資源簡介

導數問題：含參數函數解題入門（以三次函數為例）
1、 判斷是否極值點的方法：

2、 舉例：
有實根但不是極值點 有實根，是極值點 無實根


圖像
圖像
具體情況如下：，填寫下表：x變化時，與的變化情況如下：
0


由此可得，沒有極值．（一般可以通過表格法來寫解答過程）
3、 最值情況：
最大值 圖像最高點；最小值圖像最低點
舉例：（是看原函數圖像還是導函數圖像？）

將對應區間加粗，完成下表
定義域
最大值
最小值
說明：
（1）為什么要研究導函數，因為很多函數圖像我們畫不出來，只有通過導函數來先研究其單調性，再畫出草圖；
（2）最值一般都是通過看圖來研究的，根據給出的區間，從函數圖像上切一段下來研究；
（3）連續函數在封閉區間上都有最值．
4、 簡單含參數函數問題舉例
例1 已知函數，（1）求其單調區間；
【分析】，由于，故導函數是一個二次函數，可畫出圖像．面臨問題：知道兩根，但不知道開口方向，故需要分類討論：
a>0時，

導函數 原函數
規范解答
解：
令=0，則， 或
a>0時，x變化時，與的變化情況如下：
1 2
+ 0 — 0 +

所以，的單調遞增區間為，（注意中間用逗號），的單調遞減區間為．（注意這里可以是開區間，也可以是閉區間，但不能取到的值一定不能用閉，故為避免出錯一般我們都用開區間）
a<0時略
（2）求給定區間上函數的最值
①，由圖像可知，在上單調遞增，故，

②，由圖像可知，，
規范解答
解：，令=0，則， 或
a>0時，x變化時，與的變化情況如下：
-1 1 1.5
+ 0 — 0
-23a 5a
所以，=5a，=-23a注意比較兩個表有什么不同
a<0時略
③，由圖像可知，，
④，由圖像可知，，
例2 已知函數值，求的單調區間．
【分析】，導函數是一個二次函數，可畫出圖像．
面臨問題：通過令=0可得到，知道開口方向，但兩根在畫圖時哪個在左，哪個在右不清楚，故需分 三種情況討論．
以a>1為例，


規范解答
解：
令=0，則， 或
當a>1時，x變化時，與的變化情況如下：
1 a
+ 0 — 0 +

所以，的單調遞增區間為，，的單調遞減區間為．
當a=0時，，故的單調遞增區間為．
當a<0時，x變化時，與的變化情況如下：
a 1
— 0 + 0 —

所以，的單調遞增區間為，，的單調遞減區間為．
綜上，當a>1時，的單調遞增區間為，，的單調遞減區間為．
當a=0時，，故的單調遞增區間為．
當a<0時，的單調遞增區間為，，的單調遞減區間為．
（一般最后要有一個總結）
例3 已知a是實數，函數．求f(x)在區間[0,2]上的最大值．
【分析】，由例2可知，畫出的圖像關鍵是搞清與0的大小關系，一般比較大小可以用作差法，所以分三種情況，化簡也就是三種情況：
（1）當時，


最值的關鍵在于找準區間端點在圖像上的位置，0很容易找，面臨問題，2在哪里？很顯然，2在0的右側，當2從0處往右移動時，注意圖中紅線作用，（這個一般要通過解方程解出與等高的位置），結合下圖可知，

當2介于（0，a）之間時，處的函數值最大，當2>a時，處的函數值最大．
綜上可以看出，畫圖像時a要和0比較大小（確定兩根左右），標注區間時a要和2比較大小（確定哪里最高），故可分與兩種情況討論．
（2）當時，，當[0,2]時，，在[0,2]單調遞增，故
（3）當時，


由圖可知，當[0,2]時，在[0,2]單調遞增，故
規范解答
解：，令=0，則， 或
當時，f(x)在[0,2]上單調遞增，從而；
當時，f(x)在上單調遞減，在上單調遞增，由于， 故
當時，f(x)在上單調遞減，在上單調遞增，由于，故
綜上所述， ．
注意：初學者直接看答案很難看懂，這說明對題目的分析才是理解分類標準的重要內容，后面的分類是根據分析得出的一個綜合內容．

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