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淮陰區(qū)2020屆高三第二學(xué)期期初模擬訓(xùn)練二
數(shù) 學(xué)
填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請(qǐng)將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上）
1．已知集合，，________．
2．________．
3.某校高三數(shù)學(xué)組有5名黨員教師,他們一天中在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”平臺(tái)上的學(xué)習(xí)積分依次為35,35,41,38,51,則這5名黨員教師學(xué)習(xí)積分的平均值為______.



4.根據(jù)如圖所示的偽代碼，輸出的的值為______.


5．若滿足，，，則從小到大的順序?yàn)開_____.
6.將A，B，C三個(gè)小球放入甲、乙兩個(gè)盒子中，則A,B放入同一個(gè)盒子中的概率為 .
如下圖，在正三棱錐中，，為棱的中點(diǎn)，若的面積為，則三棱錐的體積為______.

已知函數(shù)的部分圖像如上圖，且，則的值為 .
9.已知點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在雙曲線左支上，點(diǎn)為
圓上一點(diǎn)，則的最小值為 .
10.已知函數(shù)是奇函數(shù)，若對(duì)于任意的，關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____.
11．若函數(shù)的圖象上存在兩個(gè)點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)為的“友情點(diǎn)對(duì)”，點(diǎn)對(duì)與可看作同一個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)”，若函數(shù)恰好有兩個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)”，則實(shí)數(shù)的值為_______.
12.在中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，且滿足，則的最小值為 .
13．若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
14.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為滿足，，設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則______.
二、解答題（本大題共6小題，共計(jì)90分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）

15.（本小題滿分14分）
的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知．
求的大小；
若，，且的面積為，求．





16.（本小題滿分14分）
如圖，在三棱柱中，已知，，為棱的中點(diǎn)，且平面與棱柱的下底面交于.
(1)求證：∥平面.
(2)求證：.

17．（本題滿分14分）
如圖，OM，ON是某景區(qū)的兩條道路（寬度忽略不計(jì)，OM為東西方向），Q為景區(qū)內(nèi)一景點(diǎn)，A為道路OM上一游客休息區(qū)．已知tan∠MON＝－3，OA＝6(百米)，Q到直線OM，ON的距離分別為3(百米)，(百米)．現(xiàn)新修一條自A經(jīng)過(guò)Q的有軌觀光直路并延伸至道路ON于點(diǎn)B，并在B處修建一游客休息區(qū)．
（1）求有軌觀光直路AB的長(zhǎng)；
（2）已知在景點(diǎn)Q的正北方6 百米的P處有一大型組合音樂噴泉，噴泉表演
一次的時(shí)長(zhǎng)為9 分鐘．表演時(shí)，噴泉噴灑區(qū)域以P為圓心，r為半徑變化，且
t分鐘時(shí)，(百米)（0≤t≤9，0＜a＜1）．當(dāng)噴泉表演開始時(shí)，一觀光車
S（大小忽略不計(jì)）正從休息區(qū)B沿（1）中的軌道BA以(百米/分鐘)的速度
開往休息區(qū)A，問：觀光車在行駛途中是否會(huì)被噴泉噴灑到，并說(shuō)明理由．






18．（本題滿分16分）
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：過(guò)點(diǎn)，其離心率等于．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若A，B分別是橢圓E的左，右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足，且MA交橢圓E于點(diǎn)P．
①求證：為定值；
②設(shè)PB與以PM為直徑的圓的另一交點(diǎn)為Q，求證：直線MQ經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．

19．（本題滿分16分）
已知數(shù)列滿足：（常數(shù)k＞0），（n≥3，）．?dāng)?shù)列滿足：（）．
（1）求b1，b2的值；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）是否存在k，使得數(shù)列的每一項(xiàng)均為整數(shù)? 若存在，求出k的所有可能值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
20．（本題滿分16分）
設(shè)函數(shù)f (x)＝(x－a)lnx－x＋a，a∈R．
（1）若a＝0，求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a＜0，且函數(shù)f (x)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值 范圍；
（3）求證：對(duì)任意的正數(shù)a，都存在實(shí)數(shù)t，滿足：對(duì)任意的x∈(t，t＋a)， f (x)＜a－1．

淮陰區(qū)2020屆高三第二學(xué)期期初模擬訓(xùn)練二
數(shù) 學(xué)（附加卷）
注：本卷共三大題共4小題，共計(jì)40分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字
說(shuō)明證明過(guò)程或演算步驟．
21．A．[選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分）
已知矩陣．
（1）求；
（2）求．

B．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）
在極坐標(biāo)系中，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2． 以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為的正半軸，取相同的長(zhǎng)度單位建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)．
（1）求圓的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)與圓的交點(diǎn)為， 與軸的交點(diǎn)為，求．

22．（本小題滿分10分）
已知，記．
（1）；
（2）求．


23．（本小題滿分10分）
已知Sn＝1＋＋＋…＋．
（1）求S2，S4的值；
（2）若Tn＝，試比較與Tn的大小，并給出證明．
淮陰區(qū)2020屆高三第二學(xué)期期初模擬訓(xùn)練二
數(shù) 學(xué)
填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請(qǐng)將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上）
1．已知集合，，________．
【答案】
2．________．
【答案】
3.某校高三數(shù)學(xué)組有5名黨員教師,他們一天中在“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”平臺(tái)上的學(xué)習(xí)積分依次為35,35,41,38,51,則這5名黨員教師學(xué)習(xí)積分的平均值為______.
【答案】40
4.根據(jù)如圖所示的偽代碼，輸出的的值為______.
【答案】11
5．若，，，滿足，，，則，，從小到大的順序?yàn)開_____.
【答案】
6.將A，B，C三個(gè)小球放入甲、乙兩個(gè)盒子中，則A,B放入同一個(gè)盒子中的概率為 .
【答案】
如圖，在正三棱錐中，，為棱的中點(diǎn)，若的面積為，則三棱錐的體積為______.

【答案】
已知函數(shù)的部分圖像如右圖，且，則的值為 .


【答案】

9.已知點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在雙曲線左支上，點(diǎn)為
圓上一點(diǎn)，則的最小值為 .
【答案】9
10.已知函數(shù)是奇函數(shù)，若對(duì)于任意的，關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____.
【答案】
11．若函數(shù)的圖象上存在兩個(gè)點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱點(diǎn)對(duì)為的“友情點(diǎn)對(duì)”，點(diǎn)對(duì)與可看作同一個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)”，若函數(shù)恰好有兩個(gè)“友情點(diǎn)對(duì)”，則實(shí)數(shù)的值為_______.
【答案】2
12.在中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，且滿足，則的最小值為 .
【答案】2
13．若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
14.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為滿足，，設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則______.
【答案】
二、解答題（本大題共6小題，共計(jì)90分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）

15.（本小題滿分14分）
的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知．
求的大小；
若，，且的面積為，求．

【解析】（1）由，得，
所以，即，
所以有，
因?yàn)椋裕裕?br/>即，所以，
又，所以，所以，即．
（2）因?yàn)椋裕?br/>又，
所以，把代入到中，得．

16.（本小題滿分14分）
如圖，在三棱柱中，已知，，為棱的中點(diǎn)，且平面與棱柱的下底面交于.
求證：∥平面.
求證：.





17．（本題滿分14分）
如圖，OM，ON是某景區(qū)的兩條道路（寬度忽略不計(jì)，OM為東西方向），Q為景區(qū)內(nèi)一景點(diǎn)，A為道路OM上一游客休息區(qū)．已知tan∠MON＝－3，OA＝6(百米)，Q到直線OM，ON的距離分別為3(百米)，(百米)．現(xiàn)新修一條自A經(jīng)過(guò)Q的有軌觀光直路并延伸至道路ON于點(diǎn)B，并在B處修建一游客休息區(qū)．
（1）求有軌觀光直路AB的長(zhǎng)；
（2）已知在景點(diǎn)Q的正北方6 百米的P處有一大型組合音樂噴泉，噴泉表演
一次的時(shí)長(zhǎng)為9 分鐘．表演時(shí)，噴泉噴灑區(qū)域以P為圓心，r為半徑變化，且
t分鐘時(shí)，(百米)（0≤t≤9，0＜a＜1）．當(dāng)噴泉表演開始時(shí)，一觀光車
S（大小忽略不計(jì)）正從休息區(qū)B沿（1）中的軌道BA以(百米/分鐘)的速度
開往休息區(qū)A，問：觀光車在行駛途中是否會(huì)被噴泉噴灑到，并說(shuō)明理由．








【解析】（1）以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OM為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．
則由題設(shè)得：A(6，0)，直線ON的方程為．
由，解得，所以．
故直線AQ的方程為，
由得
即，故，
答：水上旅游線的長(zhǎng)為km．
（2）將噴泉記為圓P，由題意可得P(3，9)，
生成t分鐘時(shí)，觀光車在線段AB上的點(diǎn)C處，
則BC＝t，0≤t≤9，所以C(－3＋t，9－t)．
若噴泉不會(huì)灑到觀光車上，則PC2＞r2對(duì)t∈[0，9]恒成立，
即PC2＝(6－t)2＋t2＝2t2－12t＋36＞4at，
當(dāng)t＝0時(shí)，上式成立，
當(dāng)t∈(0，9]時(shí)，2a＜t＋－6，(t＋－6)min＝6－6，當(dāng)且僅當(dāng)t＝3
時(shí)取等號(hào)，
因?yàn)閍∈(0，1)，所以r＜PC恒成立，即噴泉的水流不會(huì)灑到觀光車上．
答：噴泉的水流不會(huì)灑到觀光車上．
18．（本題滿分16分）
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：過(guò)點(diǎn)，其離心率等于．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若A，B分別是橢圓E的左，右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足，且MA交橢圓E于點(diǎn)P．
①求證：為定值；
②設(shè)PB與以PM為直徑的圓的另一交點(diǎn)為Q，求證：直線MQ經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．
【解析】（1）設(shè)橢圓焦距為2c，所以且，
解得 所以橢圓的方程為；
（2）設(shè)，，
①易得直線的方程為：，
代入橢圓得，，
由得，，從而，
所以．
②直線過(guò)定點(diǎn)，理由如下：
依題意，， 由得，，
則的方程為：，即，所以直線過(guò)定點(diǎn)．

19．（本題滿分16分）
已知數(shù)列滿足：（常數(shù)k＞0），（n≥3，）．?dāng)?shù)列滿足：（）．
（1）求b1，b2的值；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）是否存在k，使得數(shù)列的每一項(xiàng)均為整數(shù)? 若存在，求出k的所有可能值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）由已知得，，
所以，．
（2）由條件可知：，①
所以.②
①－②得.
即：．
因此：， 故，又因?yàn)椋?br/>所以．
（3）假設(shè)存在，使得數(shù)列的每一項(xiàng)均為整數(shù)，則k為正整數(shù)．
由（2）知
由，所以k=1或2，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，為整數(shù)，
利用結(jié)合，{an}各項(xiàng)均為整數(shù)；
當(dāng)時(shí)變?yōu)?br/>消去得：
由所以偶數(shù)項(xiàng)均為整數(shù)，
而，所以為偶數(shù)，故，故數(shù)列是整數(shù)列. 綜上所述，的取值集合是.
20．（本題滿分16分）
設(shè)函數(shù)f (x)＝(x－a)lnx－x＋a，a∈R．
（1）若a＝0，求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a＜0，且函數(shù)f (x)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求證：對(duì)任意的正數(shù)a，都存在實(shí)數(shù)t，滿足：對(duì)任意的x∈(t，t＋a)， f (x)＜a－1．
【解析】（1）當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝xlnx－x，f’(x)＝lnx，
令f’(x)＝0，x＝1，列表分析
x (0，1) 1 (1，＋∞)
f’(x) － 0 ＋
f(x) 單調(diào)遞減 單調(diào)遞增

故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)．
（2）f(x)＝(x－a)lnx－x＋a，f’(x)＝lnx－，其中x＞0，
令g(x)＝xlnx－a，分析g(x)的零點(diǎn)情況．
g’(x)＝lnx＋1,令g’(x)＝0，x＝，列表分析
x (0，) (，＋∞)
g’(x) － 0 ＋
g(x) 單調(diào)遞減 單調(diào)遞增

g(x)min＝g()＝－－a，
而f’()＝ln－ae＝－1－ae，＝－2－ae2＝－(2＋ae2)，
f’(e2)＝2－＝(2e2－a)，
①若a≤－，則f’(x)＝lnx－≥0，
故f(x)在內(nèi)沒有極值點(diǎn)，舍；
②若－＜a＜－，則f’()＝ln－ae＜0，f’(e－2)＝－(2＋ae2)＞0，
f’(e2)＝(2e2－a)＞0，
因此f’(x)在有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，，
所以當(dāng)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，此時(shí)f(x)在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)；
③若－≤a＜0，則f’()＝ln－ae＜0，f’(e－2)＝－(2＋ae2)≤0，
f’(e2)＝(2e2－a)＞0，
因此f’(x)在有一個(gè)零點(diǎn)，f(x)在內(nèi)有一個(gè)極值點(diǎn)；
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－，－)．
（3）存在：x∈(1，1＋a)，f(x)＜a－1恒成立．
證明如下：由（2）得g(x)在(，＋∞)上單調(diào)遞增，
且g(1)＝－a＜0，g(1＋a)＝(1＋a)ln(1＋a)－a．
因?yàn)楫?dāng)x＞1時(shí)，lnx＞1－(*)，所以g(1＋a)＞(1＋a)(1－)－a＝0．
故g(x)在(1，1＋a)上存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)為x0．
x (1，x0) x0 (x0，1＋a)
f’(x) － 0 ＋
f(x) 單調(diào)遞減 單調(diào)遞增

知，x∈(1，1＋a)，f(x)＜max{f(1)，f(1＋a)}．
又f(1＋a)＝ln(1＋a)－1，而x＞1時(shí)，lnx＜x－1(**)，
所以f(1＋a)＜(a＋1)－1－1＝a－1＝f(1)．即x∈(1，1＋a)，f(x)＜a－1．
所以對(duì)任意的正數(shù)a，都存在實(shí)數(shù)t＝1，使對(duì)任意的x∈(t，t＋a)，使 f(x)＜a－1．
補(bǔ)充證明（*）：令F(x)＝lnx＋－1，x≥1．F’(x)＝－＝≥0，所以F(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增．所以x＞1時(shí)，F(xiàn)(x)＞F(1)＝0，即lnx＞1－．
補(bǔ)充證明（**）令G(x)＝lnx－x＋1，x≥1．G’(x)＝－1≤0，所以G(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減．所以x＞1時(shí)，G(x)＜G(1)＝0，即lnx＜x－1．
21．A．[選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分）
已知矩陣．
（1）求；
（2）求．
解：（1）因?yàn)椋?
（2）因?yàn)椋?
所以.

B．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）
在極坐標(biāo)系中，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2． 以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為的正半軸，取相同的長(zhǎng)度單位建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)．
（1）求圓的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)與圓的交點(diǎn)為， 與軸的交點(diǎn)為，求．
解：（1）設(shè)為圓上任意一點(diǎn)，則
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，得圓過(guò)極點(diǎn)，
所以，，即，
所以圓的極坐標(biāo)方程為．
（2）由（1）得，即，
根據(jù)，得
，即．（*）
設(shè),將直線的參數(shù)方程代入（*），整理得


所以，．

【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
22．（本小題滿分10分）
已知，記．
（1）；
（2）求．
解： 由得.
同理，，
（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，.
所以，


所以，
．
23．（本小題滿分10分）
已知Sn＝1＋＋＋…＋．
（1）求S2，S4的值；
（2）若Tn＝，試比較與Tn的大小，并給出證明．
解：（1）S2＝1＋＝，S4＝1＋＋＋＝．
（2）當(dāng)n＝1，2時(shí)，T1＝＝，T2＝＝，所以，＝Tn．
當(dāng)n＝3時(shí)，T3＝＝，S8＝1＋＋＋＋＋＋＋＝＞＝T3．
于是，猜想，當(dāng)n≥3時(shí)，＞Tn．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=3時(shí)，結(jié)論成立；
②假設(shè)n＝k(k≥3)時(shí)結(jié)論成立，即＞Tk；
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，＝＋＋＋…＋
＞＋（＋＋…＋）＋（＋＋…＋）
＞＋×2k－1＋×2k－1＝＋＋＝，
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，＞Tn．
根據(jù)①、②可知，對(duì)任意不小于3的正整數(shù)n，都有＞Tn．
綜上，當(dāng)n＝1，2時(shí)，=Tn；當(dāng)n≥3時(shí)，＞Tn．
























































































































































































































































姓名 學(xué)校 班級(jí)

淮陰區(qū)2020屆高三第二學(xué)期期初模擬訓(xùn)練二
數(shù)學(xué)答題卡


一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分．請(qǐng)把答案填寫在答題卡相
應(yīng)位置上．
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12. 13. 14.
二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15．（本小題滿分14分）






































請(qǐng)?jiān)诟黝}的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無(wú)效



17.（本小題滿分14分）


























請(qǐng)?jiān)诟黝}的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無(wú)效



16．（本小題滿分14分）


17．（本小題滿分14分）


18．（本小題滿分16分）


19．（本小題滿分16分）


20．（本小題滿分16分）


請(qǐng)?jiān)诟黝}的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無(wú)效









































































































21．本題包括A、B小題
A小題答題區(qū)



















淮陰區(qū)2020屆高三第二學(xué)期期初模擬訓(xùn)練二
數(shù)學(xué)附加題答題卡


姓名 學(xué)校 班級(jí)



B小題答題區(qū)





















22．（本小題滿分10分）


23．（本小題滿分10分）

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