資源簡介

運用正弦定理或余弦定理求解三角函數問題的方法
大家知道，正弦定理和余弦定理是反映任意三角形邊與角之間的關系的定理，運用正弦定理或余弦定理求解三角函數的問題實際上就是運用正弦定理或余弦定理求解任意三角形的邊或角的問題。這類問題歸結起來主要包括：①已知任意三角形三邊與三角中的其中三個，求其余的邊或角；②已知任意三角形邊與角的某種關系，判定該三角形的形狀；③正弦定理或余弦定理與其它知識的綜合運用求解任意三角形的邊或角的問題；④求解三角形的實際運用問題四種類型。那么在解答該類問題時的基本思路和方法又是怎樣的呢？下面通過典型例題的解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
1、在銳角ABC中，角A、B、的對邊分別是a、b，若2asinB=b，則角A等于（ ）
A B C D
【解析】
【知識點】①正弦定理及運用；②解三角形的基本方法。
【解題思路】運用正弦定理和問題條件得到2sinAsinB=sinB，sinB(2sinA-)=0，由00，2sinA-=0，從而可以求出A的值。
【詳細解答】銳角ABC中，角A、B、的對邊分別是a、b，2asinB=b，2sinAsinB=sinB，sinB(2sinA-)=0，00，2sinA-=0，
sinA=，02、已知銳角ABC的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，23cosA+cos2A=0，a=7，c=6，則b=（ ）
A 10 B 9 C 8 D 5
【解析】
【知識點】①二倍角公式及運用；②余弦定理及運用；③解三角形的基本方法。
【解題思路】運用二倍角和問題條件求出cosA的值，根據余弦定理和解三角形的基本方法就可得出b 的值。
【詳細解答】23cosA+cos2A=0，25cosA-1=0， cos,A = ， 0cos,A = ， a=7，c=6，49=36+-12b，5-12b-65=0，b=-或b=5，
b>0， b=5，D正確，選D。
3、設ABC的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a=，sinB=，C=，則b=
；
【解析】
【知識點】①正弦定理及運用；②余弦定理及運用；③解三角形的基本方法。
【解題思路】運用正弦定理和問題條件求出的值，根據余弦定理和解三角形的基本方法就可得出b 的值。
【詳細解答】 sinB=，C=，= ，==1，b=c， a=，
=3+-2b，3-3b=0，b=1。
4、如圖在ABC中，已知點D在BC邊上，AD A
AC，sinBAC=，AB=3，AD=3，則
BD的長為 ； B D C
【解析】
【知識點】①誘導公式及運用；②余弦定理及運用；③解三角形的基本方法。
【解題思路】運用誘導公式和問題條件求出cosBAD的值，根據余弦定理和解三角形的基本方法就可得出BD 的值。
【詳細解答】 sinBAC=，BAC=BAD+CAD，ADAC，BAC=
BAD+，BAD=-+BAC，cosBAD=cos（-+BAC）=sinBAC=
， AB=3，AD=3，=18+9-233=27-24=3，BD=。
5、在ABC中，A、B、C的對邊分別是a、b、c，已知A=，B＞C，b，c是方程
-2x+2=0的兩個實數根，求a，b，c；
【解析】
【知識點】①一元二次方程根與系數的關系定理及運用；②三角形邊角關系定理及運用；③余弦定理及運用；④解三角形的基本方法。
【解題思路】運用一元二次方程根與系數的關系定理，結合問題條件求出b，c的值，根據余弦定理和解三角形的基本方法就可得出a 的值。
【詳細解答】 b，c是方程-2x+2=0的兩個實數根，B＞C，b=+1，c=-1，
A=，=4+2+4-2-2（+1）（-1）=6，a=。
6、在ABC中，已知a=3，b=2，B=2A。
（1）求cosA；
（2）求c的值。
【解析】
【知識點】①正弦定理及運用；②余弦定理及運用；③解三角形的基本方法。
【解題思路】（1）運用正弦定理，結合問題條件就可求出cosA的值；（2）根據余弦定理和解三角形的基本方法就可得出c 的值。
【詳細解答】（1） a=3，b=2，B=2A，=，=，6 sinA.
cos,A=2sinA.， sinA（6 cos,A-2）=0，00，6 cos,A-2=0，
cos,A= ；（2）9=24+-22c，-8c+15=0，c=3或c=5。
A『思考問題1』
（1）【典例1】是解三角形的問題，解答這類問題需要理解并掌握正弦定理和余弦定理；
（2）解三角形問題的常見類型有：①已知一邊和兩角，求解三角形；②已知兩邊及其夾角，求解三角形；③已知兩邊及一邊的對角，求解三角形；④已知三邊，求解三角形；
（3）已知一邊和兩角，求解三角形的基本方法是：①運用三角形內角和定理求出未知角；②運用正弦定理求出其余兩邊；
（4）已知兩邊及其夾角，求解三角形的基本方法是：①運用余弦定理求出未知邊；②運用正弦定理求出已知兩邊中較小邊的對角；③運用三角形內角和定理求出另一角；
（5）已知兩邊及一邊的對角，求解三角形的基本方法是：①判定解的情況；②運用正弦定理求出邊未知的角的正弦值，再根據①求出該角；③運用三角形內角和定理求出另一角；④運用正弦定理（或余弦定理）求出未知邊；
（6）已知三邊，求解三角形的基本方法是：①運用余弦定理求出最大邊所對的角；②運用正弦定理求出其余兩邊的對角；
（7）設ABC中，A，B，C的對邊分別是a，b，c，如果已知a，b和A，求B時，解答結果有：① ，② ，③ 三種情況；詳細情況可通過把下表的空白處填上恰當的內容來進一步了解。
A＞ A= A＜
a＞b
a=b
a＞bsinA
a＜b a=bsinA
a＜bsinA

〔練習1〕解答下列問題：
1、ABC的三個內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若asinAsinB+bcos A=a，則等于（ ）
A 2 B 2 C D
2、在ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知- =b，sin(A-C)=2cosAsinC，則b等于（ ）
A 6 B 4 C 2 D
3、在ABC中，若a=3，b=4，c= ，求其最大角；
4、已知三角形的一個內角為，面積是10，周長為20，求三角形各邊的長。
【典例2】解答下列問題：
1、設ABC的內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，則ABC的形狀為（ ）
A 銳角三角形 B 直角三角形 C 鈍角三角形 D 不確定
【解析】
【知識點】①誘導公式及運用；②正弦定理及運用；③和角公式及運用；④判定三角形形狀的基本方法。
【解題思路】運用誘導公式，正弦定理與和角公式，結合問題條件求出sinA的值，根據判定三角形形狀的基本方法就可得出結果。
【詳細解答】 bcosC+ccosB=asinA，A+B+C=，===2R（R為ABC外接圓的半徑）， sinBcosC+cosBsinC=sinA，sinA= sinA， sinA(1- sinA)=0，00，1- sinA=0， sinA=1，A=，ABC是直角三角形，
B正確，選B。
2、在ABC中，若tanA= tanB成立，判斷此三角形的形狀；
【解析】
【知識點】①正弦定理及運用；②判定三角形形狀的基本方法。
【解題思路】運用正弦定理，結合問題條件得到sinAsinB(sin2A-sin2B)=0，從而推出sin2A=sin2B，根據判定三角形形狀的基本方法就可得出結果。
【詳細解答】tanA= tanB，==2R（R為ABC外接圓的半徑），
sinBsinAcosB= sinAsinBcosA， sin2BsinAsinB= sin2AsinBsinA， sinAsinB(sin2A
-sin2B)=0，00，sin2A-sin2B=0， sin2A=sin2B，2A=2B或2A=-2B，A=B或A+B=，ABC是等腰三角形或直角三角形。
3、在ABC中，若sinA= ，判斷此三角形的形狀；
【解析】
【知識點】①誘導公式及運用；②和角公式及運用；③判定三角形形狀的基本方法。
【解題思路】運用誘導公式與和角公式，結合問題條件得到sinB(1-sinA)+cosA(sinB+
sinAcosB)=0，從而推出cosA(sinC+sinB)=0，根據判定三角形形狀的基本方法就可得出結果。
【詳細解答】 sinA= ，A+B+C=，sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC，
sinAcosB+sinAcosAcosB-sinAsinB=sinB+sinAcosB+cosAsinB， sinB(1-sinA)+
cosA (sinB+sinAcosB)=0， cosA(sinC+sinB)=0，00，
cosA=0， A=，ABC是直角三角形。
4、在ABC中，已知（+）sin(A-B)= （-）sin(A+B)，判斷此三角形的形
狀。
【解析】
【知識點】①和角公式及運用；②差角公式及運用；③判定三角形形狀的基本方法。
【解題思路】運用和角公式與差角公式，結合問題條件得到2cosAsinB=2sinAcosB，
從而推出sinAsinB(sin2A-sin2B)=0，根據判定三角形形狀的基本方法就可得出結果。
【詳細解答】（+）sin(A-B)= （-）sin(A+B)，2cosAsinB=2sinAcosB，
2sinAcosAsinB=2sinBsinAcosB， sinAsinB(sin2A-sin2B)=0，00，sin2A-sin2B=0， sin2A=sin2B，2A=2B或2A=-2B，A=B或A+B=，ABC是等腰三角形或直角三角形。
『思考問題2』
（1）【典例2】是已知三角形中基本元素滿足某個關系式，判斷三角形的形狀的問題，解答這類問題需要在理解正弦定理與余弦定理的基礎上靈活運用定理并能結合三角函數的相關知識綜合解答問題；
（2）解答該類問題的常用方法是：①運用正弦定理消角；②運用正弦定理或余弦定理消邊。
〔練習2〕解答下列問題：
1、在ABC的角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若＜cosA，則ABC為（ ）
A 鈍角三角形 B 直角三角形 C 銳角三角形 D 等邊三角形
2、在ABC中，已知（a+b+c）(b+c-a)=3bc，且sinA=2sinBcosC，判斷此三角形的形狀；
3、設ABC的角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若2sinAcosB=sinC，判斷ABC的形狀。
【典例3】按要求解答下列各題：
1、設ABC的角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，則角C=
；
【解析】
【知識點】①正弦定理及運用；②余弦定理及運用；③解三角形的基本方法。
【解題思路】運用正弦定理和余弦定理，結合問題條件求出cosC，從而得出角C的值。
【詳細解答】3sinA=5sinB，=，==，a=b， b+c=2a，
c=2a-b=b-b=b，cosC====-，
02、設ABC的角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知a，b，c成等比數列，且- =ac-bc，求A和的值；
【解析】
【知識點】①正弦定理及運用；②余弦定理及運用；③等比中項的定義與性質。
【解題思路】運用余弦定理和等比中項的性質，結合問題條件求出cosA，從而得出角A的值；根據正弦定理就可求出的值。
【詳細解答】 a，b，c成等比數列，=ac，- =ac-bc，=+-bc，
+-=bc， cosA= = =，0sinA，= sinA= sin=。
3、設ABC的角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且cos＜，＞= ，求：
（1）+cos2A的值；
（2）若a=4，b+c=6，且b＜c，求bc的值。
【解析】
【知識點】①二倍角公式及運用；②誘導公式及運用；③余弦定理及運用；④解三角形的基本方法。
【解題思路】（1）運用二倍角公式和誘導公式，結合問題條件就可求出+cos2A的值；（2）根據余弦定理和問題條件就可求出bc的值。
【詳細解答】（1） cos＜，＞= cosA= ，+cos2A=2 cosA-1+
=2 cosA +cosA-=2+-=-；（2） a=4，b+c=6，=
+-2bc cosA= -2bc(1+ cosA)，16=36-2bc(1+ cosA)，bc==
=8。
4、在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且cosA= ，求：
（1）+cos2A的值；
（2）若a=，求bc的最大值；
【解析】
【知識點】①二倍角公式及運用；②誘導公式及運用；③余弦定理及運用；④基本不等式及運用；⑤解三角形的基本方法。
【解題思路】（1）運用二倍角公式和誘導公式，結合問題條件就可求出+cos2A的值；（2）根據余弦定理和基本不等式，結合問題條件就可求出bc的最大值。
【詳細解答】（1） cosA= ，+cos2A=+2 cosA-1
=2 cosA +cosA-=2+-=-；（2） a=，=+-2bc cosA
= -2bc(1+ cosA)= - bc，3=- bc4bc- bcbc，
bc，bc的最大值為。
5、在ABC中，角A，B，C成等差數列，b=1。
求證：1＜a+c≤2。
【解析】
【知識點】①三角形三邊關系定理及運用；②等差中項的定義與性質；③余弦定理及運用；④基本不等式及運用；⑤解三角形的基本方法。
【解題思路】運用三角形三邊關系定理可證明a+c>b=1，根據余弦定理，等差中項的性質和基本不等式，結合問題條件證明a+c≤2，從而得到結論。
【詳細解答】證明：a，b，c分別是ABC中，角A，B，C的對邊，b=1，1=b＜a+c；
ABC中，角A，B，C成等差數列，B=，1=+-2ac cos=-2ac
(1+ cos）=-3ac-，1，4，
a+c≤2, 1＜a+c≤2。
6、設ABC的角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知a=bcosC+csinB。
（1）求角B；
（2）若b=2，求ABC面積的最大值。
【解析】
【知識點】①正弦定理及運用；②輔助角公式及運用；③余弦定理及運用；④三角形面積公式及運用；⑤解三角形的基本方法。
【解題思路】（1）運用正弦定理，結合問題條件就可求出角B的值；根據余弦定理和三角形的面積公式，結合問題條件就可求出ABC面積的最大值。
【詳細解答】（1）a=bcosC+csinB，===2R（R為ABC外接圓的半徑），
sinA= sinBcosC+sinCsinB， sinBcosC+cosBsinC= sinBcosC+sinCsinB， sinC(sinB-
cosB)=0，00， sinB—cosB=sin(B-)=0， 0-<， B-=0， B=；（2） b=2，B=，4=+-2ac cos=-2ac
(1+ cos）=-（2+）ac4ac-（2+）ac=（2-）ac，ac≤=4+
2，=acsinB=ac≤+1，ABC面積的最大值為+1。
『思考問題3』
（1）【典例3】是正弦定理與余弦定理同其它知識的綜合問題，解答這類問題首先需要分辨清楚是與哪一個知識點的綜合問題，其次是把相關知識點進行梳理；
（2）常見的綜合類型是：①與數列知識點的綜合，②與平面向量知識點的綜合，③與三角函數知識點的綜合，④與函數知識點的綜合。
〔練習3〕解答下列問題：
1、在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c。
求證：
2、已知銳角ABC中，sin(A+B)= ，sin(A-B)= 。
①求證：tanA=2tanB；
②設AB=3，求AB邊上的高。 Q
3、如圖在等腰直角OPQ中，POQ=，OP=2，
點M在線段PQ上。 N
（1）若OM=，求PM的長； M
（2）若點N在線段MQ上，且MON=，問：當 O P
POM取何值時，OMN的面積最小？并求出面積的最小值。
A
【典例4】按要求解答下列各題：
1、 我炮兵陣地位于地面A處，兩觀察所分別位于
地面點C和D處，已知CD=6000m，=， C D
=，目標出現于地面點B處時，測得 B
=，=（如圖），求炮兵陣地到目標的距離（結果保留根號）；
【解析】
【知識點】①正弦定理及運用；②勾股定理及運用；③解三角形的基本方法。
【解題思路】運用正弦定理和勾股定理，結合問題條件就可求出炮兵陣地到目標的距離。
【詳細解答】如圖，在BCD中，=，=，CBD=，
CD=6000m，= ，BD===3000，
在ACD中，=，=， CAD=， CD=6000m，
= ，AD===2000，在ABD中，
BD=3000，AD=2000，ADB=CDB+ADC=+=，AB=
=1000=1000(m)。 C
2、甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東的方向，
兩船相距a海里，乙船正向北行使，若甲船速度是 B
乙船速度的倍，問甲船應沿什么方向才能最快
追上乙船？此時乙船已經行使了多少海里？
【解析】 A
【知識點】①正弦定理及運用；②方位角的定義與性質；③解三角形的基本方法；④三角函數最值的求法。
【解題思路】運用正弦定理和方位角的定義與性質，結合問題條件求出sin值，從而得出角值，再求出BC的值。
【詳細解答】如圖，設BAC=，甲船追上乙船所需的時間為t，乙船的航行速度為V海里/小時；在ABC中，CAB=，ABC=，AC=Vt，BC=Vt，=
， sin= =，=，ACB=-=，BC=a(海里)，
甲船應沿北偏東方向才能最快追上乙船，此時乙船已經行使a海里。
3、（理）如圖在中，D是BC上的點，AD平分BAC，ABD面積是ADC面積的2倍。
（1）求； A
（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的長。 B D C
（文）中，D是BC上的點，AD平分BAC，BD=2DC。
（1）求；
（2）若BAC=，求B。
【解析】
【知識點】①正弦定理及運用；②余弦定理及運用；③輔助角公式及運用；④三角形面積公式及運用，⑤誘導公式及運用；⑥解三角形的基本方法。
【解題思路】運用正弦定理和勾股定理，結合問題條件就可求出炮兵陣地到目標的距離。
【詳細解答】（理）（1）如圖，=AB.AD.sinBAD，=AC.AD.sinCAD，
AD平方BAC，=2，==2，=，
==；（2）=，AD=1，DC=，=
=，=，===sin
BAD，=，BD===，
=4=1+2-2cosBDA，=1+-cosADC，BDA+ADC=，6=6，=1，AC=1。
（文）（1）如圖，=AB.AD.sinBAD，=AC.AD.sinCAD，
AD平方BAC，=2，==2，=，
==；（2）BAC=，B+C+BAC=，B+C=，
C =-B，sinC =2sinB =sin(-B)= cosB+sinB，
sinB- cosB=sin（B-）=0，0『思考問題4』
（1）【典例4】是解三角形的應用問題，解答這類問題需要根據問題的條件作出相應的圖形，再結合圖形解答問題；
（2）解三角形的應用問題經常涉及到方位角、俯視角、仰視角這些問題，應該弄清楚這三種角的意義并能準確地在圖形上作出來。
〔練習4〕解答下列問題：
1、飛機的航線和山頂在同一鉛直平面內，已知飛機的高度為海抜10250m，速度為180km/h，飛行員先看到山頂的俯角為，經過120秒后又看到山頂的俯角為，求山頂的海抜高度（結果用根號表示）；
2、隔河可看到對岸兩目標A、B，但不能到達，現在
岸邊取相距km的C、D兩點，測得=， A B
=，=，=（A，B，
C，D在同一平面內），求兩目標A、B之間的距離。 C D
3、如圖游客從某旅游景區的景點A處下山至C處
有兩種路徑，一種是從A沿直線步行到C處，另一 B A
種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步
行到C。現有甲，乙兩位游客從A處下山，甲沿AC
勻速步行，速度為50m/min，在甲出發2min后，乙 C
從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從B勻速
步行到C，假設纜車勻速直線運動的速度為130m/min,
山路AC長為1260m，經測量cosA=，cosC=。
（1）求索道AB的長；
（2）問：乙出發多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？
（3）為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3min，乙步行的速度應控制在什么范圍內？（2013全國高考江蘇卷）
4、如圖當甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距
20海里的B處有一膄漁船遇險等待營救，甲船立即 A 20 B
前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西，相 10
距10海里C處的乙船，試問乙船應朝北偏東多少度 C
的方向沿直線前往B處救援（角度精確到）
5、如圖所示，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔
底B在同一水平面內的兩個觀測點C與D，現測得
BCD=，BDC=，CD=s，并在點C處測得塔頂A的仰角為，求塔高AB。

展開更多......

收起↑