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解決與三角形相關(guān)的取值范圍問題
例1：在銳角中，，則的取值范圍是
解析：由
得，所以，又所以
點評：①本題易錯在求的范圍上，容易忽視“是銳角三角形”這個條件。②本題涉及三角形邊角之間的關(guān)系，考察邊角互化，化多元為一元，體現(xiàn)了解題的通性通法。
例2：若的三邊成等比數(shù)列，所對的角依次為，則的取值范圍是
解析：由題設(shè)知，又余弦定理知
所以，又所以即的取值范圍是。
點評：本題將數(shù)列、基本不等式、三角函數(shù)、解三角形等知識結(jié)合起來，有利于提高學(xué)生解題的綜合能力。
例3：在中，角的對邊分別為，且成等差數(shù)列。（1）求的大小。
（2）若，求周長的取值范圍。
解析：（1）由題意知，
由正弦定理得
所以，于是
（2）由正弦定理，所以

又由得，所以
。
點評：對三角函數(shù)式的處理常常借助于同角三角函數(shù)間關(guān)系、誘導(dǎo)公式以及恒等變換式等實施變形，達(dá)到化簡、求值域的目的。
例4：在中，，若的外接圓半徑為，則的面積的最大值為
解析：又及余弦定理得，所以，
又由于，所以即
所以，又由于，故當(dāng)且僅當(dāng)時，的面積取最大值
點評：先利用余弦定理求的大小，再利用面積公式結(jié)合基本不等式，求面積的最大值，要注意正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用。
例5：（2008，江蘇）滿足的的面積的最大值是
解析：設(shè)，則，
根據(jù)面積公式得 ①
由余弦定理得
代入①式得
由三角形三邊關(guān)系有，所以，
故當(dāng)時，取得最大值。
點評：本題結(jié)合函數(shù)的知識，以學(xué)生熟悉的三角形為載體，考察了面積公式、余弦定理等知識，是一道考察解三角形的好題。
例6：已知角是三個內(nèi)角，是各角的對邊，向量，，且
（1）求的值。
（2）求的最大值。
解析：由，，且得
，所以，
即，所以
（2）由余弦定理得，而

即有最小值，又，
所以有最大值（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）
所以的最大值為
通過以上例題，我們發(fā)現(xiàn)與三角形相關(guān)的取值范圍問題常常結(jié)合正弦定理、余弦定理、面積公式、數(shù)列、三角函數(shù)、基本不等式、二次函數(shù)、向量等知識綜合考查。這一類問題有利于考查學(xué)生對知識的綜合運用能力，是高考命題的熱點。理順這些基本知識以及技巧和方法可以提高我們解題的能力。希望本文能對同學(xué)們復(fù)習(xí)備考有所幫助。
鞏固練習(xí)
1．在中，，則的取值范圍為
2．若鈍角三角形的三內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，且最大邊長與最小邊長的比值為，則的取值范圍是
3．在中，，且所對的邊滿足，則實數(shù)的取值范圍為
4．在銳角中，，，則的取值范圍是
5．在銳角中，三個內(nèi)角成等差數(shù)列，記，則的取值范圍是
6．已知銳角三角形的邊長分別為，則的取值范圍是
7．已知外接圓的半徑為，若面積且，則 ，的最大值為
8．在中，，且
（1）求證：為直角三角形
（2）若外接圓的半徑為，求的周長的取值范圍
9．在中所對的邊分別為，已知
（1）若，求實數(shù)的值
（2）若，求面積的最大值。

參考答案
1．
2．
3．
4．同例1知，由正弦定理
5．易知，則

由于，所以，故
6.設(shè)所對的角分別為，由三角形三邊關(guān)系有，故，易知，要保證為銳角三角形，只需，即，解得
7．由，得
由余弦定理得，故有，易得為銳角，且，即，故有，
則
（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）
即的最大值為
8．（1）由，且
得，
由正弦定理得，
由余弦定理得
整理得
又由于，故，即是直角三角形
（或者：由得，

化簡得，由于，故，
即是直角三角形）
（2）設(shè)內(nèi)角所對的邊分別為
由于外接圓的半徑為，，所以，
所以
又，故，因而
故
即的周長的取值范圍為
9．（1）由兩邊平方得
即，解得
由得
即，所以
（2）由（1）知，則，
又，所以，即，
故

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