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2020年高考理科數(shù)學(xué)《圓錐曲線》題型歸納與訓(xùn)練
【題型歸納】
題型一 求曲線的方程
例1已知，，點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為．求軌跡的方程．
【答案】
【解析】由可知：點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，
由，∴，故軌跡的方程為.
【易錯(cuò)點(diǎn)】（1）對(duì)于雙曲線的定義理解片面；（2）如果動(dòng)點(diǎn)滿足，
則點(diǎn)的軌跡是雙曲線。但該題已知條件中給出的是“”只能表示點(diǎn)的軌跡是雙曲線的右支，而不是雙曲線的全部。
【思維點(diǎn)撥】利用雙曲線解題時(shí)，一定要觀察是雙曲線的全部還是部分。
題型二 定值、定點(diǎn)問(wèn)題
例2已知橢圓C：＋＝1過(guò)A(2,0)，B(0,1)兩點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程及離心率；
(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值．
【答案】(1)＋y2＝1，e＝(2)2.
【解析】(1)由題意得
所以橢圓C的方程為＋y2＝1.
又c＝＝，所以離心率e＝＝.
(2)證明：設(shè)P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，則x＋4y＝4.
又A(2,0)，B(0,1)，
所以直線PA的方程為y＝(x－2).
令x＝0，得yM＝－，從而|BM|＝1－yM＝1＋.
直線PB的方程為y＝x＋1.
令y＝0，得xN＝－，從而|AN|＝2－xN＝2＋.
所以四邊形ABNM的面積S＝|AN|·|BM|
＝＝＝
從而四邊形ABNM的面積為定值.
【易錯(cuò)點(diǎn)】(1)．想不到設(shè)出P(x0，y0)后，利用點(diǎn)斜式寫出直線PA，PB的方程．不會(huì)由直線PA，PB的方程求解|BM|，|AN|；
(2)．不知道四邊形的面積可用S＝| AN|·|BM|表示；
(3)．四邊形ABNM的面積用x0，y0表示后，不會(huì)變形、化簡(jiǎn)，用整體消參來(lái)求值．
【思維點(diǎn)撥】第(1)問(wèn)由a＝2，b＝1，c＝，解第一問(wèn)；
第(2)問(wèn)畫草圖可知AN⊥BM，四邊形ABNM的面積為|AN|·|BM|，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，得出PA，PB的方程，進(jìn)而得出M，N的坐標(biāo)，得出|AN|，|BM|，只需證明|AN|·|BM|是一個(gè)與點(diǎn)P的坐標(biāo)無(wú)關(guān)的量即可．
例3已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，四點(diǎn)P1(1,1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三點(diǎn)在橢圓C上．
(1)求C的方程；
(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)．若直線P2A與直線P2B的斜率的和為－1，證明：l過(guò)定點(diǎn)．
【答案】(1)＋y2＝1(2)(2，－1)
【解析】(1)因?yàn)镻3，P4，所以P3，P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，
故由題設(shè)知橢圓C經(jīng)過(guò)P3，P4兩點(diǎn)．
又由＋>＋知，橢圓C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1，
所以點(diǎn)P2在橢圓C上.

故橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)證明：設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2.

由題設(shè)知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐標(biāo)分別為，.
則k1＋k2＝－＝－1，
得t＝2，不符合題設(shè)．從而可設(shè)l：y＝kx＋m(m≠1)．
將y＝kx＋m代入＋y2＝1得
(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
由題設(shè)可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

而k1＋k2＝＋
＝＋
＝.
由題設(shè)k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.
即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0.

當(dāng)且僅當(dāng)m>－1時(shí)，Δ>0，于是
l：y＝－x＋m，
即y＋1＝－(x－2)，
所以l過(guò)定點(diǎn)(2，－1).
【易錯(cuò)點(diǎn)】(1)觀察不出P3，P4對(duì)稱，忽視對(duì)稱性導(dǎo)致判斷失誤;
(2)不會(huì)用點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程判斷P1，P2是否在橢圓上而滯做;
(3)聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，計(jì)算化簡(jiǎn)失誤而滯做;
(4)利用k1＋k2＝－1運(yùn)算變形不明確變形目標(biāo)，導(dǎo)致化簡(jiǎn)不出k，m的關(guān)系．
【思維點(diǎn)撥】第(1)問(wèn)利用橢圓的性質(zhì)，易排除點(diǎn)P1(1,1)不在橢圓上，從而求橢圓方程；
第(2)問(wèn)分類討論斜率是否存在，若存在，設(shè)l：y＝kx＋m，利用條件建立k，m的等量關(guān)系，消參后再表示出直線l的方程可證明．
題型三最值（范圍）問(wèn)題
例4已知橢圓C：＋y2＝1(a＞0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是其左、右焦點(diǎn)，以F1F2為直徑的圓與橢圓C有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)F1且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)P，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是，求線段AB長(zhǎng)的取值范圍．
【答案】(1)＋y2＝1(2)
【解析】(1)因?yàn)橐訤1F2為直徑的圓與橢圓C有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，所以b＝c＝1，a＝，
所以橢圓C的方程為＋y2＝1．
(2)根據(jù)題意，直線A，B的斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x＋1)，與＋y2＝1聯(lián)立，
消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，
則x1＋x2＝－，x1·x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋1)＋k(x2＋1)＝k(x1＋x2＋2)＝，即M.
則直線AB的垂直平分線為y－＝－，令y＝0，得xP＝，
因?yàn)閤P∈，即－＜＜0，
所以0＜k2＜，

＝
＝＝.
∵＜＜1，
∴|AB|∈．
【易錯(cuò)點(diǎn)】運(yùn)算錯(cuò)誤，由于運(yùn)算方法、運(yùn)算技巧以及自身運(yùn)算能力差，都是出錯(cuò)原因。
【思維點(diǎn)撥】與圓錐曲線有關(guān)的取值范圍問(wèn)題的三種解法：
（1）數(shù)形結(jié)合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后數(shù)形結(jié)合求解．
（2）構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為元的不等式求解．
（3）構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其值域．
題型四存在性問(wèn)題
例5.如圖，橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率是，點(diǎn)P(0，1)在短軸CD上，且·＝－1.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)．是否存在常數(shù)λ，使得·＋λ·為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)＋＝1(2)－3，理由見解析
【解析】(1)由已知，點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(0，－b)，(0，b)．
又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1)，且·＝－1，
于是解得a＝2，b＝.
所以橢圓E的方程為＋＝1.
(2)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1，A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)．
聯(lián)立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.
其判別式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－.
從而，·＋λ·
＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]
＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝＝－－λ－2.
所以，當(dāng)λ＝1時(shí)，－－λ－2＝－3.
此時(shí)，·＋λ·＝－3為定值．
當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線AB即為直線CD.
此時(shí)，·＋λ·＝·＋λ·＝－2－λ.
當(dāng)λ＝1時(shí)，·＋·＝－3，為定值．
綜上，存在常數(shù)λ＝1，使得·＋λ·為定值－3.
【思維點(diǎn)撥】解決是否存在常數(shù)的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)首先假設(shè)存在，看是否能求出符合條件的參數(shù)值，如果推出矛盾就不存在，否則就存在。
例6已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F2(2,0)，點(diǎn)P在橢圓C上．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)是否存在斜率為－1的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，使得|F1M|＝|F1N|(F1為橢圓的左焦點(diǎn))？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．
【答案】(1)＋＝1(2)不存在滿足條件的直線l
【解析】(1)法一：∵橢圓C的右焦點(diǎn)為F2(2,0)，
∴c＝2，橢圓C的左焦點(diǎn)為F1(－2,0)．
由橢圓的定義可得2a＝＝ ＋ ＝2，解得a＝，
∴b2＝a2－c2＝6－4＝2.
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
法二：∵橢圓C的右焦點(diǎn)為F2(2,0)，
∴c＝2，故a2－b2＝4，
又點(diǎn)P在橢圓C上，則＋＝1，
故＋＝1，
化簡(jiǎn)得3b4＋4b2－20＝0，得b2＝2，a2＝6.
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2)假設(shè)存在滿足條件的直線l，設(shè)直線l的方程為y＝－x＋t，
由得x2＋3(－x＋t)2－6＝0，
即4x2－6tx＋(3t2－6)＝0，
Δ＝(－6t)2－4×4×(3t2－6)＝96－12t2>0，
解得－2設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝，
由于|F1M|＝|F1N|，設(shè)線段MN的中點(diǎn)為E，
則F1E⊥MN，故kF1E＝－＝1，
又F1(－2,0)，E，
即E，
∴kF1E＝＝1，解得t＝－4.
當(dāng)t＝－4時(shí)，不滿足－2∴不存在滿足條件的直線l.
【思維點(diǎn)撥】解決是否存在直線的問(wèn)題時(shí)，可依據(jù)條件尋找適合條件的直線方程，聯(lián)立方程消元得出一元二次方程，利用判別式得出是否有解
【鞏固訓(xùn)練】
題型一 求曲線的方程
1.已知A(－1,0)，B是圓F：x2－2x＋y2－11＝0(F為圓心)上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(　　)
A.＋＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.＋＝1
【答案】D
【解析】由題意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2＞|AF|＝2，∴點(diǎn)P的軌跡是以A、F為焦點(diǎn)的橢圓，且a＝，c＝1，∴b＝，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為＋＝1，故選D.
2.已知點(diǎn)A(0，－1)，當(dāng)點(diǎn)B在曲線y＝2x2＋1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是_______________．
【答案】y＝4x2
【解析】設(shè)M(x，y)，B(x0，y0)，則y0＝2x＋1.
又因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，
所以即
將其代入y0＝2x＋1得，2y＋1＝2(2x)2＋1，即y＝4x2.
3.已知圓C的方程為x2＋y2＝4，過(guò)圓C上的一動(dòng)點(diǎn)M作平行于x軸的直線m，設(shè)m與y軸的交點(diǎn)為N，若向量＝＋，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡．
【答案】＋＝1(y≠0)．
【解析】設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0)(y0≠0)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0，y0)．
因?yàn)椋剑?x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0,2y0)，則x0＝x，y0＝.
又因?yàn)辄c(diǎn)M在圓C上，
所以x＋y＝4，
即x2＋＝4(y≠0)．
所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是＋＝1(y≠0)．
題型二 定值、定點(diǎn)問(wèn)題
1.已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，點(diǎn)(2，)在C上．
(1)求C的方程；
(2)直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值．
【答案】(1)＋＝1(2)略
【解析】(1)由題意有＝，＋＝1，
解得a2＝8，b2＝4.
所以C的方程為＋＝1．
(2)證明：設(shè)直線l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
將y＝kx＋b代入＋＝1，得
(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0．
故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝．
于是直線OM的斜率kOM＝＝－，
即kOM·k＝－.
所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值．
2.已知?jiǎng)訄AM恒過(guò)點(diǎn)(0,1)，且與直線y＝－1相切．
(1)求圓心M的軌跡方程；
(2)動(dòng)直線l過(guò)點(diǎn)P(0，－2)，且與點(diǎn)M的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，求證：直線AC恒過(guò)定點(diǎn).
【答案】(1)x2＝4y(2)略
【解析】(1)由題意，得點(diǎn)M與點(diǎn)(0,1)的距離始終等于點(diǎn)M到直線y＝－1的距離，由拋物線定義知圓心M的軌跡為以點(diǎn)(0,1)為焦點(diǎn)，直線y＝－1為準(zhǔn)線的拋物線，則＝1，p＝2.
∴圓心M的軌跡方程為x2＝4y．
(2)證明：由題知，直線l的斜率存在，
∴設(shè)直線l：y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則C(－x2，y2)，
聯(lián)立得x2－4kx＋8＝0，
∴
kAC＝＝＝，
則直線AC的方程為y－y1＝(x－x1)，
即y＝y(tǒng)1＋(x－x1)
＝x－＋
＝x＋．
∵x1x2＝8，∴y＝x＋＝x＋2，
故直線AC恒過(guò)定點(diǎn)(0,2)．
3.已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)上一點(diǎn)P與橢圓右焦點(diǎn)的連線垂直于x軸，直線l：
y＝kx＋m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)(均不在坐標(biāo)軸上)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△AOB的面積為，試判斷直線OA與OB的斜率之積是否為定值？
【答案】(1)＋＝1(2)－．
【解析】(1)由題意知解得
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1．
(2)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
由Δ＝(8km)2－16(4k2＋3)(m2－3)＞0，得m2＜4k2＋3．
∵x1＋x2＝，x1x2＝，
∴S△OAB＝|m||x1－x2|＝|m|·＝，
化簡(jiǎn)得4k2＋3－2m2＝0，滿足Δ＞0，從而有4k2－m2＝m2－3(*)，
∴kOA·kOB＝＝＝
＝＝－·，由(*)式，得＝1，
∴kOA·kOB＝－，即直線OA與OB的斜率之積為定值－．
題型三 最值（范圍）問(wèn)題
1.已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)B1(0，－1)和B2(0,1)連線的斜率之積等于－.
(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；
(2)設(shè)直線l：y＝x＋m(m≠0)與軌跡E交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P，當(dāng)m變化時(shí)，求△PAB面積的最大值.
【答案】(1)＋y2＝1(x≠0)(2)
【解析】(1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，1分
依題意得·＝－，
化簡(jiǎn)得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程為＋y2＝1(x≠0)．
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．
聯(lián)立
化簡(jiǎn)得3x2＋4mx＋2m2－2＝0(x≠0)，
∵有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴Δ＝(4m)2－12(2m2－2)＞0，
即－＜m＜且m≠－1,0,1.
設(shè)A，B的中點(diǎn)為C(xC，yC)，
則xC＝＝－，
yC＝xC＋m＝，
∴C，
∴線段AB的垂直平分線方程為y－＝－，令y＝0，得P點(diǎn)坐標(biāo)為 則點(diǎn)P到AB的距離d＝，
由弦長(zhǎng)公式得|AB|＝·＝，
∴S△PAB＝···
＝≤·＝，
當(dāng)且僅當(dāng)m2＝，即m＝±∈(－，)時(shí)，等號(hào)成立，
∴△PAB面積的最大值為．
2.已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)離心率為，過(guò)點(diǎn)E(－，0)的橢圓的兩條切線相互垂直.
(1)求此橢圓的方程；
(2)若存在過(guò)點(diǎn)(t,0)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，使得FA⊥FB(F為右焦點(diǎn))，求t的取值范圍.
【答案】(1)＋＝1(2)
【解析】(1)由橢圓的離心率e＝＝，
得a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2.
不妨設(shè)在x軸上方的切點(diǎn)為M，x軸下方的切點(diǎn)為N，由橢圓的對(duì)稱性知kME＝1，
直線ME的方程為y＝x＋，
聯(lián)立消去y，
整理得7x2＋8x＋28－12c2＝0，
由Δ＝(8)2－4×7×(28－12c2)＝0，得c＝1，
∴a＝2，b＝，
∴橢圓方程為＋＝1.
(2)設(shè)l的方程為x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯(lián)立消去x，
整理得(3m2＋4)y2＋6mty＋3t2－12＝0，
則y1＋y2＝，y1y2＝.
又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，
∴·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2
＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2＋(mt－m)(y1＋y2)＋t2－2t＋1＝0，
∴(m2＋1)(3t2－12)＋(mt－m)(－6mt)＋(t2－2t＋1)·(3m2＋4)＝0，
化簡(jiǎn)得7t2－8t－8＝9m2.
要滿足題意，則7t2－8t－8＝9m2有解，
∴7t2－8t－8≥0，解得t≥或t≤.
∴t的取值范圍為.
3.已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，直線PQ過(guò)F交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且|PF|max·|QF|min＝.
(1)求橢圓的長(zhǎng)軸與短軸的比值；
(2)如圖，線段PQ的垂直平分線與PQ交于點(diǎn)M，與x軸，y軸分別交于D，E兩點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】(1)2(2)
【解析】(1)設(shè)F(c,0)，
則|PF|max＝a＋c，|QF|min＝a－c，
∴a2－c2＝.
∵b2＋c2＝a2，∴a2＝4b2，
∴長(zhǎng)軸與短軸的比值為2a∶2b＝2.
(2)由(1)知a＝2b，可設(shè)橢圓方程為＋＝1.
依題意，直線PQ的斜率存在且不為0，
設(shè)直線PQ的方程為y＝k(x－c)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
聯(lián)立消去y，
得(4k2＋1)x2－8k2cx＋4k2c2－4b2＝0，
則x1＋x2＝，
∴y1＋y2＝k(x1＋x2－2c)＝－，
∴M.
∵M(jìn)D⊥PQ，設(shè)D(x3,0)，
∴·k＝－1，
解得x3＝，∴D.
∵△DMF∽△DOE，
∴＝＝＝>，
∴的取值范圍為.
題型四存在性問(wèn)題
1.如圖，橢圓C：＋＝1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，離心率e＝，直線l的方程為x＝4.
(1)求橢圓C的方程；
(2)AB是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F的任一弦(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P)，設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3.問(wèn)：是否存在常數(shù)λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，說(shuō)明理由．
【答案】(1)＋＝1(2)λ＝2
【解析】(1)由P在橢圓上得，＋＝1.①
依題設(shè)知a＝2c，則b2＝3c2.②
②代入①解得c2＝1，a2＝4，b2＝3.
故橢圓C的方程為＋＝1.
(2)由題意可設(shè)直線AB的斜率為k，
則直線AB的方程為y＝k(x－1)．③
代入橢圓方程并整理，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有
x1＋x2＝，x1x2＝.④
在方程③中令x＝4得，M的坐標(biāo)為(4,3k)．
從而k1＝，k2＝，k3＝＝k－.
由于A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，則有k＝kAF＝kBF，即有＝＝k.
所以k1＋k2＝＋＝＋－＋＝2k－·.⑤
④代入⑤得k1＋k2＝2k－·＝2k－1，
又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3.故存在常數(shù)λ＝2符合題意．
2.已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F1(－2,0)，點(diǎn)B(2，)在橢圓C上，直線y＝kx(k≠0)與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線AE，AF分別與y軸交于點(diǎn)M，N.
(1)求橢圓C的方程；
(2)在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得無(wú)論非零實(shí)數(shù)k怎樣變化，總有∠MPN為直角？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)＋＝1(2)P(2,0)或P(－2,0)
【解析】(1)設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，
因?yàn)闄E圓的左焦點(diǎn)為F1(－2,0)，所以a2－b2＝4.
由題可得橢圓的右焦點(diǎn)為F2(2,0)，已知點(diǎn)B(2，)在橢圓C上，由橢圓的定義知|BF1|＋|BF2|＝2a，
所以2a＝3＋＝4.
所以a＝2，從而b＝2.
所以橢圓C的方程為＋＝1.
(2)因?yàn)闄E圓C的左頂點(diǎn)為A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2，0)．
因?yàn)橹本€y＝kx(k≠0)與橢圓＋＝1交于兩點(diǎn)E，F(xiàn)，
設(shè)點(diǎn)E(x0，y0)(不妨設(shè)x0>0)，則點(diǎn)F(－x0，－y0)．
聯(lián)立方程消去y得x2＝.
所以x0＝，y0＝，
所以直線AE的方程為y＝(x＋2)．
因?yàn)橹本€AE與y軸交于點(diǎn)M，
令x＝0，得y＝，
即點(diǎn)M.
同理可得點(diǎn)N.
假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)P(t,0)，使得∠MPN為直角，則·＝0.
即t2＋×＝0，即t2－4＝0.
解得t＝2或t＝－2.
故存在點(diǎn)P(2,0)或P(－2,0)，無(wú)論非零實(shí)數(shù)k怎樣變化，總有∠MPN為直角．
3.已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3)，且點(diǎn)F(2，0)為其右焦點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)＋＝1(2)所以符合題意的直線l不存在
【解析】(1)依題意，可設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，且可知其左焦點(diǎn)為F′(－2,0)．
從而有解得
又a2＝b2＋c2，
所以b2＝12.
故橢圓C的方程為＋＝1.
(2)假設(shè)存在符合題意的直線l，設(shè)其方程為y＝x＋t.
由得3x2＋3tx＋t2－12＝0.
因?yàn)橹本€l與橢圓C有公共點(diǎn)，
所以Δ＝(3t)2－4×3(t2－12)＝144－3t2≥0，解得－4≤t≤4.
另一方面，由直線OA與l的距離等于4，可得＝4，從而t＝±2.
由于±2 [－4，4 ]，
所以符合題意的直線l不存在．
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