資源簡介

書
姓名：　　　　　　　　　　　準考證號：　　　　　　　　　
（在此卷上答題無效）
　理科數學試題卷 　第１　頁　（共４頁）
動態性教學質量監測·考前適應卷
理科數學
說明：１．全卷滿分１５０分，考試時間１２０分鐘．
２．全卷分為試題卷和答題卡，答案要求寫在答題卡上，不得在試題卷上作答，否則不給分．
第Ⅰ卷（選擇題　共６０分）
一、選擇題：本大題共１２小題，每小題５分，共６０分．在每小題給出的四個選項中，只有一項
是符合題目要求的．
１．設Ａ＝｛ｘ｜３＜ｘ＜１１｝，Ｂ＝｛ｘ｜２ａ－３≤ｘ≤３ａ－７｝，若Ｂ?Ａ，則實數ａ的取值范圍是
Ａ．（３，６） Ｂ．（－∞，６） Ｃ．［４，６） Ｄ．（－∞，４）
２．復數ｚ滿足｜ｚ－ｉ｜＝｜ｚ＋３ｉ｜，則｜ｚ｜
Ａ．恒等于１ Ｂ．最大值為１，無最小值
Ｃ．最小值為１，無最大值 Ｄ．無最大值，也無最小值
３．已知ａ＝２０１９０．２，ｂ＝０．２２０１９，ｃ＝ｌｏｇ２０１９０．２，則
Ａ．ｃ＜ａ＜ｂ Ｂ．ｂ＜ａ＜ｃ Ｃ．ｃ＜ｂ＜ａ Ｄ．ａ＜ｃ＜ｂ
４．函數ｙ＝ｃｏｓｘ
ｅ｜ｘ｜
的圖像大致是
Ａ．
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Ｂ．
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Ｃ．
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Ｄ．
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５．２０１９年１月３日嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業
又取得一重大成就，實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的
通訊聯系．為解決這個問題，發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日
Ｌ２點的軌道運行．Ｌ２點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質量為Ｍ１，月球質量為
Ｍ２，地月距離為 Ｒ，Ｌ２點到月球的距離為 ｒ，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，ｒ滿足方
程：
Ｍ１
（Ｒ＋ｒ）２
＋
Ｍ２
ｒ２
＝（Ｒ＋ｒ）
Ｍ１
Ｒ３
．
設α＝ｒＲ，由于α的值很小，因此在近似計算中
３α３＋３α４＋α５
（１＋α）２
≈３α３，則ｒ的近似值為
Ａ．
Ｍ２
Ｍ槡１
Ｒ Ｂ．
Ｍ２
２Ｍ槡 １
Ｒ Ｃ．３
３Ｍ２
Ｍ槡１
Ｒ Ｄ．３
Ｍ２
３Ｍ槡 １
Ｒ
６．齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優于
齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬．現齊王與田忌各出上
　理科數學試題卷 第２　頁　（共４頁）
等馬、中等馬、下等馬一匹，共進行三場比賽，規定：每一場雙方均任意選一匹馬參賽，且每
匹馬僅參賽一次，勝兩場或兩場以上者獲勝．則田忌獲勝的概率為
Ａ．１３ Ｂ．
１
６ Ｃ．
１
９ Ｄ．
１
３６
７．已知兩個單位向量ｅ１，ｅ２滿足｜ｅ１－２ｅ２ 槡｜＝７，則ｅ１，ｅ２的夾角為
Ａ．２π３ Ｂ．
３π
４ Ｃ．
π
３ Ｄ．
π
４
８．雞兔同籠，是中國古代著名的趣味題之一．《孫子算經》中就有這樣的記載：今有雞兔同籠，
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上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各有幾何？設計如右圖
的算法來解決這個問題，則判斷框中應填入的是
Ａ．ｍ＞９４
Ｂ．ｍ＝９４
Ｃ．ｍ＝３５
Ｄ．ｍ≤３５
９．已知公差不為零的等差數列｛ａｎ｝中，ａ３＋ａ５＋ａ７＝１２，ａ１，ａ３，ａ６
成等比數列，則
Ａ．ａｎ＝２ｎ
Ｂ．ａｎ＝
１
２ｎ＋
３
２
Ｃ．Ｓｎ＝ｎ（ｎ＋１）
Ｄ．Ｓｎ＝
ｎ（ｎ＋６）
４
１０．已知Ｆ１（－１，０）為橢圓的左焦點，Ａ，Ｂ分別為橢圓的右頂點和上頂點，Ｐ為橢圓上的點，且
ＰＦ１⊥Ｆ１Ａ，ＰＯ∥ＡＢ（Ｏ為橢圓中心），則橢圓的方程為
Ａ．ｘ
２
３＋
ｙ２
２＝１ Ｂ．
ｘ２
４＋
ｙ２
３＝１ Ｃ．
ｘ２
２＋ｙ
２＝１ Ｄ．ｘ
２
５＋
ｙ２
４＝１
１１．關于函數ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ＋｜ｓｉｎｘ｜有下述四個結論：①ｆ（ｘ）的最小值為 槡－２；②ｆ（ｘ）在［π，２π］
上單調遞增；③函數ｙ＝ｆ（ｘ）－１在［－π，π］上有３個零點；④曲線ｙ＝ｆ（ｘ）關于直線ｘ＝π
對稱．其中所有正確結論的編號為
Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．②④ Ｄ．③④
１２．球Ｏ與棱長為２的正方體 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的各條棱都相切，點 Ｍ為棱 ＤＤ１的中點，平
面ＡＣＭ截球Ｏ所得截面圓，則球心Ｏ到截面圓的距離為
Ａ．槡２２ Ｂ．
槡６
３ Ｃ．
槡６
２ Ｄ．
槡３
３
第Ⅱ卷（非選擇題　共９０分）
本卷包括必考題和選考題兩個部分．第 １３～２１題為必考題，每個考生都必須作答．第
２２～２３題為選考題，考生根據要求作答．
二、填空題：本大題共４小題，每小題５分，共２０分．
１３．已知曲線ｆ（ｘ）＝ａｘ３＋ｌｎｘ在（１，ｆ（１））處的切線的斜率為２，則實數ａ的取值是　　　　．
　理科數學試題卷 第３　頁　（共４頁）
１４．若數列｛ａｎ｝的首項ａ１＝２，且Ｓｎ＋１＝
２
３ａｎ＋１＋
１
３（ｎ∈Ｎ
?），則數列｛ａｎ｝的通項公式是　　
　　．
１５．甲、乙兩人爭奪一場圍棋比賽的冠軍，若比賽為“三局兩勝”制，甲在每局比賽中獲勝的概率為
２
３，且各局比賽結果相互獨立，則在甲獲得冠軍的條件下，比賽進行了３局的概率為　　　　．
１６．設Ｆ為雙曲線Ｃ：ｘ
２
ａ２
－ｙ
２
ｂ２
＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的右焦點，過Ｆ且斜率為ａｂ的直線ｌ與雙曲線Ｃ
的兩條漸近線分別交于Ａ，Ｂ兩點，且｜→?ＡＦ｜＝２｜→?ＢＦ｜，則雙曲線Ｃ的離心率為　　　　．
三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟，共７０分．
１７．（本小題滿分１２分）在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ所對的邊分別為ａ、ｂ、ｃ，且３（ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ）＝
槡４２ｓｉｎＢｓｉｎＣ＋３ｓｉｎ
２Ａ．
（１）求ｔａｎＡ的值；
（２）若３ｃａ＝
槡２ｓｉｎＢ
ｓｉｎＡ，且△ＡＢＣ的面積Ｓ△ＡＢＣ 槡＝２２，求ｃ的值．
１８．（本小題滿分１２分）如圖，在多面體 ＡＢＣＤＥ中，ＡＥ⊥平面 ＡＢＣ，平面 ＢＣＤ⊥平面 ＡＢＣ，
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△ＡＢＣ是邊長為２的等邊三角形，ＢＤ＝ＣＤ 槡＝５，ＡＥ＝２．
（１）證明：平面ＥＢＤ⊥平面ＢＣＤ；
（２）求平面ＢＥＤ與平面ＡＢＣ所成銳二面角的正弦值．
１９．（本小題滿分１２分）在平面直角坐標系中，已知Ｆ（０，２），Ｐ（ｔ，－２），若線段ＦＰ的中垂線ｌ
與拋物線Ｃ：ｘ２＝２ｐｙ（ｐ＞０）總是相切．
（１）求拋物線Ｃ的方程；
（２）若過點Ｑ（１，２）的直線ｌ′交拋物線Ｃ于Ｍ，Ｎ兩點，過 Ｍ，Ｎ分別作拋物線的切線 ｌ１，ｌ２
相交于點Ａ．ｌ１，ｌ２分別與ｘ軸交于點Ｂ，Ｃ．證明：當ｌ′變化時，△ＡＢＣ的外接圓過定點，
并求出定點的坐標．
　理科數學試題卷 第４　頁　（共４頁）
２０．（本小題滿分１２分）已知函數ｆ（ｘ）＝４ｃｏｓ（１２ｘ－
π
３）－ｅ
ｘ，ｆ′（ｘ）為ｆ（ｘ）的導函數，證明：
（１）ｆ′（ｘ）在區間［－π，０］上存在唯一極大值點；
（２）ｆ（ｘ）在區間［－π，０］上有且僅有一個零點．
２１．（本小題滿分１２分）２０１９年全國美麗鄉村籃球大賽在中國農村改革的發源地———安徽鳳
陽舉辦，其間甲、乙兩人輪流進行籃球定點投籃比賽（每人各投一次為一輪），在相同的條
件下，每輪甲乙兩人在同一位置，甲先投，每人投一次球，兩人有１人命中，命中者得１分，
未命中者得－１分；兩人都命中或都未命中，兩人均得０分，設甲每次投球命中的概率為
１
２，乙每次投球命中的概率為
２
３，且各次投球互不影響．
（１）經過１輪投球，記甲的得分為Ｘ，求Ｘ的分布列；
（２）若經過 ｎ輪投球，用 ｐｉ表示經過第 ｉ輪投球，累計得分，甲的得分高于乙的得分的
概率．
①求ｐ１，ｐ２，ｐ３；
②規定ｐ０＝０，經過計算機計算可估計得ｐｉ＝ａｐｉ＋１＋ｂｐｉ＋ｃｐｉ－１（ｂ≠１），請根據①中 ｐ１，ｐ２，
ｐ３的值分別寫出ａ，ｃ關于ｂ的表達式，并由此求出數列｛ｐｎ｝的通項公式．
　　請考生在２２、２３兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，作答時請用２Ｂ
鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑．
２２．（本小題滿分１０分）選修４－４：極坐標系與參數方程
在平面直角坐標系ｘＯｙ中，直線ｌ的參數方程為
ｘ＝１＋ｔｃｏｓα
ｙ＝２＋ｔｓｉｎ{ α（ｔ為參數）．以坐標原點為極
點，以ｘ軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線Ｃ的極坐標方程為ρ＋２ｃｏｓθ－４ｓｉｎθ＝０．
（１）求曲線Ｃ的普通方程；
（２）已知點Ｍ（１，２），直線ｌ與曲線Ｃ交于Ｐ，Ｑ兩點，求 ｜ＭＰ｜２＋｜ＭＱ｜槡
２的最大值．
２３．（本小題滿分１０分）選修４－５：不等式選講
設ｍ，ｎ，ｐ均為正數，且ｍ＋ｎ＋ｐ＝１，求證：
（１）ｍｎ＋ｎｐ＋ｐｍ≤１３；
（２）ｍ
２
ｎ＋
ｎ２
ｐ＋
ｐ２
ｍ≥１．
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第Ⅰ卷　（選擇題　共６０分）
一、選擇題（共１２小題，每小題５分，共６０分）
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　　　５
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　　　 ９
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２
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６
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第Ⅱ卷　（非選擇題　共９０分）
二、填空題（共４小題，每小題５分，共２０分）
１３．　　　　　　　　　　　　　　　１４．　　　　　　　　　　　　
１５．　　　　　　　　　　　　　　　１６．　　　　　　　　　　　　
三、解答題（共７０分）
１７．（１２分）
書
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#
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１８．（１２分）
書
１９．（１２分）
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書
　　請考生在第２２、２３題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題
記分．（１０分）
２２． 　　　　　　２３．
書
２０．（１２分）
書
２１．（１２分）
理數答案
1【答案】B
【解析】當時，此時，所以；
當時，因為，所以；
綜上所述：.故選B.
2．【答案】C
【解析】設復數，其中，，
由，得，
，
解得；
，
即有最小值為1，沒有最大值．
故選：．
3．【答案】C
【解析】,
∴，故選：C
4．【答案】D
【解析】令，則，函數為偶函數，排除AB選項；
當時， ，而，則，
排除選項C.，本題選擇D選項.
5．【答案】D
【解析】由，得
因為，
所以，
即，
解得，所以
6.【答案】B
【解析】設齊王的上等馬、中等馬、下等馬分別為，，，
設田忌的上等馬、中等馬、下等馬分別為，，，
每一場雙方均任意選一匹馬參賽，且每匹馬僅參賽一次，勝兩場或兩場以上者獲勝．
基本事件有：，，，，，，，，，，Ba，Cc)，，，，，，，共6個，
田忌獲勝包含的基本事件有：，，，只有1個，
田忌獲勝的概率為．故選：B.
7. 【答案】A
【解析】∵是單位向量，
∴，，
，∴。故選：A。
8. 【答案】B
【解析】由題意可知為雞的數量，為兔的數量，為足的數量，根據題意知，在程序框圖中，當計算足的數量為時，算法結束，因此，判斷條件應填入“”.故選：B.
9．【答案】B
【解析】由題意設等差數列的公差為d，d≠0，由可得
又成等比數列，
可得a32＝a1a6，即有（a1+2d）2＝a1（a1+5d），結合
解得d＝（0舍去），則數列{an}的通項公式an＝2+（n﹣1）＝n+；故選：B．
10. 【答案】C
【解析】 設橢圓方程為 則點P的坐標為， 利用,
建立等式,,解得
結合得到,,所以橢圓的方程
11．【答案】D
【解析】，①錯；當時，，在上不是單調函數，實際上它在上遞增，在遞減，②錯；當時，，函數無零點，當，即時，注意到是偶函數，研究時，，只有，因此在時，函數有三個零點，③正確；，∴曲線關于直線對稱，④正確．
∴正確結論有③④，故選：D．
12．【答案】B
【解析】
由題意，球O與棱長為2的正方體的各條棱都相切，則球心是正方體的體對角線交點，球的半徑為，
如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，則，，，，，，
設平面的法向量為，則令則，
即
球心到平面的距離為，故選：
13．【答案】
【解析】故答案為：．
14．【答案】
【解析】
，得（）,兩式相減得，即（），，得，經檢驗n=1不符合。
所以
15．【答案】
【解析】根據題意，甲獲得冠軍的概率為，
其中，比賽進行了局的概率為，
所以，在甲獲得冠軍的條件下，比賽進行了3局的概率為
.故答案為：.
16．【答案】2或
【解析】若，則由圖1可知，漸近線的斜率為，，在 中，由角平分線定理可得，所以，，所以，.若，則由圖2可知，漸近線為 邊AF的垂直平分線，故△AOF為等腰三角形，故，，，即該雙曲線的離心率為2或.


17．【解析】
（1）因為，故，
，故，
因此，；
（2）因為，故，即，
的面積為，即，故，
解得.
18．【解析】
（1）證明：取中點，連結，
∵，∴， ，
∵平面，平面平面，
∵平面平面，
∴平面，
∵平面，∴，
又，
∴四邊形是平行四邊形，∴，
∵是等邊三角形，∴，
∵平面，平面平面，平面平面，
∴平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
（2）解：由（1）得平面，∴，
又，
分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，
則，
平面的一個法向量為，
設平面的一個法向量為，
，
則，取，得，
設平面與平面所成銳二面角的平面角為，
則
∴平面與平面所成銳二面角的正弦值為．
19. 【解析】（1），可得FP的中點為，
當t＝0時，FP的中點為原點，
當t≠0時，直線FP的斜率為，線段FP的中垂線l的斜率為，
可得中垂線l的方程為，代入拋物線方程，
可得，
由直線和拋物線相切可得解得，
則拋物線的方程為；
（2）證明：可設過點Q（1，2）的直線的方程為y﹣2＝m（x﹣1），即y＝mx+2﹣m，
代入拋物線的方程，可得x2﹣8mx﹣16+8m＝0，
設，則，
由，兩邊對求導可得，
可得M處的切線方程為①
同理可得N處的切線方程為②
由①-②可得，
即A（4m ,m﹣2），
又分別與軸交于點，
設過A，B，C的外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，（D2+E2﹣4F＞0），
即有

把代入（3）得，
可得△ABC的外接圓方程為，
可得，
由可得或，
則當變化時，△ABC的外接圓過定點和；
20．【解析】
（1），設，
則，
當時，，遞增，又是增函數，
∴在是單調遞減．
，，
∴存在唯一的，使得，且當時，，遞增，時，，遞減，∴是的極大值點，也是唯一極大值點．
即是上的的唯一極大值點．
（2）由（1）知
，
∴在上單調遞增．
，，
∴在上存在零點也是唯一零點．
21.【解析】
（1）記一輪投球，甲命中為事件，乙命中為事件，相互獨立，由題意，，甲的得分的取值為，
，
，
，
∴的分布列為：
－1 0 1



（2）由（1），
，
同理，經過2輪投球，甲的得分取值：
記，，，則
，，，，
由此得甲的得分的分布列為：

－2 －1 0 1 2


∴，
∵，，
∴，，∴，
代入得：，
∴，
∴數列是等比數列，公比為，首項為，
∴．
∴．

22．【解析】（1）∵，∴，
∴，即.
（2）將直線的參數方程（為參數）代入的普通方程，得，則，，
所以，
所以，即的最大值為.

23．【解析】（1）由
得
由已知得
即
取等號時,

（2）因為
所以
取等號時,
即

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