資源簡介

二次方程根的分布與二次函數在閉區間上的最值歸納
1、一元二次方程根的分布情況
設方程的不等兩根為且，相應的二次函數為，方程的根即為二次函數圖象與軸的交點，它們的分布情況見下面各表（每種情況對應的均是充要條件）
表一：（兩根與0的大小比較即根的正負情況）
分布情況 兩個負根即兩根都小于0 兩個正根即兩根都大于0 一正根一負根即一個根小于0，一個大于0
大致圖象（）
得出的結論
大致圖象（）
得出的結論
綜合結論（不討論）


表二：（兩根與的大小比較）

分布情況 兩根都小于即 兩根都大于即 一個根小于，一個大于即
大致圖象（）
得出的結論
大致圖象（）
得出的結論
綜合結論（不討論）


表三：（根在區間上的分布）
分布情況 兩根都在內 兩根有且僅有一根在內 （圖象有兩種情況，只畫了一種） 一根在內，另一根在內，
大致圖象（）
得出的結論 或
大致圖象（）
得出的結論 或
綜合結論（不討論） ——————
根在區間上的分布還有一種情況：兩根分別在區間外，即在區間兩側，（圖形分別如下）需滿足的條件是


（1）時，； （2）時，

對以上的根的分布表中一些特殊情況作說明：
（1）兩根有且僅有一根在內有以下特殊情況：
若或，則此時不成立，但對于這種情況是知道了方程有一根為或，可以求出另外一根，然后可以根據另一根在區間內，從而可以求出參數的值。如方程在區間上有一根，因為，所以，另一根為，由得即為所求；
方程有且只有一根，且這個根在區間內，即，此時由可以求出參數的值，然后再將參數的值帶入方程，求出相應的根，檢驗根是否在給定的區間內，如若不在，舍去相應的參數。如方程有且一根在區間內，求的取值范圍。分析：①由即得出；②由即得出或，當時，根，即滿足題意；當時，根，故不滿足題意；綜上分析，得出或

根的分布練習題
例1、已知二次方程有一正根和一負根，求實數的取值范圍。
解：由 即 ，從而得即為所求的范圍。

例2、已知方程有兩個不等正實根，求實數的取值范圍。
解：由

或即為所求的范圍。

例3、已知二次函數與軸有兩個交點，一個大于1，一個小于1，求實數的取值范圍。
解：由 即 即為所求的范圍。

例4、已知二次方程只有一個正根且這個根小于1，求實數的取值范圍。
解：由題意有方程在區間上只有一個正根，則 即為所求范圍。
（注：本題對于可能出現的特殊情況方程有且只有一根且這個根在內，由計算檢驗，均不復合題意，計算量稍大）
例1、當關于的方程的根滿足下列條件時，求實數的取值范圍：
（1）方程的兩個根一個大于2，另一個小于2；
（2）方程的一個根在區間上，另一根在區間上；
（3）方程的兩根都小于0；
變題：方程的兩根都小于1．
（4）方程的兩根都在區間上；
（5）方程在區間（1，1）上有且只有一解；
例2、已知方程在區間[1，1]上有解，求實數m的取值范圍．
例3、已知函數f (x)的圖像與x軸的交點至少有一個在原點右側，求實數m的取值范圍．
檢測反饋：
1．若二次函數在區間上是增函數，則的取值范圍是___________．
2．若、是關于x的方程的兩個實根, 則的最小值為 ．
3．若關于的方程只有一根在內，則_ _．
4．對于關于x的方程x2+(2m1)x+4 2m=0 求滿足下列條件的m的取值范圍：
（1）有兩個負根 （2） 兩個根都小于1
（3）一個根大于2，一個根小于2 （4） 兩個根都在（0 ，2）內
（5）一個根在(2，0)內，另一個根在(1，3)內 （6）一個根小于2，一個根大于4
（7） 在（0， 2）內 有根
（8） 一個正根，一個負根且正根絕對值較大
5．已知函數的圖像與x軸的交點至少有一個在原點的右側，求實數m的取值范圍。

2、二次函數在閉區間上的最大、最小值問題探討
設，則二次函數在閉區間上的最大、最小值有如下的分布情況：
即
圖象
最大、最小值
對于開口向下的情況，討論類似。其實無論開口向上還是向下，都只有以下兩種結論：
（1）若，則，；
（2）若，則，
另外，當二次函數開口向上時，自變量的取值離開軸越遠，則對應的函數值越大；反過來，當二次函數開口向下時，自變量的取值離開軸越遠，則對應的函數值越小。
二次函數在閉區間上的最值練習
二次函數在閉區間上求最值，討論的情況無非就是從三個方面入手：開口方向、對稱軸以及閉區間，以下三個例題各代表一種情況。
例1、函數在上有最大值5和最小值2，求的值。
解：對稱軸，故函數在區間上單調。
（1）當時，函數在區間上是增函數，故 ；
（2）當時，函數在區間上是減函數，故
例2、求函數的最小值。
解：對稱軸
（1）當時，（2）當時，；（3）當時，
改：1．本題若修改為求函數的最大值，過程又如何？
解：（1）當時，；
（2）當時，。
2．本題若修改為求函數的最值，討論又該怎樣進行？
解：（1）當時，，；
（2）當時， ，；
（3）當時，，；
（4）當時， ，。
例3、求函數在區間上的最小值。
解：對稱軸
（1）當即時，；（2）當即時，；
（3）當即時，
例4、討論函數的最小值。
解：，這個函數是一個分段函數，由于上下兩段上的對稱軸分別為直線，，當，，時原函數的圖象分別如下（1），（2），（3）

因此，（1）當時，； （2）當時，；
（3）當時，
以上內容是自己研究整理，有什么錯誤的地方，歡迎各位指正，不勝感激！















PAGE



5

展開更多......

收起↑