資源簡介

(共161張PPT)
拉格朗日中值定理
羅爾（Rolle）定理
實際上, C點處的切線與弦 AB 平行.
幾何解釋:
把上圖做一旋轉(zhuǎn)，得到下圖：
C
C點處的切線與弦線 AB 平行.
C
拉格朗日（Lagrange）中值定理
弦AB斜率
切線斜率
此條件太苛刻
有限增量公式
( C 為常數(shù) )
拉格朗日中值定理
函數(shù)單調(diào)性的判定法
拉格朗日中值定理
函數(shù)單調(diào)性的判定法
引入新課
新課講授
小結(jié)與作業(yè)
導(dǎo)數(shù)的幾何意義：
y=f(x)
0
x
y
引
入
新
課
例題
α
引例.
解：
A
B
P
0
x
y
注：這個例題反映了一個一般事實，可以寫成下面的定理。
返回
(A)
一.拉格朗日中值定理
推論：如果y=(x)在區(qū)間（a、b)內(nèi)有f'(x)≡0
則在此區(qū)間內(nèi)f(x)≡c(常數(shù)）。
注：這個推論是常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是零的逆定理。
例題與練習(xí)
新
課
講
授
(B)練習(xí)1：下列函數(shù)中在區(qū)間[-1、1]上滿足拉格朗日中值
定理條件的是______
(A)例1.求函數(shù)f(x)=x2+2x在區(qū)間[0、1]內(nèi)滿足拉
格朗日中值定理的ξ值。
解：
f(1)-f(0)=3
∴2ξ+2=3
1)f(x)=ln(1+x) 2)f(x)=|x|
4)f(x)=arctanx
下一頁
二.函數(shù)單調(diào)性的判定法
0
x
y
0
x
y
a
b
A
B
a
b
A
B
幾何特征：
定理：設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a、b]上連續(xù),在（a、b)內(nèi)可導(dǎo).
1）若在(a、b)內(nèi)f’(x)>0，則y=f(x)在[a、b]上單調(diào)增加。
2）若在(a、b)內(nèi)f’(x)<0，則y=f(x)在[a、b]上單調(diào)減少。
y=f(x)
y=f(x)
證明
f '(x)>0
f '(x)<0
證明
在(a、b)內(nèi)任取兩點x1,x2且x1函數(shù)y=f(x)滿足拉格朗日中值定理的條件。
∴f(x2)-f(x1)=f’(ξ)(x2-x1)
ξ∈(x1、x2)
若f’(x)>0,則f’(ξ)>0 又x2-x1>0
∴f(x2)>f(x1)
∴y=f(x)在[a、b]上單調(diào)增加
同理可證：若f'(x)<0 ,則函數(shù)f(x)在[a、b]上單調(diào)減少
注：1）上述定理中間區(qū)間[a、b]若改為(a、b)或無限區(qū)間
結(jié)論同樣成立。
2）若f(x)在(a、b)內(nèi)的個別點的導(dǎo)數(shù)為零，其余的點
都有f '(x)>0(或 f '(x)<0)，則f(x)在(a、b)內(nèi)滿足單調(diào)
增加(單調(diào)減少).
例題
(A)例1.
判定y=x3的單調(diào)性
y'=3x2
當(dāng)x=0時 y'=0
當(dāng)x≠0時 y'>0
∴x∈(-∞,+∞)
y單調(diào)增加
0
x
y
(A) 例2.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性
下一頁
解：
解：
1） 定義域為(-∞、+∞)
2) f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)
3)列表：
令 f'(x)=0 得x1=1 x2=2
4）由表可知：函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞、1]∪[2、+∞）
單調(diào)減區(qū)間為（1、2）。
x
y'
y
(-∞、1)
+
1
0
（1、2）
-
+
(2、+∞)
2
0
(B)練習(xí)2：確定函數(shù)y=2x3+3x2-12x+1的單調(diào)區(qū)間。
下一頁
(C)例4：
解：
1）定義域為(-∞、-1)∪（-1、+∞).
3)列表:
(-∞、-2)
+
-2
0
（-1、0）
-
0
0
+
(0、+∞)
4） 由表可知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞、-2)∪(0、+∞)
單調(diào)減區(qū)間為（-2、-1）∪（-1、0）。
x
y’
y
（-2、-1）
-
返回
三.小結(jié)與作業(yè)
1.拉格朗日中值定理及推論。
2.函數(shù)單調(diào)性的判定方法與步驟。
3.作業(yè)：<教與學(xué)> P40 :
(A)1.(1)
(B)3.(3) (4)
(C)3.(6)
小
結(jié)
與
作
業(yè)
返回
拉格朗日中值定理
函數(shù)單調(diào)性的判定法
引入新課
新課講授
小結(jié)與作業(yè)
拉格朗日中值定理
函數(shù)單調(diào)性的判定法
拉格朗日中值定理
幾何直觀
一. 教材分析
（1） 教材的地位和作用

（2）重點難點
（3） 課時安排

一. 教材分析
微積分學(xué)是人類思維的偉大成果之一，是人類經(jīng)歷了2500多年震撼人心的智力奮斗的結(jié)果，它開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法。微分中值定理是微分學(xué)理論的重要組成部分，在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中起著橋梁作用，也是研究函數(shù)變化形態(tài)的紐帶，在微分學(xué)中占有很重要的地位.

拉格朗日中值定理，建立了函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值之間的定量聯(lián)系，因而可用中值定理通過導(dǎo)數(shù)去研究函數(shù)的性態(tài)，如單調(diào)性、變化快慢和極值等性態(tài)，這是本章的關(guān)鍵內(nèi)容。
（一）教材的地位和作用
一. 教材分析
（二）重點與難點
教學(xué)重點：探求和理解拉格朗日中值定理。

教學(xué)難點：探求拉格朗日中值定理的條件；
運用定理研究函數(shù)單調(diào)性。

?

一. 教材分析
拉格朗日中值定理和函數(shù)的單調(diào)性可安排兩課時。本節(jié)作為第一課時，重在探求拉格朗日中值定理，理解拉格朗日中值定理的幾何意義和定理的條件，體會該定理在研究函數(shù)性態(tài)應(yīng)用中的作用。
（三）課時安排
二. 教法分析
（一）學(xué)情分析

（二）教學(xué)方法

（三）學(xué)法分析

（四）具體措施

二. 教法分析
（一）學(xué)情分析
學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念和導(dǎo)數(shù)的運算，對微分的定義及運算有了直觀的認(rèn)識和理解。通過體會導(dǎo)數(shù)的思想和實際背景，已經(jīng)具備一定的微分思想，但是發(fā)現(xiàn)函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)是兩個不同的概念；而導(dǎo)數(shù)只是反映函數(shù)在一點的局部特征；而函數(shù)反映在其定義域上的整體性態(tài)，如何建立兩者之間的聯(lián)系呢？多數(shù)同學(xué)對此有相當(dāng)?shù)呐d趣和積極性。學(xué)生在學(xué)習(xí)時可能會遇到以下困難，發(fā)現(xiàn)連接曲線兩端點的直線段有時與曲線上某點的切線是平行的，但是又不知是否對所有曲線都滿足??
二. 教法分析
（二）教學(xué)方法

1、多媒體輔助教學(xué)
借助多媒體教學(xué)手段引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)存在某點的切線與連接兩端點的線段是平行的，使問題變得直觀，易于突破難點；利用多媒體向?qū)W生展示這一過程，體會逼近的思想方法。
2、探究發(fā)現(xiàn)法教學(xué)
讓學(xué)生通過動手操作課件，經(jīng)歷“實驗、探索、論證、應(yīng)用”的過程，體驗從特殊到一般的認(rèn)識規(guī)律，通過學(xué)生“動手、動腦、討論、演練”增加學(xué)生的參與機會，增強參與意識，教給學(xué)生獲取知識的途徑，思考問題的方法，使學(xué)生真正成為教學(xué)主體。
二. 教法分析
（三）學(xué)法分析

自主、合作、探究
借助多媒體技術(shù)創(chuàng)設(shè)豐富的教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，倡導(dǎo)學(xué)生采用自主、合作、探究的方式學(xué)習(xí)。引導(dǎo)學(xué)生動手操作課件，指導(dǎo)學(xué)生討論交流從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的習(xí)慣和意識以及勇于探索、勤于思考的精神，提高學(xué)生合作學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)交流的能力。
?
二. 教法分析
（四）具體措施

根據(jù)以上的分析，本節(jié)課采用教師引導(dǎo)與學(xué)生自主探究相結(jié)合，交流與練習(xí)相穿插的活動課形式，以學(xué)生為主體，教師創(chuàng)設(shè)和諧、愉快的環(huán)境及輔以適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。同時，利用多媒體形象動態(tài)的演示功能提高教學(xué)的直觀性和趣味性，以提高課堂效率。教學(xué)中注重數(shù)形結(jié)合，從形的角度對概念理解和運用。在這個過程中培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生討論交流的合作意識。
?
?

三. 教學(xué)目標(biāo)
通過實驗探求拉格朗日中值定理條件，
理解拉格朗日中值定理在研究函數(shù)性態(tài)中的作用，培養(yǎng)學(xué)生分析、抽象、概括等思維能力。
掌握知識與技能
三. 教學(xué)目標(biāo)
體會過程與方法
在尋找存在某直線與連接曲線兩端點的線段平行的過程中，使學(xué)生通過認(rèn)識用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)形態(tài)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，數(shù)學(xué)知識的融會貫通；

通過數(shù)形結(jié)合的思想的具體運用來探討定理的條件，使學(xué)生思維達到嚴(yán)謹(jǐn)，了解科學(xué)的思維方法。
?
三. 教學(xué)目標(biāo)
培養(yǎng)情感態(tài)度與價值觀

在拉格朗日中值定理的探討過程中，滲透逼近和數(shù)形結(jié)合的思想，使學(xué)生了解近似與精確間的辨證關(guān)系，激發(fā)學(xué)生勇于探索、勤于思考的精神；

通過討論、交流、合作、實驗操作等活動激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)交流的能力。
?
?
四. 教學(xué)過程

（一）教學(xué)流程圖

（二）教學(xué)過程與設(shè)計思路

（一）教學(xué)流程圖
教學(xué)程序及設(shè)計意圖
教學(xué)過程
設(shè)計意圖

（一）創(chuàng)設(shè)情景? 引入新課
提出問題：
1、將連接曲線兩端點的線段平行的移動是否發(fā)現(xiàn)有某點處的切線與其平行？







提出問題，由學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系，那么如何在兩者之間架起橋梁呢？讓學(xué)生感受到進一步探究學(xué)習(xí)的重要性。
教學(xué)過程
設(shè)計意圖


2、可從特殊來引導(dǎo)一般，假如曲線兩端點的函數(shù)值相等，將會有什么結(jié)果？








設(shè)問引起學(xué)生的好奇心，激發(fā)學(xué)生的求知欲，教學(xué)中讓學(xué)生就此探究進行思考展開討論。


利用認(rèn)知遷移規(guī)律，從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識嘗試解決問題，在學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上進行新概念的建構(gòu)。


教學(xué)過程
設(shè)計意圖

（二）動手操作 探索求知
1、課件操作：
學(xué)生動手拖動點，觀察過曲線端點的直線是否能成為某點處的切線，引導(dǎo)給出特殊情況下定理的內(nèi)容。

2、學(xué)生自主合作學(xué)習(xí)：
學(xué)生分組討論交流，計算過曲線兩端點的直線的斜率和函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，自主合作探求直線的斜率和某點處導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，教師在自主合作之后看學(xué)生得出的結(jié)論。




通過逼近方法，知道在曲線上存在某點處的切線平行與過曲線端點的直線適用于處處有不垂直于x軸的切線的曲線，這一定理將函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)建立起聯(lián)系。
?

借助多媒體教學(xué)手段引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)定理的幾何意義，使問題變得直觀，易于突破難點；學(xué)生在過程中，可以體會逼近的思想方法。最后的證明環(huán)節(jié)，能夠同時從數(shù)與形兩個角度強化學(xué)生對拉格朗日中值定理的理解。



（三）靈活運用 透析內(nèi)涵


求函數(shù) 在[0,2]上滿足拉格朗日中值定理條件的 ？

解： ，
由拉格朗日中值定理得：












這是學(xué)生思維上升的又一個層次，設(shè)計該題目的在于加深學(xué)生對導(dǎo)數(shù)刻畫函數(shù)單調(diào)性的理解，通過它及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生的問題，及時糾正，能對學(xué)生情況給予及時評價。
教學(xué)過程
設(shè)計意圖


教學(xué)過程
設(shè)計意圖
，


（四）鞏固知識，提升思維


已知導(dǎo)函數(shù) 的下列信息：
設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，
在 內(nèi)可導(dǎo)，則有：
（1）如果在 內(nèi) ，
則 在 上單調(diào)增加；
（2）如果在 內(nèi) ，
則 在 上單調(diào)減少；





設(shè)計這個問題的目的有三個：
第一，讓學(xué)生描述在一點附近曲線的變化情況，體會以直代曲的思想方法；

第二，讓學(xué)生深刻理解拉格朗日中值定理架起函數(shù)和導(dǎo)數(shù)之間的橋梁；

第三，讓學(xué)生觀察、探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系。


教學(xué)過程
設(shè)計意圖
1、知識技能小結(jié)
2、思想方法小結(jié)


（五）自主小結(jié) 整體把握




（六）布置作業(yè) 拓展提高
(1)閱讀作業(yè)：收集有關(guān)微積分創(chuàng)立的時代背景和有關(guān)人物的資料
(2)書面作業(yè)：1． 2.
(3)拓展作業(yè)：3.




啟發(fā)學(xué)生自主小結(jié)，知識性內(nèi)容的小結(jié)，可把課堂所學(xué)知識盡快化為學(xué)生的素質(zhì)；數(shù)學(xué)思想方法的小結(jié)，可使學(xué)生更清晰地梳理數(shù)學(xué)思想方法，并且逐漸養(yǎng)成科學(xué)的思維習(xí)慣。


針對學(xué)生素質(zhì)的差異進行分層訓(xùn)練，既注重“雙基”，又兼顧提高，為學(xué)生指明課后繼續(xù)學(xué)習(xí)的方向，同時為以后的學(xué)習(xí)留下懸念，激發(fā)學(xué)生探索的興趣。
小結(jié)提高
核心概念
知識技能?思想方法
五. 評價與反思
1、 板書設(shè)計：
?
?
?
五. 說明和反思
2、時間安排：
新課引入約10分鐘，
探索求知約10分鐘，
靈活運用約20分鐘，
小結(jié)提高約5分鐘。
五. 說明和反思
本節(jié)課設(shè)計為一節(jié)“科學(xué)探究—合作學(xué)習(xí)”的活動課，在整個教學(xué)過程中學(xué)生以探索者的身份學(xué)習(xí)，在問題解決過程中，通過自身的體驗對知識的認(rèn)識從模糊到清晰，從直觀感悟到精確掌握。
?
力求使學(xué)生體會微積分的基本思想，感受近似與精確的統(tǒng)一，運動和靜止的統(tǒng)一，感受量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)化。希望利用這節(jié)課滲透辨證法的思想精髓。
教師在這個過程中始終扮演學(xué)生學(xué)習(xí)的協(xié)作者和指導(dǎo)者。學(xué)生通過自身的情感體驗，能夠很快的形成知識結(jié)構(gòu)，并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力。
過程反思
一、羅爾(Rolle)定理
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
三、柯西(Cauchy)中值定理
四、泰勒(Taylor)中值定理
1 費馬（Fermat)引理
一、羅爾(Rolle)定理
幾何解釋:
2 羅爾(Rolle)定理
注1:若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其結(jié)論可能不成立.
注2:若羅爾定理的條件僅是充分條件，不是必要的.
2）唯一性
證：1）存在性
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
幾何解釋:
證
分析:
化歸證明法
作輔助函數(shù)
拉格朗日中值公式
注意:拉氏公式精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.
拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.
推論1
拉格朗日中值公式另外的表達方式：
例2
證
由上式得
三、柯西(Cauchy)中值定理
幾何解釋:
證
作輔助函數(shù)
例3
證
分析:結(jié)論可變形為
1 問題的提出
四、泰勒(Taylor)中值定理
不足
問題
1、精確度不高；
2、誤差不能估計。
分析:
2.若有相同的切線
3.若彎曲方向相同
近似程度越來越好
3 泰勒(Taylor)中值定理
證明:
定理1 （帶lagrange余項的泰勒定理）
拉格朗日形式的余項
皮亞諾形式的余項
定理2 （帶peano余項的泰勒定理）
幾點說明：
4 常用n階泰勒公式及其簡單應(yīng)用
解
解
其它函數(shù)的麥克勞林公式
誤差傳遞公式 :
微分學(xué)所要解決的兩類問題:
函數(shù)的變化率問題
函數(shù)的增量問題
微分的概念
導(dǎo)數(shù)的概念
求導(dǎo)數(shù)與微分的方法,叫做微分法.
研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué),
叫做微分學(xué).
導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系:
★
★
C
A
例8.設(shè)由方程
確定函數(shù)
求
正確解法:
2. 設(shè)
其中
在
因
故
正確解法:
時, 下列做法是否正確?
在求
處連續(xù),
例8.設(shè)由方程
確定函數(shù)
求
解:方程組兩邊對 t 求導(dǎo),得
故
0.1 函數(shù)的極值
0.2 函數(shù)的最值
0.3費馬定理
問題：是不是所有的極值點都是駐點？
0.3費馬定理
例如,
一、羅爾定理
幾何解釋:
如何從理論上證明？
證
注意:1、若羅爾定理的三個條件
i、 閉區(qū)間上連續(xù)；
ii、 開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；
iii、兩端點函數(shù)值相等
是定理成立充分條件；
結(jié)論是存在
導(dǎo)數(shù)為0的點
導(dǎo)數(shù)為零的點的存在的時候，可能這三個條件都不成立
注意:2、若羅爾定理的三個條件缺一不可：

即：其中任何一個不成立，
均有可能使結(jié)果不成立
例1
證
由零點定理
即為方程的小于1的正實根.
矛盾,
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
幾何解釋:
分析:
(1) 在區(qū)間 [ a , b ] 上連續(xù)
滿足:
(2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)
至少存在一點
使
思路: 利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數(shù)
作輔助函數(shù)
顯然 ,
在 [ a , b ] 上連續(xù) ,
在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo),
且
證:
問題轉(zhuǎn)化為證
由羅爾定理知至少存在一點
即定理結(jié)論成立 .
證畢
注意:拉氏公式精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.
令
則
拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.
推論:
若函數(shù)
在區(qū)間 I 上滿足
則
在 I 上必為常數(shù).
證: 在 I 上任取兩點
日中值公式 , 得
在 I 上為常數(shù) .
例2
證
例3
證
由上式得
三、柯西(Cauchy)中值定理
分析:
及
(1) 在閉區(qū)間 [ a , b ] 上連續(xù)
(2) 在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)
(3)在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)
至少存在一點
使
滿足 :
要證
證: 作輔助函數(shù)
且
使
即
由羅爾定理知, 至少存在一點
思考: 柯西定理的下述證法對嗎 ?
兩個 ? 不
一定相同
錯!
上面兩式相比即得結(jié)論.
柯西定理的幾何意義:
注意:
弦的斜率
切線斜率
例8
證
分析:
結(jié)論可變形為
內(nèi)容小結(jié)
1. 微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系
羅爾定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
2. 微分中值定理的應(yīng)用
(1) 證明恒等式
(2) 證明不等式
(3) 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論
關(guān)鍵:
設(shè)輔助函數(shù)
費馬引理
2. 設(shè)
且在
內(nèi)可導(dǎo), 證明至少存
在一點
使
提示:
由結(jié)論可知, 只需證
即
驗證
在
上滿足羅爾定理條件.
設(shè)
4. 思考: 在
即
當(dāng)
時
問是否可由此得出
不能 !
因為
是依賴于 x 的一個特殊的函數(shù).
因此由上式得
表示 x 從右側(cè)以任意方式趨于 0 .
應(yīng)用拉格朗日中值定理得
上對函數(shù)
思考題
試證：
作業(yè)：P146:


2.⑵⑹ 5. 6. 7. 10.
費馬(1601 – 1665)
法國數(shù)學(xué)家,
他是一位律師,
數(shù)學(xué)
只是他的業(yè)余愛好.
他興趣廣泛,
博
覽群書并善于思考,
在數(shù)學(xué)上有許多
重大貢獻.
他特別愛好數(shù)論,
他提出
的費馬大定理:
至今尚未得到普遍的證明.
他還是微積分學(xué)的先驅(qū) ,
費馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中
提煉出來的.
拉格朗日 (1736 – 1813)
法國數(shù)學(xué)家.
他在方程論, 解析函數(shù)論,
及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻,
近百
余年來, 數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間
接地溯源于他的工作,
他是對分析數(shù)學(xué)
產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.
柯西(1789 – 1857)
法國數(shù)學(xué)家,
他對數(shù)學(xué)的貢獻主要集中
在微積分學(xué),
《柯
西全集》共有 27 卷.
其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué)
校編寫的《分析教程》,
《無窮小分析概論》, 《微積
分在幾何上的應(yīng)用》 等,
有思想有創(chuàng)建,
響廣泛而深遠(yuǎn) .
對數(shù)學(xué)的影
他是經(jīng)典分析的奠人之一,
他為微積分
所奠定的基礎(chǔ)推動了分析的發(fā)展.
復(fù)變函數(shù)和微分方程方面 .
一生發(fā)表論文800余篇, 著書 7 本 ,
第二章 一元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用
§2.6 微分中值定理
一、羅爾( Rolle )定理
費馬(fermat)引理
證: 設(shè)
則
幾何背景
定理2.1
定理2.1
證明：
返回
注意：
證明
推廣到一般情形
定理2.2
證明
推論1:
若函數(shù)
在區(qū)間 (a, b) 內(nèi)
則
在(a, b)內(nèi)必為常數(shù).
證: 在(a,b)內(nèi)任取兩點
日中值公式 , 得
在(a, b)內(nèi)為常數(shù) .
證恒等式:
欲證
時
只需證在 I 上
證明：
步驟:
證:
定理2.3
問題:
否!
兩個 ? 不一定相同
證: 作輔助函數(shù)
且
使
即
由羅爾定理知, 至少存在一點
柯西定理的幾何意義:
注意:
弦的斜率
切線斜率
例 設(shè)函數(shù)
至少存在一點
使
證: 結(jié)論可變形為
設(shè)
則
在 [0, 1] 上滿足柯西中值
定理條件,
因此在 ( 0 , 1 ) 內(nèi)至少存在一點 ? ,
使
即
證明
例 試證至少存在一點
使
證:
用柯西中值定理 .
則 f (x) , F(x) 在 [ 1 , e ] 上滿足柯西中值定理條件,
令
因此
即
分析:
內(nèi)容小結(jié)
1. 微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系
羅爾定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
2. 微分中值定理的應(yīng)用
(1) 證明恒等式
(2) 證明不等式
(3) 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論
關(guān)鍵:
利用逆向思維
設(shè)輔助函數(shù)
費馬引理

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