角函數式的數學問題。解答三角函數化簡問題涉及的基本知識點主要包括：①同角三角函數的基本關系；②誘導公式；③和角，差角，二倍角與輔助角公式。那么在實際解答三角函數化簡問題時，如何運用這些基本知識點，才能快速、簡捷達到解答該類問題的目的呢？下面通過對典型例題的解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
1、化簡（1+tan）（1-sin）= ；
【解析】
【知識點】同角三角函數的基本關系。
【解題思路】運用同角三角函數的基本關系通過運算就可以將三角函數式化簡。
【詳細解答】原式=（1+）. =.=1。
2、化簡，其中是第二象限的角。
【解析】
【知識點】①同角三角函數的基本關系；②分式的定義與性質；③二次根式的定義與性質。
【解題思路】運用分式的定義與性質和同角三角函數的基本關系，結合二次根式的定義與性質通過運算就可以將三角函數式化簡。
【詳細解答】是第二象限的角，cos<0，原式=-
=-=-+===-2tan。
『思考問題1』
（1）【典例1】是運用同角三角函數基本關系化簡三角函數式的問題，解答這類問題需要理解和掌握同角三角函數基本關系；
（2）同角三角函數基本關系主要包括：①平方關系：+=1；②商除關系：
tan= 。
〔練習1〕化簡下列三角函數式：
1、； 2、costan； 3、；
4、； 5、（1+。
【典例2】化簡下列各三角函數式：
1、；
【解析】
【知識點】誘導公式及運用。
【解題思路】運用誘導公式通過運算就可以將三角函數式化簡。
【詳細解答】原式==1。
2、；
【解析】
【知識點】誘導公式及運用。
【解題思路】運用誘導公式通過運算就可以將三角函數式化簡。
【詳細解答】原式==-。
3、+；
【解析】
【知識點】①誘導公式及運用；②分式的定義，性質與運算；③同角三角函數基本關系。
【解題思路】運用誘導公式，結合分式的定義，性質與運算方法和同角三角函數基本關系，通過運算就可以將三角函數式化簡。
【詳細解答】原式=+=+
===。
4、，kZ。
【解析】
【知識點】誘導公式及運用。
【解題思路】運用誘導公式通過運算就可以將三角函數式化簡。
【詳細解答】①當k為奇數時，原式==-1；②當k為偶數時，原式= =-1；=-1，kZ。
『思考問題2』
（1）【典例2】是與三角函數的誘導公式相關的問題，解答這類問題需要理解并掌握三角函數的誘導公式；
（2）理解掌握三角函數的誘導公式，關鍵需要吃透“奇變偶不變，符號看象限”的真正含義；從而在運用誘導公式解答問題時可按兩步進行：①確定誘導后三角函數的名稱是否改變；②確定誘導后三角函數的符號。
〔練習2〕化簡下列各三角函數式：
1、； 2、；
3、； 4、；
5、1+； 6、。
【典例3】解答下列問題：
1、化簡；
【解析】
【知識點】①完全平方公式及運用；②同角三角函數基本關系；③二倍角公式及運用。
【解題思路】運用完全平方公式，同角三角函數基本關系和二倍角公式，通過運算就可以將三角函數式化簡。
【詳細解答】原式=-2 sin. cos+=1- sin2。
2、化簡；
【解析】
【知識點】①分式的定義與性質；②二倍角公式及運用。
【解題思路】運用分式的定義與性質和二倍角公式，通過運算就可以將三角函數式化簡。
【詳細解答】原式==。
3、化簡；
【解析】
【知識點】①平方差公式及運用；②同角三角函數基本關系；③二倍角公式及運用。
【解題思路】運用平方差公式，同角三角函數基本關系和二倍角公式，通過運算就可以將三角函數式化簡。
【詳細解答】原式=（+）.（-）=（-）=cos2。
4、化簡；
【解析】
【知識點】①分式的定義，性質與運算；②同角三角函數基本關系；③二倍角公式及運用。
【解題思路】運用分式的定義，性質與運算，同角三角函數基本關系和二倍角公式，通過運算就可以將三角函數式化簡。
【詳細解答】原式====。
5、化簡+-cos2cos2；
【解析】
【知識點】①同角三角函數基本關系；②二倍角公式及運用。
【解題思路】運用同角三角函數基本關系和二倍角公式，通過運算就可以將三角函數式化簡。
【詳細解答】原式= . + . -cos2cos2
=+-cos2cos2=-cos2cos2=。
6、化簡sin(1+tan)；
【解析】
【知識點】①同角三角函數基本關系；②誘導公式及運用；③輔助角公式及運用。
【解題思路】運用同角三角函數基本關系，誘導公式和輔助角公式，通過運算就可以將三角函數式化簡。
【詳細解答】原式= sin. = =
==1。
7、化簡；
【解析】
【知識點】①同角三角函數基本關系；②二倍角公式及運用。
【解題思路】運用同角三角函數基本關系，二倍角公式通過運算就可以將三角函數式化簡。
【詳細解答】原式==
===。
8、化簡（0＜＜）
【解析】
【知識點】①同角三角函數基本關系；②二倍角公式及運用，③完全平方公式及運用；④二次根式的定義與性質。
【解題思路】運用同角三角函數基本關系，二倍角公式，完全平方式和二次根式的定義與性質通過運算就可以將三角函數式化簡。
【詳細解答】0＜＜，0<<，
原式=
= ==-cos。
9、化簡；
【解析】
【知識點】①同角三角函數基本關系；②二倍角公式及運用，③誘導公式及運用；④分式的定義與性質。
【解題思路】運用同角三角函數基本關系，二倍角公式，誘導方式和分式的定義與性質通過運算就可以將三角函數式化簡。
【詳細解答】原式= .
=.
=.[-]=（-）
=.= sin。
10、化簡tan(+)-tan(-)；
【解析】
【知識點】①誘導公式及運用；②二倍角公式及運用；③分式的定義與性質；④同角三角函數基本關系。
【解題思路】運用分式的定義與性質，二倍角公式，誘導公式和同角三角函數基本關系通過運算就可以將三角函數式化簡。
【詳細解答】原式=-
=-=-=
===2tanx。
11、化簡-2cos（-）；
【解析】
【知識點】①差角公式及運用；②二倍角公式及運用；③分式的定義與性質。
【解題思路】運用分式的定義與性質，二倍角公式和差角公式通過運算就可以將三角函數式化簡。
【詳細解答】原式=
==
==。
12、化簡（x≠2k+,k∈Z）。
【解析】
【知識點】①二倍角公式及運用；②分式的定義與性質。
【解題思路】運用分式的定義與性質和二倍角公式通過運算就可以將三角函數式化簡。
【詳細解答】原式=+
=+=+
==-。
『思考問題3』
（1）【典例3】是綜合運用三角函數知識化簡三角函數式的問題，解答這類問題首先需要掌握三角函數化簡的基本原則和基本要求，其次是注意三角函數化簡的常用方法；
（2）三角函數化簡的基本原則是：一看角，二看三角函數的名稱，三看問題的結構特征；
（3）三角函數化簡的基本要求是：①使化簡后的三角函數式 最少， 最低，角與三角函數名稱的種類最少；
（4）三角函數化簡的常用方法有：① 角化 角，② 次化 次，③復雜角化簡單角，④切化弦；
〔練習3〕解答下列問題：
1、化簡sin(+)-sin(-)；
2、化簡sin(+)-sin(-)；
3、化簡cos(+)-cos(-)；
4、化簡cos(+)-cos(-)；
5、 化簡sincos -cos sin ；
6、化簡cos cos -sinsin ；
7、化簡sin(-)cos +cos(-)sin；
8、化簡cos(+)cos +sin(+)sin；
9、化簡；
10、化簡3sinx+3cosx；
11、化簡；
12、化簡；
13、化簡cosx-sinx；
14、化簡（sinx-cosx）；
15、化簡sinx+cosx；
16、化簡sin(-x)+cos(-x)；
17、化簡sin cos +sin cos ；
18、化簡sin sin +sin sin ；
19、化簡cos(-)cos( )-sin(+)sin()；
20、化簡；
21、化簡 ∈（，2）。

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