資源簡介

一　小　　數
　
一、小數的意義和性質
(一)小數的意義
1.小數由整數部分、小數部分和小數點組成。由于測量物體時往往會得到不是整數的數,古人就發明了小數來補充整數。小數是十進制分數的一種特殊表現形式。分母是10、100、1000……的分數可以用小數表示。
2像0.5, 0.75, 0.208,…這些用來表示十分之幾、百分之幾、千分之幾……的數都是小數。
3.小數的計數單位有十分之一、百分之一、千分之一……分別寫作0.1,0.01,0.001,…相鄰兩個計數單位的進率都是10。
4.小數的讀寫法。
小數的讀法:
(1)整數部分按整數讀法來讀,如果是0的讀作“零”;
(2)小數點讀作“點”;
(3)小數部分依次讀出每一個數位上的數。
小數的寫法:
(1)整數部分按照整數的寫法來寫,如果是零就寫作“0”;
(2)小數點寫在個位右下角,要寫成“.”,不能寫成“,”;
(3)小數部分依次寫出每一個數位上的數。
5.小數數位順序表。
　
整　數　部　分
小數點
小　數　部　分
……
千位
百位
十位
個位
·
……
……
千
百
十
一
(個)
十分之一
百分之一
千分之一
……
(二)小數的性質
小數的末尾添上“0”或去掉“0”,小數的大小不變。
例:某人的身高是1.40米,也就是1.4米,1.40=1.4。
二、小數的大小比較
1.比較小數的大小,不能只看小數位數的多少,要從高位開始比起。
2.先比較整數部分,整數部分大的那個數就大。
3.整數部分若相同,再比較十分位,十分位上的數字大的那個數就大。
4.如果十分位上的數字相同,再比較百分位,依次向下比較,直到比出大小。
三、小數點位置移動引起小數大小變化的規律
小數點向左移動一位,小數就縮小到原來的十分之一;小數點向左移動兩位,小數就縮小到原來的一百分之一;小數點向左移動三位, 小數就縮小到原來的千分之一……
例:
100.51.005
小數點向右移動一位,小數就擴大到原來的10倍;小數點向右移動兩位,小數就擴大到原來的100倍;小數點向右移動三位,小數就擴大到原來的1000倍……
例:
0.11511.5
四、小數的改寫與近似數
(一)小數的改寫
1.把低級單位的單名數改寫成高級單位的小數的方法:用這個數除以兩個單位間的進率,如果進率是10、100、1000……可以直接把小數點相應的向左移動一位、兩位、三位……
例:20厘米=(　　)米
因為厘米和米的進率是100,20÷100=0.2,所以20厘米=0.2米。
2.把復名數改寫成高級單位的小數的方法:復名數中高級單位的數不變,作為小數的整數部分;把復名數中低級單位的數字改寫成高級單位的數,作為小數的小數部分。
例:1米20厘米=(　　)米
把1米中的“1”作為整數部分;20÷100=0.2,小數部分是0.2,1+0.2=1.2,所以,1米20厘米改寫成以“米”做單位的小數為1.2米。
3.把高級單位的小數改寫成低級單位的單名數的方法:用這個小數乘兩個單位間的進率,如果進率是10、100、1000……可以直接把小數點相應的向右移動一位、兩位、三位……
例:2.07米=(　　)厘米
米和厘米間的進率是100,2.07×100=207(厘米)
4.把高級單位的小數改寫成復名數的方法:先把小數的整數部分直接寫成復名數的高級單位的數,再用小數部分乘兩個單位之間的進率改寫成低級單位的數。
例:2.07米=(　　)米(　　)厘米
先把小數的整數部分2直接寫成高級單位的數,即2米;小數部分0.07乘進率作為低級單位的數,0.07×100=7,即7厘米。則2.07米=2米7厘米
(二)用“四舍五入”法求近似數
用“四舍五入”法求一個數的近似數,精確到哪一位就看它的下一位是大于5,等于5,還是小于5。把一個小數精確到個位,那就需要看十分位上的數字;如果要精確到十分位,那就看百分位上的數字……中間用“≈”連接。
1.如果精確位的下一位大于5或等于5,就把精確位后面的數全部舍去,并向前一位進1。如85.648精確到個位是86,精確到百分位是85.65。
2.如果精確位的下一位小于5,就直接把精確位后面數全部舍去。如85.648精確到十分位是85.6。
(三)將不是整萬或整億的數改寫成以“萬”或“億”做單位的數
1.把一個數改寫成以“萬”或“億”做單位的數,分四步:
分一分:每四位一級分開。
點一點:以誰為單位,就在這一位的后面點上小數點。
寫一寫:以什么為單位就在末尾寫上什么。
讀一讀:看看兩邊的讀法是否一致。
2. 把一個數改寫成以“萬”或“億”做單位的數,并保留一位或兩位小數,步驟同上,再加上第五步,用“四舍五入”法保留小數。例:
將457230改為以“萬”做單位的數并保留兩位小數
(1)劃分數級:457230。
(2)點一點:在萬位“5”的后面點上小數點,45.7230。
(3)寫一寫:以“萬”為單位,就在末尾寫上“萬”字,45.7230萬。
(4)讀一讀:驗證兩邊的讀法是否一致。
(5)保留兩位小數,要看小數點后第三位,也就是千分位上的數字,千分位上是3,小于5,應該舍去,所以457230≈45.72萬。
分母是10的分數與一位小數對應,分母是100的分數與兩位小數對應,分母是1000的分數與三位小數對應……
易錯點:誤認為計數單位之間的進率都是10,這是不對的,一定要注意“相鄰”二字。
巧記
小數讀寫并不難,
整數部分不用變,
小數部分按序排,
依次讀寫每個數,
計數單位不用讀,
細心檢查錯不出。
同整數一樣,小數相鄰兩個計數單位的進率是10。
根據小數的性質,可以將整數改寫成小數的形式,如5=5.00,12=12.0等。
易錯點:只有小數末尾的“0”去掉或者添上,小數的大小不改變,不是小數點后面的所有“0”都適用這個原則,如0.02≠0.2,去掉小數點后面的“0”,小數的大小發生了改變。
巧記
小數大小來比較,
數位多少不重要;
關鍵看好最高位,
位數相同來比較;
高位相同看下位,
依次比較錯不了。
巧記
小數點要左右移,
變大變小有規律,
向左小來向右大,
右移一位擴10倍,
左一縮到十分一。
名數分單名數和復名數,只有一個單位名稱的叫單名數,含有兩個或兩個以上單位名稱的叫復名數。比較大的單位叫高級單位,比較小的單位叫低級單位。
進行名數間的改寫時,關鍵是要明確兩個單位間的進率是多少。
名數改寫口訣
一要審清要求,
二要熟記進率,
三要掌握方法,
四要寫明單位。
在實際生活生產中,有時需要把不同單位名稱的數據改寫成相同單位名稱的數據,以便于計算或比較。
易錯點:求近似數時,保留整數要看十分位,十分位上的數字大小決定是否進位;保留一位小數需要看百分位;保留兩位小數需要看千分位……
注意:精確數與近似數之間是一種大致相等但不相等的關系,所以用“≈”連接,不能用“=”連接。
注意:改寫數時,只是改變了數的呈現形式,并沒有改變數的大小,所以中間要用“=”連接。
易錯點:有些數字,沒有億位或萬位,需要用“0”補齊。
例:78204635=0.78204635億
　
　　
　　
　　
　　
七　統　計　表
　
一、統計表中“合計”的意義和算法
1.“合計”的意義
表示統計表中所統計的各項數據的總和。
2.“合計”的計算方法
用加法計算統計表中各項數據的總和。
　 二、平均數
1.平均數的含義
平均數是指在一組數據中所有數據之和再除以數據的個數所得的商。平均數表示的是一組數據的總體水平。
2.平均數的求法
(1)移多補少法:從多的一方拿出一部分給少的一方,使兩者相等。
(2)公式法:總數量÷總份數=平均數。
注意:特殊情況下(如求評委評分的平均數)需要去掉最大和最小的那個數。
易錯點:要看清“合計”對應的項目。
計算平均數的兩個必備條件:①被均分的事物的總和;②要均分的總份數。
　
　
三　平行與相交
　 一、平行與相交
1.在同一平面內,兩條直線的位置關系只有平行和相交這兩種。
2.在同一平面內,不相交的兩條直線互相平行。
3.同一平面內,互相平行的兩條直線互為平行線。
如上圖,直線a和直線b互相平行,我們可以說直線a是直線b的平行線,也可以說直線b是直線a的平行線。
二、認識垂直
兩條直線相交成直角時,這兩條直線互相垂直,其中一條叫做另一條的垂線,這兩條直線的交點叫做垂足。
如上圖,直線a和直線b互相垂直,垂足是O ,a叫做b的垂線,b叫做a的垂線。
三、垂線的畫法
1.過直線上一點,畫垂線的方法:
(1)把三角尺的一條直角邊與已知直線重合。
(2)沿著直線移動三角尺,使三角尺的直角頂點與已知點重合。
(3)從直角的頂點起,沿著另一條直角邊畫出的一條直線,就是已知直線的垂線。
2.過直線外一點,畫垂線的方法:
(1)把三角尺的一條直角邊從直線外一點到這條直線所畫的與已知直線重合; 垂直線段最短。
(2)沿著直線平移三角尺, 點到直線的距離。使三角尺的另一條直角邊和直線外的已知點重合。
(3)沿著另一條直角邊畫出一條直線。
四、平行線的畫法
1.將三角尺的斜邊與已知直線重合。
2.將直尺與三角尺的一條直角邊重合,沿著直尺移動三角尺,直到三角尺的斜邊與已知點重合。
3.沿著三角尺的斜邊畫一條直線。
判斷兩條直線是否平行,兩個關鍵點:一是是否在同一平面內,二是是否相交。
易錯點:因為直線是無限延長的,有些時候看著兩條直線并未相交,并未垂直,但是它們的延長線可能相交或垂直。
判斷兩條直線是否互相垂直時,要注意兩點:一是它們是否相交,二是所成的角是否是直角。
在移動三角尺時,要注意三角尺的一條直角邊要始終與已知直線重合。
直線外一點到直線的垂線段,就是點到直線的距離。
直線外一點到已知直線,可以畫無數條線段,其中垂線段最短。
兩條平行線之間的垂線段都相等。
巧記
同一平面兩直線,
如不平行必相交,
相交若是能垂直,
必然形成四直角。
經過線外某個點,
只存一條平行線,
垂線也只有一條,
距離長度是最短。
　
二　小數加、減法
　　
一、小數加減法
計算法則:
1.將各數的小數點對齊,也就是相同數位對齊。
2.從末位算起,按照整數加減法的計算法則進行計算,即相加滿十向前一位進1,計算前一位時要記得加上進位的1;不夠減就從前一位借一當十再減,計算前一位時要記得減去借走的1。
3.對齊橫線上的小數點在得數里點上小數點。
4.如果得數小數點前面沒有數字,用“0”補齊,得數小數部分末尾的“0”要按照題目要求保留或去掉。
(一)位數相同的小數加減法
如果兩個小數的小數部分的位數相同,在計算時,與整數加減法的規則相同,相同數位對齊,從最低位算起,最后在結果中點上對應的小數點即可。
比如:8.36+7.71=16.07
8.36-7.71=0.65
(二)整數加減小數
1.相同數位對齊,也就是小數點對齊。
2.有幾位小數,就在整數個位后面點上小數點,加上幾個“0”。
3.從最低位開始算起,相加滿十向前一位進1,不夠減就從前一位借一當十再減,計算前一位時要記得加上進位的1或減去借走的1。
4. 對齊橫線上的小數點在得數里點上小數點。如果得數小數點前面沒有數字,用“0”補齊,得數小數部分末尾的“0”要按照題目要求保留或者去掉。
例:2+3.42=5.42
5-2.16=2.84
(三)小數加減法的估算
在進行小數加減法的估算時,有些情況要往高估,有些情況要往低估,沒有固定的標準,需要根據具體情況來確定。
1.估算購買東西需要帶多少錢,需要高估。
例:媽媽帶了50元去超市,想要買一件25.4元的T恤衫和一箱22.7元的飲料,估算一下,她帶的錢夠嗎?
25.4≈26,22.7≈23,26+23=49(元),49<50
答:她帶的錢夠了。
2.估算買東西的錢是否足夠,應該低估。
例:媽媽要買一件50元的上衣,她手里有25.7元,錢包里還有26.3元,請你幫她估算一下,她的錢夠嗎?
25.7≈25,26.3≈26,25+26=51(元)
25.7+26.3≈51(元)51>50
答:她的錢夠了。
二、小數加減混合運算
運算法則:
1.小數加減法混合運算的計算順序與整數加減法混合運算的計算順序相同。
2.沒有括號的算式,如果只有加減法,按照從左到右的順序計算;有括號要先算括號里面的。
3.整數的運算定律和性質在小數運算中也同樣適用。
(一)小數連加的簡便運算
整數加法的交換律和結合律同樣適用于小數加法。
加法交換律:a+b=b+a
加法結合律:(a+b)+c=a+(b+c)
例:　5.29+3.16+4.71
=5.29+4.71+3.16
=10+3.16
=13.16
(二)小數連減的簡便計算
減法連減的運算性質:a-b-c=a-(b+c)
例:　18.5-7.26-2.74
=18.5-(7.26+2.74)
=18.5-10
=8.5
巧記
小數加法和減法,
沒有太大的變化,
注意一些小細節,
與整數略有偏差。
小數點要先對齊,
相同數位的道理,
不管是加還是減,
必從末位來算起。
要用整數減小數,
后面加零再繼續,
得數點上小數點,
要和上面對得齊,
得數末尾若有0,
看看要求留或去。
易錯點:整數部分即使沒有數字,也不能省略,要用“0”補齊。
易錯點:必須強調相同數位對齊,末位對齊是錯誤的。
整數不是沒有小數點,小數點在個位的右下角,通常省略不寫。
要根據生活實際靈活的選擇估算方法。
整數加減混合運算的運算法則同樣適用于小數。
運用加法運算定律的目的是使計算簡便,關鍵看哪兩個數的小數部分可以湊成整數。
　
　　
五　解 決 問 題
　一、相遇問題
1.兩人從一條路的兩端同時出發,相向而行,經過一段時間后,兩人必然會相遇,像這樣的問題,在數學上稱為“相遇問題”,在相遇問題中,所用的時間叫“相遇時間”,所走的路程叫“相遇路程”。
2.相遇問題的基本數量關系
速度和×相遇時間=相遇路程
相遇路程÷速度和=相遇時間
相遇路程÷相遇時間=速度和
3.求相遇路程的解題思路
(1)先求出兩人速度和:A速度+B速度=速度和,
再求相遇路程:速度和×相遇時間=相遇路程。
(2)先求出兩人各自行走的路程:
A速度×相遇時間=A路程
B速度×相遇時間=B路程
再求出兩人的路程和:A路程+B路程= 相遇路程
二、植樹問題
1.植樹問題是在一定的線路上,根據總長、間隔長度和棵數進行植樹的問題。
2.植樹問題中路的長度稱為“總長”,相鄰兩棵樹之間的距離稱為“間距”,間距的數量稱為“間隔數”,植樹的數量稱為“棵數”。
3.植樹問題數量關系(不封閉路線)
兩端都植:棵數=間隔數+1=總長÷間距+1
只植一端:棵數=總長÷間距
兩端都不植:棵數=間隔數-1=總長÷間距-1
易錯點:相遇路程和相遇時間必須對應。
速度×時間=路程
根據乘法分配律,這兩種解題方法可以相互轉換。
弄清棵數與間隔數之間的關系是解決植樹問題的關鍵。
如果線路是封閉線路,那么棵數=間隔數=總長÷間距。
　
　　
　　
八　數學百花園
　　
一、乒乓球與盒子
1.認識“抽屜原理”
將3個乒乓球放到2個盒子里,無論怎樣放,至少有1個盒子里至少放2個乒乓球,像這樣的現象就是“抽屜原理”。
在這里“3個乒乓球”就是3個要分放的物體,“2個盒子”就是“2個抽屜”,把3個物體放進2個抽屜里,總有一個抽屜里放進了2個或2個以上的物體。
2.用數的分解法表示“抽屜原理”
把3個物體放到兩個抽屜里,有兩種放法:
①(3,0)　　　　②(2,1)
二、和差問題
1.認識“和差問題”
已知兩數的和及它們的差(一般指大數-小數),求這兩個數各是多少的應用題,叫做和差應用題,簡稱和差問題。
2.解題思路
(1)先求大數
大數=(和+差)÷2
小數=大數-差　或者　小數=和-大數
(2)小數=(和-差)÷2
大數=小數+差　或者　大數=和-小數
易錯點:在用數的分解法表示“抽屜原理”時,不要給抽屜標號,同樣的分解結果應視為一種情況,如(2,1)和(1,2), 應看作同一種情況。
解決“和差問題”時,通常要將大、小兩個數的和轉化成兩個大數的和或者兩個小數的和,要區分清楚,求得的和是哪兩個數的和。
六　生活中的負數
　 一、正、負數的意義與讀寫
1.像5、20、100……都是正數,可以在正數前面加上“+”,但通常省略“+”;像-2、-5、-20……都是負數,0既不是正數也不是負數。
2.生活中常用正、負數來表示相反意義的一組數量。比如,科學家們把在自然狀態下的冰水混合物的溫度定為0度,用正數來表示零上的溫度,如+20℃表示零上20攝氏度;用負數來表示零下的溫度,如-20℃表示零下20攝氏度。
此外,正、負數還可以表示海拔高度、收入與支出、進貨與出貨等具有相反意義的量。
3.正、負數的讀寫
(1)寫正數時,帶著“+”或者省略“+”都可以,如+25和25意義相同。寫負數時一定要寫出“-”,如-25,不能寫成25。
(2)正、負數的讀法與普通數的讀法基本相同,只是前面要讀出“正”或“負”。
二、正、負數的大小比較
1.正數大于0,0大于負數。
2.兩個負數比較,負號后面的數字越大,這個負數越小。
比如,-2>-20
3.數軸上的數,通常負數在0的左邊,越往左邊數越小;正數在0的右邊越往右邊,數越大。
三、用正、負數表示意義相反的量
生活難離正、負數,表達相反量和數,上升應該用正數,
盈利、增加正方向,還有海平上高度,正數表達沒錯誤。
下降應該用負數,虧損、減少反方向,還有海平下深度,
負數表達最清楚,分界點要記為0,如何規定看清楚。
記錄溫度時,零下溫度記為負數,表示比0℃更低的溫度時,用到的-2℃、-5℃等都是負數。
易錯點:如果正數帶著“+”,必須讀出“正”,如果不帶“+”,則“正”字就不用讀出來。
易錯點:數軸上從左向右,數越來越大,從右向左,數越來越小。
易錯點:要正確找到“分界點”就是“0點”,然后再用正數和負數進行描述。
　
　　
　　
　　
　　
四　圖 形 變 換
　　
一、圖形的平移
1.在同一平面內,將一個圖形整體按照某個直線方向移動一定的距離,這樣的圖形運動叫做圖形的平移運動,簡稱平移,平移只改變圖形的位置,不改變圖形的形狀和大小。
2.判斷圖形平移的方向和距離。
(1)平移的方向依箭頭的指向,并用上、下、左、右來描述。
(2)圖形平移的距離:移動了幾格就是平移了幾個格。
3.畫出平移后的圖形。
(1)將所給圖形的每一個點,順著要求的方向,數出相應的格子,點上對應點。
(2)用線段將對應點照著原圖連起來。
如圖,金魚向右平移了5格。
二、圖形的旋轉
1.在同一平面內,把一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度,這樣的圖形運動稱為旋轉。旋轉只改變了圖形的方向,不改變圖形的大小和形狀。
2. 圖形旋轉的三要素。
旋轉方向:圖形向哪個方向旋轉,如順時針、逆時針
旋轉中心:圖形以哪個點或軸轉動
旋轉角度:圖形轉的幅度大小
3.在方格紙上畫簡單圖形旋轉90°的方法。
(1)找出原圖形的幾個關鍵點所在的線段,根據旋轉方向,在線段的一側借助三角尺以旋轉中心為起點作垂線。
(2)從旋轉中心開始,在所作的垂線上量出與原線段相等的長度,并標出對應點。
(3)順次連接所畫出的對應點。
試一試:畫出AOB繞點O順時針旋轉90°的圖形。
　　三、軸對稱圖形
1. 如果一個圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠完全重合,這樣的圖形叫做軸對稱圖形,這條直線叫做對稱軸。對稱軸用點畫線表示,這時,我們也說這個圖形關于這條直線對稱。
2.軸對稱圖形的對稱軸的數量不一樣,判斷圖形有幾條對稱軸時,就看這個圖形能沿幾條直線對折后,兩側的圖形能夠完全重合。
3.對稱軸的畫法
(1)找出軸對稱圖形較明顯的一組或幾組對稱點。
(2)將其中幾組對稱點連線。
(3)找出其中兩組或幾組對稱點連線的中點,將中點連在一起并畫成一條直線。
4.畫出軸對稱圖形另一半的方法
(1)確定對稱軸。
(2)確定所給一半圖形上各點在對稱軸另一側的對應點,描出各點。
(3)用線段連接各點。
　　
　　四、觀察物體
1.觀察物體時,我們可以從上、下、左、右、前、后這幾個位置來進行。
(1)在不同的位置觀察相同的物體,看到的視圖形狀是不一定相同的。
(2)在同一方位觀察不同的物體,看到的視圖形狀卻是可能相同的。
(3)通過學習,我們可根據觀察到的畫面,判斷出觀察者所在的位置。
2.辨認從不同方位觀察立體圖形得到的平面圖形的方法:
(1)以觀察者的角度,從不同的方向觀察立體圖形。
(2)把觀察到的圖形與體重所給的圖形進行對照,最后得出正確的答案。
例:都是4個小正方體,不同的擺法,不同的觀察角度,得到的結果完全不同。
類型1
類型2
類型3
類型4
五、圖形欣賞、設計和裝飾數學小報
1.通過將圖形進行對稱、平移或旋轉,設計出的圖案非常美觀,裝飾效果好。我們常用這種方法來設計報紙的花邊、裝飾,這種方法設計出來的圖案也被廣泛地應用于家庭裝飾等方面。
　　2.比如下面這些圖案和數學小報。
　　
巧記
物體平移位置動,
大小形狀卻相同。
關鍵畫準對應點,
順著方向數格子,
一一對應點畫好,
再用直線連成圖。
部分重合不要慌,
按步操作分得清。
生活中平移現象很多,如行駛著的火車、推拉窗戶等。
巧記
圖形旋轉,位置變換,
一點不動,其余轉圈,
順時針走,逆時針轉,
找準角度,方向莫反,
確定一邊,旋轉到位,
畫完驗證,圖形不變。
軸對稱圖形的特征:對稱軸兩側的圖形能夠完全重合,對稱點到對稱軸的距離相等。
畫一個圖形的軸對稱圖形時,先確定關鍵的對應點,再順次連線。
從正面、上面、側面看立體圖形,所看到的都是由幾個小正方形組成的平面圖形。
拼擺的立體圖形形狀雖然不同,但是從同一方向進行觀察得到的平面圖形可能是相同的。
根據確定方位看到的形狀來想象物體的擺放方式,注意要保證物體從正面看到的形狀不變,只能把添加的正方體放在擺好的物體的前面或后面。
利用平移、旋轉和對稱可以設計出美麗的圖案。
　　

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