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第八章 向量的數量積
8.1向量的數量積
8.1.1向量數量積的概念
1、夾角：
給定兩個非零向量，，在平面內任選一個點O，作，，則稱內的為向量與向量的夾角，記作.

注意：（1），是非零向量；
（2）非零向量，的夾角范圍是；
（3）；
（4）當時，向量與向量，記作
（5）規定，零向量與任意向量垂直
（6）注意下列向量的夾角：



2、向量數量積
一般地，當與都是非零向量時，稱為向量與的數量積（也稱為內積），記作，即，即=
注：（1）的結果是一個實數，而不是向量
（2）的符號由決定，即由決定.
當時，是正數
當時，等于0
當時，是負數
3、向量數量積的性質
（1）
（2），即
（3）
4、向量的投影與向量數量積的幾何意義
設非零向量，過，分別作直線的垂線，垂足分別為，，則稱向量為向量在直線上的投影向量或投影.

類似地，給定平面上的一個非零向量，設所在的直線為，則在直線上的投影稱為在向量上的投影.

由圖可知，一個向量在一個非零向量上的投影，一定與這個非零向量共線，但它們的方向即有肯能相同，也有可能相反.
如圖（1），當時，的方向與的方向相同，而且；
如圖（2），當時，為零向量，即
如圖（3），當時，的方向與的方向相同，而且

一般地，如果，都是非零向量，則稱為向量在向量上的投影的數量.投影的數量與投影的長度有關，但是投影的數量既可能是非負數，也可能是負數.因為==，所以兩個非零向量，的數量積，等于在向量上的投影的數量與的模的乘積.這就是兩個向量數量積的幾何意義.
8.1.2向量數量積的運算律
1、交換律
（1）
（2）當是實數時，
2、分配律
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）


8.1.3向量數量積的坐標運算
1、向量的坐標與向量的數量積
在平面直角坐標系中，分別給定與軸、軸正方向相同的單位向量，之后，如果對于平面內的向量，有，則就是向量的坐標，記作，而且，，是一組單位正交基底.
設，由向量坐標的定義可知，存在單位正交基底，，使得，，所以
=
=
=
所以=
當，都不是零向量時，因為，，所以
2、用向量的坐標表示兩個向量垂直的條件
設，，由的充要條件是，
所以

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