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第4講 平面解析幾何的產(chǎn)生
——數(shù)與形的結合
費馬與笛卡兒的解析幾何思想的不同點是什么?
簡單地說，笛卡爾的解析幾何思想是從一軌跡開始建立它的方程即從圖形（曲線）到方程；而費馬是從方程出發(fā)來研究它的軌跡，即從方程到圖形（曲線）.
任何一門學科的誕生，并非是完美的.笛卡兒與費馬的解析幾何也是一樣，在他們之后，這棵變量數(shù)學之始的樹苗，經(jīng)許多數(shù)學家的澆灌，終成一棵參天大樹.
那么解析幾何是怎樣一點點發(fā)展的呢?
了解解析幾何的進一步發(fā)展的過程.
理解解析幾何創(chuàng)立的意義.
結合學生已經(jīng)學過的數(shù)學知識，對解析幾何的發(fā)展有更深的了解.
理解解析幾何的創(chuàng)立，是數(shù)學思想史上的一次飛躍，對數(shù)學發(fā)展的影響是深刻的.
重點
難點
了解解析幾何一步步發(fā)展的過程.
理解解析幾何創(chuàng)立的意義.
理解解析幾何創(chuàng)立的意義.
大眾化譯文
從平面推廣到空間
坐標法的日臻完善
極坐標的產(chǎn)生
解析幾何創(chuàng)立的意義
大眾化譯文
笛卡兒唯一的數(shù)學著作《幾何學》，寫得精煉，卻詞簡理深，難以被更多的人讀懂.1649年，法國數(shù)學家范斯柯登（Frans Vansch Coten，1615——1660）用拉丁文通俗譯出，闡發(fā)笛卡兒的思想方法，克服和改進解析幾何思想明顯的缺點，使之大眾化，被更多的人了解.
坐標法的日臻完善
坐標法是解析幾何的關鍵詞，也是解析幾何的重要標志之一.笛卡兒與費馬的坐標系沒有負的縱橫坐標，1665年英國數(shù)學家沃利斯（J.Wallis，1616——1703）引進了負坐標，使解析幾何所考慮的范圍擴大到整個平面.
在坐標系的建立中，笛卡兒的坐標系只有一根x軸，費馬的坐標系沒有明確y軸.1691年，瑞士數(shù)學家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli，1654——1705）曾對坐標系作了改進，得到類似于極坐標，但效果不大，很快煙銷灰滅.
雅各布.伯努利
“坐標”一詞是萊布尼茨于1692年首先創(chuàng)用，“縱坐標”是他兩年后正式使用的，而“橫坐標”到18世紀由德國的沃爾夫（B.C.V.Wolff,1679——1754）引用的.
“解析幾何”名稱直到19世紀才由法國數(shù)學家拉科魯瓦（S.F.Lacroix，1765——1843）正式使用.
二次曲線也稱圓錐曲線或圓錐截線，是解析幾何中重要內(nèi)容之一.
圓錐曲線中圓、橢圓、雙曲線和拋物線，最早是公元前5世紀古希臘人研究倍立方體問題引起的，經(jīng)過希臘若干代人的研究，直到公元前3世紀末才由希臘的阿波羅尼奧斯《圓錐曲線論》將其性質網(wǎng)絡殆盡.
1665年英國沃利斯在《論圓錐曲線》中第一個將圓錐曲線定義為含x和y的“二次曲線”.并推導出各種圓錐曲線的方程.
沃利斯
1784年，歐拉在他的名著《無窮分析引論》中，給出了現(xiàn)代形式的解析幾何的系統(tǒng)敘述，可把歐拉之書看作現(xiàn)代意義下的第一本解析幾何教程.
歐拉
《無窮分析引論》
引進參數(shù)方程和極坐標，系統(tǒng)地研究了圓錐曲線的各種情形，并證明經(jīng)過適當坐標變換，任何帶兩個變量的二次方程總可以寫成下列標準形中的一個，如：
從而使二次曲線理論得到完善，成為近代解析幾何學的重要組成部分.
極坐標的產(chǎn)生
1635年，意大利數(shù)學家卡瓦列里（B.Cavalieri，1598——1647）最先使用極坐標來求阿基米德螺線的面積.
1671年，牛頓在《流數(shù)法》中，把極坐標看成是確定平面上點的位置的一種方法.
1691年，瑞士的雅各布·伯努利在《教師學報》上發(fā)表了一篇極坐標的發(fā)明者之一.他還發(fā)現(xiàn)雙扭線、對數(shù)螺線、懸鏈線、旋輪線等各種特殊曲線，這些內(nèi)容對曲線概念擴充，極大地豐富了解析幾何內(nèi)容.
1729年，德國數(shù)學家赫爾曼（J.Hermann，1678——1733）完善了極坐標的概念，明確地提出了極坐標.
1748年，歐拉給出了現(xiàn)代形式的極坐標，并且還引出了曲線的參數(shù)表示.至此極坐標沿用至今.
歐拉
赫爾曼
關于直角坐標與極坐標互換公式，首先是赫爾曼于1729年給出，而歐拉在1748年第一個極坐標中明確使用了三角函數(shù)，產(chǎn)生了今天使用的公式:
從平面推廣到空間
解析幾何的一個重要發(fā)展是由平面推廣到空間.
1715年瑞士的約翰·伯努利（B.Johann，1667——1748）引進了我們現(xiàn)在通用的三個平面，即空間解析幾何.
約翰.伯努利
到了19世紀，德國數(shù)學家格拉斯曼（H.G.Grassmann，1809——1877）于1844年首先提出了多維空間的概念.
格拉斯曼
解析幾何創(chuàng)立的意義
笛卡爾和費馬創(chuàng)立解析幾何，在數(shù)學史上具有劃時代的意義（用代數(shù)方法解決幾何問題）.
解析幾何溝通了數(shù)學內(nèi)數(shù)與形、代數(shù)與幾何等最基本對象之間的聯(lián)系，解析幾何的發(fā)展，推動了微積分學的發(fā)展，也促進了幾何本身的進步，它的直接推廣還產(chǎn)生了其他近世幾何、現(xiàn)代的代數(shù)幾何等分支學科.
法國著名的拉格朗日（J.L.Lagrange,1736——1813）曾說過：“只要代數(shù)同幾何分道揚鑣，它們的進度就緩慢，它們的應用就狹窄.但當這兩門科學結合成伴侶時，它們就互相吸取新鮮的活力，從此加快速度的步伐走向完善.”這段話表達了解析幾何的產(chǎn)生對數(shù)學發(fā)展的影響是深刻的.
拉格朗日
解析幾何發(fā)展的幾個階段
大眾化譯文；
坐標法的日臻完善；
極坐標的產(chǎn)生；
從平面推廣到空間.
解析幾何創(chuàng)立的意義
解析幾何的創(chuàng)立，開始了用代數(shù)方法解決幾何問題的新時代，這在數(shù)學思想史上可以看作是一次飛躍;解析幾何的發(fā)展，推動了解析幾何的發(fā)展，推動了微積分學的發(fā)展，也促進了幾何本身的進步，它的直接推廣還產(chǎn)生了其他近世幾何、現(xiàn)代的代數(shù)幾何等分支學科.

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