資源簡介

一　圓柱和圓錐
一、圓柱的認識和表面積
1.認識圓柱。
圓柱是由兩個大小相等的圓和一個側面組成的。
(1)圓柱的底面:圓柱的上、下兩個面,叫作圓柱的底面。圓柱的上、下兩個面是大小相等的圓。
(2)圓柱的側面:圍成圓柱的曲面叫作圓柱的側面。圓柱的側面是曲面。
(3)圓柱的高:圓柱兩底面之間的距離,叫作圓柱的高。圓柱有無數條高。
(4)把圓柱的側面沿高剪開,展開后是長方形(或正方形)。
2.圓柱的表面積。
(1)圓柱的側面積。
圖中圓柱的側面展開圖是長方形,長方形的長等于圓柱的底面周長,寬等于圓柱的高。
長方形的面積=　長　×　寬
　　　↓　　　　↓　　　↓
圓柱的側面積=底面周長×高
如果用C表示圓柱的底面周長,用d表示圓柱的底面直徑,用r表示圓柱的底面半徑,用h表示圓柱的高,用S表示圓柱的側面積,那么S=Ch或S=πdh或S=2πrh。
(2)圓柱的表面積。
圓柱的表面積是指圓柱的側面積與兩個底面的面積之和,即圓柱的表面積=圓柱的側面積+兩個底面的面積。
如果用S側表示圓柱的側面積,用S表表示圓柱的表面積,用S底表示圓柱的底面積,那么S表=S側+2S底。
(3)特殊圓柱表面積的計算方法。
在實際生活中會遇到特殊的圓柱形物體,如:
①圓柱形煙囪(通風管),兩頭都沒有底面,所以煙囪(通風管)的表面積就是煙囪(通風管)的側面積,等于底面周長×高;
②無蓋的圓柱形水桶(魚缸),只有一個底面,因此它的表面積包括兩部分,即側面積和一個底面積,S表=S側+S底。
二、圓柱的體積
1.圓柱體積的意義。
一個圓柱所占空間的大小,叫作這個圓柱的體積。
2.圓柱體積公式的推導。
由上圖可知拼成的長方體和圓柱相比,形狀變了,體積沒變,長方體的體積等于圓柱的體積。
長方體的長等于圓柱底面周長的一半,長方體的寬等于圓柱的底面半徑。圓柱的底面積=πr2,長方體的底面積=C2×r=πr2,圓柱的底面積=長方體的底面積。
長方體的高等于圓柱的高。
長方體的體積=底面積×高
　　　↓　　　　↓　　↓
圓柱的體積=　底面積×高
如果用V表示圓柱的體積,用S表示圓柱的底面積,用h表示圓柱的高,那么圓柱的體積計算公式為V=Sh。
3.圓柱形容器容積的計算方法。
圓柱形容器容積的計算方法與體積的計算方法相同,圓柱形容器容積=底面積×高,用字母表示為V=Sh。
三、圓錐的認識和體積
1.圓錐的認識。
圓錐是由一個底面(圓形)和一個側面(曲面)兩部分組成的。
(1)圓錐的頂點:圓錐只有一個頂點。
(2)圓錐的底面:圓錐中圓形的面就是它的底面,它只有一個底面。
(3)圓錐的側面:圓錐周圍的面就是它的側面,圓錐的側面是一個曲面,展開后是一個扇形。
(4)圓錐的高:從圓錐的頂點到底面圓心的距離叫作圓錐的高,圓錐只有一條高。
2.測量圓錐高的方法:
(1)先把圓錐的底面放平;
(2)把一塊平板水平放在圓錐的頂點上面;
(3)豎直測量出平板和底面之間的距離,這個距離就是圓錐的高。
3.直角三角形以任意一條直角邊所在的直線為軸,快速旋轉一周,它掃過的空間是圓錐形狀。
4.圓錐的體積。
先準備好等底等高的圓柱和圓錐形容器,把圓柱形容器裝滿水,倒入圓錐形容器中,正好倒滿3次。由此發現:等底等高的圓柱和圓錐,圓柱的體積是圓錐的3倍,也可以說圓錐的體積是圓柱的13。
圓錐的體積公式=底面積×高×13,如果用V表示圓錐的體積,用S表示圓錐的底面積,用h表示圓錐的高,那么V=13Sh。
知識巧記:
認識圓柱并不難,
上下兩個圓底面;
圓柱側面是曲面,
兩底之間高無數。
重點提示:
當圓柱的底面周長與高相等時,將圓柱的側面沿高剪開,展開后是正方形。
易錯題:
把一根半徑是4分米、長2分米的實心圓柱形鋼材截成兩個小圓柱,表面積與原來相比(A)。
A.保持不變
B.增加了50.24平方分米
C.增加了100.48平方分米
錯解分析:將一根實心圓柱形鋼材截成兩個小圓柱后,在截口處增加了兩個底面,所以表面積比原來增加了3.14×42×2=100.48(平方分米)
正確答案:C。
重點提示:
把圓柱平均分成的份數越多,所拼成的形狀就越近似于長方體。
知識巧記:
圓柱體積并不難,
底面積和高很關鍵;
單位一致記心間,
計算準確體積現。
重點提示:
圓柱體積的計算公式:
V=Sh V=πr2h
V=π(d2)2h V=π(C÷π÷2)2h
重點提示:計算容積時,從容器的里面量需要的相關數據;計算容積時一般用毫升和升作單位,也可以用體積單位。
知識巧記:
圓錐體積并不難,
它與圓柱有關聯,
等底等高不能忘,
三分之一記心間,
題中條件要看清,
單位一致再計算。
易錯題:
判斷:圓錐有無數條高。 (×)
錯解分析:圓錐的高是從圓錐的頂點到底面圓心的距離,從圓錐的頂點到底面圓心只有一條線段,所以圓錐的高只有一條。
正確答案:?
　　4.鋼管體積的計算方法。
用鋼管底面的外圓面積減去內圓面積再乘鋼管的長度,即用鋼管底面的環形面積×鋼管的長=鋼管的體積,用字母表示為:V=
π(R2-r2)×h。
　　重點提示:把一個圓柱削成一個最大的圓錐,這個圓錐與圓柱等底等高。
圓錐體積公式的靈活應用:
V=13Sh
h=V÷13÷S
S=V÷13÷h
三　數學百花園
黃金比
黃金比又稱黃金分割,是指將整體一分為二,較大部分與較小部分之比等于整體與較大部分之比,其比約為1∶0.618。
溫馨提示:
這個比被公認為是最能引起美感的比,因此被稱為黃金分割。
二　比 和 比 例
　一、比的意義
1.比的認識。
比的意義:兩個數相除,又叫作兩個數的比。
認識比的符號:比用符號“∶”表示,讀作:比。
比的寫法:21比14記作21∶14或2114。
比的讀法:21∶14讀作:二十一比十四。
比的各部分的名稱:
　21　∶　 14=21÷14=2114=32
　↓　↓　 ↓　　　　　　　↓
　前　比　 后　　　　　 　比值
2.求比值的方法。
用比的前項除以比的后項。
例:32∶4=32×14=38
比與分數、除法之間的聯系用字母表示為a∶b=a÷b=ab(b≠0)。
3.比與分數、除法之間的區別。
意義不同:比表示兩個量(或數)之間的一種關系;除法是一種運算;分數是一個數。
表示方法不同:作為一種運算,除法算式不能用分數表示;比可以用分數表示;分數不一定表示兩個量的比。
結果表達不同:除法一般要求出商;比只有求比值時才通過計算求出商;分數本身就是一個數值,無需計算。
4.比的基本性質。
比的前項和比的后項同時乘或除以相同的數(0除外),比值不變,這叫作比的基本性質。用字母表示為a∶b=(a×c)∶(b×c)=(a÷c)∶(b÷c)(c≠0)。
5.最簡整數比。
指比的前項和后項都是整數,并且是一對互質數,即比的前項和比的后項的最大公因數是1。
6.化簡比的方法。
化簡整數比:把比的前項和后項同時除以它們的最大公因數。
化簡小數比:先移動小數點,化成整數比,再化成最簡單的整數比。
化簡分數比:先用比的前項除以比的后項,求出商,再化成最簡單的整數比。
二、比的應用
按一定的比進行分配的問題的解題方法:
可以先求出總量一共被平均分成了幾份,然后采用平均分的方法求出每份的具體數量,最后求出各部分量對應的具體數量。
也可以先求出總量一共被平均分成了幾份,再用相應的分數來表示各部分量,最后用分數乘總量求出各部分量對應的具體數量。
三、比例的意義
表示兩個比相等的式子叫作比例。用字母表示為a∶b=c∶d(b、d均不為0)。
組成比例的四個數,叫作比例的項。兩端的兩項叫作比例的外項,中間的兩項叫作比例的內項。
例:
判斷兩個比能否組成比例,關鍵要看它們的比值是否相等。若比值相等,則能組成比例;若比值不相等,則不能組成比例。
比例的基本性質:在比例中,兩個外項的積等于兩個內項的積。用字母表示比例的基本性質:a∶b=c∶d(b、d均不為0),那么ad=bc。
在每個分數形式的比例中,等號兩邊的分子和分母分別交叉相乘,它們的積都相等。
解比例:求比例中的未知項,叫作解比例。
解比例的方法:根據比例的基本性質解比例,先把比例轉化成外項乘積與內項乘積相等的形式(即方程),再解方程求出未知項的值。
注意:計算完后要檢驗,檢驗時把x的值代入到原比例式,看比例的左邊的比值是否等于右邊的比值,比值相等則解正確,不相等則解錯誤。
四、比例尺
一幅圖的圖上距離和實際距離的比,叫作這幅圖的比例尺。
求比例尺的方法:
圖上距離∶實際距離=比例尺或圖上距離實際距離=比例尺。
比例尺的類型:
數值比例尺:用數字形式表示的比例尺,就是數值比例尺。例:1∶70000或170000。
線段比例尺:在圖上附有一條注有數量的線段來表示和地面上相對應的實際距離,這樣的比例尺叫作線段比例尺。
例:。
文字比例尺:用文字直接寫出圖上1厘米代表的實際距離是多少,這樣的比例尺叫作文字比例尺。例:圖上1厘米相當于實際距離60千米。
縮小比例尺:在繪圖時,有時需要把實際距離按一定的比縮小后在紙上畫出來,用這種方法得到的比例尺就是縮小比例尺。例:1∶20。
放大比例尺:在繪圖時,有時需要把實際尺寸按一定的比放大后畫在紙上,這樣得到的比例尺就是放大比例尺。例:20∶1。
五、正比例和反比例
正比例:兩種相關聯的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對應的兩個數的比值(商)一定,這兩種量就叫作成正比例的量,它們的關系叫作正比例關系。如果用字母x、y分別表示這兩種相關聯的量,用k表示它們的比值,上面的數量關系可以用式子表示為yx=k(一定)。
判斷兩種量是否成正比例的方法:先找變量(一種量是否隨著另一種量的變化而變化),再找定量(兩種量中相對應的兩個數的比值是否一定),如果兩個相關聯的量的比值一定,則成正比例,如果比值不一定,則不成正比例。
正比例關系圖像的特征:正比例關系的圖像是一條經過原點的直線。從圖像上可以直觀地看到兩種量的變化情況,不用計算,由一個量的值可以直接找到對應的另一個量的值。
反比例:兩種相關聯的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定,這兩種量就叫作成反比例的量,它們的關系叫作反比例關系。
如果用字母x、y分別表示這兩種相關聯的量,用k表示它們的積,上面的數量關系可以用式子表示為xy=k(一定)。
判斷兩種量是否成反比例的方法:先判斷這兩種量是不是相關聯的量,再根據數量關系式判斷這兩種量中相對應的兩個數的積是否一定,若積一定,則這兩種量就成反比例,否則不成反比例。
判斷兩種量成正比例還是成反比例的方法:
(1)判斷這兩種量是否相關聯,即一種量是否隨另一種量的變化而變化。
(2)看這兩種相關聯的量中相對應的兩個數的比值一定還是積一定,如果比值一定,就成正比例;如果積一定,就成反比例。
六、解決問題
用比例知識解決實際問題的方法:根據問題中的不變量找出兩種相關聯的量,并判斷這兩種量成什么比例,根據正、反比例關系式列出相應的比例,求解即可。
保持物體的圖像或圖形的形狀不變而使物體的圖像或圖形變大,叫作放大。
保持物體的圖像或圖形的形狀不變而使物體的圖像或圖形變小,叫作縮小。
在方格紙上按一定的比將圖形放大或縮小分為三步:
(1)看圖形各邊分別占幾個格;
(2)計算按給定的比將圖形的各邊放大或縮小后得到的圖形的各邊分別占幾個格;
(3)按計算出的各邊的長畫出放大或縮小后的圖形。
易錯題:
選擇。
求3 km∶4 km的比值,正確的是(A)。
A.3 km∶4 km=3∶4
B.3 km∶4 km=34
錯解分析:此題錯在沒有掌握比值和比的區別。比值是一個數,不能寫成比的形式。
正確答案:B
溫馨提示:
比值是一個數,可以用分數、小數或整數表示。
方法提示:
判斷一個比是不是最簡單的整數比的方法:看這個比的前項和后項是不是只有公因數1。
重點提示:
對于不同單位的兩個量的比,進行化簡時,應先統一單位,再化簡。化簡的結果必須是比,即使后項是1也不能省略。
重點提示:
解答按一定的比進行分配的問題時,不但要找準分配的比,還要找準被分配的量。
知識巧記:
比例組成有條件,
兩比相等不能變。
外項內項積相等,
性質應用很廣泛。
　易錯題:
5x=6y(x、y均不為0)則x∶y=5∶6 (??)
錯解分析:此題錯在對比例的基本性質理解不透徹。根據外項的積等于內項的積,若x作外項,則和x相乘的5也要作外項。
正確答案:?
知識巧記:
解比例,并不難,
基本性質記心間;
外項內項分別乘,
比例轉為方程算;
解出方程需檢驗,
比值相等是關鍵。
重點提示:
實際距離=圖上距離÷比例尺;
圖上距離=實際距離×比例尺。
靈活應用:
(1)為了計算方便,通常把縮小比例尺寫成帶比號的形式時,前項一般為1。若寫成分數形式,分子一般為1。
(2)為了計算方便,通常把放大比例尺的后項寫成1。
知識巧記:
正比例,好脾氣,
兩量相關要謹記;
同擴同縮好兄弟,
比值永遠不變異。
　　圖上距離一般用厘米作單位,實際距離一般用米和千米作單位,在進行有關比例尺的計算時要先統一單位。
　重點提示:
在yx=k(一定)和xy=k(一定)中,k表示固定不變的量,也叫常量,只有k保持不變,變量x和y才成正比例或反比例。
重點提示:成比例的兩種量必須是相關聯的量,而兩種相關聯的量卻不一定成比例。如兩種量的和或差一定時,這兩種量雖然相關聯,但不成比例。
重點提示:
判斷兩種相關聯的量成什么比例,是解決問題的關鍵。
重點提示:
把一個圖形放大或縮小后得到的圖形與原圖形相比,形狀相同,大小不同。
四　總　復　習
1.數 與 代 數
一、數的認識(一)
1.整數
(1)整數的意義:像-3、-2、-1、0、1、2、3這樣的數稱為整數。整數的個數是無限的,沒有最小的整數,也沒有最大的整數。
(2)整數的分類:
整數正整數0自然數負整數
(3)自然數:
自然數的意義:在數物體時,用來表示物體的個數的0、1、2、3、4……叫作自然數。
自然數的特點:自然數的個數是無限的。最小的自然數是0,沒有最大的自然數。自然數是整數的一部分。
自然數的單位:任何非0自然數都是由若干個1組成的,所以“1”是自然數的單位。
“0”的意義:一個物體也沒有用“0”表示。“0”還有多方面的意義,如在表示溫度時,它是零上溫度和零下溫度的分界線;在刻度尺上,它是起點;在數軸上,它是正數和負數的分界點;計數時,“0”起占位作用。
基數和序數:表示物體有多少個的數叫作基數,表示物體位于第幾個的數叫作序數。如7個小朋友賽跑,小剛跑了第7名。第一個7是基數,第二個7是序數。
正數和負數的意義:像17、18、2000、37……這樣的數叫作正數;像-18、-1、-0.9、-37……這樣的數叫作負數。0既不是正數,也不是負數。
2.小數
(1)小數的意義:把單位“1”平均分成10份、100份、1000份……這樣的一份或幾份可以用分母是10、100、1000……的分數表示,也可以用小數表示。
(2)小數的分類:
小數按小數的整數部分是否為0純小數帶小數按小數部分的位數是否有限有限小數無限小數無限不循環小數循環小數純循環小數混循環小數
純小數和帶小數:整數部分是0的小數叫作純小數,純小數小于1;整數部分不是0的小數叫作帶小數,帶小數大于1。
有限小數和無限小數:小數部分的位數是有限的小數,叫作有限小數;小數部分的位數是無限的小數,叫作無限小數。例:4.287是有限小數,π是無限小數。
循環小數:一個小數,從小數部分的某一位起,一個數字或者幾個數字依次不斷地重復出現,這樣的小數叫作循環小數。循環小數都是無限小數。
循環節:在一個循環小數的小數部分中,依次不斷重復出現的數字,叫作這個循環小數的循環節。
純循環小數和混循環小數:循環節是從小數部分第一位開始的,叫作純循環小數;循環節不是從小數部分第一位開始的,叫作混循環小數。例:3.333……是純循環小數;3.23333……是混循環小數。
(3)小數的計數單位:小數的計數單位是十分之一、百分之一、千分之一……分別寫作0.1、0.01、0.001……
(4)小數的性質:在小數的末尾添上0或者去掉0,小數的大小不變。
(5)小數點位置移動引起小數大小變化的規律:小數點向右移動一位、兩位、三位……該數就擴大到原來的10倍、100倍、1000倍……小數點向左移動一位、兩位、三位……該數就縮小到原來的110、1100、11000……移動小數點的位置時,如果位數不夠,要用0補位。
3.計數單位和數位。
(1)計數單位:個(一)、十、百……及十分之一、百分之一……都是計數單位。
(2)數位:各個計數單位所占的位置,叫作數位。數位是按一定的順序排列的。
(3)十進制計數法:它的特點是每相鄰的兩個計數單位之間的進率都是“十”。
(4)數的分級。
整數部分,從個位起,每四個數位是一級。個位、十位、百位、千位是個級,表示多少個一;萬位、十萬位、百萬位、千萬位是萬級,表示多少個萬;億位、十億位、百億位、千億位是億級,表示多少個億……
　　　(5)數位順序表。
……
億　級
萬　級
個　級
數位
……
千
億
位
百
億
位
十
億
位
億
位
千
萬
位
百
萬
位
十
萬
位
萬
位
千
位
百
位
十
位
個
位
計數
單位
……
千
億
百
億
十
億
億
千
萬
百
萬
十
萬
萬
千
百
十
一
(個)
　　4.數的讀法和寫法
知識要點
具體內容
舉例
讀法
讀數前通常先把這個數分級,再從高位起,一級一級地讀,每級末尾的0都不讀,每一級的中間有1個0或連續幾個0,都只讀一個“零”
203003000讀作:二億零三百萬三千
寫法
從高位起,一級一級地寫,哪個數位上一個計數單位也沒有,就在那個數位上寫0占位
五千零八十萬寫作:
50800000
讀法
讀小數時,按從左往右的順序讀,整數部分按照整數的讀法來讀(整數部分是0的讀作零),小數點讀作點,從小數部分高位起,依次讀出每一個數位上的數字,即使是連續的幾個0,也要依次讀出來。
12.073讀作:十二點零七三。
寫法
寫小數時,按從左往右的順序寫,整數部分按照整數的寫法來寫(整數部分是零的寫作0),小數點寫在個位的右下角,小數部分從高位起,依次寫出每一個數位上的數字
二十二點零零五寫作:22.005
正數
讀法
“+”讀作:正,“+”后面是幾就讀作幾
+13讀作:正十三
負數
讀法
“-”讀作:負,“-”后面是幾就讀作幾
-20讀作:負二十
正負
數的
寫法
正、負數表示兩種具有相反意義的量,為了區分正、負數,寫正數時,可以在數的前面加“+”,也可以省略不寫;寫負數時,要在數的前面加“-”,不可以省略
正七寫作:+7或7,負七寫作:-7
　　5.數的大小比較
知識要點
具體內容
舉例
整數大小
的比較
比較整數的大小,先看它的位數,如果位數不同,那么位數多的那個數就大;如果位數相同,就從最高位比起,最高位上的數字大的那個數就大,如果最高位上的數字相同,就看下一位上的數字……
7238>980
7240>7199
小數的大
小比較
比較兩個小數的大小,先看它們的整數部分,整數部分大的那個數大;整數部分相同,十分位上的數字大的那個數大;十分位上的數字相同,百分位上的數字大的那個數就大……依次類推
0.34<10.57
1.657>1.647
正、負數
的大小比
較
1.正數大于負數
2.負數與負數比較,負號后面的數越大,這個負數反而越小
-0.1<0.1
-2.5>-3
6.數的改寫
(1)把多位數改寫成用“萬”或“億”作單位的數和求近似數的方法。
多位數的改寫
求近似數(省略尾數)
方法
把多位數改寫成用“萬”或“億”作單位的數。先把原數的小數點向左移動4位或8位(小數部分末尾是0的要劃掉),再在數的后面寫上“萬”字或“億”字
先把原數的小數點向左移動4位或8位,再用“四舍五入”法省略指定位數后面的尾數,最后在數的后面寫上“萬”字或“億”字
結果
得到準確值
得到近似數
與原數
的關系
與原數相等,用“=”連接
與原數近似相等,用“≈”連接
相同點
都是改變原數的計數單位,根據要求用“萬”或“億”作單位
　　(2)求小數的近似數
要求把小數保留到哪一位,就看這一位后面一位上的數,按照“四舍五入”法省略尾數,中間用“≈”連接。
二、數的認識(二)
1.因數和倍數
(1)因數、倍數的意義:已知a、b、c均為正整數(為了方便,在研究因數和倍數時,所指的數不包括0),如果a÷b=c,那么a就是b和c的倍數,b和c就是a的因數。倍數和因數是相互依存的,不能單獨說一個數是因數或倍數。
(2)因數和倍數的特征
一個數的因數的個數是有限的,其中最小的因數是1,最大的因數是它本身;
一個數的倍數的個數是無限的,其中最小的倍數是它本身,沒有最大的倍數;
一個數既是它本身的倍數,也是它本身的因數。
　　易錯提示:要區別“改寫”與“省略”的含義。“改寫”是求準確值,“省略”是用“四舍五入”法取近似值。
　　2.2、3、5的倍數的特征
(1)2的倍數的特征:個位上的數字是0、2、4、6、8。
(2)3的倍數的特征:各個數位上的數字的和是3的倍數。
(3)5的倍數的特征:個位上的數字是0或5。
(4)2、5的倍數的特征:個位上是0。
(5)2、3、5的倍數的特征:個位上是0,且各個數位上的數字的和是3的倍數。
3.奇數和偶數
(1)奇數:在自然數中,不是2的倍數的數叫作奇數。
(2)偶數:在自然數中,是2的倍數的數叫作偶數。
研究奇數、偶數時包括0,因此一個自然數不是奇數就是偶數。最小的奇數是1,沒有最大的奇數;最小的偶數是0,沒有最大的偶數。
4.質數和合數
(1)質數:一個數,如果只有1和它本身兩個因數,這樣的數叫作質數(素數)。2是最小的質數,也是唯一的偶質數,沒有最大的質數。
(2)合數:一個數除了1和它本身外還有別的因數,這樣的數叫作合數,最小的合數是4,沒有最大的合數。
5.最大公因數和最小公倍數
(1)最大公因數:幾個數公有的因數,叫作這幾個數的公因數,其中最大的一個叫作這幾個數的最大公因數。
(2)最小公倍數:幾個數公有的倍數,叫作這幾個數的公倍數,其中最小的一個叫作這幾個數的最小公倍數。
(3)求兩個數的最大公因數和最小公倍數的特殊情況。
如果較小數是較大數的因數,那么較小數就是這兩個數的最大公因數,較大數就是這兩個數的最小公倍數;如果兩個數只有公因數1,那么它們的最大公因數是1,最小公倍數就是這兩個數的積。例:12和4的最大公因數是4,最小公倍數是12;8和9的最大公因數是1,最小公倍數是8×9=72。
三、數的認識(三)
1.分數
(1)分數的意義:把單位“1”平均分成若干份,表示這樣一份或幾份的數叫作分數。表示其中一份的數是這個分數的分數單位。
(2)分數分為真分數、假分數、帶分數。
真分數:分子比分母小的分數。真分數小于1。
假分數:分子大于或等于分母的分數。假分數大于或等于1。
帶分數:是由一個整數(大于0)和一個真分數組成,是大于1的假分數的另一種表現形式。
(3)分數的讀法:先讀分母,再讀“分之”,最后讀分子。例:34讀作四分之三。
(4)分數的大小比較:分母相同,分子大的分數大;分子相同,分母小的分數大;分子和分母不同,先通分再比較。
(5)分數的基本性質:分數的分子和分母同時乘或除以相同的數(0除外),分數的大小不變。
例:34=3×24×2=68,1215=12÷315÷3=45。
(6)約分、通分、最簡分數。
約分:把一個分數化成同它相等,但分子、分母都比較小的分數,叫作約分。
通分:把異分母分數分別化成和原分數相等的同分母分數,叫作通分。
最簡分數:分子和分母只有公因數1的分數叫作最簡分數。
(7)把假分數化成帶分數或整數時,用假分數的分子除以分母,商是帶分數的整數部分,余數作分數部分的分子,分母不變;如果分子是分母的倍數,則化成整數。
(8)分數、小數、百分數之間的互化。
2.百分數
(1)百分數的意義:表示一個數是另一個數的百分之幾的數叫作百分數。百分數也叫作百分比或百分率。18%讀作:百分之十八;百分之三十寫作:30%。
(2)分數和百分數的關系
分數可以表示一個數量,也可以表示兩個數的比,當表示具體數量時可以帶單位名稱;百分數只表示一個數占另一個數的百分比,不能用來表示具體數量,后面不能帶單位名稱。
四、常見的量
人民幣的單位:元、角、分;相鄰兩個人民幣單位間的進率是10,即1元=10角,1角=10分。
時間單位:1世紀=100年　1年=12個月
1個季度=3個月
1、3、5、7、8、10、12月份有31天　4、6、9、11月份有30天
平年2月份28天　 閏年2月份29天
1日=24時　 1時=60分　1分=60秒
判定閏年的方法:公歷年份數是4的倍數的是閏年;公歷年份數是整百數的,必須是400的倍數才是閏年。
普通計時法和24時計時法的換算:時針走第二圈時,24時計時法相當于鐘面上的數加12 。例:下午3時40分用24時計時法表示是15時40分。
質量單位:克、千克、噸。
1噸=1000千克　1千克=1000克
五、數的運算
1.(1)四則運算的意義。
整數
小數
分數
加法的
意義
把兩個數合成一個數的運算
與整數加法的意義相同
與整數加法的意義相同
減法的
意義
已知兩個數的和與其中的一個加數,求另一個加數的運算
與整數減法的意義相同
與整數減法的意義相同
續表
乘法的
意義
求幾個相同加數的和的簡便運算
與整數乘法的意義相同:一個數乘小數,就是求這個數的十分之幾、百分之幾……是多少
與整數乘法的意義相同:一個數乘分數,就是求這個數的幾分之幾是多少
除法的
意義
已知兩個數的積與其中的一個因數,求另一個因數的運算
與整數除法的意義相同
與整數除法的意義相同
　　(2)四則運算中各部分間的關系
各部分之間的關系
加法
加數+加數=和　一個加數=和-另一個加數
減法
被減數-減數=差　被減數=差+減數　減數=被減數-差
乘法
因數×因數=積　一個因數=積÷另一個因數
除法
被除數=除數×商　被除數÷除數=商　被除數÷商=除數
　　2.運算定律
名稱
文字敘述
用字母表示
加法交
換律
兩個數相加,交換加數的位置,它們的和不變
a+b=b+a
加法結
合律
三個數相加,先把前兩個數相加,再加上第三個數,或者先把后兩個數相加,再和第一個數相加,它們的和不變
(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交
換律
兩個數相乘,交換因數的位置,它們的積不變
a×b=b×a
乘法結
合律
三個數相乘,先把前兩個數相乘,再乘第三個數,或者先把后兩個數相乘,再和第一個數相乘,它們的積不變
(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分
配律
兩個數的和與一個數相乘,等于把這兩個數分別與這個數相乘,再把兩個積相加
(a+b)×c=ac+bc
　　3.運算性質
減法的運算性質:a—(b+c)=a-b-c
除法的運算性質:a÷(b×c)=a÷b÷c
4.運算順序:在沒有括號的算式里,如果只含有同一級運算,要從左往右依次計算;如果含有兩級運算,要先算第二級運算,再算第一級運算;在有括號的算式里,要先算小括號里面的,再算中括號里面的,最后算中括號外面的。
5.方程
(1)在含有字母的式子里,字母與字母、字母與數之間的乘號可以記作“·”或省略不寫。在省略乘號時,要把數字寫在字母的前面。
(2)表示相等關系的式子叫作等式。
(3)含有未知數的等式叫作方程。
(4)方程的解:使方程左右兩邊相等的未知數的值,叫作方程的解。
(5)求方程解的過程叫作解方程。
(6)所有的方程都是等式,但等式不一定是方程。
(7)等式的性質:①等式的兩邊同時加上或減去同一個數,等式仍然成立。
②等式的左右兩邊同時乘或除以同一個不為0的數,等式仍然成立。
(8)列方程解應用題的一般步驟:
①弄清題意,找出未知數并用x表示。
②找出題意中的等量關系,并根據等量關系列出方程。
③解方程,求出未知數的值。
④檢驗,寫出答語。
6.比和比例
(1)比、分數、除法之間的關系
名稱
聯系
區別
比
前項
∶(比號)
后項
比值
比表示兩個數之間的倍比關系
分數
分子
-(分數線)
分母
分數值
分數是一個數
除法
被除數
÷(除號)
除數
商
除法是一種運算
　　(2)比和比例
比
比例
意義
表示兩個數相除
表示兩個比相等的式子
基本
性質
比的前項和后項同時乘或除以相同的數(0除外),比值不變
在比例里,兩個外項的積等于兩個內項的積
化簡比的依據
解比例的依據
　　(3)正比例:兩種相關聯的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對應的比值(商)一定,這兩種量就叫作成正比例的量,它們的關系叫作正比例關系。yx=k(一定)。
(4)反比例:兩種相關聯的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中兩個數的積一定,這兩種量就叫作成反比例的量,它們的關系叫作反比例關系。xy=k(一定)。
　(5)靈活運用比和比例及比、分數和除法之間的關系,可以將分數應用題轉化為按比分配的應用題或是用解比例的方式解答,也可以將按比分配或需要列比例式解答的應用題轉化成分數應用題解答。
2.圖形與幾何
1.線和角
(1)線
名稱
意義
特點
直線
把線段兩端無限延長就得到一條直線
直線沒有端點,它是可以無限延長的,不能度量其長度
射線
把線段的一端無限延長,就得到一條射線
射線只有一個端點,可以無限延長,不能度量其長度
線段
直線上兩點間的一段叫作線段
線段有兩個端點,可以度量它的長度
　　(2)角的意義:從一點引出兩條射線,就組成一個角。
(3)角的分類
銳角
直角
鈍角
平角
周角
大于0°小于90°
等于90°
大于90°小于180°
等于180°
等于360°
　　(4)垂直與平行
垂直:兩條直線相交成直角時,這兩條直線互相垂直。其中一條叫作另一條的垂線。這兩條直線的交點叫作垂足。由一點向一條直線所引的線段中,垂直線段最短。
平行:在同一平面內,不相交的兩條直線叫作平行線。兩條平行線之間的距離處處相等。
2.平面圖形
(1)三角形:由三條線段首尾順次相接圍成的封閉圖形叫作三角形。
①按角分類
名稱
銳角三角形
直角三角形
鈍角三角形
圖形
特征
三個角都是銳角
有一個角是直角
有一個角是鈍角
②按邊分類
名稱
不等邊三角形
等腰三角形
圖形
特征
三條邊都不相等
有兩條邊相等
三條邊都相等
(2)四邊形
①四邊形的分類
②特殊四邊形的特點
名稱
圖形
特點
長方形
兩組對邊分別平行且相等,四個角都是直角
正方形
兩組對邊分別平行,四條邊都相等,四個角都是直角
平行四邊形
兩組對邊分別平行且相等,對角相等
梯形
只有一組對邊平行
　　(3)圓
①圓心:圓中心的一點。圓心確定圓的位置。用字母O表示。
②半徑:圓心到圓上任意一點的線段。半徑決定圓的大小。用字母r表示。
③直徑:通過圓心且兩端都在圓上的線段。用字母d表示。 d=2r。
④圓的周長:C=πd或C=2πr;圓的面積S=πr2。
　　(4)
名稱
圖形
周長、面積計算公式
文字公式
字母公式
平行四
邊形
平行四邊形的面積=底×高
S=ah
長方形
長方形的周長=(長+寬)×2
長方形的面積=長×寬
C=2(a+b)
S=ab
正方形
正方形的周長=邊長×4
正方形的面積=邊長×邊長
C=4a
S=a2
續表
三角形
三角形的面積=底×高÷2
S=ah÷2
梯形
梯形的面積=(上底+下底)×高÷2
S=(a+b)h÷2
圓
圓的周長=圓周率×直徑
或圓的周長=圓周率×半徑×2
圓的面積=圓周率×半徑的平方
C=πd或
C=2πr
S=πr2
(5)平面圖形面積計算公式的推導過程
名稱
面積公式推導過程
圖例
長方形
用數方格的方法來推導
正方形
把正方形看作長和寬相等的長方形
平行四
邊形
通過割補、平移轉化成長方形
梯形
把兩個完全相同的梯形通過旋轉、平移化成平行四邊形。這個平行四邊形的底等于梯形上底與下底的和,高與梯形的高相等。梯形的面積是拼成的平行四邊形面積的一半
三角形
把兩個完全相同的三角形通過旋轉、平移化成與它等底等高的平行四邊形。三角形的面積是拼成的平行四邊形面積的一半
圓
把一個圓平均分成若干份(偶數份)后,拼成一個近似的長方形,長方形的長相當于周長的一半,寬相當于圓的半徑
3.立體圖形
(1)長方體和正方體的特征的異同點
相同點
不同點
面
棱
頂點
面的特點
面的大小
棱長
6個
12條
8個
6個面一般都是長方形,也可能有兩個相對的面是正方形
相對的面的面積相等
每一組互
相平行的
4條棱的
長度相等
6個
12條
8個
6個面都是相等的正方形
6個面的面積都相等
12條棱的
長度都相
等
　　(2)長方體和正方體之間的關系
(3)圓柱和圓錐的特征
名稱
圖形
特征
從不同方向
看到的形狀
圓柱
面:圓柱有3個面,上、下兩個底面是相同的圓,側面是曲面
高:圓柱兩底面之間的距離叫作高。它有無數條高
側面展開圖:圓柱的側面沿高展開后是長方形(或正方形)
從上面或下面看,會看到一個圓
從側面看,會看到一個長方形(或正方形)
圓錐
面:圓錐有2個面,它的底面是圓,側面是曲面
高:從圓錐的頂點到底面圓心的距離叫作圓錐的高,圓錐只有一條高
從上面看,會看到中間帶點的圓
從下面看,會看到一個圓
從側面看,會看到一個等腰三角形(或等邊三角形)
　(4)立體圖形的表面積和體積的計算公式
圖形
表面積
體積
長方體
S=(ab+ah+bh)×2
V=abh
正方體
S=6a2
V=a3
續表
圓柱
S=2πr2+2πrh
V=πr2h
圓錐
—
V=πr2h÷3
　　(5)圓柱和圓錐體積公式的推導
名稱
推導過程
圖例
圓柱
把圓柱平均分成若干份(偶數份)后,拼成一個近似的長方體,長方體的長是圓柱底面周長的一半,寬是圓柱的底面半徑,高是圓柱的高,即
長方體的體積=底面積×高
　　　↓　　　　↓　　↓
圓柱的體積　=底面積×高
圓錐
用實驗法,在圓錐形容器里裝滿沙子,然后倒進與它等底等高的圓柱形容器內,正好三次倒滿,即圓錐的體積是與它等底等高的圓柱形容器體積的13
　　(6)長度單位、面積單位、體積單位、容積單位之間的進率
名稱
單位
進率
長度單位
毫米、厘米、分米、米、千米
1千米=1000米
1米=10分米
1分米=10厘米
1厘米=10毫米
面積單位
平方毫米、平方厘米、平方分米、平方米、平方千米、公頃
1平方千米=100公頃
1公頃=10000平方米
1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米
1平方厘米=100平方毫米
體積單位
立方米、立方分米、立方厘米、立方毫米
1立方米=1000立方分米
1立方分米=1000立方厘米
1立方厘米=1000立方毫米
容積單位
升、毫升
1升=1000毫升
1立方分米=1升
1立方厘米=1毫升
3.圖形的運動
1.軸對稱圖形:如果一個圖形沿著一條直線對折,折痕兩側的圖形能夠完全重合,這個圖形就是軸對稱圖形,折痕所在的這條直線叫作對稱軸。對稱點到對稱軸的距離相等。
2.平移:物體沿著直線運動,這樣的運動方式稱為平移。平移時,物體或圖形的大小、形狀都不改變,只是位置發生了變化。
3.旋轉:物體繞著一個固定的點(或軸)轉動,這樣的運動方式稱為旋轉。旋轉時物體或圖形的大小、形狀都不變,方向和位置發生了變化。
4.圖形的放大與縮小:把一個圖形的各邊按一定的比進行放大或縮小,從而得到該圖形的放大圖或縮小圖。一個圖形的放大或縮小前后,形狀相同,大小不同。
4.圖形與位置
1.辨認方向:在地圖或平面圖上通常都是按“上北、下南、左西、右東”來確定方位的,還有東北、西南、東南、西北四個方向。
2.用數對表示位置:豎排叫作列,橫排叫作行,確定第幾列一般從左往右數,確定第幾行一般從前往后數。用數對表示物體的位置時,一般先表示第幾列,再表示第幾行。要用小括號把列數與行數括起來,并在列數和行數之間用逗號隔開。
3.比例尺:圖上距離和實際距離的比,叫作這幅圖的比例尺。圖上距離∶實際距離=比例尺;比例尺可以分為數值比例尺和線段比例尺。
5.統計與可能性
1.單式統計表:只有一組統計項目的統計表叫作單式統計表。
2.復式統計表:有兩組或兩組以上統計項目的統計表叫作復式統計表。
　　3.統計圖
條形統計圖
折線統計圖
扇形統計圖
特點
用一個單位長度表示一定的數量
用整個圓的面積表示總數量,用圓內的扇形面積表示各部分數量占總數量的百分比
用直條的長度表示數量的多少
用折線的起伏表示數量的增減變化
作用
從圖中能清楚地看出各種數量的多少,便于比較
從圖中能清楚地看出數量增減變化的情況,也能看出數量的多少
扇形統計圖便于直觀了解各部分數量與總數量的百分比,以及部分數量與部分數量之間的大小關系
種類
單式條形統計圖和復式條形統計圖
單式折線統計圖和復式折線統計圖
平均數:總數量÷總份數=平均數。
4.可能性
不確定現象:生活中,有些事件的發生是不確定的,一般用“可能”來描述。
確定現象:生活中,有些事件的發生是確定的,一般用“一定”或“不可能”來描述。
可能性的大小:在總數中占的數量比較多,事件發生的可能性就大,否則就小。
游戲的公平性:在游戲規則里,如果每種現象發生的可能性都相等,這個游戲規則就是公平的;如果每種現象發生的可能性不相等,這個游戲規則就是不公平的。
按不同的標準劃分,數的分類也會不同。
自然數是整數的一部分。
0既不是正數,也不是負數。
一個分數,如果分母中只有質因數2或5(2和5),這個分數就能化成有限小數;如果分母中含有2和5以外的其他質因數,就不能化成有限小數。
小數的末尾添上0或者去掉0,小數的大小相等,計數單位卻不同。
移動小數點的位置時,如果位數不夠,要用0補位。
現在用的計數方法,9再多1個,就要向前一位進1,記作:10,就是“十進制計數法”。
數位是按一定的順序排列的。
讀數和寫數都從高位起,讀數要寫成文字形式,寫數要寫成阿拉伯數字。
在讀、寫、改寫數時,原數如果有單位名稱,讀數、寫數、改寫的結果也要加上相應的單位名稱。
用數軸上的點可以比較數的大小。數軸上表示數的點的位置越往右,表示的數越大,點的位置越往左,表示的數越小。
　一個自然數不是奇數,就是偶數。
1既不是質數也不是合數。
帶分數只有化成假分數后,它的分子才能表示這個帶分數的分數單位的個數。
比較小數、分數和百分數的大小時,通常把分數和百分數化成小數進行比較,最后排序的結果一定要用原數。
提示:
(1)高級單位換算成低級單位要乘進率。
(2)低級單位換算成高級單位要除以進率。
加法和減法互為逆運算;乘法和除法互為逆運算。
0與1在四則運算中的特殊性質:
a±0=a　a×0=0
0÷a=0(a≠0)
a×1=a　a÷1=a
a÷a=1(a≠0)
1÷a=1a(a≠0)
運用四則運算中各部分之間的關系可以對四則運算進行驗算。
在運算中靈活地運用運算定律和減法、除法的運算性質,可以使運算更加簡便。等式的性質是解方程的方法與依據。
有時應用題中的問題不能直接用方程解答,需要把一個間接的量設成未知數,求出解后,再進一步解答出應用題的問題。
比和比例、比和分數和除法都既有聯系,又有區別,把握好比和比例的關系,可以提高我們分析、解決問題的能力。
射線和線段都是直線的一部分。
平角的兩條邊在一條直線上,但平角不是直線,它有頂點,它是一個角。
在同一平面內的兩條直線不是相交就是平行。垂直是相交的特例。
三角形任意兩條邊的和大于第三邊的長度。運用三角形三邊之間的關系,可以判斷三條線段或三根小棒能否組成三角形。
三角形具有穩定性。
三角形的內角和等于180°。
長方形和正方形是特殊的平行四邊形,正方形是特殊的長方形。
梯形中還有兩種比較特殊的情況:等腰梯形和直角梯形。等腰梯形是兩個腰相等的梯形;直角梯形是有兩個直角的梯形。
我們經常會遇到求不規則圖形的周長或面積的情況,可以運用轉化和遷移的數學思想,把不規則圖形轉化成我們學過的圖形,再計算它們的周長或面積。
體積是指物體所占空間的大小,求物體的體積是從物體外部測量長、寬、高;容積是指一個容器所能容納的物體的體積,求物體的容積要從物體的內部測量長、寬、高。
不同類別的單位名數不能在一起比較,例如長度單位不能與面積單位比較大小。
在比較單位名數的大小時,只有相同的單位才能在一起比較,單位不同時要化成相同單位,再進行比較。
判斷一個圖形是不是軸對稱圖形的方法:把這個圖形沿著一條直線對折,如果折痕兩側的圖形能完全重合,這個圖形就是軸對稱圖形。
無論是把圖形放大還是縮小,圖形各邊的比應保持不變。
確定物體的位置時要找好參照物,如甲在乙的東北方向,那么乙在甲的西南方向。
第3列第2行用數對表示就是(3,2)。(4,3)這個數對表示的位置就是第4列第3行。
統計在現實生活中有著重要的作用,利用統計結果可以作出一些預測,幫助決策。
每種統計圖的表現形式不同,特點也不同,應用時要根據數據的特點和需要選擇合適的統計圖。

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