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第5講 微積分的誕生
——人類精神的最高勝利
17世紀中葉，微積分誕生了，它是繼歐幾里得幾何學后數學中最偉大的創造，它的誕生掀開了數學乃至整個科學發展史嶄新的一頁.
那么微積分是在怎樣的背景下產生的呢？
理解微積分產生的歷史背景.
了解促使微積分產生的科學問題.
了解微積分誕生之前，眾多數學家所作出的不懈努力.
結合學生已經學過的數學知識，對微積分產生的歷史背景有更深的了解.
通過對本課的學習，使大家了解歷史的發展需要偉人的推動.
理解微積分產生的歷史背景.
了解促使微積分產生的科學問題.
理解微積分產生的歷史背景.
微積分是描述運動過程的數學，它的產生為力學、天文學以及后來的電磁學等提供了必不可少的工具.
微積分并不是憑空產生的，它經歷了長時間的醞釀過程.
微積分產生的前提有兩個：幾何坐標和函數概念.這兩個方面由于笛卡兒和費馬等人的工作，其基礎已基本具備.
恩格斯說：“社會一旦有技術上的需要，則這種需要就會比十所大學更能把科學推向前進”.
到了17世紀，由于解析幾何的創立，使自然科學研究的中心轉向自然界的運動和變化，古典算術或幾何、代數方法，甚至解析幾何，對自然界的運動和變化都無能為力了，這就激起不少數學家致力尋找解決這些問題的新方法.
那么，促使微積分產生的科學問題都有什么呢?
瞬時速度問題
切線問題
函數的最值問題
面積、體積、曲線
長、重心和引力的計算
瞬時速度問題
已知物體移動的距離表示為時間的函數的公式，求物體在任意時刻的速度和加速度；反過來，已知物體的加速度表示為時間的函數的公式，求速度和距離， 如何求不做勻速運動物體的瞬時速度就成為數學家們的一個當務之急.
如果物體的運動是勻速的，那么計算它的瞬時速度就是用運動時間去除運動距離.
如果物體的運動不是勻速時，它的瞬時速度就不能用運動時間去除運動距離，因為在給定的瞬間，移動的距離和所用的時間都是0，而0除以0是沒有意義的.
分析
已知物體的速度公式求運動的距離也會遇到同樣的問題.求變速運動物體的瞬時速度或運動距離可以說是微分或積分概念最基本的現實原型之一.
切線問題
馬克思曾指出：“全部微分學本來產生于求任意一條曲線上任意一點的切線問題”.切線概念，古希臘時代已有.例如歐幾里得的《原本》對圓的切線定義為與圓僅接觸一點的直線.
希臘時代的這種切線定義，只是一種靜態的直覺定義，即是一種定性的描述，沒有給出求切線的一般方法.
后來根據圓的切線意義拓展到了曲線的一般定義:“一條與曲線如此相切的直線，使得在這條直線與曲線之間的空間中不能插進其他的直線.”
17世紀，光學成為非常重要的研究領域，要研究光線通過透鏡的通道，必須知道光線射入透鏡的角度以便應用反射與折射定律，而重要的角是光線與鏡面曲面法線（過曲線的切點與切線垂直的直線）的夾角，法線是垂直于切線的，所以問題在于求法線或切線.
另一個涉及曲線的切線的科學問題出現在運動的研究中，運動物體在它的軌跡上任一點處的運動方向，是軌跡的切線方向.
函數的最值問題
早在16世紀，西歐各軍事強國的火炮制造技術就已經非常先進.那么，一個現實的問題就是，發射角多大時炮彈獲得最大射程.
16世紀的榴彈炮
17世紀初，意大利科學家伽利略（Galileo Galilei，1564——1642）認識到炮彈彈道的拋物線性質，并斷言，在不考慮空氣阻力的情況下，當發射角為45°時炮彈的射程最大.此外，他還得到了發射角變化時炮彈所能達到的最大高度.
研究行星的運動也涉及到求最大、最小值的問題，比如求行星離太陽最遠和最近的距離.
面積、體積、曲線長、重心和引力的計算
面積與體積計算問題古來有之：如曲線圍成的面積；曲面圍成的體積.17世紀上半葉，隨著天文學的長足進步，這方面的問題變得更為突出.
如德國天文學家開普勒給出的行星運動三大定律和其他許多天文問題都涉及到行星運動的軌道、行星矢徑掃過的面積以及物體重心與引力等計算.
公元前4世紀，歐多克索斯（Eudoxus，約公元前400——約前347）提出計算曲邊形面積和體積的方法，此法在17世紀時稱“窮竭法”.
古希臘人曾用窮竭法計算出一些面積和體積，盡管他們只是對于比較簡單的面積和體積應用了這個方法，但也必須加上很多技巧，所以這個方法缺乏一般性.這些長度、面積和體積計算問題就成為積分學的基本來源.
在微積分誕生之前，有眾多數學家為解決上述問題做出了不懈努力.
1615年，為了研究旋轉體的體積，開普勒引入了無窮大和無窮小概念，并指出：圓是由無數個頂點在圓心的三角形構成，圓周是由這些三角形的無窮小底邊構成，把無限小的弧看成直線，把無限窄的面看成直線，把無限薄的體看做面.
開普勒的求積術
意大利數學家卡瓦列利系統地運用無窮小方法計算面積和體積.他假定：線是由無窮多個點組成，面是由無窮多條線組成，體是由無窮多個面組成.卡瓦列利利用幾何方法巧妙地求得若干曲邊圖形的面積，還證明了旋轉體的表面積和體積公式.
卡瓦列里不可分量原理
法國的笛卡兒的求切線方程的“圓法”、費馬、帕斯卡的求極大、極小值的方法以及英國的巴羅的“微分三角形”和沃利斯的“無窮算術” 為解決上述問題都作出了獨特的貢獻.
雖然眾多數學家的研究工作為微積分的誕生做了積極的準備，但他們的方法粗糙且缺乏一般性.當時還無人認識到求面（體）積、求極值、求瞬時速度和求切線四者之間的內在聯系，更未能意識到微分與積分之間的互逆關系.歷史的發展需要偉人的推動，在時代的召喚下，牛頓與萊布尼茨脫穎而出，擔負起這項偉大的任務.
微積分產生的歷史背景:
微積分產生的前提有兩個：幾何坐標和函數概念. 近代微積分的產生經過了半個多世紀的準備與醞釀，有著深刻的社會背景.隨著資本主義社會生產力的蓬勃發展，17世紀上半葉出現了許多重大的科學問題，這些問題的解決需要新的數學工具.
促使微積分產生的科學問題:
瞬時速度問題
切線問題
函數的最值問題
面積、體積、曲線長、重心和引力的計算
微積分誕生前，眾多科學家所做的貢獻:

開普勒的求積術
卡瓦列里不可分量原理
笛卡兒求切線方程的“圓法”
費馬求極大、極小值的方法
巴羅的“微分三角形”
沃利斯的“無窮算術”

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