資源簡介

數學高考知識點總結整理（詳細篇）
高中數學第一章 -集合
考試內容：
集合、子集、補集、交集、并集．
邏輯聯結詞．四種命題．充分條件和必要條件．
考試要求：
（ 1）理解集合、子集、補集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意義；了解屬于、包含、相等關系
的意義；掌握有關的術語和符號，并會用它們正確表示一些簡單的集合．
（ 2）理解邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”的含義理解四種命題及其相互關系；掌握充分條件、必要
條件及充要條件的意義．
§01. 集合與簡易邏輯 知識要點
一、知識結構 :
本 章 知 識 主 要 分 為 集 合 、 簡 單 不 等 式 的 解 法 （ 集 合 化 簡 ） 、 簡 易 邏 輯 三 部 分 ：
二、知識回顧：
（一） 集合
1. 基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號的使用 .
2. 集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法 .
集合元素的特征：確定性、互異性、無序性 .
集合的性質：
①任何一個集合是它本身的子集，記為 AA ；
②空集是任何集合的子集，記為 A；
③空集是任何非空集合的真子集；
如果 BA ，同時 AB ，那么 A = B.
如果 CACBBA ，那么， .
[ 注 ] ：① Z= { 整數 }（√） Z ={全體整數 } （×）
②已知集合 S 中 A的補集是一個有限集，則集合 A也是有限集 .（×）（例： S=N； A= N ，則 CsA= {0} ）
③空集的補集是全集 .
④若集合 A=集合 B，則 CBA= ，CAB = CS（CAB）= D （注：CAB = ）.
3. ① {（x，y）| xy =0 ，x∈R，y∈R}坐標軸上的點集 .
② {（x，y） | xy＜ 0，x∈R，y∈R 二、四象限的點集 .
③ {（x，y） | xy＞ 0，x∈R，y∈R} 一、三象限的點集 .
[ 注 ] ：①對方程組解的集合應是點集 .
例：
132
3
yx
yx
解的集合 {(2 ， 1)}.
②點集與數集的交集是 . （例： A ={( x，y)| y = x+1} B={ y| y = x
2+1} 則 A∩B = ）
4. ①n個元素的子集有 2n個. ②n個元素的真子集有 2n －1個 . ③n個元素的非空真子集有 2n－2個 .
5. ⑴①一個命題的否命題為真，它的逆命題一定為真 . 否命題 逆命題 .
②一個命題為真，則它的逆否命題一定為真 . 原命題 逆否命題 .
例：①若 325 baba 或，則 應是真命題 .
解：逆否： a = 2 且 b = 3 ，則 a+b = 5 ，成立，所以此命題為真 .
② ，且 21 yx 3yx .
解：逆否： x + y =3 x = 1 或 y = 2.
21 yx 且 3yx ,故 3yx 是 21 yx 且 的既不是充分，又不是必要條件 .
⑵小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍 .
3. 例：若 255 xxx 或， .
4. 集合運算：交、并、補 .
{ | , }
{ | }
{ , }
A B x x A x B
A B x x A x B
A x U x AU
交： 且
并： 或
補： 且C
5. 主要性質和運算律
（1） 包含關系：
, , , ,
, ; , ; , .
UA A A A U A U
A B B C A C A B A A B B A B A A B B
C
（2） 等價關系： UA B A B A A B B A B UC
（3） 集合的運算律：
交換律： .; ABBAABBA
結合律 : )()();()( CBACBACBACBA
分配律 :. )()()();()()( CABACBACABACBA
0-1 律： , , ,A A A U A A U A U
等冪律： ., AAAAAA
求補律： A∩CUA=φ A ∪CUA=U CUU=φ CUφ =U
反演律： CU(A∩B)= (C UA)∪ ( CUB) C U(A∪B)= (C UA)∩ ( CUB)
6. 有限集的元素個數
定義：有限集 A的元素的個數叫做集合 A的基數，記為 card( A) 規定 card( φ ) =0.
基本公式：
(1) ( ) ( ) ( ) ( )
(2) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
card A B card A card B card A B
card A B C card A card B card C
card A B card B C card C A
card A B C
(3) card ( UA)= card(U)- card(A)
( 二 )含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1. 整式不等式的解法
根軸法 （零點分段法）
①將不等式化為 a0(x-x 1)(x-x 2)? (x-x m)>0(<0) 形式，并將各因式 x 的系數化“+”；(為了統一方便 )
②求根，并在數軸上表示出來；
③由右上方穿線，經過數軸上表示各根的點（為什么？）；
④若不等式（ x 的系數化“ +”后）是“ >0”, 則找“線”在 x 軸上方的區間；若不等式是“ <0”,則
找“線”在 x 軸下方的區間 .
+
-
+
-x1 x2 x3
xm-3 xm-2 xm-1 xm x
（自右向左正負相間）
則不等式 )0)(0(0 0
2
2
1
10 aaxaxaxa n
nnn
的解可以根據各區間的符號確定 .
特例① 一元一次不等式 ax>b 解的討論；
②一元二次不等式 ax2+box>0(a>0) 解的討論 .
0 0 0
二次函數
cbxaxy 2
（ 0a ）的圖象
一元二次方程
的根0
02
a
cbxax
有兩相異實根
)(, 2121 xxxx
有兩相等實根
a
b
xx
2
21 無實根
的解集)0(
02
a
cbxax
21 xxxxx 或
a
b
xx
2 R
原 命 題
若 p則 q
否 命 題
若 ┐p則 ┐q
逆 命 題
若 q則 p
逆 否 命 題
若 ┐q則 ┐p
互
為
逆
否
互
逆 否
互
為
逆
否
互
互 逆
否
互
的解集)0(
02
a
cbxax
21 xxxx
2.分式不等式的解法
（1）標準化：移項通分化為
)(
)(
xg
xf >0(或
)(
)(
xg
xf <0)；
)(
)(
xg
xf
≥0( 或
)(
)(
xg
xf
≤0)的形式，
（2）轉化為整式不等式（組）
0)(
0)()(0
)(
)(
;0)()(0
)(
)(
xg
xgxf
xg
xf
xgxf
xg
xf
3.含絕對值不等式的解法
（1）公式法： cbax , 與 )0(ccbax 型的不等式的解法 .
（2）定義法：用“零點分區間法”分類討論 .
（3）幾何法：根據絕對值的幾何意義用數形結合思想方法解題 .
4.一元二次方程根的分布
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a ≠ 0)
（1）根的“零分布”：根據判別式和韋達定理分析列式解之 .
（2）根的“非零分布”：作二次函數圖象，用數形結合思想分析列式解之 .
（三）簡易邏輯
1、命題的定義：可以判斷真假的語句叫做命題。
2、邏輯聯結詞、簡單命題與復合命題：
“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯結詞；不含有邏輯聯結詞的命題是簡單命題；由簡單
命題和邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”構成的命題是復合命題。
構成復合命題的形式： p 或 q(記作“ p∨q” ) ；p且 q(記作“ p∧q” ) ；非 p(記作“┑ q” ) 。
3、“或”、 “且”、 “非”的真值判斷
（1）“非 p”形式復合命題的真假與 F的真假相 反；
（2）“ p 且 q”形式復合命題當 P與 q 同為真時 為真，
其他情況時為假；
（3）“ p 或 q”形式復合命題當 p 與 q 同為假時 為假，
其他情況時為真．
4、四種命題的形式：
原命題：若 P則 q； 逆命題：若 q 則 p；
否命題：若┑ P則┑ q；逆否命題：若┑ q 則┑ p。
(1) 交換原命題的條件和結論，所得的命題是逆命題；
(2) 同時否定原命題的條件和結論，所得的命題是否命題；
(3) 交換原命題的條件和結論，并且同時否定，所得的命題是逆否命題．
5、四種命題之間的相互關系：
一個命題的真假與其他三個命題的真假有如下三條關系： (原命題 逆否命題 )
①、原命題為真，它的逆命題不一定為真。
②、原命題為真，它的否命題不一定為真。
③、原命題為真，它的逆否命題一定為真。
6、如果已知 p q 那么我們說， p 是 q的充分條件， q是 p 的必要條件。
若 p q 且 q p, 則稱 p是 q 的充要條件，記為 p? q.
7、反證法：從命題結論的反面出發（假設），引出 (與已知、公理、定理? )矛盾，從而否定假設
證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。
高中數學第二章 -函數
考試內容：
映射、函數、函數的單調性、奇偶性．
反函數．互為反函數的函數圖像間的關系．
指數概念的擴充．有理指數冪的運算性質．指數函數．
對數．對數的運算性質．對數函數．
函數的應用．
考試要求：
（ 1）了解映射的概念，理解函數的概念．
（ 2）了解函數單調性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數的單調性、奇偶性的方法．
（ 3）了解反函數的概念及互為反函數的函數圖像間的關系，會求一些簡單函數的反函數．
（ 4）理解分數指數冪的概念，掌握有理指數冪的運算性質，掌握指數函數的概念、圖像 和性質．
（ 5）理解對數的概念，掌握對數的運算性質；掌握對數函數的概念、圖像和性質．
（ 6）能夠運用函數的性質、指數函數和對數函數的性質解決某些簡單的實際問題．
§02. 函數 知識要點
一、本章知識網絡結構：
性質
圖像
反函數
F:A B
對數
指數
對數函數
指數函數
二次函數
具體函數
一般研究
函數
定義
映射
二、知識回顧：
（一） 映射與函數
1. 映射與一一映射
2. 函數
函數三要素是定義域，對應法則和值域，而定義域和對應法則是起決定作用的要素，因為這二者確定
后，值域也就相應得到確定，因此只有定義域和對應法則二者完全相同的函數才是同一函數 .
3. 反函數
反函數的定義
設函數 ))(( Axxfy 的值域是 C，根據這個函數中 x,y 的關系，用 y 把 x 表示出，得到
x= (y). 若對于 y在 C中的任何一個值， 通過 x= (y) ，x在 A中都有唯一的值和它對應， 那么，x= (y)
就表示 y 是自變量， x 是自變量 y 的函數，這樣的函數 x= (y) (y C)叫做函數 ))(( Axxfy
的反函數，記作 )(1 yfx , 習慣上改寫成 )(
1 xfy
（二）函數的性質
⒈函數的單調性
定義：對于函數 f(x) 的定義域 I 內某個區間上的任意兩個自變量的值 x1,x 2,
⑴若當 x 1⑵若當 x 1f(x 2), 則說 f(x) 在這個區間上是減函數 .
若函數 y=f(x) 在某個區間是增函數或減函數， 則就說函數 y=f(x) 在這一區間具有 （嚴格的） 單調性，
這一區間叫做函數 y=f(x) 的單調區間 . 此時也說函數是這一區間上的單調函數 .
2. 函數的奇偶性
正確理解奇、偶函數的定義。必須把握好兩個問題：
（ 1）定義域在數軸上關于原點對稱是函數 )( xf 為奇
函數或偶函數的必要不充分條件； （ 2） )()( xfxf 或
)()( xfxf 是定義域上的恒等式。
2．奇函數的圖象關于原點成中心對稱圖形，偶函數
的圖象關于 y 軸成軸對稱圖形。反之亦真，因此，也
可以利用函數圖象的對稱性去判斷函數的奇偶性。
3.奇函數在對稱區間同增同減；偶函數在對稱區間增
減性相反 .
4．如果 )( xf 是偶函數， 則 |)(|)( xfxf ，反之亦成立。
若奇函數在 0x 時有意義，則 0)0(f 。
7. 奇函數，偶函數：
⑴偶函數： )()( xfxf
設（ ba, ）為偶函數上一點，則（ ba, ）也是圖象上一點 .
偶函數的判定：兩個條件同時滿足
①定義域一定要關于 y軸對稱，例如： 12xy 在 )1,1[ 上不是偶函數 .
▲
x
y
②滿足 )()( xfxf ，或 0)()( xfxf ，若 0)(xf 時， 1
)(
)(
xf
xf .
⑵奇函數： )()( xfxf
設（ ba, ）為奇函數上一點，則（ ba, ）也是圖象上一點 .
奇函數的判定：兩個條件同時滿足
①定義域一定要關于原點對稱，例如： 3xy 在 )1,1[ 上不是奇函數 .
②滿足 )()( xfxf ，或 0)()( xfxf ，若 0)( xf 時， 1
)(
)(
xf
xf .
8. 對稱變換：① y = f （x） ）（軸對稱 xfyy
② y = f（x） ）（軸對稱 xfyx
③ y =f（x） ）（原點對稱 xfy
9. 判斷函數單調性（定義）作差法：對帶根號的一定要分子有理化，例如：
在進行討論 .
10. 外層函數的定義域是內層函數的值域 .
例如：已知函數 f（x）= 1+
x
x
1
的定義域為 A，函數 f [ f （x） ]的定義域是 B，則集合 A與集合 B之間
的關系是 .
解： )(xf 的值域是 ))(( xff 的定義域 B ， )(xf 的值域 R，故 RB ，而 A 1| xx ，故 AB .
11. 常用變換：
①
)(
)(
)()()()(
yf
xf
yxfyfxfyxf .
證： )()(])[()(
)(
)()( yfyxfyyxfxf
xf
yfyxf
② )()()()()()( yfxfyxfyfxf
y
x
f
證： )()()()( yf
y
x
fy
y
x
fxf
12. ⑴熟悉常用函數圖象：
例： ||2 xy → || x 關于 y軸對稱 .
|2|
2
1
x
y →
||
2
1
x
y →
|2|
2
1
x
y
▲
x
y
▲
x
y
(0,1)
▲
x
y
(-2,1)
|122| 2 xxy → || y 關于 x軸對稱 .
22
1
22
212122
2
22
121
)(
)()(
bxbx
xxxx
bxbxxfxf
x
）（
AB
⑵熟悉分式圖象：
例：
3
72
3
12
xx
xy 定義域 },3|{ Rxxx ，
值域 },2|{ Ryyy →值域 x前的系數之比 .
（三）指數函數與對數函數
指數函數 )10( aaay x 且 的圖象和性質
a>1 0圖
象
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-0.5
-1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
y=1
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-0.5
-1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
y=1
性
質
(1) 定義域： R
（2）值域：（ 0，+∞）
（3）過定點（ 0，1），即 x=0時， y=1
(4)x>0 時， y>1;x<0 時， 00 時， 01.
（5）在 R 上是增函數 （ 5）在 R上是減函數
對數函數 y=log ax的圖象和性質 :
對數運算：
▲
x
y
2
3
a
a
N
n
a
n
a
a
a
a
b
Na
n
M
nM
N
M
NM
a
1
llog
log
lo
1
log
log
loglog
)(log
2
log
推論：
換底公式：
（以上 10且...aa,a1,c0,c1,b0,b1,a0,a0,N0,M n21 ）
a>1 0注
⑴ ：
當
0,ba
時 ，
l o g ()l o g ( aba
.
⑵ ：
當
0M
時 ，
取
“ +
” ，
當 n
是偶數時且 0M 時， 0nM ，而 0M ，故取“—” .
例如： xxx aaa log2(log2log
2
中 x＞0 而 2log xa 中 x∈R）.
⑵ xay （ 1,0 aa ）與 xy alog 互為反函數 .
當 1a 時， xy alog 的 a值越大，越靠近 x軸；當 10 a 時，則相反 .
（四）方法總結
⑴. 相同函數的判定方法：定義域相同且對應法則相同 .
⑴對數運算：
nanaaa
cba
b
b
a
N
a
n
a
a
n
a
aaa
aaa
aaaa
acb
a
N
N
Na
M
n
M
MnM
NM
N
M
NMNM
n
a
1121
loglog...loglog
1logloglog
log
log
log
log
1
log
loglog
logloglog
loglog)(log
32
log
)12
)1(
推論：
換底公式：
圖
象
y=log a x
O
y
x
a>1
a<1x=1
性
質
（1）定義域：（0，+∞）
（2）值域： R
（3）過點（ 1，0），即當 x=1 時， y=0
（4） )1,0(x 時 0y
),1(x 時 y>0
)1,0(x 時 0y
),1(x 時 0y
（5）在（ 0，+∞）上是增函數 在（ 0， +∞）上是減函數
（以上 10且...aa,a1,c0,c1,b0,b1,a0,a0,N0,M n21 ）
注⑴：當 0,ba 時， )log()log()log( baba .
⑵：當 0M 時，取“ +”，當 n是偶數時且 0M 時， 0nM ，而 0M ，故取“—” .
例如： xxx aaa log2(log2log
2
中 x＞0而
2log xa 中 x∈R） .
⑵ xay （ 1,0 aa ）與 xy alog 互為反函數 .
當 1a 時， xy alog 的 a值越大，越靠近 x軸；當 10 a 時，則相反 .
⑵. 函數表達式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數法 .
⑶. 反函數的求法：先解 x, 互換 x、y，注明反函數的定義域 (即原函數的值域 ).
⑷. 函數的定義域的求法：布列使函數有意義的自變量的不等關系式，求解即可求得函數的定義域 .常
涉及到的依據為①分母不為 0；②偶次根式中被開方數不小于 0；③對數的真數大于 0，底數大于零且不
等于 1；④零指數冪的底數不等于零；⑤實際問題要考慮實際意義等 .
⑸ . 函數值域的求法：①配方法 (二次或四次 )；②“判別式法”；③反函數法；④換元法；⑤不等式
法；⑥函數的單調性法 .
⑹. 單調性的判定法：①設 x1 ,x 2是所研究區間內任兩個自變量，且 x 1＜ x 2 ；②判定 f(x 1)與 f(x 2 )
的大??；③作差比較或作商比較 .
⑺ . 奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關于原點對稱，再計算 f(-x) 與 f(x) 之間的關系：①
f(-x)=f(x) 為偶函數； f(-x)=-f(x) 為奇函數；② f(-x)-f(x)=0 為偶；f(x)+f(-x)=0 為奇；③ f(-x)/f(x)=1
是偶； f(x) ÷ f(-x)=-1 為奇函數 .
⑻. 圖象的作法與平移：①據函數表達式，列表、描點、連光滑曲線；②利用熟知函數的圖象的平移、
翻轉、伸縮變換；③利用反函數的圖象與對稱性描繪函數圖象 .
高中數學 第三章 數列
考試內容：
數列．
等差數列及其通項公式．等差數列前 n 項和公式．
等比數列及其通項公式．等比數列前 n 項和公式．
考試要求：
（ 1）理解數列的概念，了解數列通項公式的意義了解遞推公式是給出數列的一種方法，并能根據遞推公
式寫出數列的前幾項．
（ 2）理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式與前 n 項和公式，并能解決簡單的實際問題．
（ 3）理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式與前 n 項和公式，井能解決簡單的實際問題．
§03. 數 列 知識要點
數列
數列的定義
數列的有關概念
數列的通項
項
項數
通項
1. ⑴等差、等比數列：
等差數列 等比數列
定義 常數）為 (}{ 1 daaPAa nnn 常數）為 (}{ 1 q
a
a
PGa
n
n
n
通 項公
式
na = 1a +（ n-1 ） d= ka +（ n-k ）
kn
k
n
n qaqaa
1
1
等差數列 等比數列
定義 daa nn 1 )0(1 qq
a
a
n
n
遞 推 公
式
daa nn 1 ； mdaa nmn
qaa nn 1 ；
mn
mn qaa
通 項 公
式
dnaan )1(1 1
1
n
n qaa （ 0,1 qa ）
中項
2
knkn aaA
（ 0,, * knNkn ）
)0( knknknkn aaaaG
（ 0,, * knNkn ）
前 n 項
和
)(
2
1 nn aa
n
S
d
nn
naSn 2
)1(
1
)2(
11
1
)1(
11
1
q
q
qaa
q
qa
qna
S n
n
n
重 要 性
質
)
,,,,( *
qpnm
Nqpnmaaaa qpnm ),,,,(
* qpnmNqpnmaaaa qpnm
等差數列
等差數列的定義
等差數列的通項
等差數列的性質
等差數列的前 n項和
等比數列
等比數列的定義
等比數列的通項
等比數列的性質
等比數列的前 n項和
d= dn+ 1a -d
求 和公
式
n
d
an
d
d
nn
na
aan
s nn
)
2
(
2
2
)1(
2
)(
1
2
1
1
)1(
11
)1(
)1(
11
1
q
q
qaa
q
qa
qna
s n
n
n
中 項公
式
A=
2
ba
推廣： 2 na = mnmn aa abG
2
。推廣： mnmnn aaa
2
性
質
1
若 m+n=p+q則 qpnm aaaa 若 m+n=p+q，則 qpnm aaaa 。
2 若 }{ nk 成 A.P（其中 Nkn ）則 }{ nka
也為 A.P。
若 }{ nk 成等比數列 （其中 Nkn ），
則 }{
nka 成等比數列。
3
． nnnnn sssss 232 ,, 成等差數列。 nnnnn sssss 232 ,, 成等比數列。
4
)(
1
1 nm
nm
aa
n
aa
d nmn
1
1
a
aq nn ，
m
nmn
a
aq
)( nm
5
⑵看數列是不是等差數列有以下三種方法：
① ),2(1 為常數dndaa nn
② 2 11 nnn aaa ( 2n )
③ bknan ( kn, 為常數 ).
⑶看數列是不是等比數列有以下四種方法：
① )0,,2(1 且為常數qnqaa nn
② 11
2
nnn aaa ( 2n ， 011 nnn aaa )
①
注①： i. acb ，是 a、b、c成等比的雙非條件，即 acb a、b、c 等比數列 .
ii. acb （ac＞0）→為 a、b、c 等比數列的充分不必要 .
iii. acb →為 a、b、c 等比數列的必要不充分 .
iv. acb 且 0ac →為 a、b、c等比數列的充要 .
注意：任意兩數 a、c 不一定有等比中項，除非有 ac＞ 0，則等比中項一定有兩個 .
③ nn cqa ( qc, 為非零常數 ).
④正數列 { na }成等比的充要條件是數列 { nx alog }（ 1x ）成等比數列 .
⑷數列 { na }的前 n項和 nS 與通項 na 的關系： )2(
)1(
1
11
nss
nas
a
nn
n
[ 注 ] ： ① danddnaan 11 1 （ d 可為零也可不為零→為等差數列充要條件（即常數列也是等差
數列）→若 d 不為 0，則是等差數列充分條件） .
②等差 { na }前 n 項和 n
d
an
d
BnAnSn
22
1
22 →
2
d 可以為零也可不為零→為等差的充要條件→
若 d 為零，則是等差數列的充分條件；若 d 不為零，則是等差數列的充分條件 .
③非零．．常數列既可為等比數列，也可為等差數列 . （不是非零，即不可能有等比數列）
2. ①等差數列依次每 k項的和仍成等差數列，其公差為原公差的 k2倍 ...,, 232 kkkkk SSSSS ；
②若等差數列的項數為 2 Nnn ，則 ，奇偶 ndSS
1n
n
a
a
S
S
偶
奇
；
③若等差數列的項數為 Nnn 12 ，則 nn anS 1212 ，且 naSS 偶奇 ，
1n
n
S
S
偶
奇
得到所求項數到代入 12nn .
3. 常用公式：① 1+2+3 ? +n =
2
1nn
②
6
121
321 2222
nnn
n
③
2
2
1
321 3333
nn
n
[ 注 ] ：熟悉常用通項： 9， 99，999，? 110nna ； 5，55， 555，? 110
9
5 n
na .
4. 等比數列的前 n項和公式的常見應用題：
⑴生產部門中有增長率的總產量問題 . 例如，第一年產量為 a，年增長率為 r，則每年的產量成等比數列，
公比為 r1 . 其中第 n年產量為 1)1( nra ，且過 n年后總產量為：
.
)1(1
])1([
)1(...)1()1( 12
r
raa
rararaa
n
n
⑵銀行部門中按復利計算問題 . 例如：一年中每月初到銀行存 a元，利息為 r ，每月利息按復利計算，則
每月的 a元過 n個月后便成為 nra )1( 元 . 因此，第二年年初可存款：
)1(...)1()1()1( 101112 rararara =
)1(1
])1(1)[1(
12
r
rra .
⑶分期付款應用題： a為分期付款方式貸款為 a元； m為 m個月將款全部付清； r 為年利率 .
11
11111......111 21 m
mm
mmmm
r
rarx
r
rxraxrxrxrxra
5. 數列常見的幾種形式：
⑴ nnn qapaa 12 （p、q為二階常數） 用特證根方法求解 .
具體步驟：①寫出特征方程 qPxx 2 （ 2x 對應 2na ， x 對應 1na ），并設二根 21 , xx ②若 21 xx 可設
nn
n xcxca 2211. ，若 21 xx 可設
n
n xncca 121 )( ；③由初始值 21 ,aa 確定 21 ,cc .
⑵ rPaa nn 1 （P、 r 為常數） 用①轉化等差，等比數列；②逐項選代；③消去常數 n 轉化為
nnn qaPaa 12 的形式，再用特征根方法求 na ；④
1
21
n
n Pcca （公式法）， 21 ,cc 由 21,aa 確定 .
①轉化等差，等比：
1
)( 11
P
r
xxPxPaaxaPxa nnnn .
②選代法： rrPaPrPaa nnn )( 21 xPxaP
r
P
P
r
aa nnn
1
1
1
1 )(1
)
1
(
rrPaP nn Pr21
1 .
③用特征方程求解： 相減，
rPaa
rPaa
nn
nn
1
1
1na 111 1 nnnnnn PaaPaPaPaa ）（ .
④由選代法推導結果：
P
rP
P
racPca
P
rac
P
rc nnn 1111
1
11
1
2121 ）（，， .
6. 幾種常見的數列的思想方法：
⑴等差數列的前 n項和為 nS ，在 0d 時，有最大值 . 如何確定使 nS 取最大值時的 n值，有兩種方法：
一是求使 0,0 1nn aa ，成立的 n值；二是由 n
d
an
d
Sn )2
(
2 1
2
利用二次函數的性質求 n的值 .
⑵如果數列可以看作是一個等差數列與一個等比數列的對應項乘積， 求此數列前 n項和可依照等比數列前
n項和的推倒導方法：錯位相減求和 . 例如： ,...
2
1)12,...(
4
13,
2
11 nn
⑶兩個等差數列的相同項亦組成一個新的等差數列，此等差數列的首項就是原兩個數列的第一個相同項，
公差是兩個數列公差 21 dd ， 的最小公倍數 .
2. 判斷和證明數列是等差（等比）數列常有三種方法： (1) 定義法 :對于 n≥ 2 的任意自然數 , 驗證
)(
1
1
n
n
nn
a
a
aa 為 同 一 常 數 。 (2) 通 項 公 式 法 。 (3) 中 項 公 式 法 : 驗 證
212 nnn aaa Nnaaa nnn )( 2
2
1 都成立。
3. 在等差數列｛ na ｝中 ,有關 Sn 的最值問題： (1) 當 1a >0,d<0 時，滿足 0
0
1m
m
a
a
的項數 m使得 ms 取最
大值 . (2) 當 1a <0,d>0 時，滿足 0
0
1m
m
a
a
的項數 m使得 ms 取最小值。在解含絕對值的數列最值問題時 ,
注意轉化思想的應用。
（三）、數列求和的常用方法
1. 公式法 : 適用于等差、等比數列或可轉化為等差、等比數列的數列。
2. 裂項相消法 :適用于
1nn aa
c
其中 { na }是各項不為 0的等差數列， c 為常數；部分無理數列、
含階乘的數列等。
3.錯位相減法 :適用于 nnba 其中 { na }是等差數列， nb 是各項不為 0的等比數列。
4. 倒序相加法 : 類似于等差數列前 n 項和公式的推導方法 .
5.常用結論
1） : 1+2+3+...+n =
2
)1(nn
2） 1+3+5+...+(2n-1) = 2n
3）
2
333 )1(
2
121 nnn
4 ） )12)(1(
6
1321 2222 nnnn
5）
1
11
)1(
1
nnnn
)
2
11
(
2
1
)2(
1
nnnn
6） )()11(
11
qp
qppqpq
高中數學第四章 -三角函數
考試內容：
角的概念的推廣．弧度制．
任意角的三角函數．單位圓中的三角函數線．同角三角函數的基本關系式 . 正弦、余弦的誘導公式．
兩角和與差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．
正弦函數、 余弦函數的圖像和性質． 周期函數． 函數 y=Asin( ω x+φ )的圖像． 正切函數的圖像和性質． 已
知三角函數值求角．
正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．
考試要求：
（ 1）理解任意角的概念、弧度的意義能正確地進行弧度與角度的換算．
（ 2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三角函數的基本
關系式；掌握正弦、余弦的誘導公式；了解周期函數與最小正周期的意義．
（ 3）掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．
（ 4）能正確運用三角公式，進行簡單三角函數式的化簡、求值和恒等式證明．
（ 5）理解正弦函數、余弦函數、正切函數的圖像和性質，會用“五點法”畫正弦函數、余弦函數和函數
y=Asin( ω x+φ )的簡圖，理解 A.ω、φ的物理意義．
（ 6）會由已知三角函數值求角，并會用符號 arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示．
（ 7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運用它們解斜三角形．
（ 8）“同角三角函數基本關系式： sin2 α+cos2α =1，sin α /cos α=tanα ,tan α?cosα =1”．
§04. 三角函數 知識要點
1. ①與 （0°≤ ＜360°）終邊相同的角的集合 （角 與角 的終邊重合） ： Zkk ,360|
②終邊在 x 軸上的角的集合： Zkk ,180|
③終邊在 y 軸上的角的集合： Zkk ,90180|
④終邊在坐標軸上的角的集合： Zkk ,90|
⑤終邊在 y=x 軸上的角的集合： Zkk ,45180|
⑥終邊在 xy 軸上的角的集合： Zkk ,45180|
⑦若角 與角 的終邊關于 x 軸對稱，則角 與角 的關系： k360
⑧若角 與角 的終邊關于 y 軸對稱，則角 與角 的關系： 180360 k
⑨若角 與角 的終邊在一條直線上，則角 與角 的關系： k180
⑩角 與角 的終邊互相垂直，則角 與角 的關系： 90360 k
2. 角度與弧度的互換關系： 360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30 °=57°18′
注意：正角的弧度數為正數，負角的弧度數為負數，零角的弧度數為零 .
、弧度與角度互換公式： 1rad ＝ 180°≈ 57.30°=57° 18ˊ． 1 °＝
180
≈ 0.01745 （ rad）
3、弧長公式： rl || . 扇形面積公式： 2
1 1
| |
2 2
s lr r扇形
4、三角函數：設 是一個任意角，在 的終邊上任?。ó愑?原點的）一點 P
x
y
tan ；（ x,y ） P 與原點的距離為 r，則
r
y
sin ；
r
xcos ；
y
x
cot ；
x
r
sec ； .
y
rcsc .
5、三角函數在各象限的符號：（一全二正弦，三切四余弦）
y
x
▲
SIN COS三角函數值大小關系圖
sinx
cosx
1、2、3、4表示第一、二、三、
四象限一半所在區域
1
23
4
1
2 3
4
sinx
sinx sinx
cosxcosx
cosx
r
o x
y a的終邊
P（ x,y )
正切、余切余弦、正割
-
-
-
-
- +
+
+
++
-
+
正弦、余割
o oox
y
x
y
x
y
6、三角函數線
正弦線： MP; 余弦線： OM; 正切線： AT.
7. 三角函數的定義域：
三角函數 定義域
)( xf sin x Rxx |
)( xf cosx Rxx |
)( xf tan x
ZkkxRxx ,
2
1| 且
)( xf cot x ZkkxRxx ,| 且
)( xf secx
ZkkxRxx ,
2
1
| 且
)( xf cscx ZkkxRxx ,| 且
8、同角三角函數的基本關系式： tan
cos
sin
cot
sin
cos
1cottan 1sincsc 1cossec
1cossin
22
1tansec
22 1cotcsc 22
9、誘導公式：
2
k
把 的三角函數化為 的三角函數，概括為：
“奇變偶不變，符號看象限”
三角函數的公式：（一）基本關系
公式組二 公式組三
xxk
xxk
xxk
xxk
cot)2cot(
tan)2tan(
cos)2cos(
sin)2sin(
xx
xx
xx
xx
cot)cot(
tan)tan(
cos)cos(
sin)sin(
公式組四 公式組五 公式組六
公式組一
sinx·cscx=1 tanx=
x
x
cos
sin
sin
2
x+cos
2
x=1
cosx·secx x=
x
x
sin
cos
1+tan2 x =sec2x
tanx· cotx=1 1+cot2x=csc2x
=1
T
M AO
P
x
y
(3) 若 o(2)(1)
|sinx|>|cosx|
|cosx|>|sinx||cosx|>|sinx|
|sinx|>|cosx|
sinx>cosx
cosx>sinx
16. 幾個重要結論 :
O Ox
y
x
y
xx
xx
xx
xx
cot)cot(
tan)tan(
cos)cos(
sin)sin(
xx
xx
xx
xx
cot)2cot(
tan)2tan(
cos)2cos(
sin)2sin(
xx
xx
xx
xx
cot)cot(
tan)tan(
cos)cos(
sin)sin(
（二）角與角之間的互換
公式組一 公式組二
sinsincoscos)cos( cossin22sin
sinsincoscos)cos( 2222 sin211cos2sincos2cos
sincoscossin)sin( 2tan1
tan22tan
sincoscossin)sin(
2
cos1
2
sin
tantan1
tantan
)tan(
2
cos1
2
cos
tantan1
tantan
)tan(
公式組三 公式組四 公式組五
2
tan1
2
tan2
sin
2
2
tan1
2
tan1
cos
2
2
2
tan1
2
tan2
tan
2
4
26
75cos15sin ,
4
26
15cos75sin , 3275cot15tan , 3215cot75tan .
10. 正弦、余弦、正切、余切函數的圖象的性質：
xAy sin
（A、 ＞0）
定義域 R R R
值域 ]1,1[ ]1,1[ R R
AA,
coscos
2
1sinsin
coscos
2
1
coscos
sinsin
2
1sincos
sinsin
2
1
cossin
2
cos
2
sin2sinsin
2
sin
2
cos2sinsin
2
cos
2
cos2coscos
2
sin
2
sin2coscos
sin
cos1
cos1
sin
cos1
cos1
2
tan
ZkkxRxx ,
2
1
| 且 ZkkxRxx ,| 且
xy cotxy tanxy cosxy sin
sin)
2
1cos(
cos)
2
1sin(
cot)
2
1
tan(
sin)
2
1cos(
cos)
2
1
sin(
cot)
2
1
tan(
周期性 2 2 2
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數 奇函數 當 ,0 非奇非偶
當 ,0 奇函數
單調性
]2
2
,2
2
[
k
k
上 為 增 函
數 ；
]2
2
3
,2
2
[
k
k
上 為 減 函
數（ Zk ）
]2
,12[
k
k
；
上 為 增 函
數
]12
,2[
k
k
上 為 減 函
數
（ Zk ）
kk
2
,
2
上 為 增 函 數
（ Zk ）
1, kk 上為減函
數（ Zk ）
)(2
12
),(2
2
A
k
A
k
上為增函數；
)(2
32
),(2
2
A
k
A
k
上 為 減 函 數
（ Zk ）
注意：① xy sin 與 xy sin 的單調性正好相反； xy cos 與 xy cos 的單調性也同樣相反 . 一般地， 若
)( xfy 在 ],[ ba 上遞增（減），則 )(xfy 在 ],[ ba 上遞減（增） .
② xy sin 與 xy cos 的周期是 .
③ )sin( xy 或 )cos( xy （ 0）的周期 2T .
2
tan xy 的周期為 2 （ 2TT ，如圖，翻折無效） .
④ )sin( xy 的對稱軸方程是
2
kx （ Zk ），對稱中心（ 0,k ）； )cos( xy 的對稱軸方程
是 kx （ Zk ），對稱中心（ 0,
2
1
k ）； )tan( xy 的對稱中心（ 0,2
k
） .
xxyxy 2cos)2cos(2cos 原點對稱
⑤當 tan · ,1tan )(
2
Zkk ； tan · ,1tan )(
2
Zkk .
⑥ xy cos 與 kxy 2
2
sin 是同一函數 ,而 )( xy 是偶函數，則
)cos()
2
1sin()( xkxxy .
⑦函數 xy tan 在 R上為增函數 .（×） [ 只能在某個單調區間單調遞增 . 若在整個定義域， xy tan 為
增函數，同樣也是錯誤的 ].
⑧定義域關于原點對稱是 )( xf 具有奇偶性的必要不充分條件 . （奇偶性的兩個條件：一是定義域關于原
點對稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數： )()( xfxf ，奇函數： )()( xfxf ）
▲
O
y
x
奇偶性的單調性：奇同偶反 . 例如： xy tan 是奇函數， )
3
1tan( xy 是非奇非偶 .（定義域不關于原
點對稱）
奇函數特有性質：若 x0 的定義域，則 )(xf 一定有 0)0(f . （ x0 的定義域，則無此性質）
⑨ xy sin 不是周期函數； xy sin 為周期函數（ T ）；
xy cos 是周期函數（如圖）； xy cos 為周期函數（ T ）；
2
1
2cos xy 的周期為 （如圖），并非所有周期函數都有最小正周期，例如：
Rkkxfxfy ),(5)( .
⑩
a
b
babay cos)sin(sincos 22 有 yba 22 .
11、三角函數圖象的作法：
１）、幾何法：
２）、描點法及其特例——五點作圖法（正、余弦曲線），三點二線作圖法（正、余切曲線） .
３）、利用圖象變換作三角函數圖象．
三角函數的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等．
函數 y＝Asin（ωx＋φ）的振幅 |A| ，周期 2
| |
T ，頻率
1 | |
2
f
T
，相位 ;x 初相 （即當 x＝
0 時的相位）．（當 A＞0，ω＞0 時以上公式可去絕對值符號），
由 y＝sinx 的圖象上的點的橫坐標保持不變，縱坐標伸長（當 |A| ＞1）或縮短（當 0＜|A| ＜ 1）到原
來的 |A| 倍，得到 y＝Asinx 的圖象，叫做 振幅變換 或叫沿 y 軸的伸縮變換．（用 y/A 替換 y）
由 y＝sinx 的圖象上的點的縱坐標保持不變，橫坐標伸長（ 0＜ |ω |＜ 1）或縮短（ |ω |＞1）到原來
的 1| |倍，得到 y＝sin ω x 的圖象，叫做 周期變換 或叫做沿 x 軸的伸縮變換． (用ωx 替換 x)
由 y＝sinx 的圖象上所有的點向左（當 φ＞0）或向右（當 φ＜0）平行移動｜ φ｜個單位，得到 y
＝ sin （x＋φ）的圖象，叫做 相位變換 或叫做沿 x 軸方向的平移． (用 x＋φ替換 x)
由 y＝sinx 的圖象上所有的點向上 （當 b＞0）或向下（當 b＜0）平行移動｜ b｜個單位， 得到 y＝sinx
＋ b的圖象叫做沿 y軸方向的平移．（用 y+(-b) 替換 y）
由 y＝sinx 的圖象利用圖象變換作函數 y＝Asin（ωx＋φ）（A＞ 0，ω＞0）（x∈R）的圖象，要特
別注意：當周期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象延 x軸量伸縮量的區別。
4、反三角函數：
函數 y＝ sin x，
22
，x 的反函數叫做 反正弦函數 ，記作 y＝ arcsin x，它的定義域是［－ 1，1］，值域
是
22
，－ ．
函數 y＝cosx，（x∈［0，π］）的反應函數叫做 反余弦函數 ，記作 y＝arccos x，它的定義域是［－
1，1］，值域是［ 0，π］．
▲
y
x
y=cos|x|圖象
▲
1/2
y
x
y=|cos2x+1/2|圖象
函數 y＝ tan x，
22
，x
的反函數叫做 反正切函數 ，記作 y＝arctan x，它的定義域是 （－∞，＋∞），
值域是
22
，
．
函數 y＝ctg x，［ x∈（ 0，π）］的反函數叫做 反余切函數 ，記作 y＝arcctg x，它的定義域是（－
∞，＋∞），值域是（ 0，π）．
II. 競賽知識要點
一、反三角函數 .
1. 反三角函數：⑴反正弦函數 xy arcsin 是奇函數，故 xx arcsin)arcsin( ， 1,1x （一定要注明
定義域，若 ,x ，沒有 x與 y一一對應，故 xy sin 無反函數）
注： xx)sin(arcsin ， 1,1x ，
2
,
2
arcsin x .
⑵反余弦函數 xy arccos 非奇非偶，但有 kxx 2)arccos()arccos( ， 1,1x .
注：① xx)cos(arccos ， 1,1x ， ,0arccosx .
② xy cos 是偶函數， xy arccos 非奇非偶，而 xy sin 和 xy arcsin 為奇函數 .
⑶反正切函數： xy arctan ，定義域 ),( ，值域（
2
,
2
）， xy arctan 是奇函數，
xx arctan)arctan( ， x ),( .
注： xx)tan(arctan ， x ),( .
⑷反余切函數： xarcy cot ，定義域 ),( ，值域（
2
,
2
）， xarcy cot 是非奇非偶 .
kxarcxarc 2)cot()cot( ， x ),( .
注：① xxarc )cotcot( ， x ),( .
② xy arcsin 與 )1arcsin( xy 互為奇函數， xy arctan 同理為奇而 xy arccos 與 xarcy cot 非奇非偶但
滿足 ]1,1[,2)cot(cot]1,1[,2arccos)arccos( xkxarcxarcxkxx .
⑵ 正弦、余弦、正切、余切函數的解集：
a的取值范圍 解集 a的取值范圍 解集
① axsin 的解集 ② axcos 的解集
a ＞1 a ＞1
a =1 Zkakxx ,arcsin2| a =1 Zkakxx ,arccos2|
a ＜1 Zkakxx k ,arcsin1| a ＜1 Zkakxx ,arccos|
③ axtan 的解集： Zkakxx ,arctan|
③ axcot 的解集： Zkakxx ,cotarc|
二、三角恒等式 .
組一
組二
n
k
n
n
nk
1
2
sin2
sin
2
cos
8
cos
4
cos
2
cos
2
cos
n
k d
ndxdn
ndxdxxkdx
0 sin
)cos())1sin((
)cos()cos(cos)cos(
n
k d
ndxdn
ndxdxxkdx
0 sin
)sin())1sin((
)sin()sin(sin)sin(
tantantantantantan1
tantantantantantan)tan(
組三 三角函數不等式
xsin ＜ x＜ )
2
,0(,tan xx
x
xxf sin)( 在 ),0( 上是減函數
若 CBA ，則 CxyBxzAyzzyx cos2cos2cos2222
高中數學第五章 -平面向量
考試內容：
向量．向量的加法與減法．實數與向量的積．平面向量的坐標表示．線段的定比分點．平面向量的數量
積．平面兩點間的距離、平移．
考試要求：
（ 1）理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念．
（ 2）掌握向量的加法和減法．
（ 3）掌握實數與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件．
（ 4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算．
（ 5）掌握平面向量的數量積及其幾何意義，了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的
問題，掌握向量垂直的條件．
（ 6）掌握平面兩點間的距離公式， 以及線段的定比分點和中點坐標公式， 并且能熟練運用掌握平移公式．
§05. 平面向量 知識要點
1. 本章知識網絡結構
2. 向量的概念
(1) 向量的基本要素：大小和方向 . (2) 向量的表示：幾何表示法 AB ；字母表示： a；
cos3cos43cos
sin4sin33sin
3
3
22
22
coscos
sinsinsinsin
sin2
2sin
2cos...4cos2coscos 1
1
n
n
n
坐標表示法 a＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ） .
(3) 向量的長度：即向量的大小，記作｜ a｜.
(4) 特殊的向量：零向量 a＝O ｜a｜＝ O.
單位向量 aO為單位向量 ｜aO｜＝ 1.
(5) 相等的向量：大小相等，方向相同 (ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ 2）
21
21
yy
xx
(6) 相反向量： a=- b b=- a a+b=0
(7) 平行向量 (共線向量 )：方向相同或相反的向量，稱為平行向量 . 記作 a∥b.平行向量也稱為共線向量 .
3. 向量的運算
運算類型 幾何方法 坐標方法 運算性質
向量的
加法
1.平行四邊形法則
2.三角形法則 1 2 1 2( , )a b x x y y
a b b a
( ) ( )a b c a b c
ACBCAB
向量的
減法
三角形法則 1 2 1 2( , )a b x x y y
( )a b a b
AB BA , ABOAOB
數
乘
向
量
1. a 是 一 個 向 量 , 滿
足 : | | | || |a a
2. >0 時, a a與 同向 ;
<0 時 , a a與 異向 ;
=0 時 , 0a .
( , )a x y
( ) ( )a a
( )a a a
( )a b a b
//a b a b
向
量
的
數
量
積
a b 是一個數
1. 0 0a b或 時，
0a b .
2.
0 0
| || | cos( , )
a b
a b a b a b
且 時，
1 2 1 2a b x x y y
a b b a
( ) ( ) ( )a b a b a b
( )a b c a c b c
2 2 2 2| | | |=a a a x y即
| | | || |a b a b
4.重要定理、公式
(1) 平面向量基本定理
e1，e2是同一平面內兩個不共線的向量，那么，對于這個平面內任一向量，有且僅有一對實數 λ1，
λ 2，使 a＝λ 1e1＋λ 2e2.
(2) 兩個向量平行的充要條件
a∥b a＝λb( b≠0) x1y2－x2y1＝O.
(3) 兩個向量垂直的充要條件
a⊥b a· b＝O x1x2＋ y1y2＝O.
(4) 線段的定比分點公式
設點 P分有向線段 21PP 所成的比為 λ，即 PP1 ＝λ 2PP ，則
OP ＝
1
1
1OP ＋
1
1
2OP ( 線段的定比分點的向量公式 )
.
1
,
1
21
21
yyy
xx
x
( 線段定比分點的坐標公式 )
當λ＝1 時，得中點公式：
OP ＝
2
1
（ 1OP ＋ 2OP ）或
.
2
,
2
21
21
yy
y
xx
x
(5) 平移公式
設點 P( x，y)按向量 a＝（ｈ，ｋ）平移后得到點 P′（ x′， y′），
則 PO ＝ OP +a或
.
,
kyy
hxx
曲線 y＝ f （x）按向量 a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲線的函數解析式為：
y－ｋ＝ f （x－ｈ )
(6) 正、余弦定理
正弦定理： .2
sinsinsin
R
C
c
B
b
A
a
余弦定理： a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos A，
b2＝c2＋a2－2cacosB，
c2＝a
2
＋b
2
－2abcosC.
（ 7）三角形面積計算公式：
設△ ABC的三邊為 a，b，c，其高分別為 ha，hb，hc，半周長為 P，外接圓、內切圓的半徑為 R，r .
①S△=1/2 aha=1/2 bhb=1/2 chc ②S△=Pr ③S△=abc/ 4R
④S△=1/2sin C·ab=1/2ac·sin B=1/2cb·sin A ⑤S△= cPbPaPP [ 海倫公式 ]
⑥S△=1/2 （b+c-a）r a[如下圖 ]=1/2 （b+a-c） r c=1/2（a+c-b）r b
[ 注 ] ：到三角形三邊的距離相等的點有 4 個，一個是內心，其余 3 個是旁心 .
如圖： A
BC
O
a
b
c
I
A
B C
D
E
F
I
A
B
C
D
E
F
r a
r a
ra
bc
a
a
bc
A
C
B N
E
F
圖1 圖2 圖3 圖4
圖 1中的 I 為 S△ABC的內心， S△=Pr
圖 2 中的 I 為 S△ABC的一個旁心， S△=1/2（b+c-a） r a
附：三角形的五個“心”；
重心：三角形三條中線交點 .
外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點 .
內心：三角形三內角的平分線相交于一點 .
垂心：三角形三邊上的高相交于一點 .
旁心：三角形一內角的平分線與另兩條內角的外角平分線相交一點 .
⑸已知⊙ O是△ABC的內切圓，若 BC=a，AC=b，AB=c [ 注： s 為△ABC的半周長 ,即
2
cba ]
則：① AE= as =1/2（b+c-a）
②BN= bs =1/2 （a+c-b）
③ FC= cs =1/2 （a+b-c）
綜合上述：由已知得，一個角的鄰邊的切線長，等于半周長減去對邊（如圖 4） .
特例：已知在 Rt△ABC，c 為斜邊，則內切圓半徑 r =
cba
abcba
2
（如圖 3）.
⑹在△ ABC中，有下列等式成立 CBACBA tantantantantantan .
證明：因為 ,CBA 所以 CBA tantan ，所以 C
BA
BA
tan
tantan1
tantan
， 結論！
⑺在△ ABC中，D是 BC上任意一點，則 DCBD
BC
BCABBDACAD
22
2 .
證明：在△ ABCD中，由余弦定理，有 BBDABBDABAD cos2222 ①
在△ ABC中，由余弦定理有
BCAB
ACBCABB
2
cos
222
②，②代入①，化簡
可得， DCBD
BC
BCABBDACAD
22
2 （斯德瓦定理）
①若 AD是 BC上的中線， 222 22
2
1
acbma ；
②若 AD是∠ A的平分線， appbc
cb
t a
2 ，其中 p為半周長；
③若 AD是 BC上的高， cpbpapp
a
ha
2 ，其中 p為半周長 .
⑻△ ABC的判定：
222
bac △ABC為直角△ ∠A + ∠B =
2
D
A
CB
圖 5
2c ＜ 22 ba △ABC為鈍角△ ∠A + ∠B＜
2
2c ＞ 22 ba △ABC為銳角△ ∠A + ∠B＞
2
附：證明：
ab
cbaC
2
cos
222
，得在鈍角△ ABC中， 222222 ,00cos cbacbaC
⑼平行四邊形對角線定理：對角線的平方和等于四邊的平方和 .
)(2 2222 bababa
空間向量
1．空間向量的概念：
具有大小和方向的量叫做向量
注：⑴空間的一個平移就是一個向量
⑵向量一般用有向線段表示 同向等長的有向線段表示同一或相等的向量
⑶空間的兩個向量可用同一平面內的兩條有向線段來表示
2．空間向量的運算
定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數乘向量運算如下
baABOAOB
baOBOABA
)( RaOP
運算律：⑴加法交換律： abba
⑵加法結合律： )()( cbacba
⑶數乘分配律： baba )(
3 共線向量
表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量． a平
行于 b 記作 ba // ．
當我們說向量 a、 b 共線（或 a // b ）時，表示 a、 b 的有向線段所在的直線可能是同一直線，也
可能是平行直線．
4．共線向量定理及其推論：
共線向量定理： 空間任意兩個向量 a、b（ b ≠ 0），a // b 的充要條件是存在實數 λ，使 a＝λ b .
推論：如果 l 為經過已知點 A且平行于已知非零向量 a的直線，那么對于任意一點 O，點 P在直線 l上
的充要條件是存在實數 t 滿足等式
tOAOP a．
其中向量 a叫做直線 l的方向向量 .
5．向量與平面平行：
已知平面 和向量 a，作 OA a ，如果直線 OA平行于 或在 內，那么我們說向量 a平行于平面
，記作： //a ．
通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量
說明：空間任意的兩向量都是共面的
6．共面向量定理：
如果兩個向量 ,a b 不共線， p 與向量 ,a b 共面的充要條件是存在實數 ,x y使 p xa yb
推論：空間一點 P位于平面 MAB 內的充分必要條件是存在有序實數對 ,x y，使 MP xMA yMB
或對空間任一點 O，有 OP OM xMA yMB ①
①式叫做平面 MAB的向量表達式
7 空間向量基本定理：
如果三個向量 , ,a b c 不共面，那么對空間任一向量 p ，存在一個唯一的有序實數組 , ,x y z，使
p xa yb zc
推論：設 , , ,O A B C 是不共面的四點，則對空間任一點 P，都存在唯一的三個
有序實數 , ,x y z，使 OP xOA yOB zOC
8 空間向量的夾角及其表示：
已知兩非零向量 ,a b ，在空間任取一點 O，作 ,OA a OB b ，則 AOB叫做向量 a與 b 的夾角，
記作 ,a b ；且規定 0 ,a b ，顯然有 , ,a b b a ；若 ,
2
a b ，則稱 a與 b 互相垂
直，記作： a b .
9．向量的模：
設 OA a ，則有向線段 OA的長度叫做向量 a的長度或模，記作： | |a .
10．向量的數量積： a b | | | | cos ,a b a b ．
已知向量 AB a和軸 l ， e是 l上與 l 同方向的單位向量，作點 A在 l上的射影 A ，作點 B在 l 上
的射影 B ，則 A B 叫做向量 AB 在軸 l上或在 e上的正射影 .
可以證明 A B 的長度 | | | | cos , | |A B AB a e a e ．
11．空間向量數量積的性質：
（ 1） | | cos ,a e a a e ．（ 2） 0a b a b ．（ 3） 2| |a a a ．
12．空間向量數量積運算律：
（ 1）( ) ( ) ( )a b a b a b ．（2）a b b a（交換律）（3） ( )a b c a b a c（分配律） ．
空間向量的坐標運算
一．知識回顧：
（ 1）空間向量的坐標：空間直角坐標系的 x 軸是橫軸（對應為橫坐標）， y 軸是縱軸（對應為縱軸）， z
軸是豎軸（對應為豎坐標） .
①令 a =( a1,a 2, a3), ),,( 321 bbbb ，則
),,( 332211 babababa ))(,,( 321 Raaaa 332211 babababa a ∥
)(,, 332211 Rbababab
3
3
2
2
1
1
b
a
b
a
b
a 0332211 babababa
222
321 aaaaaa (用到常用的向量模與向量之間的轉化： aaaaaa
2 )
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
332211
||||
,cos
bbbaaa
bababa
ba
baba
②空間兩點的距離公式： 212
2
12
2
12 )()()( zzyyxxd .
（ 2）法向量：若向量 a所在直線垂直于平面 ，則稱這個向量垂直于平面 ，記作 a ，如果 a 那
么向量 a叫做平面 的法向量 .
（ 3）用向量的常用方法：
①利用法向量求點到面的距離定理： 如圖，設 n 是平面 的法向量， AB是平面 的一條射線， 其中 A ，
則點 B到平面 的距離為
||
||
n
nAB .
②利用法向量求二面角的平面角定理：設 21 , nn 分別是二面角 l 中平面 , 的法向量，則 21 , nn 所
成的角就是所求二面角的平面角或其補角大?。?21 , nn 方向相同，則為補角， 21 , nn 反方，則為其夾角） .
③證直線和平面平行定理：已知直線 a 平面 ， DCaBA , ，且 CDE三點不共線，則 a∥ 的充
要條件是存在有序實數對 使 CECDAB . （常設 CECDAB 求解 , 若 , 存在即證畢，
若 , 不存在，則直線 AB與平面相交） .
▲
n
B
C A
▲
n2
n1 C
E
D
A B
高中數學第六章 -不等式
考試內容：
不等式．不等式的基本性質．不等式的證明．不等式的解法．含絕對值的不等式．
考試要求：
（ 1）理解不等式的性質及其證明．
（ 2）掌握兩個（不擴展到三個）正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的定理，并會簡單的應用．
（ 3）掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式．
（ 4）掌握簡單不等式的解法．
（ 5）理解不等式│ a│ -│ b│≤│ a+b│≤│ a│+│b│
§06. 不 等 式 知識要點
1. 不等式的基本概念
（ 1） 不等（等）號的定義： .0;0;0 babababababa
（ 2） 不等式的分類：絕對不等式；條件不等式；矛盾不等式 .
（ 3） 同向不等式與異向不等式 .
（ 4） 同解不等式與不等式的同解變形 .
2. 不等式的基本性質
（ 1） abba （對稱性）
（ 2） cacbba , （傳遞性）
（ 3） cbcaba （加法單調性）
（ 4） dbcadcba , （同向不等式相加）
（ 5） dbcadcba , （異向不等式相減）
（ 6） bcaccba 0,.
（ 7） bcaccba 0, （乘法單調性）
（ 8） bdacdcba 0,0 （同向不等式相乘）
(9) 0,0 a ba b c d
c d
（異向不等式相除）
1 1
(10) , 0a b ab
a b
（倒數關系）
（ 11） )1,(0 nZnbaba nn 且 （平方法則）
（ 12） )1,(0 nZnbaba nn 且 （開方法則）
3. 幾個重要不等式
（ 1） 0,0||, 2aaRa 則若
（ 2） )2||2(2, 2222 ababbaabbaRba 或則、若 （當僅當 a=b時取等號）
（ 3）如果 a, b都是正數，那么 .
2
a bab （當僅當 a=b時取等號）
極值定理：若 , , , ,x y R x y S xy P 則：
○1 如果 P是定值 , 那么當 x=y 時， S的值最??；
○2 如果 S是定值 , 那么當 x=y 時， P的值最大 .
利用極值定理求最值的必要條件： 一正、二定、三相等 .
3,
3
a b c
a b c R abc(4) 若 、 、 則 （當僅當 a=b=c時取等號）
0, 2
b a
ab
a b
(5) 若 則 （當僅當 a=b時取等號）
2 2 2 2(6) 0 | | ; | |a x a x a x a x a x a x a a x a時， 或
（ 7） ||||||||||||, bababaRba 則、若
4. 幾個著名不等式
（1）平均不等式： 如果 a, b都是正數，那么 2 22 .
1 1 2 2
a b a bab
a b
（當僅當 a=b時取等號）即：
平方平均≥算術平均≥幾何平均≥調和平均（ a、b為正數）：
特別地，
2 2
2( )
2 2
a b a b
ab （當 a = b時，
2 2
2( )
2 2
a b a b
ab）
),,,(
33
2222
時取等cbaRcbacbacba
冪平均不等式：
2
21
22
2
2
1 )...(
1... nn aaan
aaa
注：例如： 2 2 2 2 2( ) ( )( )ac bd a b c d .
常用不等式的放縮法：①
2
1 1 1 1 1 1 1
( 2)
1 ( 1) ( 1) 1
n
n n n n n n n n n
②
1 1 11 1( 1)
1 2 1
n n n n n
n n n n n
（ 2）柯西不等式：
時取等號當且僅當
（
則若
n
n
nnnn
nn
b
a
b
a
b
a
b
a
bbbbaaaababababa
RbbbbRaaaa
3
3
2
2
1
1
22
3
2
2
2
1
22
3
2
2
2
1
2
332211
321321
))(()
;,,,,,,,,
（ 3）琴生不等式（特例）與凸函數、凹函數
若定義在某區間上的函數 f(x), 對于定義域中任意兩點 1 2 1 2, ( ),x x x x 有
1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) .
2 2 2 2
x x f x f x x x f x f x
f f或
則稱 f(x) 為凸（或凹）函數 .
5. 不等式證明的幾種常用方法
比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構造法 .
6. 不等式的解法
（ 1）整式不等式的解法（根軸法） .
步驟：正化，求根，標軸，穿線（偶重根打結），定解 .
特例① 一元一次不等式 ax>b解的討論；
②一元二次不等式 ax2+bx+c>0( a≠ 0)解的討論 .
（ 2）分式不等式的解法：先移項通分標準化，則
( ) ( ) 0( ) ( )
0 ( ) ( ) 0; 0
( ) 0( ) ( )
f x g xf x f x
f x g x
g xg x g x
（ 3）無理不等式：轉化為有理不等式求解
○1
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
f x
f x g x g x
f x g x
定義域
○2
0)(
0)(
)]([)(
0)(
0)(
)()(
2 xg
xf
xgxf
xg
xf
xgxf 或 ○3
2)]([)(
0)(
0)(
)()(
xgxf
xg
xf
xgxf
（ 4） .指數不等式：轉化為代數不等式
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( 1) ( ) ( ); (0 1) ( ) ( )
( 0, 0) ( ) lg lg
f x g x f x g x
f x
a a a f x g x a a a f x g x
a b a b f x a b
（ 5）對數不等式：轉化為代數不等式
( ) 0 ( ) 0
log ( ) log ( )( 1) ( ) 0 ; log ( ) log ( )(0 1) ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( )
a a a a
f x f x
f x g x a g x f x g x a g x
f x g x f x g x
（ 6）含絕對值不等式
○1 應用分類討論思想去絕對值； ○2 應用數形思想；
○3 應用化歸思想等價轉化
)()()()(
0)()0)(),((0)()(|)(|
)()()(
0)()(|)(|
xgxfxgxf
xgxgxfxgxgxf
xgxfxg
xgxgxf
或
或不同時為
注：常用不等式的解法舉例（ x 為正數）：
① 2 31 1 2 4(1 ) 2 (1 )(1 ) ( )
2 2 3 27
x x x x x
②
2 2 2
2 2 32 (1 )(1 ) 1 2 4 2 3(1 ) ( )
2 2 3 27 9
x x xy x x y y
類似于
2 2sin cos sin (1 sin )y x x x x ，③ 1 1 1| | | | | | ( ) 2x x x
x x x
與 同號，故取等
高中數學第七章 -直線和圓的方程
考試內容：
直線的傾斜角和斜率，直線方程的點斜式和兩點式．直線方程的一般式．
兩條直線平行與垂直的條件．兩條直線的交角．點到直線的距離．
用二元一次不等式表示平面區域．簡單的線性規劃問題．
曲線與方程的概念．由已知條件列出曲線方程．
圓的標準方程和一般方程．圓的參數方程．
考試要求：
（ 1）理解直線的傾斜角和斜率的概念， 掌握過兩點的直線的斜率公式， 掌握直線方程的點斜式、 兩點式、
一般式，并能根據條件熟練地求出直線方程．
（ 2）掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點到直線的距離公式能夠根據直線的方程判
斷兩條直線的位置關系．
（ 3）了解二元一次不等式表示平面區域．
（ 4）了解線性規劃的意義，并會簡單的應用．
（ 5）了解解析幾何的基本思想，了解坐標法．
（ 6）掌握圓的標準方程和一般方程，了解參數方程的概念。理解圓的參數方程．
§07. 直線和圓的方程 知識要點
一、直線方程 .
1. 直線的傾斜角： 一條直線向上的方向與 x軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角， 其中直線與
x軸平行或重合時，其傾斜角為 0，故直線傾斜角的范圍是 )0(1800 .
注：①當 90 或 12 xx 時，直線 l 垂直于 x軸，它的斜率不存在 .
②每一條直線都存在惟一的傾斜角， 除與 x軸垂直的直線不存在斜率外， 其余每一條直線都有惟一的斜率，
并且當直線的斜率一定時，其傾斜角也對應確定 .
2. 直線方程的幾種形式：點斜式、截距式、兩點式、斜切式 .
特別地，當直線經過兩點 ),0(),0,( ba ，即直線在 x 軸， y軸上的截距分別為 )0,0(, baba 時，直線方程
是： 1
b
y
a
x .
注：若 2
3
2 xy 是一直線的方程，則這條直線的方程是 2
3
2 xy ，但若 )0(2
3
2 xxy 則不是這
條線 .
附：直線系：對于直線的斜截式方程 bkxy ，當 bk, 均為確定的數值時，它表示一條確定的直線，如果
bk, 變化時，對應的直線也會變化 . ①當 b為定植， k變化時，它們表示過定點（ 0， b）的直線束 .②當 k
為定值， b 變化時，它們表示一組平行直線 .
3. ⑴兩條直線平行：
1l ∥ 212 kkl 兩條直線平行的條件是： ① 1l 和 2l 是兩條不重合的直線 . ②在 1l 和 2l 的斜率都存在的前提
下得到的 . 因此，應特別注意，抽掉或忽視其中任一個“前提”都會導致結論的錯誤 .
（一般的結論是： 對于兩條直線 21,ll ，它們在 y軸上的縱截距是 21 ,bb ，則 1l ∥ 212 kkl ，且 21 bb 或 21,ll
的斜率均不存在，即 2121 ABBA 是平行的必要不充分條件，且 21 CC ）
推論：如果兩條直線 21 ,ll 的傾斜角為 21, 則 1l ∥ 212l .
⑵兩條直線垂直：
兩條直線垂直的條件：①設兩條直線 1l 和 2l 的斜率分別為 1k 和 2k ，則有 12121 kkll 這里的前提是
21,ll 的斜 率都存在 . ② 0121 kll ，且 2l 的 斜率不 存在或 02k ，且 1l 的斜率 不存在 . （即
01221 BABA 是垂直的充要條件）
4. 直線的交角：
⑴直線 1l 到 2l 的角（方向角）；直線 1l 到 2l 的角，是指直線 1l 繞交點依逆時針方向旋轉到與 2l 重合時所
轉動的角 ，它的范圍是 ),0( ，當 90 時
21
12
1
tan
kk
kk
.
⑵兩條相交直線 1l 與 2l 的夾角：兩條相交直線 1l 與 2l 的夾角，是指由 1l 與 2l 相交所成的四個角中最小的
正角 ，又稱為 1l 和 2l 所成的角，它的取值范圍是
2
,0 ，當 90 ，則有
21
12
1
tan
kk
kk .
5. 過兩直線
0:
0:
2222
1111
CyBxAl
CyBxAl
的交點的直線系方程 (0)( 222111 CyBxACyBxA 為參數，
0222 CyBxA 不包括在內）
6. 點到直線的距離：
⑴點到直線的距離公式： 設點 ),( 00 yxP ，直線 PCByAxl ,0: 到 l 的距離為 d ，則有
22
00
BA
CByAx
d .
注：
1. 兩點 P1(x 1,y 1)、P2(x 2,y 2)的距離公式： 212
2
1221 )()(|| yyxxPP .
特例：點 P(x,y) 到原點 O的距離： 2 2| |OP x y
2. 定比分點坐標分式。若點 P(x,y) 分有向線段
1 2 1 2PP PP PP所成的比為 即 , 其中 P1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2). 則
1
,
1
2121 yyy
xx
x
特例，中點坐標公式；重要結論，三角形重心坐標公式。
3. 直線的傾斜角（ 0°≤ ＜180°）、斜率 : tank
4. 過兩點
12
12
222111 ),(),,(
xx
yy
kyxPyxP 的直線的斜率公式： . 1 2( )x x
當 2121 , yyxx （即直線和 x 軸垂直）時，直線的傾斜角 ＝ 90 ，沒有斜率 王新敞
⑵兩條平行線間的距離公式： 設兩條平行直線 )(0:,0: 212211 CCCByAxlCByAxl ，它們之間的距
離為 d ，則有
22
21
BA
CC
d .
注；直線系方程
1. 與直線： Ax+By+C= 0 平行的直線系方程是： Ax+By+m=0.( m?R, C≠m).
2. 與直線： Ax+By+C= 0 垂直的直線系方程是： Bx-Ay+m=0.( m?R)
3. 過定點（ x1, y1）的直線系方程是： A( x- x1)+B( y- y1)=0 (A,B 不全為 0)
4. 過直線 l 1、 l 2交點的直線系方程：（ A1x+B1y+C1）+λ ( A 2x+B2y+C2）=0 ( λ?R） 注：該直線系不含
l 2.
7. 關于點對稱和關于某直線對稱：
⑴關于點對稱的兩條直線一定是平行直線，且這個點到兩直線的距離相等 .
⑵關于某直線對稱的兩條直線性質：若兩條直線平行，則對稱直線也平行，且兩直線到對稱直線距離相
等 .
若兩條直線不平行，則對稱直線必過兩條直線的交點，且對稱直線為兩直線夾角的角平分線 .
⑶點關于某一條直線對稱，用中點表示兩對稱點，則中點在對稱直線上（方程①），過兩對稱點的直線
方程與對稱直線方程垂直（方程②）①②可解得所求對稱點 .
注：①曲線、直線關于一直線（ bxy ）對稱的解法： y 換 x，x 換 y. 例：曲線 f ( x , y)=0 關于直線
y=x–2 對稱曲線方程是 f ( y+2 , x –2)=0.
②曲線 C: f ( x , y)=0 關于點 (a ,b) 的對稱曲線方程是 f (a – x, 2b – y )=0.
二、圓的方程 .
1. ⑴曲線與方程：在直角坐標系中，如果某曲線 C上的 與一個二元方程 0),( yxf 的實數建立了如下關
系：
①曲線上的點的坐標都是這個方程的解 .
②以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點 .
那么這個方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線（圖形） .
⑵曲線和方程的關系，實質上是曲線上任一點 ),( yxM 其坐標與方程 0),( yxf 的一種關系，曲線上任一
點 ),( yx 是方程 0),( yxf 的解；反過來，滿足方程 0),( yxf 的解所對應的點是曲線上的點 .
注：如果曲線 C的方程是 f(x ,y)=0 ，那么點 P0(x 0 ,y) 線 C上的充要條件是 f(x 0 ,y 0)=0
2. 圓的標準方程：以點 ),( baC 為圓心， r為半徑的圓的標準方程是 222 )()( rbyax .
特例：圓心在坐標原點，半徑為 r 的圓的方程是： 222 ryx .
注：特殊圓的方程：①與 x軸相切的圓方程 222 )()( bbyax )],(),(,[ bababr 或圓心
②與 y軸相切的圓方程 222 )()( abyax )],(),(,[ babaar 或圓心
③與 x軸 y軸都相切的圓方程 222 )()( aayax )],(,[ aaar 圓心
3. 圓的一般方程： 022 FEyDxyx .
當 0422 FED 時，方程表示一個圓，其中圓心
2
,
2
ED
C ，半徑
2
422 FED
r .
當 0422 FED 時，方程表示一個點
2
,
2
ED .
當 0422 FED 時，方程無圖形（稱虛圓） .
注：①圓的參數方程：
sin
cos
rby
rax
（ 為參數） .
②方程 022 FEyDxCyBxyAx 表示圓的充要條件是： 0B 且 0CA 且 0422 AFED .
③圓的直徑或方程：已知 0))(())((),(),( 21212211 yyyyxxxxyxByxA （用向量可征） .
4. 點和圓的位置關系：給定點 ),( 00 yxM 及圓 222 )()(: rbyaxC .
① M 在圓 C內 220
2
0 )()( rbyax
② M 在圓 C上 220
2
0 )() rbyax（
③ M 在圓 C外 220
2
0 )()( rbyax
5. 直線和圓的位置關系：
設圓圓 C ： )0()()( 222 rrbyax ； 直線 l ： )0(0 22 BACByAx ；
圓心 ),( baC 到直線 l 的距離
22 BA
CBbAa
d .
① rd 時， l 與 C相切；
附：若兩圓相切，則
0
0
222
22
111
22
FyExDyx
FyExDyx
相減為公切線方程 .
② rd 時， l 與 C相交；
附：公共弦方程：設
有兩個交點，則其公共弦方程為 0)()()( 212121 FFyEExDD .
③ rd 時， l 與 C相離 .
附：若兩圓相離，則
0
0
222
22
111
22
FyExDyx
FyExDyx
相減為圓心 21OO 的連線的中與線方程 .
由代數特征判斷：方程組
0
)()( 222
CBxAx
rbyax 用代入法，得關于 x（或 y）的一元二次方程，其判別
式為 ，則：
l0 與 C相切；
l0 與 C相交；
l0 與 C相離 .
注：若兩圓為同心圓則 0111
22 FyExDyx ， 0222
22 FyExDyx 相減，不表示直線 .
6. 圓的切線方程：圓 222 ryx 的斜率為 k的切線方程是 rkkxy 21 過圓 022 FEyDxyx
上一點 ),( 00 yxP 的切線方程為： 022
00
00 F
yy
E
xx
Dyyxx .
①一般方程若點 ( x0 , y0)在圓上，則 ( x – a)( x0 – a)+( y – b)( y0 – b)= R2. 特別地，過圓 222 ryx 上
一點 ),( 00 yxP 的切線方程為
2
00 ryyxx .
②若點 ( x0 , y0)不在圓上，圓心為 (a,b) 則
1
)(
)(
2
11
0101
R
xakyb
R
xxkyy
，聯立求出 k 切線方程 .
0:
0:
222
22
2
111
22
1
FyExDyxC
FyExDyxC
A
B CD (a,b)
7. 求切點弦方程：方法是構造圖，則切點弦方程即轉化為公共弦方程 . 如圖： ABCD四類共圓 . 已知 O
的方程 022 FEyDxyx ?① 又以 ABCD為圓為方程為 2))(())(( kbxyyaxxx AA ?②
4
)()( 222 byaxR AA ?③，所以 BC的方程即③代②，①②相切即為所求 .
三、曲線和方程
1. 曲線與方程：在直角坐標系中，如果曲線 C和方程 f(x,y)=0 的實數解建立了如下的關系：
1） 曲線 C上的點的坐標都是方程 f(x,y)=0 的解（純粹性）；
2） 方程 f(x,y)=0 的解為坐標的點都在曲線 C上（完備性）。則稱方程 f(x,y)=0 為曲線 C的方程，曲
線 C叫做方程 f(x,y)=0 的曲線。
2. 求曲線方程的方法： .
1）直接法：建系設點，列式表標 , 簡化檢驗 ; 2 ）參數法 ; 3 ）定義法， 4 ）待定系數法 .
高中數學第八章 -圓錐曲線方程
考試內容：
橢圓及其標準方程．橢圓的簡單幾何性質．橢圓的參數方程．
雙曲線及其標準方程．雙曲線的簡單幾何性質．
拋物線及其標準方程．拋物線的簡單幾何性質．
考試要求：
（ 1）掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質，了解橢圓的參數方程．
（ 2）掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質．
（ 3）掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質．
（ 4）了解圓錐曲線的初步應用．
§08. 圓錐曲線方程 知識要點
一、橢圓方程 .
1. 橢圓方程的第一定義：
為端點的線段以
無軌跡
方程為橢圓
212121
2121
2121
,2
,2
,2
FFFFaPFPF
FFaPFPF
FFaPFPF
⑴①橢圓的標準方程：
i. 中心在原點， 焦點在 x軸上： )0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x . ii. 中心在原點， 焦點在 y軸上： )0(12
2
2
2
ba
b
x
a
y .
②一般方程： )0,0(122 BAByAx . ③橢圓的標準參數方程： 12
2
2
2
b
y
a
x
的參數方程為
sin
cos
by
ax
（一
象限 應是屬于
2
0 ） .
⑵①頂點： ),0)(0,( ba 或 )0,)(,0( ba .②軸：對稱軸：x軸，y軸；長軸長 a2 ，短軸長 b2 .③焦點： )0,)(0,( cc
或 ),0)(,0( cc .④焦距： 2221 ,2 baccFF . ⑤準線： c
ax
2
或
c
ay
2
. ⑥離心率： )10( e
a
ce .
⑦焦點半徑：
i. 設 ),( 00 yxP 為橢圓 )0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x
上的一點， 21,FF 為左、右焦點，則
由橢圓方程的第二定義可以推出 .
ii. 設 ),( 00 yxP 為橢圓 )0(12
2
2
2
ba
a
y
b
x
上的一點， 21,FF 為上、下焦點，則
由橢圓方程的第二定義可以推出 .
由橢圓第二定義可知： )0()(),0()( 000
2
200
2
01 xaexxc
aepFxexa
c
axepF 歸結起來為 “左加右減” .
注意：橢圓參數方程的推導：得 )sin,cos( baN 方程的軌跡為橢圓 .
⑧通徑：垂直于 x 軸且過焦點的弦叫做通經 .坐標： ),(2
2
2
2
a
bc
a
bd 和 ),(
2
a
bc
⑶共離心率的橢圓系的方程： 橢圓 )0(1
2
2
2
2
ba
b
y
a
x
的離心率是 )( 22 bac
a
ce ，方程 tt
b
y
a
x
(2
2
2
2
是大于 0 的參數， )0ba 的離心率也是
a
ce 我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程 .
0201 , exaPFexaPF
0201 , eyaPFeyaPF
⑸若 P是橢圓： 1
2
2
2
2
b
y
a
x 上的點 . 21,FF 為焦點， 若 21PFF ，則 21FPF 的面積為 2
tan2b （用余弦
定理與 aPFPF 221 可得） . 若是雙曲線，則面積為 2
cot2b .
二、雙曲線方程 .
1. 雙曲線的第一定義：
的一個端點的一條射線以
無軌跡
方程為雙曲線
212121
2121
2121
,2
2
2
FFFFaPFPF
FFaPFPF
FFaPFPF
⑴①雙曲線標準方程： )0,(1),0,(1
2
2
2
2
2
2
2
2
ba
b
x
a
yba
b
y
a
x . 一般方程： )0(122 ACCyAx .
⑵① i. 焦點在 x 軸上：
頂點： )0,(),0,( aa 焦點： )0,(),0,( cc 準線方程
c
a
x
2
漸近線方程： 0
b
y
a
x
或 02
2
2
2
b
y
a
x
ii. 焦點在 y軸上：頂點： ),0(),,0( aa . 焦點： ),0(),,0( cc . 準線方程：
c
ay
2
. 漸近線方程：
0
b
x
a
y 或 0
2
2
2
2
b
x
a
y ，參數方程：
tan
sec
by
ax
或
sec
tan
ay
bx .
②軸 yx, 為對稱軸，實軸長為 2a, 虛軸長為 2b，焦距 2c. ③離心率
a
c
e . ④準線距
c
a22 （兩準線的
距離）；通徑
a
b 22 . ⑤參數關系
a
cebac ,222 . ⑥焦點半徑公式： 對于雙曲線方程 12
2
2
2
b
y
a
x （ 21,FF
分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點）
“長加短減”原則：
aexMF
aexMF
02
01
構成滿足 aMFMF 221
aexFM
aexFM
02
01
（與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計
算，而雙曲線不帶符號）
aeyFM
aeyFM
aeyMF
aeyMF
02
01
02
01
⑶等軸雙曲線：雙曲線 222 ayx 稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為 xy ，離心率 2e .
⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲
線 . 2
2
2
2
b
y
a
x 與 2
2
2
2
b
y
a
x 互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線： 0
2
2
2
2
b
y
a
x .
⑸共漸近線的雙曲線系方程： )0(2
2
2
2
b
y
a
x
的漸近線方程為 02
2
2
2
b
y
a
x
如果雙曲線的漸近線為
0
b
y
a
x 時，它的雙曲線方程可設為 )0(
2
2
2
2
b
y
a
x .
▲
asinacos ,( )
bsinbcos( ),
N
y
x
N的軌跡是橢圓
▲
y
x
M'
M
F1
F2
▲
y
x
M' M
F1 F 2
▲
y
x
F1 F2
1
2
3
4
5
3
3
例如：若雙曲線一條漸近線為 xy
2
1
且過 )
2
1,3(p ，求雙曲線的方程？
解：令雙曲線的方程為： )0(
4
2
2
y
x
，代入 )
2
1
,3( 得 1
28
22 yx .
⑹直線與雙曲線的位置關系：
區域①：無切線， 2條與漸近線平行的直線，合計 2條；
區域②：即定點在雙曲線上， 1 條切線， 2 條與漸近線平行的直線，合計 3 條；
區域③： 2 條切線， 2 條與漸近線平行的直線，合計 4 條；
區域④：即定點在漸近線上且非原點， 1 條切線， 1條與漸近線平行的直線，合計 2條；
區域⑤：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線 .
小結：過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數目可能有 0、2、3、4 條.
（ 2）若直線與雙曲線一支有交點，交點為二個時，求確定直線的斜率可用代入 ”“ 法與漸近線求交和兩
根之和與兩根之積同號 .
⑺若 P在雙曲線 12
2
2
2
b
y
a
x
，則常用結論 1：P到焦點的距離為 m = n ，則 P到兩準線的距離比為 m︰n.
簡證：
e
PF
e
PF
d
d
2
1
2
1 =
n
m .
常用結論 2：從雙曲線一個焦點到另一條漸近線的距離等于 b.
三、拋物線方程 .
3. 設 0p ，拋物線的標準方程、類型及其幾何性質：
pxy 22 pxy 22 pyx 22 pyx 22
圖形 ▲ y
x
O
▲ y
x
O
▲
y
x
O
▲
y
x
O
焦點
)0,
2
(
p
F )0,
2
(
p
F )
2
,0(
p
F )
2
,0(
p
F
準線
2
px
2
px
2
py
2
py
范圍 Ryx ,0 Ryx ,0 0, yRx 0, yRx
對稱軸 x軸 y軸
頂點 （0，0）
離心率 1e
焦點
12
x
p
PF 12
x
p
PF 12
y
p
PF 12
y
p
PF
注：① xcbyay 2 頂點 )
24
4(
2
a
b
a
bac .
② )0(22 ppxy 則焦點半徑
2
PxPF ; )0(22 ppyx 則焦點半徑為
2
PyPF .
③通徑為 2p，這是過焦點的所有弦中最短的 .
④ pxy 22 （或 pyx 2
2
）的參數方程為
pty
ptx
2
2
2
（或 2
2
2
pty
ptx
）（ t 為參數） .
四、圓錐曲線的統一定義 ..
4. 圓錐曲線的統一定義：平面內到定點 F和定直線 l 的距離之比為常數 e的點的軌跡 .
當 10 e 時，軌跡為橢圓；
當 1e 時，軌跡為拋物線；
當 1e 時，軌跡為雙曲線；
當 0e 時，軌跡為圓（
a
c
e ，當 bac ,0 時） .
5. 圓錐曲線方程具有對稱性 . 例如：橢圓的標準方程對原點的一條直線與雙曲線的交點是關于原點對稱
的 .
因為具有對稱性，所以欲證 AB=CD, 即證 AD與 BC的中點重合即可 .
注： 橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程與幾何性質
橢圓 雙曲線 拋物線
定義 1．到兩定點 F1,F 2的距離
之和為定值
2a(2a>|F 1F2|) 的點的軌
跡
1．到兩定點 F1,F 2的距
離之差的絕對值為定值
2a(0<2a<|F 1F2|) 的點的
軌跡
2．與定點和直線的距離
之比為定值 e的點的軌
跡 .（ 02．與定點和直線的距離
之比為定值 e 的點的軌
跡 . （e>1）
與定點和直線的距離相等
的點的軌跡 .
圖形
方
程
標準
方程 12
2
2
2
b
y
a
x ( ba >0
)
12
2
2
2
b
y
a
x (a>0,b>0
)
y 2=2px
參數
方程
為離心角）參數(
sin
cos
by
ax
為離心角）參數(
tan
sec
by
ax
pty
ptx
2
2 2 (t 為參數 )
范圍 ─ a x a，─ b y b |x| a，y R x 0
中心 原點 O（ 0，0） 原點 O（ 0，0）
頂點 (a,0), ( ─a,0),
(0,b) , (0, ─b)
(a,0), ( ─a,0) (0,0)
對稱軸 x 軸， y 軸；
長軸長 2a, 短軸長 2b
x 軸， y 軸 ;
實軸長 2a, 虛軸長 2b.
x軸
焦點 F1(c,0), F 2(─c,0) F1(c,0), F 2(─c,0)
)0,
2
(
p
F
焦距
2c （c= 22 ba ） 2c （c= 22 ba ）
離心率
)10( e
a
ce )1(e
a
ce
e=1
準線
x=
c
a
2
x=
c
a
2
2
px
漸近線
y=±
a
b x
焦半徑 exar )( aexr
2
p
xr
通徑
a
b
2
2
a
b
2
2 2p
焦參數
c
a2
c
a 2 P
1. 橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程的其他形式及相應性質 .
2. 等軸雙曲線
3. 共軛雙曲線
5. 方程 y 2=ax與 x 2=ay 的焦點坐標及準線方程 .
6.共漸近線的雙曲線系方程 .
高中數學第九章 -立體幾何
考試內容
平面及其基本性質．平面圖形直觀圖的畫法．
平行直線．對應邊分別平行的角．異面直線所成的角．異面直線的公垂線．異面直線的距離．
直線和平面平行的判定與性質． 直線和平面垂直的判定與性質． 點到平面的距離． 斜線在平面上的射影． 直
線和平面所成的角．三垂線定理及其逆定理．
平行平面的判定與性質．平行平面間的距離．二面角及其平面角．兩個平面垂直的判定與性質．
多面體．正多面體．棱柱．棱錐．球．
考試要求
（ 1）掌握平面的基本性質，會用斜二測的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖 ;能夠畫出空間兩條直線、
直線和平面的各種位置關系的圖形，能夠根據圖形想像它們的位置關系．
（ 2）掌握兩條直線平行與垂直的判定定理和性質定理，掌握兩條直線所成的角和距離的概念，對于異面
直線的距離，只要求會計算已給出公垂線時的距離．
（ 3）掌握直線和平面平行的判定定理和性質定理；掌握直線和平面垂直的判定定理和性質定理；掌握斜
線在平面上的射影、直線和平面所成的角、直線和平面的距離的概念掌握三垂線定理及其逆定理．
（ 4）掌握兩個平面平行的判定定理和性質定理，掌握二面角、二面角的平面角、兩個平行平面間的距離
的概念，掌握兩個平面垂直的判定定理和性質定理．
（ 5）會用反證法證明簡單的問題．
（ 6）了解多面體、凸多面體的概念，了解正多面體的概念．
（ 7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質，會畫直棱柱的直觀圖．
（ 8）了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質，會畫正棱錐的直觀圖．
（ 9）了解球的概念，掌握球的性質，掌握球的表面積、體積公式．
9（B）．直線、平面、簡單幾何體
考試內容：
平面及其基本性質．平面圖形直觀圖的畫法．
平行直線．
直線和平面平行的判定與性質．直線和平面垂直的判定．三垂線定理及其逆定理．
兩個平面的位置關系．
空間向量及其加法、減法與數乘．空間向量的坐標表示．空間向量的數量積．
直線的方向向量．異面直線所成的角．異面直線的公垂線．異面直線的距離．
直線和平面垂直的性質．平面的法向量．點到平面的距離．直線和平面所成的角．向量在平面內的射影．
平行平面的判定和性質．平行平面間的距離．二面角及其平面角．兩個平面垂直的判定和性質．
多面體．正多面體．棱柱．棱錐．球．
考試要求：
（ 1）掌握平面的基本性質。 會用斜二測的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖： 能夠畫出空間兩條直線、
直線和平面的各種位置關系的圖形 .能夠根據圖形想像它們的位置關系．
（ 2）掌握直線和平面平行的判定定理和性質定理；理解直線和平面垂直的概念 . 掌握直線和平面垂直的
判定定理；掌握三垂線定理及其逆定理．
（ 3）理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數乘．
（ 4）了解空間向量的基本定理；理解空間向量坐標的概念 .掌握空間向量的坐標運算．
（ 5）掌握空間向量的數量積的定義及其性質：掌握用直角坐標計算空間向量數量積的公式；掌握空間兩
點間距離公式．
（ 6）理解直線的方向向量、平面的法向量、向量在平面內的射影等概念．
（ 7）掌握直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角、距離的概念 .對于異面直線的距離，只要求
會計算已給出公垂線或在坐標表示下的距離掌握直線和平面垂直的性質定理掌握兩個平面平行、垂直的
判定定理和性質定理．
（ 8）了解多面體、凸多面體的概念。了解正多面體的概念．
（ 9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質，會畫直棱柱的直觀圖．
（ 10）了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質。會畫正棱錐的直觀圖．
（ 11）了解球的概念 .掌握球的性質 . 掌握球的表面積、體積公式．
（考生可在 9（A）和 9（B）中任選其一）
§ 09. 立體幾何 知識要點
一、 平面 .
1. 經過不在同一條直線上的三點確定一個面 .
注：兩兩相交且不過同一點的四條直線必在同一平面內 .
2. 兩個平面可將平面分成 3 或 4 部分 . （①兩個平面平行，②兩個平面相交）
3. 過三條互相平行的直線可以確定 1 或 3 個平面 . （①三條直線在一個平面內平行，②三條直線不在一
個平面內平行）
[ 注 ] ：三條直線可以確定三個平面，三條直線的公共點有 0 或 1個 .
4. 三個平面最多可把空間分成 8 部分 .（X、Y、Z三個方向）
二、 空間直線 .
1. 空間直線位置分三種：相交、平行、異面 . 相交直線—共面有反且有一個公共點；平行直線—共面沒
有公共點；異面直線—不同在任一平面內
[ 注 ] ：①兩條異面直線在同一平面內射影一定是相交的兩條直線 . （×）（可能兩條直線平行，也可能是
點和直線等）
②直線在平面外，指的位置關系：平行或相交
③若直線 a、b異面， a平行于平面 ，b與 的關系是相交、平行、在平面 內 .
④兩條平行線在同一平面內的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點 .
⑤在平面內射影是直線的圖形一定是直線 . （×）（射影不一定只有直線，也可以是其他圖形）
⑥在同一平面內的射影長相等，則斜線長相等 . （×）（并非是從平面外一點．．向這個平面所引的垂線段和
斜線段）
⑦ ba, 是夾在兩平行平面間的線段，若 ba ，則 ba, 的位置關系為相交或平行或異面 .
2. 異面直線判定定理：過平面外一點與平面內一點的直線和平面內不經過該點的直線是異面直線 .（不
在任何一個平面內的兩條直線）
3. 平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行 .
4. 等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同， 那么這兩個角相等 （如下圖） .
（二面角的取值范圍 180,0 ）
（直線與直線所成角 90,0 ）
（斜線與平面成角 90,0 ）
（直線與平面所成角 90,0 ）
（向量與向量所成角 ])180,0[
推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等 .
5. 兩異面直線的距離：公垂線的長度 .
空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直 .
21 , ll 是異面直線，則過 21 ,ll 外一點 P，過點 P且與 21,ll 都平行平面有一個或沒有，但與 21, ll 距離相等的點
在同一平面內 . （ 1L 或 2L 在這個做出的平面內不能叫 1L 與 2L 平行的平面）
三、 直線與平面平行、直線與平面垂直 .
1. 空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內 .
2. 直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內一條直線平行，那么這條直線和這個平
面平行 .（“線線平行，線面平行”）
[ 注 ] ：①直線 a與平面 內一條直線平行，則 a∥ . （×）（平面外一條直線）
②直線 a與平面 內一條直線相交，則 a與平面 相交 . （×）（平面外一條直線）
③若直線 a與平面 平行，則 內必存在無數條直線與 a平行 . （√）（不是任意一條直線，可利用平行
的傳遞性證之）
④兩條平行線中一條平行于一個平面，那么另一條也平行于這個平面 . （×）（可能在此平面內）
⑤平行于同一直線的兩個平面平行 .（×）（兩個平面可能相交）
⑥平行于同一個平面的兩直線平行 .（×）（兩直線可能相交或者異面）
⑦直線 l 與平面 、 所成角相等，則 ∥ .（×）（ 、 可能相交）
1
2
方向相同
1 2
方向不相同
3. 直線和平面平行性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那
么這條直線和交線平行 .（“線面平行，線線平行”）
4. 直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點有且只有一條直線和一個平面垂直，過一
點有且只有一個平面和一條直線垂直 .
若 PA⊥ ， a⊥ AO，得 a⊥ PO（三垂線定理），
得不出 ⊥ PO . 因為 a⊥ PO，但 PO不垂直 OA.
三垂線定理的逆定理亦成立 .
直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂
直于這個平面 .（“線線垂直，線面垂直”）
直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面 .
推論：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行 .
[ 注 ] ：①垂直于同一平面．．．．的兩個平面平行 . （×）（可能相交，垂直于同一條直線．．．．． 的兩個平面平行）
②垂直于同一直線的兩個平面平行 .（√）（一條直線垂直于平行的一個平面，必垂直于另一個平面）
③垂直于同一平面的兩條直線平行 .（√）
5. ⑴垂線段和斜線段長定理：從平面外一點 ．．向這個平面所引的垂線段和斜線段中，①射影相等的兩條斜
線段相等，射影較長的斜線段較長；②相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段射影較長；③垂線段比
任何一條斜線段短 .
[ 注 ] ：垂線在平面的射影為一個點 . [ 一條直線在平面內的射影是一條直線 .（×） ]
⑵射影定理推論：如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這點在平面內的射影在這個
角的平分線上
四、 平面平行與平面垂直 .
1. 空間兩個平面的位置關系：相交、平行 .
2. 平面平行判定定理： 如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面， 哪么這兩個平面平行 .（“線
面平行，面面平行”）
推論：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；平行于同一平面的兩個平面平行 .
[ 注 ] ：一平面間的任一直線平行于另一平面 .
3. 兩個平面平行的性質定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那么它們交線平行 . （“面面
平行，線線平行”）
4. 兩個平面垂直性質判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直 .
兩個平面垂直性質判定二：如果一個平面與一條直線垂直，那么經過這條直線的平面垂直于這個平面 .
（“線面垂直，面面垂直”）
注：如果兩個二面角的平面對應平面互相垂直，則兩個二面角沒有什么關系 .
5. 兩個平面垂直性質定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線也垂直于另一
個平面 .
推論：如果兩個相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面 .
證明：如圖，找 O作 OA、OB分別垂直于 21,ll ，
因為 OBPMOAPM ,,, 則 OBPMOAPM , .
6. 兩異面直線任意兩點間的距離公式： cos2222 mndnml （ 為銳角取加， 為鈍取減， 綜上，
都取加則必有
2
,0 ）
7. ⑴最小角定理： 21 coscoscos （ 1為最小角，如圖）
⑵最小角定理的應用（∠ PBN為最小角）
簡記為：成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補角一半長，一定有 4條 .
P
O
A
a
圖1
θ
θ1
θ2
圖2
P
θ
M AB
O
成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補角小，一定有 2 條 .
成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有 3條或者 2條 .
成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有 1 條或者沒有 .
五、 棱錐、棱柱 .
1. 棱柱 .
⑴①直棱柱側面積： ChS （ C 為底面周長， h是高）該公式是利用直棱柱的側面展開圖為矩形得出的 .
②斜棱住側面積： lCS 1 （ 1C 是斜棱柱直截面周長， l 是斜棱柱的側棱長）該公式是利用斜棱柱的側面
展開圖為平行四邊形得出的 .
⑵ {四棱柱 } {平行六面體 } {直平行六面體 } {長方體 } {正四棱柱 } {正方體 }.
{直四棱柱 } {平行六面體 }={ 直平行六面體 }.
四棱柱 平行六面體 直平行六面體 長方體 正四棱柱 正方體
底面是
平行四邊形
側棱垂直
底面
底面是
矩形
底面是
正方形
側面與
底面邊長相等
⑶棱柱具有的性質：
①棱柱的各個側面都是平行四邊形，所有的側棱都相等；直棱柱的各個側面都是矩形．．．．．．．． ；正棱柱的各個側
面都是全等的矩形．．．．． .
②棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應邊互相平行的全等 ．．多邊形 .
③過棱柱不相鄰的兩條側棱的截面都是平行四邊形 .
注：①棱柱有一個側面和底面的一條邊垂直可推測是直棱柱 . （×）
（直棱柱不能保證底面是鉅形可如圖）
②（直棱柱定義）棱柱有一條側棱和底面垂直 .
⑷平行六面體：
定理一：平行六面體的對角線交于一點．．．．．．．．．．．．． ，并且在交點處互相平分 .
[ 注 ] ：四棱柱的對角線不一定相交于一點 .
定理二：長方體的一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和 .
推論一：長方體一條對角線與同一個頂點的三條棱所成的角為 ,, ，則 1coscoscos 222 .
推論二：長方體一條對角線與同一個頂點的三各側面所成的角為 ,, ，則 2coscoscos 222 .
[ 注 ] ：①有兩個側面是矩形的棱柱是直棱柱 .（×）（斜四面體的兩個平行的平面可以為矩形）
②各側面都是正方形的棱柱一定是正棱柱 . （×）（應是各側面都是正方形的直 ．棱柱才行）
③對角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長方體 .（×）（只能推出對角線相等，推不出底面為矩形）
④棱柱成為直棱柱的一個必要不充分條件是棱柱有一條側棱與底面的兩條邊垂直 . （兩條邊可能相交，
可能不相交，若兩條邊相交，則應是充要條件）
2. 棱錐：棱錐是一個面為多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形 .
[ 注 ] ：①一個棱錐可以四各面都為直角三角形 .
②一個棱柱可以分成等體積的三個三棱錐；所以 棱柱棱柱 3VShV .
⑴①正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點在底面的射影為底面的中心 .
[ 注 ] ： i. 正四棱錐的各個側面都是全等的等腰三角形 . （不是等邊三角形）
ii. 正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正△側棱與底棱不一定相等
iii. 正棱錐定義的推論：若一個棱錐的各個側面都是全等的等腰三角形（即側棱相等）；底面為正多邊
形 .
②正棱錐的側面積：
'Ch
2
1
S （底面周長為 C，斜高為 'h ）
③棱錐的側面積與底面積的射影公式：
cos
底
側
S
S （側面與底面成的二面角為 ）
附： 以知 c⊥ l ， bacos ， 為二面角 bla .
則 laS
2
1
1 ① ， blS
2
1
2 ② ， bacos ③ ① ② ③ 得
cos
底
側
S
S .
注： S為任意多邊形的面積（可分別多個三角形的方法） .
⑵棱錐具有的性質：
①正棱錐各側棱相等，各側面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的
斜高） .
②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側棱、側棱在底面內的
射影也組成一個直角三角形 .
⑶特殊棱錐的頂點在底面的射影位置：
①棱錐的側棱長均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心 .
②棱錐的側棱與底面所成的角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的外心 .
③棱錐的各側面與底面所成角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內心 .
④棱錐的頂點到底面各邊距離相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形內心 .
⑤三棱錐有兩組對棱垂直，則頂點在底面的射影為三角形垂心 .
⑥三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則頂點在底面上的射影為三角形的垂心 .
⑦每個四面體都有外接球，球心 0 是各條棱的中垂面的交點，此點到各頂點的距離等于球半徑；
⑧每個四面體都有內切球，球心 I 是四面體各個二面角的平分面的交點，到各面的距離等于半徑 .
[ 注 ] ： i

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