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平面基本性質運用問題的解答方法
平面基本性質具體涉及到三個公理和三個推論，它是學習立體幾何問題的基礎。平面基本性質運用問題歸結起來主要包括：①證明空間三條直線共點問題；②證明空間三點共線問題；③證明空間四點（或三條直線）共面問題等幾種類型，各種類型問題結構上具有各自的特征，解答方法也各不相同，那么在實際解答平面基本性質運用問題時，如何根據問題的結構特征，選用恰當的方法快捷，準確地予以解答呢？下面通過典型例題的詳細解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
1、判斷下列命題的真假：
（1）平行四邊形和梯形一定是平面圖形；
（2）已知直線L和L外一點A，那么連接A和L上任意一點的直線都在點A和直線L確定的平面內。
【解析】
【知識點】①平面基本性質；②平面基本性質運用。
【解題思路】（1）運用平面基本性質的公理3的推論，就可直接判斷命題的真假；（2）運用平面基本性質公理3的推論可知，直線l和直線l外一點A確定一個平面，根據平面 基本性質公理2就可判斷命題的真假。
【詳細解答】（1）梯形的兩底平行，平行四邊形的對邊分別平行，梯形和平行四邊形都在同一平面內，平行四邊形和梯形是平面圖形，命題“平行四邊形和梯形一定是平面圖形”是真命題；（2）點A是直線l外一點，點A與直線l確定一個平面，過點A和直線l上任意一點的直線，有點A和所取l上的點都在點A和直線l所確定的平面內，這條直線都在該平面內，命題“已知直線L和L外一點A，那么連接A和L上任意一點的直線都在點A和直線L確定的平面內”是真命題。
A
2、如圖在四面體ABCD中，E，G分別是BC，AB的
中點，F在CD上，H在AD上，且有DF：FC=2：3， G H
DH：HA=2：3。 B D
求證：EF，GH，BD交予一點。
【解析】 E F
【知識點】①平面基本性質；②平面基本性質運用。 C
【解題思路】設直線EF，GH相交于一點O，運用平面基本性質證明點O在直線BD上，從而結論得到證明。
【詳細解答】設直線EF，GH相交于一點O， O直線EF，直線EF平面ABD，
O平面ABD， O直線GH，直線GH平面CBD，O平面CBD，平面ABD
平面CBD=BD， O直線BD，直線EF，GH，BD相交于點O。
3、如圖已知E、F、G、H分別是正方體ABCD D H C
—的棱AB、BC、C、的中點。 A B
證明：EF、HG、三線共點。 G
【解析】 F
【知識點】①平面基本性質；②平面基本性質運用。 E
【解題思路】設直線EF，GH相交于一點O，運用平面基本性質證明點O在直線上，從而結論得到證明。
【詳細解答】設直線EF，GH相交于一點O， O直線EF，直線EF平面，O平面 ， O直線GH，直線GH平面CD，O平面CD ，平面平面CD=， O直線，直線EF，GH，相交于點O。
『思考問題1』
（1）【典例1】是運用平面基本性質證明三條直線共點的問題，解答這類問題應該分辨清楚問題與平面基本性質中的哪一個或哪幾個公理（或推論）相關，運用相關公理（或推論）時需要注意問題條件給出了公理（或推論）中的哪些條件，還需要證明哪些條件才能得到結論；
（2）證明三線共點的問題的基本方法是：①設其中兩條直線相交于一點，②證明第三條直線也經過這一點，將問題轉化為證明點在直線上的問題（一般是證明點在兩個平面的交線上）。
〔練習1〕解答下列問題：
1、兩個不全等的三角形不在同一平面內，它們的邊兩兩對應平行。 D
求證：三對對應頂點的連線相交于一點；
2、已知空間四邊形ABCD，如圖所示，E，F分別 H
是AB，AD的中點，G，H分別是BC，CD上的點， F C
且CG=CB，CH=CD。 G
求證：三直線FH，EG，AC共點。 A E B
3、如圖正方體ABCD----中，E，F 分別是
AB和A的中點。
求證：CE，F，DA三線共點。 F
【典例5】解答下列問題： D C
1、如圖正方體ABCD----中，對角線C A E B
∩平面BD=O，AC∩BD=M。
求證：，O，M三點共線。 O
【解析】 D M C
【知識點】①平面基本性質；②平面基本性質運用。 A B
【解題思路】連接M，運用平面基本性質證明點O在直線M上，從而結論得到證明。
【詳細解答】連接M，對角線C∩平面BD=O，O平面BD，O直線C，
直線C平面AC，O平面AC，平面AC平面BD=M，O直線M，，O，M三點共線。
2、如圖E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊 E A
AB，BC，CD，DA上的點，且EH與FG相交于點O。 H
求證：B，D，O三點共線； B D O
【解析】 G
【知識點】①平面基本性質；②平面基本性質運用。 F
【解題思路】連接BD，運用平面基本性質證明點
O在直線BD上，從而結論得到證明。 C
【詳細解答】連接BD，EH與FG相交于點O，直線EH平面ABD，直線FG平面CBD，O平面ABD，O平面CBD，平面ABD平面CBD=BD， O直線BD，
B，D，O三點共線。
『思考問題2』
（1）【典例2】是運用平面基本性質，證明三點共線的問題，解決這類問題的基本方法是：①由三點中的兩點確定在一條直線（一般選擇兩個平面的交線）；②證明第三點也在這條直線上(先確定該點為兩個平面的公共點，再證明該點在交線上)；
（2）證明三點共線是根據平面基本性質公理3來展開的，即證明兩平面相交于某條直線，在這個基礎上證明第三點也在這條直線上。
〔練習2〕解答下列問題：
1、兩個不全等的三角形不在同一平面內，它們的邊兩兩對應平行，設兩對對應點的連線相交于點P。求證：第三對對應點與點P共線；
2、如圖所示，在正方體ABCD----中，
O為正方形ABCD的中心，H為直線D與平
面AC的交點。 D H C
求證：，H，O三點共線。
【典例3】解答下列問題：
1、如圖在正方體ABCD----中，E，F
分別是棱A，C的中點。 F
求證：，E，F，B共面； E D C H
【解析】
【知識點】①平面基本性質；②平面基本性質運用。 A B
【解題思路】連E，并延長交DA的延長線于點 G
G，連接F并延長交DC的延長線于點H，連接BG，BH，證明G，B，H三點共線，運用平面基本性質證明直線E，F確定一個平面，利用平面基本性質證明點B在該平面內，從而證明結論。
【詳細解答】連接E ，并延長交DA的延長線于點G，連接F并延長交DC的延長線于點H，連接BG，BH，E是A的中點，AG=AD=AB，ABG=，同理可證CBH=，ABC=，GBH=ABG+ABC+CBH=，G，B，H三點共線，直線E F=，直線E， F 確定一個平面F E， G直線E，H直線F， G平面EF，H平面EF，直線GH平面EF，
B直線GH， B平面EF，，E，F，B共面。
2、如果一條直線與兩條平行線都相交。
求證：這三條直線在同一個平面內。
【解析】
【知識點】①平面基本性質；②平面基本性質運用。
【解題思路】運用平面的基本性質可知兩條平行線確定一個平面，設第三條直線與一條平行線相交于點A，與另一條平行線相交于點B，根據A，B平面，證明直線AB在平面，從而結論得到證明。
【詳細解答】如圖，設直線//，=A， A
=B，直線//，直線，確定一
個平面，=A，=B， A ， B
B， A 平面，B平面，直線AB平面， A ，B，直線平面，直線，，在同一個平面內。
3、如圖已知E、F、G、H依次是空間四邊形ABCD A
各邊的中點。 H
（1）求證：E，F，G，H四點共面； D E
（2）如果AC=BD，那么EFGH是什么四邊形？ G
（3）如果AC⊥BD，那么EFGH是什么四邊形？ C F B
（4）AC、BD滿足什么條件時，EFGH是正方形？
【解析】
【知識點】①平面基本性質；②平面基本性質運用。
【解題思路】（1）連接EH，GF，運用三角形中位線定理，證明EH//BD，GF//BD，得到EH//GF，從而證明E，F，G，H，共面；（2）由（1）可知四邊形EFGH是平行四邊形，根據條件可證明EF=EH，從而得到四邊形是菱形；（3）由（1）可知四邊形EFGH是平行四邊形，根據條件可證明FGH=，，從而得到四邊形是矩形；（4）由（2），（3）可知，當AC=BD，且AC⊥BD時，四邊形EFGH是正方形。
【詳細解答】（1）E，H分別是AB，AD的中點，EH//BD，EH=BD，同理可證FG//BD，FG=BD，EH//FG，EH=FG，四邊形EFGH是平行四邊形， E，F，G，H四點共面；（2）四邊形EFGH是平行四邊形，EH=BD，同理可證GH=AC，AC=BD，
EH=GH，四邊形EFGH是菱形；（3）四邊形EFGH是平行四邊形，EH//BD，同理可證GH//AC，ACBD，EHGH，四邊形EFGH是矩形；（4）由（2），（3）可知，當AC=BD，且ACBD時，四邊形EFGH是正方形。
4、已知正方體ABCD —中E、F分別 E
為、的中點。ACBD=P， F
EF=Q。 R
求證：（1）D，B，E，F四點共面； D C
（2）若C平面DBEF=R，則P，Q，R三點 A B
共線。
【解析】
【知識點】①平面基本性質；②平面基本性質運用。
【解題思路】（1）運用三角形中位線定理，證明EF//，由//BD，得到EF//BD，從而證明E，F，G，H，共面；（2）連接PQ，根據平面基本性質證明點R在直線PQ上，從而證明結論。
【詳細解答】（1）E，F分別是，的中點，EF//，//BD，EF//BD，
D，B，E，F四點共面；（2）連接PQ，C平面DBEF=R，R直線C，R平面BDEF， R平面AC，平面BDEF平面AC=PQ，R直線PQ，
P，Q，R三點共線。
『思考問題3』
（1）【典例3】中的1，2，3題，4題的（1）小題是證明點，線共面的問題，解答這類問題的基本方法是：①納入平面法；②輔助平面法；
（2）納入平面法的基本方法是：①先確定一個平面，②證明有關點、線在這個平面內；
（3）輔助平面法的基本方法是：①先證明有關點、線確定一個平面，其余點、線也確定一個平面；②證明這兩個平面重合。
〔練習3〕解答下列問題：
1、如圖已知直線L和三條平行直線a，b，c， l
相交于A，B，C。 a A
求證：L，a，b，c四條直線共面。
b B
c C

2、如圖平面ABEF⊥平面ABCD,四邊形ABEF與 F
ABCD都是直角梯形，=，
BCAD，BEAF。 E D
求證：C，D，E，F四點共面； A
B C

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