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第4講 平面解析幾何的產生
——數與形的結合
解析幾何又叫做坐標幾何，它是通過建立坐標系，用代數方法研究幾何圖形性質的幾何學.
解析幾何產生于17世紀的歐洲，這不是偶然的，它正如恩格斯所說，是“那個偉大時代”的產物.
解析幾何產生的外部條件
文藝復興之后，資本主義經濟迅速發展.各種新興行業對科學技術提出了全新的要求，遇到了一些亟待解決的問題，如：如何進一步掌握行星運動規律；確定地球的經緯度；準確分析物體受力情況；準確計算炮彈運動軌跡以及研究機械運動特性等方面的問題.
對于上述問題，傳統的數學工具對某些運動問題已無能為力，這就迫切地需要一種新的數學工具，從而導致了變量數學即近代數學的誕生.變量數學的第一個標志就是解析幾何的發明.
解析幾何產生前的幾何學
平面幾何，立體幾何（歐幾里得的《原本》）
解析幾何產生的內部條件
歐幾里得
《原本》
圓錐曲線論（阿波羅尼斯的《圓錐曲線論》）
特點：靜態的幾何, 既不把曲線看成是一種動點的軌跡,更沒有給它以一般的表示方法.
阿波羅尼斯
《圓錐曲線論》
幾何學出現解決問題的乏力狀態
16世紀以后,哥白尼提出日心說，伽利略得出慣性定律和自由落體定律，這些都向幾何學提出了用運動的觀點來認識和處理圓錐曲線及其他幾何曲線的課題．幾何學必須從觀點到方法來一個變革，創立起一種建立在運動觀點上的幾何學．
16世紀代數的發展為解析幾何的誕生創造了條件
1591年法國數學家韋達第一個在代數中有意識地系統地使用了字母，他不僅用字母表示未知數,而且用以表示已知數，包括方程中的系數和常數．這樣，代數就從一門以分別解決各種特殊問題的側重于計算的數學分支，成為一門以研究一般類型的形式和方程的學問．
代數的這一發展，就為幾何曲線建立代數方程鋪平了道路．代數的符號化，使坐標概念的引進成為可能，從而可建立一般的曲線方程，發揮其具有普遍性的方法的作用．
解析幾何產生的內部條件：
第一，是初等數學日臻完善.
第二，是數學觀和數學方法重大變化，導致數學從常量到變量的發展，作為數學的有力工具，為數學的方法論開辟了一條廣闊的途徑.
解析幾何學的誕生改變了整個數學的面貌，是數學發展史上重要的里程碑.
解析幾何的基本思想是
在平面上引進“坐標”的概念，并借助這種坐標在平面上的點和有序實數對（x，y）之間建立一一對應關系.
那么，坐標思想的早期萌芽時怎樣的呢?
盡管用坐標來確定點的位置的基本思想古已有之，而且有先驅者曾經研究過這個問題，但解析幾何的真正發明要歸功于法國數學家笛卡兒和他的同胞費馬.
了解解析幾何產生的外部條件和內部條件.
了解坐標思想的早期萌芽 .
結合學生已經學過的數學知識，對解析幾何及坐標思想的萌芽有更深的了解.
解析幾何的產生是順應時代的產物.
重點
難點
理解解析幾何產生的內部條件和外部條件；
了解坐標思想的早期萌芽.
理解解析幾何產生的內部條件和外部條件.
萌芽階段
過渡階段
發展階段
坐標思想的萌芽可上溯到公元前2000年，兩河流域的古巴比倫人已經能夠用數字表示一點到另一定點、直線或物體的距離.這是最原始的坐標思想.
萌芽階段
古巴比倫
公元前4世紀中葉，古希臘數學家門奈赫莫斯（Menaechmus）發現了圓錐曲線，并對這些曲線的性質作了系統闡述.
公元前200年左右，阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga，約公元前262——約前190）著有《圓錐曲線論》8卷，全面論述了圓錐曲線的各種性質，其中采用了一種“坐標”，以圓錐體底面的直徑作為橫坐標，過頂點的垂線為縱坐標，加之所研究的內容，可以看做解析幾何的萌芽.
幾何難題
14世紀，法國數學家奧雷姆（N.Oresme，約1320——1382）在其1360年出版的《論質量與運動的結構》等書中提出一種坐標幾何，用兩個坐標來確定點的位置，用水平線上的點表示時間，稱為徑度；而所對應的速度則用縱線來表示，稱之為緯度.
過渡階段
這是從天文、地理坐標向近代坐標幾何學的過渡.
奧雷姆
16世紀末，法國數學家韋達（F.Viete，1540——1603）提出了應用代數方法解決幾何問題的思想.
韋達是符號代數的創始人，他在代數專著《分析五篇》和幾何專著中都使用代數方法解決幾何問題，曾圓滿地解決了阿波羅尼奧斯的問題.
發展階段
韋達
德國的開普勒發現行星圍繞太陽運動的軌跡是橢圓；伽利略指出各拋射物體的運動軌跡是拋物線等，提出了用運動的觀點來研究圓錐曲線和其他曲線的問題.
開普勒
伽利略
由于幾何圖形表示了運動，啟迪了人們反過來把靜止不變的幾何圖形，視為變量運動的軌跡.這樣一來，就把變量引入了數學，從此，數學發生了質的變化——由研究常量的初等數學，進入了研究變量的高等數學.在初等幾何和初等代數基本定型和成熟的基礎上，人們試圖用代數方法研究幾何問題，于是產生了一門嶄新的數學分支——解析幾何.
從四大文明古國的早期數學、古希臘的論證數學以及阿拉伯發達的代數學到文藝復興后期的歐洲數學，稱為古代數學或初等數學.到16世紀末、17世紀初，整個初等數學的內容已臻于完善，從17世紀開始，近代數學開始逐漸走上歷史舞臺.引進變量，這是近代數學與初等數學的本質區別.
內部條件:
第一，是初等數學日臻完善.
第二，是數學觀和數學方法重大變化，導致數學從常量到變量的發展，作為數學的有力工具，為數學的方法論開辟了一條廣闊的途徑.
解析幾何產生外部條件和內部條件
外部條件:
從16世紀開始，歐洲資本主義逐漸發展起來，進入了一個生產迅速發展，思想普遍活躍的時代.可是，對于機械、建筑、水利、航海、造船、顯微鏡和火器制造等領域的許多數學問題，已有的常量數學已無能為力，人們迫切地尋求解決變量問題的新數學方法.
坐標思想的早期萌芽
阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》了研究的內容，可以看作是解析幾何的萌芽.
奧雷姆的《論質量與運動的結構》所提到的坐標是從天文、地理坐標向近代坐標幾何學的過渡.
韋達提出用代數方法解決幾何問題，此外，用運動的觀點解決問題的要求，這一切促使了解析幾何的誕生.

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