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簡單幾何體三視圖或直觀圖問題的解答方法
簡單幾何體的三視圖是指簡單幾何體的主視圖（也稱正視圖），側視圖（也稱左視圖）和俯視圖。簡單幾何體的直觀圖是指直接觀察簡單幾何體所形成的圖形。縱觀近幾年的高考，簡單幾何體三視圖或直觀圖問題主要包括：①已知簡單幾何體的直觀圖，確定簡單幾何體的三視圖；②已知簡單幾何體的三視圖，求簡單幾何體的表面積（或側面積或體積）；③與簡單幾何體直觀圖相關的問題等幾種類型。各種類型的問題在結構上具有一定的特征，解答方法也各不相同，那么在實際解答簡單幾何體三視圖或直觀圖問題時，到底應該如何根據問題的結構特征，選用恰當的方法快捷，準確地作出解答呢？下面通過典型例題的詳細解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
1、 沿一個正方體三個面的對角線截得的幾何體如圖所示，
則該幾何體的側視圖為（ ）


A B C D
【解析】
【知識點】①簡單幾何體直觀圖的定義與性質；②簡單幾何體三視圖的定義與性質；③畫簡單幾何體三視圖的基本原則和方法。
【解題思路】運用畫簡單幾何體三視圖的基本原則和方法，結合問題條件就可得出結果。
【詳細解答】根據簡單幾何體的直觀圖可知，其側視圖應該是一個正方形，可以排除D，
中間的棱在側視圖中是一條對角線，又可排除C，對角線的方向應該是從左上到右下，排除A，從而正確答案為B，選B。
2、如圖所示是物體的實物圖，其俯視圖是（ ）



A B C D
【解析】
【知識點】①簡單幾何體直觀圖的定義與性質；②簡單幾何體三視圖的定義與性質；③畫簡單幾何體三視圖的基本原則和方法。
【解題思路】運用畫簡單幾何體三視圖的基本原則和方法，結合問題條件就可得出結果。
【詳細解答】根據簡單幾何體的直觀圖可知，其俯視圖應該是一個矩形，中間棱在俯視圖中是一個三角形，且一邊為矩形左邊，可以排除B，D，三角形的另一個頂點在矩形靠右的位置，又可以排除A，從而C正確，選C。
3、如圖，下列幾何體各自的三視圖中，有且只有兩個視圖相同的是（ ）




A B C D
【解析】
【知識點】①簡單幾何體直觀圖的定義與性質；②簡單幾何體三視圖的定義與性質；③畫簡單幾何體三視圖的基本原則和方法。
【解題思路】運用畫簡單幾何體三視圖的基本原則和方法，結合問題條件就可得出結果。
【詳細解答】根據簡單幾何體的直觀圖可知，A的三視圖是三個相等的正方形，A錯誤；B的主視圖，側視圖都是等腰三角形，俯視圖是一個圓，C的主視圖，側視圖都是梯形，俯視圖是一個大三角形中包含一個小三角形，但主視圖的梯形中有一條連接上、下底中點的的線段，D的主視圖，側視圖都是三角形，俯視圖是一個矩形，但側視圖是直角三角形，可以排除C，D，從而B正確，選B。
4、中國古建筑借助焊卯將木構件連接起來，構件的凸比部分叫焊頭，凹進部分叫卯眼。圖中木構件右邊的小長方形是卯頭，若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是（ ）

A B C D
【解析】
【知識點】①簡單幾何體直觀圖的定義與性質；②簡單幾何體三視圖的定義與性質；③畫簡單幾何體三視圖的基本原則和方法。
【解題思路】運用畫簡單幾何體三視圖的基本原則和方法，結合問題條件就可得出結果。
【詳細解答】根據簡單幾何體的直觀圖可知，其俯視圖應該是一個大矩形中包含一個小矩形，且小矩形一個在大矩形左邊的中間位置，可以排除C，小矩形的一邊在大矩形的左邊，其余三邊是看不見的，應該用虛線表示，又可以排除B，D，從而正確答案為A，選A。
『思考問題1』
（1）【典例1】是已知簡單幾何體的直觀圖，確定簡單幾何體三視圖的問題，解答這類問題需要理解簡單幾何體三視圖的定義，掌握簡單幾何體三視圖的畫法的基本原則和方法；
（2）與幾何體三視圖相關問題主要包括：①已知簡單幾何體，識別簡單幾何體的三視圖；②已知簡單幾何體的三視圖，判斷簡單幾何體的形狀；③已知簡單幾何體中的兩個視圖，確定簡單幾何體第三個視圖；
（3）由簡單幾何體的直觀圖，確定簡單幾何體三視圖時，應該注意正（主）視圖，側（左）視圖和俯視圖的觀察方向（看到的部分用實線，重疊的線只畫一條，不能看到的部分用虛線）；
（4）由簡單幾何體的三視圖確定簡單幾何體的形狀，需要熟悉柱，錐，臺，球的三視圖，注意三視圖的形成原理，結合空間想象將三視圖還原為簡單幾何體的直觀圖；
（5）由簡單幾何體的部分視圖確定簡單幾何體其余視圖，應該先根據已知的一部分視圖，推測簡單幾何體直觀圖的可能形式，然后再找其剩余部分視圖的可能形式，作為選擇題可把選項逐項代入，看是否與已知的視圖符合。
〔練習1〕解答下列問題：
1、在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所
示，則相應的側視圖為（ ）
| |
| | 正視圖 俯視圖
| |
A B C D
2、一個長方體去掉一個小長方體所得幾何體
的正（主）視圖與側（左）視圖分別如圖所示，
則該幾何體的俯視圖為（ ） 正（主）視圖 側（左）視圖



A B C D
3、如圖是一個正方體截去兩個三棱錐得到的幾何體
則該幾何體的側視圖為（ ）



A B C D
4、如圖是將長方體截去一個四棱錐得到的幾何體
（側面為正方形），則該幾何體的左視圖為（ ）



A B C D
5、某幾何體的三視圖如圖所示，則
這個幾何體的直觀圖可以是（ ）

正視圖 側視圖 俯視圖




A B C D
【典例2】解答下列問題：
1、以空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）
Ａ　 2+2　　?。? 4+2　　?。谩?+　　?。摹　?+

（1題圖） （2題圖）
【解析】
【知識點】①簡單幾何體三視圖的定義與性質；②根據簡單幾何體三視圖確定簡單幾何體直觀圖的基本方法；③求簡單幾何體體積的基本方法。
【解題思路】運用簡單幾何體三視圖，確定簡單幾何體的直觀圖，結合問題條件利用求簡單幾何體體積的基本方法通過運算求出結果。
【詳細解答】由簡單幾何體的三視圖可知，簡單幾何體是一個圓柱和一個四棱錐構成的組合體，四棱錐底面是以2為對角線的正方形，高是以2為邊的正三角形的高，V=+
=12+=2+，C正確，選C。
2、某三棱錐的三視圖如圖所示，其中正視圖與側視圖均為直角三角形，則該三棱錐四個面的面積中，最大值為（ ）
A 2 B C 3 D
【解析】
【知識點】①簡單幾何體三視圖的定義與性質；②根據簡單幾何體三視圖確定簡單幾何體直觀圖的基本方法；③求簡單幾何體體積的基本方法。
【解題思路】運用簡單幾何體三視圖，確定簡單幾何體的直觀圖，結合問題條件利用求平面圖形面積的基本方法通過運算求出結果。
【詳細解答】根據簡單幾何體的三視圖作出簡單幾何體
的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知三棱錐底面是腰為 P
的等腰三角形，側面PBC中，cosBPC=
=， cosBPC=，=23 C
=3，C正確，選C。 B A
3、一個三棱錐的正視圖和側視圖如圖所示（均為直角三角形）則該三棱錐的體積為（ ）
A 4 B 8 C 16 D 24

（3題圖） （4題圖） （題圖）
【解析】
【知識點】①簡單幾何體三視圖的定義與性質；②根據簡單幾何體三視圖確定簡單幾何體直觀圖的基本方法；③求簡單幾何體體積的基本方法。
【解題思路】運用簡單幾何體三視圖，確定簡單幾何體的直觀圖，結合問題條件利用求簡單幾何體體積的基本方法通過運算求出結果。
【詳細解答】根據簡單幾何體的三視圖作出簡單幾何體 P
的直觀圖如圖所示，PAAB ，PAAC，AB AC
=A，AB，AC 平面ABC， PA平面ABC，
=24=4，=46=8，B正確，
選B。 B A
4、某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側面積是（ ）
A 4 B 6 C 8 D 10 C
【解析】
【知識點】①簡單幾何體三視圖的定義與性質；②根據簡單幾何體三視圖確定簡單幾何體直觀圖的基本方法；③求簡單幾何體體積的基本方法。
【解題思路】運用簡單幾何體三視圖，確定簡單幾何體的直觀圖，結合問題條件利用求簡單幾何體側面積的基本方法通過運算求出結果。
【詳細解答】根據簡單幾何體的三視圖作出簡單幾何體
直觀圖如圖所示，由簡單幾何體的直觀圖可知，簡單幾
何體是一個圓柱體，圓柱體的底面直徑為2，高為4，
=24=8，B正確，選B。
5、某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示，如果網絡紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積為 ；
【解析】
【知識點】①簡單幾何體三視圖的定義與性質；②根據簡單幾何體三視圖確定簡單幾何體直觀圖的基本方法；③求簡單幾何體體積的基本方法。
【解題思路】運用問題條件，利用求簡單幾何體體積的基本方法分別求出正方體，四棱柱的體積，再求出兩個簡單幾何體的差就可得出結果。
【詳細解答】問題條件已經確定簡單幾何體是一個正方體截去一個四棱柱剩下的部分，
=444=64，=（2+4）24=24，簡單幾何體的體積=64-24=40。
『思考問題2』
（1）【典例2】是已知簡單幾何體的三視圖，求簡單幾何體的體積（或表面積或側面積）的問題，解決這類問題需要理解簡單幾何體體積，表面積，側面積的定義，掌握各種簡單幾何體體積，表面積，側面積的計算公式和方法；
（2）已知簡單幾何體的三視圖，求該簡單幾何體的體積，表面積，側面積的基本方法是：①根據簡單幾何體的三視圖還原簡單幾何體的直觀圖；②求出各個面的面積（或底面面積和高）；③求各個面積求和（或運用公式求出體積或求出各個側面面積的和）；
（3）以三視圖為載體求簡單幾何體的體積，表面積，側面積問題的關鍵是對給出的三視圖進行恰當的分析還原簡單幾何體的直觀圖，確定幾何體是什么幾何體；根據三視圖還原簡單幾何體直觀圖時要注意三視圖畫法的基本原則：①長對 ；②高平 ；③寬 ；三視圖中的實，虛線實際上是原幾何體中的可視線與被遮擋的線，注意想象簡單幾何體原形，進行三視圖還原，準確畫出簡單幾何體的直觀圖是解決該類問題的關鍵；還原后的簡單幾何體應該是比較熟悉的柱，錐，臺，球或其簡單的組合體。
（4）求解簡單幾何體的體積，表面積，側面積綜合問題的基本方法是：①根據圖形分辨清楚簡單幾何體是柱體，錐體還是臺體；②求出公式中的基本量（1》若是體積涉及到底面積和高，2》若是表面積涉及到各個面的面積，3》若是側面積涉及到各個側面面積）；③運用公式求出結果；
（5）求不規則簡單幾何體的體積，表面積，側面積時，一般是將簡單幾何體分割成基本的柱，錐，臺，分別求出各基本幾何體的體積，表面積，側面積再求和；
（6）解答表面積，體積，側面積最值問題的基本方法是函數法，通過函數的性質求解。
〔練習2〕解答下列問題：
1、某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側面積為（ ）
A 4+2 B 2+4 C 2+2 D 4+4
2、已知某幾何體的三視圖中，正視圖，側視圖均由直角三角形與半圓構成，俯視圖由圓與其內接直角三角形構成，如圖所示，根據圖中的數據可得幾何體的體積為（ ）

（1題圖） （2題圖） （3題圖）
3、已知某幾何體的三視圖如圖所示，根據圖中標出的尺寸（單位：cm），那么可得這個幾何體的體積是（ ）
A cm B cm C cm D cm
4、已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（ ）
Ａ　 12　　?。隆　?12　　?。谩　?　　?。摹　　　?10
5、在長方體ABCD—中，AB=BC=2，A與平面BC所成的角為，
則該長方體的體積為（ ）
Ａ　 8　　?。隆　? 6　　?。谩? 　8　　?。摹　　　?8
6、已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為，若SAB的面積為5，則該圓錐的側面積為 ；
7、已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為，若SAB的面積為8，則該圓錐的體積為 ；
【典例3】解答下列問題：
1、一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖是（ ）

（1題圖） （2題圖）
【解析】
【知識點】①簡單幾何體三視圖的定義與性質；②根據簡單幾何體三視圖確定簡單幾何體直觀圖的基本方法。
【解題思路】運用簡單幾何體的三視圖，結合問題條件，就可確定簡單幾何體的直觀圖。
【詳細解答】由主視圖和側視圖可知，簡單幾何體是一個組合體，根據俯視圖知道組合體上半部分是一個圓臺，下半部分是一個圓柱，D正確，選D。
2、學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型如圖，該模型為長方體ABCD—挖去四棱錐O—EFGH后所得幾何體，其中O為長方體的中心，E，F，G，H分別為所在棱的中點，AB=BC=6cm，A=4cm，3D打印所用原料密度為0.9g/cm，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為 ；
【解析】
【知識點】①簡單幾何體直觀圖的定義與性質；②根據簡單幾何體直觀圖求簡單幾何體體積的基本方法。
【解題思路】運用簡單幾何體的直觀圖，結合問題條件，求出簡單幾何體的體積，從而求出制作該模型所需原料的質量。
【詳細解答】=664=144（cm），=643=12（cm），制作模型的體積=144-12=132（cm），制作該模型所需原料的質量=0.9132=118.8（g）。
3、有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平 y
面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖所示），
，AB=AD=1，DC⊥BC，則這塊菜 A D
地的面積為 。 B(O) C x
【解析】
【知識點】①斜二側畫法的定義與性質；②斜而側法的基本原理和基本方法。
【解題思路】運用斜二側畫法的定義與性質，結合問題條件，確定多邊形在直角坐標系中的圖形，根據圖像通過運算就可求出結果。
【詳細解答】由多邊形的直觀圖作出多邊形在平面直角坐標系 y
中的圖形如圖所示，在直觀圖中過A作AEBC 于點E，
AB=1, AE=BE=，BC=BE+EC=BE+AD=+1，
直角梯形ABCD在直角坐標系中也是直角梯形，且
=1，=2，=+1，這塊菜地的面積為： O x
=(1+)2=+1。
『思考問題3』
（1）【典例3】是與簡單幾何體直觀圖相關的問題，解答這類問題需要理解簡單幾何體直觀圖的定義，掌握簡單幾何體直觀圖的畫法；
（2）簡單幾何體直觀圖的畫法—斜二測畫法：①畫簡單幾何體的底面：在已知圖形中取兩條互相垂直的直線分別為X軸和Y軸，兩軸的交點為原點，具體畫圖時使（或），已知圖形中與X軸平行的線段在直觀圖圖中長度保持不變，平行Y軸的線段長度變為原來的一半；②畫空間幾何體的高：在已知圖形中過點O作Z軸垂直于XOY平面，在直觀圖中對應的也要垂直于平面，已知圖形中平行于Z軸的線段，在直觀圖中也要平行軸且長度不變。
（4）簡單幾何體直觀圖中的“三變與三不變”：①“三變”是指直觀圖中坐標軸的夾角要改變，平行于Y軸的線段的長度要改變，直觀圖與原圖相比也要改變；②“三不變”是指平行性不變，與X軸、Z軸平行的線段的平行性不變，相對位置不變。
〔練習3〕解答下列問題：
1、如圖矩形是水平放置的一個平面
圖形的直觀圖，其中=6cm，=2cm，則
原圖形是（ ）
A 正方形 B 矩形 C 菱形 D 一般的平行四邊形
2、一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可以是（ ）
A 棱柱 B 棱臺 C 圓柱 D 圓臺

（2題圖） （3題圖）
3、如圖是水平放置的某個三角形的直觀圖，是中邊的中點，且//軸，，，三條線段對應原圖形中的線段AB，AD，AC，那么（ ）
A 最長的是AB，最短的是AC B 最長的是AC，最短的是AB
C 最長的是AB，最短的是AD D 最長的是AD，最短的是AC
4、圓柱正三角形ABC的邊長為a，那么ABC的平面直觀圖的面積為（ ）
A B C D

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