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第七章 不等式
第一節(jié) 不等式的性質(zhì)
考點(diǎn)一　比較兩個(gè)數(shù)（式）的大小
[典例]　(1)(2016·北京高考) 已知，且，則（ ）

(2)若，則（填“>”或“<”）
[解析](1)因?yàn)椋訟錯(cuò)誤；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，所以C正確；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以D錯(cuò)誤.
(2)易知都是正數(shù)，，所以.
[答案]　(1)C (2)<
[題組訓(xùn)練]
1.已知，若，則與的大小關(guān)系是（ ）
不確定
解析：選B　.
，即,

2.已知等比數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，則與的大小關(guān)系為_____.
解析：當(dāng)時(shí)，，所以.
當(dāng)時(shí)，，
所以，綜上可知. 答案：
考點(diǎn)二　不等式的性質(zhì)及應(yīng)用
考法(一)　判斷不等式是否成立
[典例]（1）對于任意實(shí)數(shù)，有以下四個(gè)命題：
①若，則； ②若，則；
③若，則； ④若，則.
其中正確的有（ ）
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
(2)(2018·山西陵川一中期中)若，則下列不等式一定成立的是（ ）

[解析](1)①由，得，則，①正確；②由不等式的同向可加性可知②正確；③錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，不等式不成立.④錯(cuò)誤，令滿足，
但，故選B.
(2) 故選A.
[答案]　(1)B (2)A
考法(二)　求代數(shù)式的取值范圍
[典例]已知，則的取值范圍是____________，的取值范圍是__________________.
[解析]
由，得
[答案]　
[題組訓(xùn)練]
1.已知，則下列不等式中恒成立的是（ ）

解析：選D 只有在時(shí)，A才有意義，A錯(cuò)；B選項(xiàng)需要同正或同負(fù)，B錯(cuò)；C只有時(shí)正確；因?yàn)椋訢正確.
2.若，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
解析：選D 即
故選D
第二節(jié) 一元二次不等式及其解法
考點(diǎn)一　一元二次不等式的解法
考法(一)　不含參數(shù)的一元二次不等式
[典例] 解下列不等式：
（1）
[解](1)原不等式可化為，即，解得，
所以原不等式的解集為.
(2)原不等式等價(jià)于

原不等式的解集為
考法(二)　含參數(shù)的一元二次不等式
[典例] 解不等式
[解] 原不等式變?yōu)椋驗(yàn)椋?
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，解為；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，解集為；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，解為
綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.
[題組訓(xùn)練]
1.不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
解析：選D 不等式可化為，所以，
解得.所以不等式的解集是
2.已知不等式的解集是，則不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
解析：選A 由題意知是方程的兩根，所以由根與系數(shù)的關(guān)系得
，解得，
不等式即為，解集為
3. 求不等式的解集.
解：原不等式可化為，即，
令，解得.
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，不等式的解集為
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，不等式的解集為
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，不等式的解集為
考點(diǎn)二　一元二次不等式恒成立問題
考法(一)　在R上的恒成立問題
[典例] 若不等式對一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
[解析] 當(dāng)，即時(shí)，不等式為，對一切恒成立.
當(dāng)時(shí)，則，即，解得
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是. [答案]　 C
考法(二)　在給定區(qū)間上的恒成立問題
[典例] 若對任意的，都有（為常數(shù)），則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
[解析] 法一：令，則由題意，得，
解得，故選A.
法二：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立等價(jià)于恒成立，則由題意，得.而，則當(dāng)時(shí)，
，所以，故選A.
[答案]　 A
考法(三)　在給定參數(shù)范圍求x范圍的恒成立問題
[典例] 求使不等式恒成立的的取值范圍.
[解] 將原不等式整理為形式上是關(guān)于的不等式.
令，因?yàn)樵跁r(shí)恒成立，所以
(1)若，則，不符合題意，舍去.
(2)若，則由一次函數(shù)的單調(diào)性，可得，即，
解得，綜上可知，使原不等式恒成立的的取值范圍是
[題組訓(xùn)練]
1. (2018·忻州第一中學(xué)模擬)已知關(guān)于的不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )
A. B. C. D.
解析：選A 對任意恒成立，令，∵圖像的對稱軸為直線，所以在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，取到最小值，為-3，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍是,故選A
2.若不等式對于任意都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.
解析：由題意，得函數(shù)在上的最大值小于0，又拋物線開口向上，所以只需，即，
解得，答案：
3.不等式對恒成立，則的取值范圍是__________.
解析：由題意知對恒成立等價(jià)于對恒成立.令，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意.當(dāng)時(shí)，則，得.
答案：
第三節(jié) 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題
考點(diǎn)一　二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域
[典例] (1)已知約束條件，表示面積為1的直角三角形區(qū)域，則實(shí)數(shù)的值為( )
A. B. C. D.
(2)不等式組，表示的平面區(qū)域的面積為_________________.
[解析] (1)作出約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示，要使陰影部分為直角三角形，
當(dāng)時(shí)，此三角形的面積為；所以不成立，所以，則必有,因?yàn)榈男甭蕿椋灾本€的斜率為1，即.
故選A.
(2)不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分), 的面積即為所求.求出點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,則的面積為
[答案]　(1)A (2)1
[題組訓(xùn)練]
1.若為不等式組表示的平面區(qū)域，則當(dāng)從連續(xù)變化到1時(shí)，動(dòng)直線掃過中的那部分區(qū)域的面積為( )
A. B. C. D.
解析：選D 不等式組表示的平面區(qū)域是,
動(dòng)直線（即）在軸上的截距從-2變化到1.知是斜邊為3的等腰直角三角形，是直角邊為1的等腰直角三角形，所以區(qū)域的面積.
故選D.
2.若不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
解析：選D 不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.由得，由得
若原不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則直線中的取值范圍是或.
考點(diǎn)二　求目標(biāo)函數(shù)的最值
考法(一)　求線性目標(biāo)函數(shù)的最值
[典例] (2018·全國卷III)若變量滿足約束條件則的最大值是_______________.
[解析] 作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示；由得，作出直線，并平移該直線，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，.
[答案]　3
考法(二)　求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值
[典例] (2019·廣州高中綜合測試)若滿足約束條件則的最小值為( )
A. B. C. D.
[解析] 作出約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方再減去1，觀察圖形可得，平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最小值為，故的最小值為，選D.
[答案]　D
考法(三)　線性規(guī)劃中的參數(shù)問題
[典例] (2019·湖北八校聯(lián)考)已知滿足約束條件且的最小值為2，則常數(shù)=____________
[解析] 作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由得，結(jié)合圖形可知當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，最小，聯(lián)立方程，得
得，此時(shí)，解得
[答案]　
[題組訓(xùn)練]
1.若實(shí)數(shù)滿足不等式組目標(biāo)函數(shù)的最大值為12，最小值為0，則實(shí)數(shù)=（ ）
A. B. C. D.
解析：選D 作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)可化為，若，則的最小值不可能為0，若，當(dāng)直線過點(diǎn)
時(shí)，取最小值0，得，此時(shí)直線過點(diǎn)時(shí)，取得最大值12，符合題意，故.
2. (2019·石家莊質(zhì)檢)設(shè)變量滿足約束條件則的最大值為_________.
解析：作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，而表示區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率的取值范圍，由圖可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)斜率最大，為.
答案： 3
考點(diǎn)三　線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用
[典例] (2019·合肥一檢)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，銷售利潤分別為2千元/件、1千元/件.甲、乙兩種產(chǎn)品都需要在A,B兩種設(shè)備上加工，生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品需用A設(shè)備2小時(shí)，B設(shè)備6小時(shí)；生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品需用A設(shè)備3小時(shí)，B設(shè)備1小時(shí).A,B兩種設(shè)備每月可使用時(shí)間數(shù)分別為480小時(shí)、960小時(shí)，若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能及時(shí)售出，則該企業(yè)每月利潤的最大值為( )
A.320千元 B. 360千元 C.400千元 D. 440千元
[解析] 設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品件，生產(chǎn)乙產(chǎn)品件，利潤為千元，則，作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線，平移該直線，當(dāng)直線經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn)時(shí)，取得最大值，為360.
[答案]　 B
[題組訓(xùn)練]
1.某玩具生產(chǎn)廠計(jì)劃每天生產(chǎn)艦艇模型、坦克模型、戰(zhàn)斗機(jī)模型這三種玩具共100個(gè)，生產(chǎn)一個(gè)艦艇模型需要5分鐘，生產(chǎn)一個(gè)坦克模型需要7分鐘，生產(chǎn)一個(gè)戰(zhàn)斗機(jī)模型需要4分鐘.
已知總生產(chǎn)時(shí)間不超過10小時(shí)，若生產(chǎn)一個(gè)艦艇模型可獲利潤8元，生產(chǎn)一個(gè)坦克模型可獲利潤9元，生產(chǎn)一個(gè)戰(zhàn)斗機(jī)模型可獲利潤6元.該玩具生產(chǎn)廠合理分配生產(chǎn)任務(wù)使每天的利潤最大，則最大利潤是____________元.
解析：設(shè)該玩具生產(chǎn)廠每天生產(chǎn)個(gè)艦艇模型，個(gè)坦克模型，可獲利潤為，則其每天生產(chǎn)個(gè)戰(zhàn)斗機(jī)模型，所以由題意可得，約束條件為整理，得目標(biāo)函數(shù)為
.作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分.初始直線，由圖可知，當(dāng)平移初始直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，有最大值.聯(lián)立方程組，解得，則最優(yōu)解為，所以
.因此每天生產(chǎn)艦艇模型50個(gè)，坦克模型50個(gè)，戰(zhàn)斗機(jī)模型0個(gè)時(shí)利潤最大，為850元.
答案： 850
2.某工廠制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工兩道工序.已知生產(chǎn)一把椅子需要木工4個(gè)工作時(shí)，漆工2個(gè)工作時(shí)；生產(chǎn)一張桌子需要木工8個(gè)工作時(shí)，漆工1個(gè)工作時(shí).生產(chǎn)一把椅子的利潤為1500元，生產(chǎn)一張桌子的利潤為2000元.該廠每個(gè)月木工最多完成8000個(gè)工作時(shí)，漆工最多完成1300個(gè)工作時(shí).根據(jù)以上條件，該廠安排生產(chǎn)每個(gè)月所能獲得的最大利潤是____________元.
解析：設(shè)該廠每個(gè)月生產(chǎn)把椅子，張桌子，利潤為元，則得約束條件
.
作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，畫出直線，平移該直線，可知當(dāng)該直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值.由得即,所以.故每個(gè)月所獲得的最大利潤為2100000元.
答案： 2100000
第四節(jié) 基本不等式
考點(diǎn)一　利用基本不等式求最值
[典例] （1）已知，則的最小值是( )
A. B. C. D.
(2)設(shè)，則函數(shù)的最大值為___________.
(3)已知，且，則的最小值為________.
(4)已知，，則的最小值為________.
[解析] (1)拼湊法
因?yàn)椋裕裕?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選C.
(2)拼湊法
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立. ，函數(shù)的最大值為.
(3)常數(shù)代換法
，且，
.
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)，取得等號(hào).
的最小值為.
(4)拼湊法
因?yàn)椋裕?br/>令，則，即，解得或，
即或（舍去）
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
[答案]　 (1)C (2) (3) (4)
[題組訓(xùn)練]
1.(常數(shù)代換法)若且，則的最小值為( )
A. B. C. D.
解析：選B 因?yàn)椋?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).
又因?yàn)椋?br/>，故的最小值為.故選B.
2.（兩次基本不等式）設(shè)，且，則的最大值是( )
A. B. C. D.
解析：選D 因?yàn)椋遥?br/>.(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”),
所以.所以.
所以.
所以的最大值是2.
3.(拼湊法)設(shè)，則的最小值是( )
A. B. C. D.
解析：選D
，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)取等號(hào)，故選D.
4.(常數(shù)代換法) 已知，且，則的最小值為________.
解析：由，且，得，所以
.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
答案：
考點(diǎn)二　基本不等式的實(shí)際應(yīng)用
[典例] 某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)千件，需另投入成本為,當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí)，(萬元).當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí)，(萬元).每件商品售價(jià)為0.05萬元.通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完.
(1)寫出年利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式.
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？
[解] (1)因?yàn)槊考唐肥蹆r(jià)為0.05萬元，則千件商品銷售額為萬元，依題意得：當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，
所以
(2)當(dāng)時(shí)，.
此時(shí)，當(dāng)時(shí)，取最大值萬元，
當(dāng)時(shí)，.此時(shí)，，即時(shí)，取得最大值1000萬元.
由于，所以當(dāng)年產(chǎn)量為100千件時(shí)，該廠在這一商品生產(chǎn)中所獲利潤 最大，最大利潤為1000萬元.
[題組訓(xùn)練]
1. (2017·江蘇高考) 某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則的值是_____.
解析：由題意，一年購買次，則總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小時(shí)的值是30.
答案： 30
2.某游泳館擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的泳池，池的深度為1米，池的四周墻壁建造單價(jià)為每米400元，中間一條隔壁建造單價(jià)為每米100元，池底建造單價(jià)每平方米60元(池壁厚忽略不計(jì)).則泳池的長設(shè)計(jì)為______米時(shí)，可使總造價(jià)最低.
解析：設(shè)泳池的長為米，則寬為米，總造價(jià)
（元），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.即泳池的長設(shè)計(jì)為15米時(shí)，可使總造價(jià)最低.
答案： 15




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