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第一章緒論
本章主要介紹材料力學的研究對象、研究任務和研究方法。本章還介紹了變形固體的基本概念和變形固體的基本假設，以及桿件在荷載作用下的變形形式。
1-1 〓材料力學的研究對象、任 務和研究方法
1 材料力學的研究對象
結構就是建筑物中承受力而起骨架作用的部分。結構是由單個的部件按照一定的規則組合而成的，組成結構的部件稱為構件。
構件都是由固體形態的工程材料制成的，并具有一定的外部形狀和幾何尺寸。在使用的過程中，所有的構件都要受到相鄰構件或其他物體的作用，也就是說要受到外力。
例如房屋的外墻壁要受到風的壓力、建筑物要受到地震的沖擊力、公路橋梁要受到過往車輛的壓力等等，此外它們都還要受到自身重力的作用。
作用在建筑物或結構上的外力，及它們自身的重力通稱為荷載。?
結構是由構件組成的，作用于結構上的荷載，也要由組成結構的構件來共同承擔，因而構件是承受荷載的基本單元。材料力學的研究對象就是由工程材料制成的、在荷載作用下的構件。
2 材料力學的研究任務
在荷載的作用下，構件的幾何形狀和尺寸大小都要發生一定程度的改變，這種改變，在材料力學中稱為變形。一般來講，變形要隨著荷載的增大而增大，當荷載達到某一數值時，構件會因為變形過大或被破壞而失去效用，通常簡稱為失效。避免構件在使用時的失效是材料力學的主要研究任務。
構件的失效形式通常有三種：
一是構件在使用中因承受的荷載過大而發生破壞，如起重吊車的繩索被拉斷、建筑物的基礎被壓壞等；
二是構件的變形超出了工程上所允許的范圍，如工業廠房中吊車的橫梁或建筑物的房梁在受載時發生過大的彎曲等；
三是構件在荷載的作用下其幾何形狀無法保持原有的狀態而失去平衡，通常也稱為失穩，如細長的支柱在受壓時突然變彎等。
構件本身對各種失效具有抵抗的能力，簡稱為抗力。
在材料力學中，把構件抵抗破壞的能力稱為強度，構件抵抗變形的能力稱為剛度。
構件抵抗失穩、維持原有平衡狀態的能力稱為穩定性。
研究表明：構件的強度、剛度和穩定性，與其本身的幾何形狀、尺寸大小、所用材料、荷載情況以及工作環境等都有著非常密切的關系。
在工程結構的設計過程中，必須根據荷載的情況對結構本身和組成結構的每一個構件進行力學分析。構件的力學分析，首先要保證的就是構件要有足夠的強度、剛度和穩定性，以使構件能夠安全工作而不至于發生失效。
一般說來，為構件選用較好的材料和較大的截面尺寸，上述的三項基本要求是可以滿足的，但是這樣又可能造成材料的浪費和結構的笨重。由此可見，結構的安全性與經濟性之間是存在矛盾的。所以，如何合理地選用構件材料，恰當地確定構件的截面形狀和幾何尺寸，是構件設計中的一個十分重要的問題，也是材料力學所要完成的主要研究任務。
綜合以上分析，可以把材料力學的主要研究任務歸納為：研究各種構件在荷載的作用下所表現出來的變形和破壞的規律，為合理設計構件提供有關強度、剛度和穩定性分析的理論基礎和設計計算方法，從而為構件選擇適當的材料、確定合理的形狀和足夠的尺寸，以保證建筑物或工程結構在滿足安全、可靠、適用的前提下，符合最經濟的要求。
3 材料力學的研究方法
材料力學采用的是實驗—假設—理論分析—實驗驗證的研究方法。
?
1-2 〓變形固體及其基本假設
1.2.1 〓剛體與變形固體
理論力學研究的是物體的運動和平衡問題的一般規律。在理論力學的研究中，把物體都看作是剛體，即在外力的作用下，物體的大小和形狀都絕對不變。用絕對剛體這個抽象的力學模型代替真實的物體，這是理論力學研究的特點之一。
材料力學所研究的是構件的強度、剛度和穩定性問題。在這類問題中，物體的變形雖然很小，但卻是主要影響因素之一，必須要予以考慮而不能忽略。因而，在材料力學的研究中，把物體（構件）都看作是變形固體，即在外力的作用下都要發生變形——包括尺寸的改變和形狀的改變。
1?2?2 〓變形固體的基本假設
1? 有關材料的三個基本假設
?（1） 連續性假設
假設構成變形固體的物質完全填滿了固體所占的幾何空間而毫無空隙存在。
事實上，構件的材料是由微粒或晶粒組成的，各微粒或晶粒之間是有空隙的，是不可能完全緊密的，但這種空隙和構件的尺寸比起來極為微小，因而可以假設是緊密而毫無空隙存在。以這個假設為依據，在進行理論分析時，與構件性質相關的物理量可以用連續函數來表示，所得出的結論與實際情況不會有顯著的誤差。
（2） 均勻性假設
? 假設構件中各點處的力學性能是完全相同的。
事實上，組成構件材料的各個微粒或晶粒，彼此的性質不一定完全相同。但是構件的尺寸遠遠大于微粒或晶粒的尺寸，構件所包含的微粒或晶粒的數目極多，按照統計學的觀點，材料的性質與其所在的位置無關，即材料是均勻的。
按照這個假設，在進行分析時，就不必要考慮材料各點處客觀上存在的不同晶格結構和缺陷等引起的力學性能上的差異，而可以從構件內任何位置取出一小部分來研究，其結果均可代表整個物體。?
（3） 各向同性假設
? 假設構件中的一點在各個方向上的力學性能是相同的。事實上，組成構件材料的各個晶粒是各向異性的。
但由于構件中所含晶粒的數目極多，在構件中的排列又是極不規則的，因而，可以認為某些材料是各向同性的，如金屬材料。根據這個假設，當獲得了材料在任何一個方向的力學性能后，就可將其結果用于其他方向。
以上三個假設對金屬材料相當吻合，對磚、石、混凝土等材料的吻合性稍差，但仍可近似地采用。木材可以認為是均勻連續的材料，但木材的順紋和橫紋兩個方向的力學性能不同，是具有方向性的材料。實踐表明，材料力學的研究結果也可以近似的用于木材。
根據上述三個假設，可以從構件中任何位置、沿任何方向取出任意微小的部分，采用微分和積分等數學方法對構件進行受力、變形和破壞的分析。
2? 有關變形的兩個基本假設
?（1） 小變形假設
假設變形量遠小于構件的幾何尺寸。這樣，在研究構件的平衡和運動規律時仍可以直接利用構件的原始尺寸而忽略變形的影響。在研究和計算變形時，變形的高次冪也可忽略，從而使計算得到簡化。?
當構件受到多個荷載共同作用時，根據小變形假設，可以認為各荷載的作用及作用的效應是相互獨立、互不干擾的。因此，只要某個欲求量值與外力之間存在著線性關系，就可以利用疊加原理來進行分析。
（2） 線彈性假設
? 固體材料在外力作用下發生的變形可分為彈性變形和塑性變形。外力卸去后能完全消失的變形稱為彈性變形；外力卸去后不能完全消失而永久保留下來的變形稱為塑性變形。在材料力學中，假設外力的大小沒有超過一定的限度，構件只產生了彈性變形，并且外力與變形之間符合線性關系，能夠直接利用胡克定律。
1-3 〓桿件變形的形式
工程實際中構件的幾何形狀是多種多樣的，根據幾何形狀和尺寸的不同，通常可分為桿件、板殼和塊體。材料力學的主要研究對象是工程實際中應用得最為廣泛的構件——桿件。
所謂桿件是指橫向尺寸遠小于縱向尺寸的構件。桿件的形狀和尺寸是由其軸線和橫截面來決定的，軸線和橫截面之間存在著一定的關系：軸線通過橫截面的形心，橫截面與軸線相正交。根據軸線和橫截面的特征，桿件可以分為直桿和曲桿、等截面桿和變截面桿等。
材料力學研究的桿件主要是等截面的直桿，簡稱等直桿。它是桿件中最簡單也是最常用的一種，其計算理論可近似用于曲率不大的曲桿和截面變化不劇烈的變截面桿。
? 桿件在不同的荷載的作用下，會產生不同的變形。根據荷載本身的性質及荷載作用的位置不同，變形可以分為軸向拉伸（壓縮）、剪切、扭轉、彎曲四種基本變形。
1?3?1〓基本變形
1? 軸向拉伸和壓縮
如果在直桿的兩端各受到一個外力F的作用，且兩者的大小相等、方向相反，作用線與桿件的軸線重合，那么桿的變形主要是沿軸線方向的伸長和縮短。
當外力F的方向沿桿件截面的外法線方向時，桿件因受拉而變長，這種變形稱為軸向拉伸；當外力F的方向沿桿件截面的內法線方向時，桿件因受壓而變短，這種變形稱為軸向壓縮，分別如圖1-1（a）、（b）所示。
圖1-1
2? 剪切
? 如果直桿上受到一對大小相等、方向相反、作用線平行且相距很近的外力沿垂直于桿軸線方向作用時，桿件的橫截面將沿外力的方向發生相對錯動，這種變形稱為剪切，如圖1-2所示。
圖1-2
3? 扭轉
如果在直桿的兩端各受到一個外力偶Me的作用，且二者的大小相等、轉向相反，作用面與桿件的軸線垂直，那么桿件的橫截面將繞軸線發生相對轉動，這種變形稱為扭轉，如圖1-3所示。
圖1-3
4． 彎曲
? 如果直桿在兩端各受到一個外力偶Me的作用，且二者的大小相等、轉向相反，作用面都與包含桿軸的某一縱向平面重合，或者是受到位于縱向平面內且垂直于桿軸線的外力F作用時，桿件的軸線就要變彎，這種變形稱為彎曲，如圖1-4（a）、（b）所示。
圖1-4（a）所示為純彎曲，圖1-4（b）所示為橫力彎曲。
圖1-4
1?3?2〓組合變形
? 在工程實際中桿件的變形，可能只是某一種基本變形，也可能是兩種或兩種以上的基本變形的組合，稱為組合變形。常見的組合變形形式有：斜彎曲（或稱雙向彎曲）、拉（壓）與彎曲的組合、彎曲與扭轉的組合等等，如圖1-5（a）、（b）、（c）所示。
圖1-5
第二章〓軸向拉伸和壓縮
本章介紹桿件在軸向拉（壓）時的內力、應力和變形，軸向拉（壓）桿的強度計算，拉壓超靜定問題以及連接件的強度計算。
2?1〓工程實例和計算簡圖
在工程中，經常會遇到承受軸向拉伸或壓縮的桿件。例如桁架中的桿件［圖2-1（a）］、斜拉橋中的拉索［圖2-1（b）］以及閘門啟閉機中的螺桿［圖2-1（c）］等。
?
圖2-1
圖2-1承受軸向拉伸或壓縮的桿件稱為拉（壓）桿。實際拉壓桿的幾何形狀和外力作用方式各不相同，若將它們加以簡化，則都可抽象成如圖2-2所示的計算簡圖。其受力特點是外力或外力合力的作用線與桿件的軸線重合；變形特征是沿軸線方向的伸長或縮短，同時橫向尺寸也發生變化。
圖2-2
2?2〓內力〓截面法〓軸力圖
2?2?1〓內力的概念
材料力學中所討論的內力，指的是因外力作用而引起的物體內部各質點間相互作用的內力的改變量，即由外力引起的“附加內力”，簡稱為內力。
內力隨外力的增大而增大，當內力達到某一限度時就會引起構件的破壞，因而它與構件的強度問題是密切相關的。
2?2?2〓截面法
截面法是求構件內力的基本方法。下面通過求解圖2-3（a）所示拉桿m-m橫截面上的內力來具體闡明截面法。
為了顯示內力，假想地沿橫截面m-m將桿截開成兩段，任取其中一段，例如取左段，作為研究對象。左段上除受到力F的作用外，還受到右段對它的作用力，此即橫截面m-m上的內力如圖2-3（b）所示。根據均勻連續性假設，橫截面m-m上將有連續分布的內力，以后稱其為分布內力，而把內力這一名詞用來代表分布內力的合力（力或力偶）。
圖2-3
現要求的內力就是圖2-3（b）中的合力FN。因左段處于平衡狀態，故列出平衡方程
??∑X＝0 FN -F＝0??
得 ? FN ＝F??
這種假想地將構件截開成兩部分，從而顯示并求解內力的方法稱為截面法。
用截面法求構件內力可分為以下三個步驟：
1）截開 沿需要求內力的截面，假想地將構件截開成兩部分。
?2）代替 取截開后的任一部分作為研究對象，并把棄去部分對留下部分的作用以截面上的內力代替。
?3）平衡 列出研究對象的靜力平衡方程，解出需求的內力。
2?2?3〓軸力和軸力圖
圖2-3（a）所示拉桿橫截面m-m上的內力FN的作用線與桿軸線重合，故FN稱為軸力。
若取右段為研究對象，同樣可求得軸力FN ＝F［圖2-3（c）］，但其方向與用左段求出的軸力方向相反。?
軸力的正負號規定如下：當軸力的方向與橫截面的外法線方向一致時，桿件受拉伸長，軸力為正；反之，桿件受壓縮短，軸力為負。在計算軸力時，通常未知軸力按正向假設。若計算結果為正，則表示軸力的實際指向與所設指向相同，軸力為拉力；若計算結果為負，則表示軸力的實際指向與所設指向相反，軸力為壓力。?
為了表明軸力隨橫截面位置的變化規律，以平行于桿軸線的坐標表示橫截面的位置，垂直于桿軸線的坐標（按適當的比例）表示相應截面上的軸力數值，從而繪出軸力與橫截面位置關系的圖線，稱為軸力圖，也稱FN圖。通常將正的軸力畫在上方，負的畫在下方。
【例2-1】拉壓桿如圖2-4（a）所示，求橫截面1-1、2-2、3-3上的軸力，并繪制軸力圖。
?【解】1） 求支座反力。由桿AD［圖2-4（a）］的平衡方程
?? ∑X＝0 FD-2kN-3kN＋6kN＝0??
得
?? FD＝-1kN???
圖2-4
2） 求橫截面1-1、2-2、3-3上的軸力。取左段為研究對象，設截面上的軸力為FN1［圖2-4（b）］，由平衡方程
??∑X＝0 FN1-2kN＝0??
得 ??FN1＝2kN???
算得的結果為正，表明FN1為拉力。當然也可以取右段為研究對象來求軸力FN2，但右段上包含的外力較多，不如取左段簡便。
再沿橫截面2-2假想地將桿截開，仍取左段為研究對象，設截面上的軸力為FN2［圖2-4（c）］，由平衡方程
??∑X＝0 FN2 -2kN-3kN＝0??
得
?? FN2 ＝5kN???
同理，沿橫截面3-3將桿截開，取右段為研究對象可得軸力FN3［圖2-4（d）］為
FN3 ＝FD＝-1kN???
算得的結果為負，表明FN3為壓力。
3） 根據各段FN值繪出軸力圖，如圖2-4（e）所示。由圖可知，BC段各橫截面上的軸力最大，最大軸力FNmax=5kN。以后我們稱內力較大的截面為危險截面，例如本題中BC段各橫截面。
軸力圖一般應與受力圖對正。在圖上應標注內力的數值及單位，在圖框內均勻地畫出垂直于橫軸的縱坐標線，并標明正負號。當桿豎直放置時，正負值可分別畫在桿的任一側，并標明正負號。
2-3〓拉壓桿的應力
2?3?1〓應力的概念
軸力是拉壓桿橫截面上分布內力的合力，它只表示截面上總的受力情況，單憑軸力的大小還不能判斷桿件在外力作用下是否發生破壞。例如，相等的內力分布在較大的面積上時，比較安全；分布在較小的面積上時，就比較危險。
因此，為了解決強度問題，還必須研究截面上各點處內力的分布規律，即用截面上各點處的內力的大小和方向來表明內力作用在該點處的強弱程度。為此，引入應力的概念。
在構件的截面上，圍繞任意一點取微小面積ΔA［圖2-5（a）］，設ΔA上微內力的合力為ΔF。
ΔF與ΔA的比值pm=ΔF/ΔA?稱為ΔA上的平均應力。而將極限值
???p=lim pm
ΔA→0
=limΔF/ΔA =dF/dA （2-1）
ΔA→0
稱為M點處的應力。
圖2-5
應力p是一個矢量，一般既不與截面垂直，也不與截面相切。通常把它分解為兩個分量，如圖2-5（b）所示。垂直于截面的法向分量σ，稱為正應力；相切于截面的切向分量τ，稱為切應力。
應力的單位是Pa（帕），1Pa=1N/m2。工程中，常采用Pa的倍數單位：kPa（千帕）、MPa（兆帕）、GPa（吉帕），其關系為
?1kPa=1×103Pa
1MPa=1×106Pa
1GPa=1×109Pa
因為拉壓桿橫截面上的軸力沿截面的法向，所以橫截面上只有正應力σ。由于橫截面上正應力的合力等于軸力，因此欲計算正應力σ，必須知道σ在截面上的分布規律。
2?3?2〓拉壓桿橫截面上的正應力
在圖2-6（a）所示拉桿的側面任意畫兩條垂直于桿軸的橫向線ab和cd。拉伸后可觀察到橫向線ab、cd分別平行移到了a′b′、c′d′位置，但仍為直線，且仍然垂直于桿軸［圖2-6（b）］。根據這一現象，可假設變形前為平面的橫截面，變形后仍保持為平面。這就是平面假設。
圖2-6
設想桿是由許多縱向纖維所組成，根據平面假設，可斷定桿變形時任意兩橫截面間各縱向纖維的伸長相等。又根據均勻連續性假設，各條纖維的性質相同，因而它們的受力必定相等。所以橫截面上的法向分布內力是均勻分布的，即σ等于常量［圖2-6（c）］。這個結論對于壓桿也是成立的。
因為σ為常量，所以軸力FN等于正應力σ與橫截面面積A的乘積，即
FN＝σA?? 或
σ＝FN/A （2-2）??
這就是拉壓桿橫截面上正應力的計算公式。正應力σ的符號和軸力FN的符號規定相同，即拉應力為正，壓應力為負。
?
必須指出，作用于桿件上的軸向外力一般是外力系的靜力等效力系，在外力作用點附近的應力比較復雜，并非均勻分布。研究表明，上述靜力等效替換對原力系作用區域附近的應力分布有顯著影響，但對稍遠處的應力分布影響很小，可以忽略，這就是圣維南原理。根據這一原理，除了外力作用點附近以外，都可用式（2-2）計算應力。
【例2-2】圖2-7（a）為一懸臂吊車的簡圖，斜桿BC的橫截面面積A＝500mm2，荷載F＝25kN。求當F移至D點時，斜桿橫截面上的正應力。
圖2-7
【解】懸臂吊車的計算簡圖如圖2-7（b）所示。為了求出斜桿BC的軸向外力FBC，取橫梁AD為研究對象［圖2-7（c）］，列出平衡方程
??∑MA＝0 FBCsin45·AB-F·AD＝0??
得
?FBC ＝F·AD/（sin45°·AB）
＝（25kN×3m）/（0.707×1.5m）
＝70.7?kN???
斜桿的軸力為
?? FN＝FBC＝70.7?kN???
由式（2-2），斜桿橫截面上的正應力為
?? σ＝FN/A＝70.7×103N/500×10-6m2
＝142×106Pa＝142MPa???
在對拉壓桿進行強度計算時，需要知道桿的各橫截面上正應力的最大值，稱為桿的最大正應力。由式（2-2）可知，如果桿的各橫截面上的軸力都相同，那么桿的最大正應力發生在截面積最小的橫截面上。若是等直桿，則發生在軸力最大的橫截面上。在一般情況下，應加以比較后確定。
【例2-3】一正方形截面的磚柱（壓桿有時也稱為柱）如圖2-8（a）所示，F＝50kN。求磚柱的最大正應力。
【解】用截面法求得上、下兩段橫截面上的軸力分別為
??FN1＝-50?kN?，FN2＝-150?kN???
因為上、下兩段橫截面的面積也不相同，所以必須算出各段橫截面上的應力，加以比較后才能確定柱的最大正應力。
圖2-8
由式（2-2），得
σAB＝FN1/AAB=-50×103N/2402×10-6m2
＝-0.87×106Pa＝-0.87?MPa
σBC＝FN2/ABC＝-150×103N/3702×10-6m2
＝-1.1×106Pa＝-1.1?MPa?
可見，磚柱的最大正應力發生在柱的下段各橫截面上，其值為
?σmax＝1.1?MPa?（壓）??
我們稱應力較大的點為危險點。
以圖2-9（a）所示拉桿為例，應用截面法，假想沿斜截面k-k將桿截開，取左段為研究對象［圖2-9（b）］，列出平衡方程?
∑X＝0
可得斜截面k-k上的內力為
FNα＝F??
2?3?3〓拉壓桿斜截面上的應力
圖2-9
仿照橫截面上正應力均勻分布的推理過程，也可推斷斜截面k-k上的應力pα是均勻分布且與桿軸平行，設斜截面的面積為Aα，則有
??FNα＝ pαAα??
或
? pα＝FNα/Aα （a）??
設斜截面k-k的外法線n與桿軸的夾角為α，則橫截面面積A＝Aαcosα，代入式（a），得
??pα＝FNα/Aα=F/（A/cosα）
＝σcosα （b）
式中：σ＝F/A——橫截面上的正應力。
?pα稱為斜截面上的全應力，可將它沿截面的法向和切向分解為兩個分量：正應力σα和切應力τα 圖2-9（c）。它們分別為
?? σα=pαcosα=σcos2α
τα=pαsinα=σcosαsinα=（σ/2）sin2α （2-3）??
這就是拉壓桿斜截面上應力的計算公式。
由式（2-3）可知，在通過拉壓桿內任一點的各個截面上，一般都存在正應力σα和切應力τα，其值隨α角作周期性變化。當α＝0°時，σα＝σ，它是σα中的最大值，即桿內任一點處的最大正應發生在桿的橫截面上；當α＝45°時，τα＝σ/2，它是τα中的最大值，即桿內任一點處的最大切應力發生在45°斜截面上，其值等于該點處最大正應力的一半。
在利用式（2-3）計算斜截面上的應力時，必須注意式中各量的正負號規定：正應力σα仍以拉應力為正，壓應力為負；切應力τα以其對研究對象內任一點的矩為順時針轉向時為正，反之為負；角度α自桿軸量至斜截面的外法線，以逆時針轉向為正，反之為負。圖2-10（a）所示各量均為正值，而圖2-10（b）所示各量均為負值。
【例2-4】圖2-11（a）所示拉桿的橫截面面積A＝100mm2，軸向拉力F＝10kN。試分別計算α＝30°和α＝-30°斜截面上的正應力和切應力。
【解】拉桿橫截面上的正應力為
??σ＝FN/A＝F/A＝10×103N/100×10-6m2
＝100×106Pa ＝100MPa
圖2-11
?? 利用式（2-3），α＝30°斜截面［圖2-11（a）中的斜截面1-1］上的正應力和切應力分別為
σ30°＝σcos230＝100MPa×3/4＝75MPa?
τ30° ＝（σ/2）sin（2×30）＝100/2MPa×31/2/2＝43.2MPa?
α＝-30°斜截面［圖2-11(a)中的斜截面2-2 ］上的正應力和切應力分別為
?σ-30°＝σcos2（-30）＝100MPa×3/4＝75MPa?
τ-30°＝（σ/2）sin2×（-30）＝100/2MPa×（-（31/2）/2）＝-43.2MPa?將上面求得的應力分別表示在它們所作用的截面上，如圖2-11（b）、（c）所示。
2?4〓拉壓桿的變形
桿件在軸向拉伸和壓縮時，所產生的主要變形是沿軸線方向的伸長或縮短，稱為縱向變形；與此同時，垂直于軸線方向的橫向尺寸也有所縮小或增大，稱為橫向變形［圖2-12（a）、（b）］。
圖2-12
? 設圖2-12所示拉、壓桿的原長為l，在軸向外力F的作用下，長度變為l1，桿的變形為
???Δl＝l1-l （a）??
Δl即為桿的縱向變形。對于拉桿，Δl為正值，表示縱向伸長（圖2-12（a））；對于壓桿，Δl為負值，表示縱向縮短（圖2-12（b））。
?
2?4?1〓縱向變形
縱向變形Δl只反映桿在縱向的總變形量，它與桿的原長有關。根據平面假設，桿的各段都是均勻變形的，單位長度的縱向變形為
??ε＝Δl/l（2-4）??
式中，ε稱為縱向線應變。顯然，拉伸時ε＞0，稱為拉應變；壓縮時ε＜0，稱為壓應變。ε是一個量綱為1的量。
大量的實驗表明，當桿的變形為彈性變形時，桿的縱向變形Δl與外力F及桿的原長l成正比，而與桿的橫截面面積A成反比，即
???Δl∝Fl/A??
引進比例常數E，則有
???Δl＝Fl/EA??
由于橫截面上的軸力FN＝F，故上式可改寫為
???Δl＝FNl/EA（2-5）??
上式稱為胡克定律。式中的比例常數E稱為彈性模量，它與材料的性質有關，是衡量材料抵抗彈性變形能力的一個指標。 E的數值可由實驗測定。E的單位與應力的單位相同。
EA稱為桿的拉壓剛度，它是單位長度的桿產生單位長度的變形所需的力。所以拉壓剛度EA代表了桿件抵抗拉伸（壓縮）變形的能力。
因σ＝FN/A、ε＝Δl/l，故式（2-5）變為
?? σ＝Eε （2-6）??
上式是胡克定律的另一表達式。它表明：在彈性限度內，正應力與線應變成正比。
?設圖2-12所示拉、壓桿在變形前、后的橫向尺寸分別為d與d1，則其橫向變形Δd為
???Δd＝d1-d （b）??
橫向線應變ε′為
??ε′＝Δd/d （2-7）??
對于拉桿，Δd與ε′都為負；對于壓桿，Δd與ε′都為正。
2?4?2〓橫向變形
大量的實驗表明，當桿的變形為彈性變形時，橫向線應變ε′與縱向線應變ε的絕對值之比是一個常數。此比值稱為泊松比或橫向變形系數，用ν表示，即
??ν＝|ε′/ε| （c）
ν是一個量綱為1的量，其數值隨材料而異。彈性模量E和泊松比ν是材料固有的兩個彈性常數。
?
考慮到ε′與ε的正負號恒相反，由式（c）和式（2-6）可得
??ε′＝-νε＝-νσ/E（2-8）
利用上式，可由縱向線應變或正應力求橫向線應變。反之亦然。
【例2-5】一木方柱（圖2-13）受軸向荷載作用，橫截面邊長a＝200mm，材料的彈性模量E＝10GPa，桿的自重不計。求各段柱的縱向線應變及柱的總變形。
??
【解】由于上下兩段柱的軸力不等，故兩段柱的變形要分別計算。各段柱的軸力為
?? FNBC＝-100?kN? FNAB＝-260?kN?
各段柱的縱向變形為
?? ΔlBC＝FNBC/EA
＝ -100×103N×2m/10×109Pa×（0.2m）2?＝-0.5×10-3m＝-0.5mm
圖2-13
? ΔlAB＝FNAB/EA＝ -260×103N×1.5m/10×109Pa×（0.2m）2?＝-0.975×10-3m＝-0.975mm???
各段柱的縱向線應變為
? εBC＝ΔlBC/lBC=-0.5mm/2000mm＝-2.5×10-4?

εAB＝ΔlAB/lAB=-0.975mm/1500mm=-6.5×10-4
全柱的總變形為兩段柱的變形之和，即
?Δl=ΔlBC+ΔlAB=-0.5mm-0.975mm=-1.475?mm
【例2-6】如圖2-14（a）所示等截面直桿，已知 其原長l、橫截面積A、材料的容重γ、彈性模量E、受桿件自重和下端處集中力F作用。求該桿下端面的位移ΔB。
【解】如圖2-14（b）所示。距B端為x的橫截面上的軸力為
??FN（x）＝F＋γAx??
微段dx如圖2-14（c）所示。
略去兩端內力的微小差值，則微段的變形為
??? d（Δl）＝FN（x）dx/EA??
圖2-14
積分得全桿的變形即B端的位移為
??ΔB＝Δl＝∫10d（Δl）＝∫10（FN（x）dx/EA）
＝∫10（F+γAx/EA）dx=（Fl/EA）+（W/2）l/EA
式中：W＝γAl——桿的自重。由此可知，等直桿由自重引起的變形，等于將桿重的一半作用于桿端所引起的變形。
【例2-7】一直徑d＝10mm的圓截面桿，在軸向拉力F作用下，直徑減小0.0021mm，設材料的彈性模量E＝210GPa，泊松比ν＝0.3，求軸向拉力F。
【解】由于已知桿的直徑縮小量，故先求出桿的橫向線應變為
??ε′＝-Δd/d=-0.0021mm/10mm＝-2.1×10-4??
由式（2-8），桿的縱向線應變為
?? ε＝-ε′/ν＝7×10-4???
根據胡克定律可得橫截面上的正應力為
?? σ＝Eε＝210×109Pa×7×10-4＝147×106Pa＝147MPa??
? 故 F＝σA＝147×106Pa×π/4× （0.01m）2＝11.54×103N＝11.54kN??
2-5〓材料在拉壓時的力學性能
材料的力學性能是材料在外力作用下其強度和變形等方面表現出來的性質，它是構件強度計算及材料選用的重要依據。材料的力學性能由試驗測定。
本節低碳鋼（含碳量＜0.25％）和鑄鐵兩類材料為例，介紹材料在常溫、靜載（指從零緩慢地增加到標定值的荷載）下拉壓時的力學性能。
1? 低碳鋼在拉伸時的力學性能
為了便于比較不同材料的試驗結果，必須將試驗材料按照國家標準制成標準試件。金屬材料常用的拉伸試件如圖2-15所示，中部工作段的直徑為d0，工作段的長度為l0，稱為標距，且l0=10d0或l0=5d0。
?
2?5?1〓材料在拉伸時的力學性能
圖2-15
試驗時將試件的兩端裝在試驗機的夾頭中，緩慢平穩地加載直至拉斷。通過試驗，可以看到隨著拉力F的逐漸增加，試件的伸長量Δl也在增加。如取一直角坐標系，橫坐標表示變形Δl，縱坐標表示拉力F，則在試驗機的自動繪圖裝置上可以畫出Δl與F之間的關系曲線，這條曲線稱為拉伸曲線.圖2-16為Q235鋼的拉伸曲線。
圖2-16
為了消除試件尺寸的影響，使試驗結果能反映材料的性能，將拉力F除以試件的原橫截面面積A0，得到應力σ=F/A0作為縱坐標，將標距的伸長量Δl除以標距的原有長度l0，得到應變ε=Δl/l0作為橫坐標，這樣就得到一條應力σ與應變ε之間的關系曲線（圖2-17），稱為應力-應變曲線或σ-ε曲線。
圖2-17
（1） 低碳鋼拉伸過程的四個階段
? 根據應力-應變曲線，低碳鋼的拉伸過程可分為以下四個階段：
?
1) 彈性階段。
? σ-ε曲線上OB段為彈性階段。在此階段內，如果卸除荷載，則變形能夠完全消失，即發生的是彈性變形，故稱為彈性階段。彈性階段的應力最高值稱為彈性極限，用σ-e?表示，即B點處的應力值。
在此階段內，除AB這一小段外，OA段為直線，應力與應變成線性關系，材料服從胡克定律，因此圖中直線OA的斜率即為材料的彈性模量E，即E=tanα。在σ-ε曲線上對應于點А的應力，表示應力與應變成比例關系的最大值，稱為比例極限，用σ-p表示。Q235鋼的比例極限σ-p?=200MPa。由于比例極限與彈性極限非常接近，常將兩者視為相等。
2) 屈服階段。
? BC段稱為屈服階段，此階段σ-ε曲線沿著鋸齒形上下擺動，應力基本保持不變而應變卻急劇增加，材料暫時失去了抵抗變形的能力，這種現象稱為屈服或流動。在屈服階段中，對應于曲線最高點與最低點的應力分別稱為上屈服極限和下屈服極限。下屈服極限值較穩定，故一般將其作為材料的屈服極限，用σ-s表示。
如果試件表面經過磨光，屈服時試件表面會出現一些與試件軸線成45°的條紋（圖2-18）稱為滑移線，這是由于材料內部晶格之間產生相對滑移而形成的。
? 材料屈服時產生顯著的塑性變形，這是構件正常工作所不允許的，因此屈服極限σ-s是衡量材料強度的重要指標。
圖2-18
3) 強化階段。
屈服階段以后的CD段，σ-ε曲線又開始逐漸上升，材料又恢復了抵抗變形的能力，要使它繼續發生變形必須增加外力，這種現象稱為材料的強化。這一階段稱為強化階段。強化階段曲線最高點D所對應的應力值稱為強度極限或抗拉強度，用σ-b表示，Q235鋼的強度極限σ-b=400MPa。
4) 頸縮階段。
在應力達到抗拉強度之前，沿試件的長度變形是均勻的。當應力達到強度極限σ-b后，試件的變形開始集中于某一局部區域內，橫截面面積出現局部迅速收縮，這種現象稱為頸縮現象（圖2-19）。由于局部截面的收縮，試件繼續變形所需拉力逐漸減小，直至在曲線的E點，試件被拉斷。故DE段稱為頸縮階段。
圖2-19
試件拉斷后，彈性應變（O3O4）恢復，塑性應變（O3O）永遠殘留（圖2-17）。試件工作段的長度由l0伸長到l，斷口處的橫截面面積由原來的A0縮減到現在的A。通常用它們的相對殘余變形來衡量材料的塑性性能。工程中反映材料塑性性能的兩個指標分別為
? 延伸率δ=(l-l0)/l0×100%?（2-9）
斷面收縮率ψ=(A0-A)/A0×100% （2-10）
Q235鋼的延伸率δ=20%～30%，斷面收縮率ψ=60%～70％。
工程中常把δ>5％的材料稱為塑性材料，如碳鋼、黃銅、鋁合金等；而把δ<5％的材料稱為脆性材料，如鑄鐵、陶瓷、玻璃、混凝土等。
（2） 冷作硬化
? 在拉伸試驗過程中，當應力達到強化階段任一點G時，逐漸卸除荷載，則應力與應變之間的關系將沿著與OA近乎平行的直線O1G回到O1點，如圖2-20所示。O1O2這部分彈性應變消失，而OO1這部分塑性應變則永遠殘留。如果卸載后重新加載，則應力與應變曲線將大致沿著O1GDE的曲線變化，直至斷裂。
?
圖2-20
由此可以看出，重新加載后材料的比例極限提高了，而斷裂后的塑性應變減少了OO1。這種在常溫下將鋼材拉伸超過屈服階段，卸載再重新加載時，比例極限σ-p提高而塑性變形降低的現象稱為材料的冷作硬化。
在實際工程中常利用冷作硬化提高材料的強度。例如冷拉后的鋼筋比例極限提高了，可以節約鋼材的用量，降低結構造價。但是由于冷作硬化后材料的塑性降低，有些時候則要避免或設法消除冷作硬化。
2? 其他塑性材料在拉伸時的力學性能
圖2-21給出了幾種塑性材料的σ-ε曲線。可以看出，除了16Mn鋼與低碳鋼的σ-ε曲線比較相似外，一些材料（如鋁合金）沒有明顯的屈服階段，但它們的彈性階段、強化階段和頸縮階段則都比較明顯；另外一些材料（如MnV鋼）則只有彈性階段和強化階段而沒有屈服階段和頸縮階段。
圖2-21
對于沒有屈服階段的塑性材料，國家標準規定以產生0.2％塑性應變時的應力值作為材料的名義屈服極限，用σ0.2表示（圖2-22）。
圖2-22
3? 鑄鐵等脆性材料在拉伸時的力學性能
? 灰鑄鐵（簡稱鑄鐵）是工程中廣泛應用的一種材料。將鑄鐵標準拉伸試件，按低碳鋼拉伸試驗同樣的方法進行試驗，得到鑄鐵拉伸時的應力-應變曲線如圖2-23所示。由應力-應變曲線可以看出，它沒有明顯的直線段，應力與應變不成正比關系。
圖2-23
在工程計算中通常以產生0.1%的總應變所對應的曲線的割線斜率來表示材料的彈性模量，E=tanα。鑄鐵在拉伸過程中，沒有屈服階段，也沒有頸縮現象。拉斷時應變很小，約為0.4%～0.5%，是典型的脆性材料。拉斷時的應力稱為強度極限或抗拉強度，用σ-b表示。強度極限σ-b是衡量脆性材料強度的唯一指標。
常用灰鑄鐵的抗拉強度很低，約為120～180MPa。由于鑄鐵等脆性材料拉伸的強度極限很低，因此不宜用于制作受拉構件。
1? 塑性材料在壓縮時的力學性能
金屬材料的壓縮試件一般采用圓柱形的短試件，試件高度與截面直徑的比值為1.5～3。
低碳鋼壓縮時的應力-應變曲線如圖2-24所示，同時在圖2-24中用虛線表示拉伸時的應力-應變曲線。
2?5?2〓材料在壓縮時的力學性能
由圖可以看出，在屈服階段以前，低碳鋼拉伸與壓縮的應力-應變曲線基本重合。因此，低碳鋼壓縮時的彈性模量Ε、屈服極限σ-s都與拉伸試驗的結果基本相同。
圖2-24
在屈服階段后，試件出現了顯著的塑性變形，越壓越扁，由于上下壓板與試件之間的摩擦力約束了試件兩端的橫向變形，試件被壓成鼓形，如圖2-24所示。由于橫截面不斷增大，要繼續產生壓縮變形，就要進一步增加壓力，因此由σ=F/A0得出的σ-ε曲線呈上翹趨勢。由此可見，低碳鋼壓縮時的一些性能指標，可通過拉伸試驗測出，而不必再作壓縮試驗。
一般塑性材料都存在上述情況。但有些塑性材料壓縮與拉伸時的屈服極限不同。如鉻鋼、硅合金鋼，因此對這些材料還要測定其壓縮時的屈服極限。
2? 脆性材料在壓縮時的力學性能
圖2-25所示為鑄鐵壓縮時的應力-應變曲線（圖中也大致畫出了拉伸時的應力－應變曲線）。鑄鐵拉、壓時的應力-應變曲線都沒有明顯的屈服階段。但壓縮時塑性變形較明顯。
鑄鐵的抗壓強度σ-c遠大于抗拉強度σ-b，大約為抗拉強度的4～5倍。破壞時不同于拉伸時沿橫截面，而是沿與軸線約成45°～55°的斜截面破壞（圖2-26），這說明鑄鐵的壓縮破壞是由于超過了材料的抗剪能力而造成的。
圖2-25 圖2-26
混凝土是由水泥、石子、沙子三種材料用水拌和經過凝固硬化后而成的人工石料。圖2- 27為混凝土拉、壓時的σ-ε曲線，由圖可知混凝土的抗壓強度為抗拉強度的10倍左右。
圖2- 27
混凝土壓縮時，破壞形式與端部摩擦有關。圖2-28（a）是立方體試塊端部未加潤滑劑時的破壞情況。由于兩端未加潤滑劑，壓板與混凝土之間的摩擦力約束了試件兩端的變形，因此試件破壞時先自中間部分開始四面向外逐漸剝落形成X狀。
圖2-28（b）則由于加潤滑劑后兩端摩擦約束力較小，因此沿縱向裂開。兩種破壞形式所對應的抗壓強度不同，后者破壞荷載較小。工程中統一規定采用兩端不加潤滑劑的試驗結果，來確定材料的抗壓強度。
由于鑄鐵、混凝土等脆性材料的抗壓強度比抗拉強度高，宜用于制作承壓構件。如底座、橋墩、基礎等。
圖2-28
1? 強度——極限應力
通過拉壓試驗，可以測出反映材料強度的兩個性能指標，即σs和σb。對低碳鋼等塑性材料，當應力達到屈服極限σs（σ0.2）時，會產生顯著的塑性變形，影響構件正常工作；而對鑄鐵等脆性材料，當應力達到抗拉強度σb或抗壓強度σc時，會發生斷裂，喪失工作能力。?
2?5?3〓材料在拉壓時力學性能的主要參數
工程中將塑性材料的屈服極限σs（σ0.2）和脆性材料的抗拉強度σb（抗壓強度σc）統稱為極限應力，用σ0表示，即
? 塑性材料： σ0=σs或σ0=σ0.2?
? 脆性材料： σ0=σb和σ0=σc
2? 塑性——延伸率δ和斷面收縮率ψ
? 通過拉壓試驗，可以測出反映材料塑性性能的兩個指標，即δ和ψ。我們知道δ>5%的材料為塑性材料，δ<5%的材料為脆性材料。Q235鋼的延伸率δ=20%～30%，是典型的塑性材料。而鑄鐵的延伸率δ=0.4%～0.5%，是典型的脆性材料。?
塑性材料和脆性材料的力學性能主要有以下區別：
? 1） 塑性材料的延伸率大，塑性好；脆性材料的延伸率小，塑性差。塑性材料適宜制作需進行鍛壓、冷拉或受沖擊荷載、動力荷載的構件。而脆性材料則不宜。
2） 塑性材料在屈服階段前抗拉壓能力基本相同，使用范圍廣。受拉構件一般采用塑性材料；脆性材料抗壓能力遠大于抗拉能力，且價格低廉又便于就地取材，所以適宜制作受壓構件。
必須指出，材料的上述劃分是以常溫、靜載和簡單拉伸的前提下所得到的δ為依據的，而溫度，變形速度，受力狀態和熱處理等都會影響材料的性質，材料的塑料和脆性在一定條件下可以相互轉化。
3? 彈性——E、ν、G
通過拉壓實驗，可以測出反映材料彈性性能的指標：彈性模量E，泊松比ν，以后還會遇到切變模量G。對線彈性材料，三個彈性常數之間有如下的關系：
??G=E/2（1+ν） （2-11）
? 構件工作時構件內的最大應力稱為最大工作應力。由拉壓試驗知，當構件內的最大工作應力達到極限應力σ0時就會發生斷裂破壞或喪失工作能力。這在工程中是不允許的。要使構件能安全正常地工作，要求構件內最大工作應力小于極限應力σ0。也就是要求塑性材料的最大工作應力小于屈服極限σs（或σ0.2），脆性材料的最大工作應力小于強度極限σb（或σc）。?
2?5?4〓安全因數、許用應力
因此還必須要考慮到以下幾個方面的因素：
1） 計算簡圖與實際結構之間存在著差異。計算簡圖不能精確反映實際結構的工作情況，計算公式和結果是近似的。
?
2） 材料的不均勻性。由少量材料制作試件而測定的力學性能并不能完全真實地反映構件所用材料的力學性能。
? 3） 荷載值的偏差。設計時荷載的估計和計算不精確，不能完全反映結構的實際受力情況。
4） 構件需要有必要的強度儲備。構件在工作期間應保證在遇到意外的超載情況或其他不利的工作條件（如溫度變化、腐蝕），以及施工質量問題，地震作用和國防上的需要時也不致發生破壞。在意外因素相同的情況下，對因破壞造成嚴重后果的構件或工作條件惡劣的構件，強度儲備要大一些，反之則可小些 。
因此，為了保證構件能安全正常地工作，必須將構件的工作應力限制在比極限應力σ0更低的范圍內，即將材料的極限應力打一個折扣，除以一個大于1的因數n以后，作為構件最大工作應力所不允許超過的數值，這個應力值稱為許用應力，用［σ］表示，即
??［σ］=σ0/n （2-12）
對于塑性材料
［σ］=σs/ns或［σ］=σ0.2/ns?（2-13）
對于脆性材料
［σ］=σb/nb或［σ］=σc/nb? （2-14）
式中：ns、nb——塑性材料和脆性材料的安全因數。一般nb>ns。
安全因數的選取關系到構件的安全與經濟，安全因數取得過大，使構件粗大笨重，浪費材料；取得過小，構件又不安全。因此安全因數的選取原則是：在保證構件安全可靠的前提下，盡可能減小安全因數來提高許用應力。
安全因數的確定是一件復雜的工作，一般情況下，在工業的各個部門都指定有自己的安全因數規范供設計人員查用。如無規范，則對塑性材料一般取ns=1.4～1.7，對脆性材料一般取nb=2.5～5。
2?6〓拉壓桿的強度計算
由上一節知，要保證拉壓桿不致因強度不足而破壞，應使桿的最大正應力σmax不超過材料的許用應力［σ］，即
??σmax≤［σ］ （2-15）??
這就是拉壓桿的強度條件。對于等直桿，由于σmax＝FNmax/A，所以強度條件可寫為
??σmax＝FNmax/A≤［σ］ （2-16）
根據強度條件，可以解決工程中三種不同類型的強度計算問題：
1） 強度校核。 已知桿的材料、尺寸和承受的荷載（［σ］、A和FNmax），要求校核桿的強度是否足夠。此時只要檢查式（2-16）是否成立。
2） 設計截面尺寸。 已知桿的材料、承受的荷載（［σ］、 FNmax ），要求確定橫截面面積或尺寸。為此，將式（2-16）改寫為
?? A≥FNmax/［σ］ （a）??
據此可算出必須的橫截面面積。根據已知的橫截面形狀，再確定橫截面尺寸。
當采用工程中規定的標準截面時，可能會遇到為了滿足強度條件而需選用過大截面的情況。為經濟起見，此時可以考慮選用小一號的截面，但由此而引起的桿的最大正應力超過許用應力的百分數一般限制在5%以內，即
（σmax-［σ］）/［σ］×100%＜5（b）
3） 確定許用荷載。 已知桿的材料和尺寸（［σ］和A），要求確定桿所能承受的最大荷載。為此，將式（2-16）改寫為
??FNmax≤A［σ］ （c）??
先計算出桿所能承受的最大軸力，再由荷載與軸力的關系，計算出桿所能承受的最大荷載。
【例2-8】如圖2-29（a）所示三鉸屋架的拉桿采用16錳圓鋼，直徑d=20mm。已知材料的許用應力［σ］=200MPa，試校核鋼拉桿的強度。
【解】三鉸屋架的計算簡圖如圖2-29（b）所示。
? 1） 求支座反力。取整個屋架為研究對象［圖2-29（b）］，利用對稱性，得
? FA＝FB＝1/2×20m×q
＝1/2×20m×4kN/m＝40kN???
圖2-29
2） 求拉桿的軸力。取半個屋架為研究對象［圖2-29（c）］，由平衡方程
??∑MC＝0
3.5m×FN＋10m×q×10/2m-10m×FA＝0得
FN＝1/3.5m×（10m×FA-10m×q×5m）
＝1/3.5m×（10m×40kN-10m×4kN/m×5m）＝57.1?kN??
3） 求拉桿的最大正應力。鋼拉桿是等直桿，橫截面上的軸力相同，故桿的最大正應力為
?σmax = FN/A=FN/（π/4d2）
=57.1×103N/（π/4×202×10-6）m2
= 182×106Pa = 182MPa?
4） 校核拉桿的強度。因為
?σmax = 182MPa＜［σ］ = 200MPa???所以鋼拉桿的強度是足夠的。
【例2-9】圖2-30（a）所示鋼桁架的所有各桿都是由兩個等邊角鋼組成。已知角鋼的材料為Q235鋼，其許用應力［σ］＝170MPa，試為桿EH選擇所需角鋼的型號。
【解】1） 求支座反力。取整個桁架為研究對象［圖2-30（a）］，由對稱性，得
FA＝FB＝F＝220?kN???
圖2-30
2） 求桿EH的軸力。假想用截面m-m將桁架截開，取左邊部分為研究對象［圖2-30（b）］， 由平衡方程∑MC＝0
3m×FNEH-4m×FA＝0得
FNEH＝4/3 RA＝4/3×220kN ＝293kN
3） 計算桿EH的橫截面積。由式（2-16），有
?A≥FNEH/［σ］＝293×103N/170×106Pa＝1.72×10-3m2 ＝1720mm2
4） 選擇等邊角鋼的型號。型鋼是常用的標準截面。等邊角鋼是型鋼的一種。它的型號用邊長的厘米數表示，在設計圖上則常用毫米數來表示。由型鋼規格表查得，厚度為6mm的7.5號等邊角鋼的橫截面面積為879.7mm2，用兩個這樣的等邊角鋼組成的桿的橫截面面積為879.7mm2×2＝1759.4mm2，稍大于1720mm2。因此，選75×6。
【例2-10】如圖2-31（a）所示三角形托架，AB為鋼桿，其橫截面面積為A1＝400mm2，許用應力［σ］＝170MPa?；BC為木桿，其橫截面面積為A2＝10000mm2，許用壓應力為［σc］＝10?MP。求荷載F的最大值Fmax 。
【解】1） 求兩桿的軸力與荷載的關系。取結點B為研究對象［圖2-31（b）］，
由平衡方程
∑Y＝0 FN2sin30°-F＝0??得
FN2＝F/sin30°=2F（壓）
∑X＝0 FN2cos30°-FN1＝0?得
FN1＝FN2cos30°＝2F×31/2/2＝31/2F（拉）
圖2-31
?2） 計算許用荷載。由式（2-16），AB桿的許用軸力為 FN1＝31/2F ≤A1［σ］??
所以對于AB桿，許用荷載為
F≤A1［σ］/31/2 =400×10-6m2×170×106Pa/31/2＝39 300N＝39.3kN
同樣，對于BC桿，許用軸力為 FN2＝2F≤A2［σc］許用荷載為
??F≤A2［σc］/2=10 000×10-6m2×10×106Pa/2 ＝50 000N＝50kN?為了保證兩桿都能安全地工作，荷載F的最大值為 Fmax＝39.3?kN??
【例2-11】圖2-32（a）表示一等直桿，其頂部受軸向荷載F的作用。已知桿的長度為l，橫截面面積為A，材料的容重為γ，許用應力為［σ］，試寫出考慮桿自重時的強度條件。
【解】桿的自重可看作沿軸線均勻分布的荷載［圖2-32（a）］。應用截面法［圖2-32（b）］，桿的任一橫截面m-m上的軸力為
??FN(x)＝-（F＋γAx）??
負號表示軸力為壓力。
圖2-32
由此作出桿的軸力圖如圖2-32（c）所示。根部橫截面上的軸力最大，其值為
??FNmax＝F＋γAl（壓）??
由式(2-16)，桿的強度條件為
??σmax＝FNmax/A＝F/A＋γl≤［σ］??
或
??F/A≤［σ］-γl??
當考慮桿的自重時，相當于材料的許用應力減小了γl。若γl/［σ］<<1，則自重對桿的影響可以忽略；若γl/［σ］有一定數量的值，則自重對強度的影響應加以考慮。例如，有一長l＝10m的等直鋼桿，鋼的容重γ＝76 .440N/m3，許用應力［σ］＝170MPa，則γl/［σ］＝0.45%<<1；若有同樣長度的磚柱，磚的容重γ＝17.640N/m3，許用應力［σ］＝1.2MPa?，而γl/［σ］＝15%。
一般地，金屬材料制成的拉壓桿在強度計算中可以不考慮自重的影響（有些很長的桿件，如起重機的吊纜、鉆探機的鉆桿等除外）；但對磚、石、混凝土制成的柱（壓桿）在強度計算中應該考慮自重的影響。
當考慮桿的自重時，如果按桿根部橫截面上的正應力σmax來設計截面，把桿制成等直桿，那么只有根部橫截面上的應力達到材料的許用應力［σ］，其他橫截面上的應力都比［σ］小，顯然造成了材料的浪費。
因此，為了合理地利用材料，應使桿的每一橫截面上的應力都等于材料的許用應力［σ］，這樣設計的桿稱為等強度桿，其形狀如圖2-33（a）所示。不過，等強度桿的制作復雜而且昂貴，故在工程中，一般都制成與等強度桿相近的階梯形桿［圖2-33（b）］或截錐形桿［圖2-33（c）］。
圖2-33
2?7〓應力集中的概念
在工程中，常因實際需要而在桿件上開槽、鉆孔、車削螺紋等，這就引起了桿件橫截面尺寸的突然改變。實驗和理論分析表明，在截面突變處附近，應力的數值急劇增加。這種由于截面尺寸突然改變而引起的局部應力急劇增大的現象，稱為應力集中。
例如開有圓孔和帶有切口的板條［圖2-34（a）、（d）］，當其受拉時，在橫跨圓孔或切口的截面上，靠近圓孔或切口的局部區域內，應力很大，而在離開這一區域稍遠處，應力就小得多，且趨于均勻分布［圖2-34（b）、（e）］。在離圓孔或切口稍遠的截面上，應力是均勻分布的［圖2-34（c）］。
圖2-34
圖2-34試驗表明，截面尺寸改變得越急劇，孔越小、角越尖，局部出現的最大應力σmax就越大。通常用最大局部應力σmax與按削弱后的凈面積An［圖2-34（b）、（e）中畫有陰影線的面積］算得的平均應力
??σm＝FN/An??
的比值α來表示應力集中的程度，即
??α＝σmax/σm （2-17）??
式中：α——應力集中因數。它是一個大于1的因數。
對于工程中各種典型的應力集中情況，如開孔、淺槽、螺紋等，其應力集中因數α可在有關的設計手冊中查到，該值約在1.2～3之間。查出α后，利用式（2-17）算得最大局部應力σmax，即可進行強度計算。
應該指出，在靜荷載作用下，應力集中對塑性材料和脆性材料所產生的影響是不同的。塑性材料因具有屈服階段，當應力集中處的最大應力σmax達到屈服極限σs時，僅此局部產生塑性變形，只有荷載繼續加大，尚未屈服區域的應力才隨之增加而相繼達到σs。?
因此，像鋼等塑性材料在靜荷載作用下，可以不考慮應力集中的影響。脆性材料則不同，當應力集中處的最大應力σmax達到強度極限σb時，局部就出現裂紋，從而產生斷裂。因而，像混凝土等脆性材料應考慮應力集中的影響。但在隨時間作周期性變化的荷載或沖擊荷載作用下，則不論是塑性材料還是脆性材料，應力集中的影響都必須加以考慮。
應力集中對于桿件的工作是不利的。因此，在設計時應盡可能使桿的截面尺寸不發生突變，并使桿的外型平緩光滑，盡可能避免帶尖角的孔、槽和劃痕等，以降低應力集中的影響。
2?8〓拉壓超靜定問題
2?8?1 〓超靜定的概念
圖2-35（a）、（b）所示桿件和結構，它們的約束力與內力都可由靜力平衡方程求出，這樣的桿件或結構稱為靜定桿件或靜定結構。但在工程中，有時為了提高強度和剛度，或構造上的需要，往往還給桿件或結構增加一些約束。
例如在圖2-35（a）所示桿件下端增加固定端約束［圖2-35（c）］，在圖2-35（b）所示結構中增加一根桿［圖2-35（d）］。
這些增加的約束對保證桿件或結構的平衡及幾何形狀不變來說并非是必要的，稱之為多余約束。多余約束必然帶來相應的未知約束力，稱之為多余未知力。
圖2-35
顯然，此時桿件或結構需求的約束力和內力的個數已超過靜力平衡方程的個數，故不能由靜力平衡方程全部求出這些約束力和內力。這樣的桿件或結構稱為超靜定桿件或超靜定結構，這種問題稱為超靜定問題。我們把全部未知力的個數與獨立靜力平衡方程個數的差值，稱為超靜定次數。超靜定次數也等于多余約束的個數。
超靜定問題僅用靜力平衡方程不能求出全部未知量，但若再考慮構件的變形，超靜定問題是可以解決的。
現以圖2-36（a）所示等直桿AB為例，說明超靜定問題的基本解法。由于作用于桿上的荷載F是軸向力，所以支座A、B處的反力FA、FB必定沿桿軸線，設它們的指向如圖2-36（b）所示。F、FA、FB組成共線力系，對它只能列出一個獨立的平衡方程，即
?? FA ＋FB-F＝0 （a）?
而未知力有兩個，故為一次超靜定問題。
2?8?2 〓超靜定問題的基本解法
圖2-36
應設法再建立一個補充方程，才能求解 。在所設FA、FB的指向下，桿的AC段受拉，BC段受壓。考慮到桿的兩端固定，桿的總變形應該等于零。因此，桿件上、下兩段的變形就不是“自由”的，而是彼此相容和協調的，即AC段的伸長ΔlAC應等于BC段的縮短（絕對值）ΔlBC［圖2-36（c）］
???ΔlAC＝ΔlBC? （b）?
這就是桿上、下兩段變形的幾何關系，也稱為變形協調條件。
再利用力與變形的物理關系，即胡克定律，得
?ΔlAC＝FAa/EA, ?ΔlBC＝FBb/EA （c）??將式（c）代入式（b），即得補充方程為
??FAa/EA＝FBb/EA （d）??
聯立求解式（a）和（d），得
??FA＝Fb/l， FB＝Fa/l??
結果均為正，說明FA、FB的指向與假設相同。
【例2-12】圖2-37（a）所示結構中水平橫梁AB設為剛性桿，其變形可以不計。1、2兩桿拉壓剛度分別為E1A1和E2A2，求在荷載F作用下，兩桿的軸力。
【解】1） 列靜力平衡方程。取橫梁AB為研究對象，其受力如圖2-37(b)所示。這是一個平面一般力系，可列出三個平衡方程，而未知力是四個，故是一次超靜定問題。因我們只需要求兩桿的軸力FN1和FN2，故只列出平衡方程 ∑MA＝0
FN1a＋2FN2a-3Fa＝0??
即 FN1＋2FN2-3F＝0 （a）
圖2-37
2） 列補充方程。橫梁AB是剛性桿，它在荷載F作用下僅傾斜了一個角度［圖2-37（b）中虛線AB′］。由圖可見，兩桿的變形Δl1與Δl2的幾何關系為 Δl1/Δl2＝a/2a? （ b）
即 ?Δl2=2Δl1?? 由胡克定律得
???Δl1=FN1l/E1A1, ?Δl2=FN2l/E2A2 （c）?將式（c）代入式（b），得補充方程為
??FN2/E2A2=2FN1/E1A1 （d）??
3） 計算兩桿的軸力。聯立求解式（a）與（d），得
??FN1=3F/1+4E2A2/E1A1 （拉）
FN2=6F/4+E1A1/E2A2（拉） （e）
從式（e）可以看出，超靜定結構（桿）各部分的內力不僅與荷載有關，而且還與各部分的剛度之比有關，其本身的剛度越大，內力也越大；任一部分剛度的改變，都將引起所有部分內力的重新分配。在靜定結構（桿）中，各部分的內力僅與荷載有關。這是超靜定問題區別于靜定問題的一個特點。
【例2-13】在圖2-38（a）所示結構中，三桿都是鋼桿，鋼的彈性模量E＝200GPa，三桿的橫截面面積均為A，α＝30°。由于制造上的誤差，桿3比原設計長度l短了δ，δ/l=1/1000。求裝配后三桿的應力。
【解】為了使三桿連接在一起，裝配時需要用力把桿3拉長，把桿1與桿2壓短，裝配好以后，各桿處于圖2-38（a）中虛線所示位置。
?1） 列靜力平衡方程。取結點A為研究對象，設桿1、2的軸力FN1、FN2為壓力，桿3的軸力FN3為拉力［圖2-38（b）］。
圖2-38
列出平衡方程
??∑X=0 FN1sinα-FN2sinα=0
∑Y=0 -FN1cosα-FN2cosα+FN3=0 （a）??
可見這是一次超靜定問題。
?2） 列補充方程。設桿3伸長了Δl3，桿1、2分別縮短了Δl1與Δl2。由對稱性可知，Δl1＝Δl2。由圖2-38（a），變形的幾何關系為
???Δl3＋FN3l/cosα=δ??
將 Δl3＝FN3l/EA, Δl1＝（-FN1l/cosα）/EA??
代入上式，得補充方程為
??FN3l/EA+FN1l/EAcos2α＝δ （b）??
3） 計算三桿的軸力。聯立求解式（a）與（b），得
??FN1＝FN2＝δEAcos2α/l（1+2cos3α）（壓）
FN3＝2δEAcos3α/l（1+2cos3α）（拉）??
4） 計算三桿的應力。三桿的應力分別為
??σ1＝σ2＝FN1/A=δEcos2α/l（1+2cos2α）
＝6.52×106?Pa＝6.52 MPa?（壓）
σ3＝FN3/A＝2δEcos3α/l（1+2cos3α）
＝11.3×106?Pa＝11.3 MPa?（拉）
在工程中，桿件制成后，其尺寸有微小的誤差是常見的。對于超靜定問題，在強行裝配后，將在各部分引起應力，這種應力稱為裝配應力。裝配應力是在結構（桿）未受荷載作用之前產生的，故屬于初應力。而對于靜定問題，例如圖2-38（c）所示結構，如果其中的AB桿制作得稍長了些，裝配后只不過使三角形ABC稍有偏移，不會在兩桿內引起應力。裝配應力的存在，有時是不利的，應加以避免，但有時也可用它來達到一定的目的。例如土木工程中的預應力鋼筋混凝土構件和機械制造中的緊配合等，都是有意識地利用裝配應力的例子。
【例2-14】圖2-39(a)所示兩端固定的鋼桿AB，長為l,橫截面面積為A，材料的彈性模量E＝200GPa，線膨脹系數αl＝12.5×10-6 1／℃。求溫度升高ΔT＝20℃時，桿的應力。
【解】1） 列靜力平衡方程。當溫度升高時，桿將伸長，但由于兩端支座的阻擋，使桿不能自由伸長。這說明桿端支座產生了約束反力FA、FB［圖2-39（a）］。由平衡方程得
??FA＝FB＝F （a）?? 這是一次超靜定問題。
圖2-39
?2） 列補充方程。如果沒有B端的多余約束，桿因溫度升高而引起的伸長變形為Δlt?［圖2-39（b）］，桿在支座反力作用下產生的壓縮變形為ΔlF［圖2-39（c）］，由于桿被支座強制維持其原來的長度，所以變形的幾何關系為
???Δlt＝ΔlF??
利用線膨脹定律和胡克定律，可得
???Δlt＝αlΔTl，ΔlF＝Fl/EA??
故補充方程為
??αlΔTl＝Fl/EA （b）??
3） 計算桿的應力。由式（b）得
??F＝αlΔTEA??
桿的應力為
??σ＝FN/A＝F/A＝αlΔTE＝50?MPa（壓）??
在工程中，由于工作環境溫度的改變或季節的變更等原因，桿件會處于溫度變化的工作狀態。對于靜定問題，例如圖2-39（b）所示桿，它可以自由伸縮，不會在桿內引起應力。而對于超靜定問題，因存在多余約束，致使桿的變形受到限制，桿內將產生應力。這種由于溫度變化而產生的應力稱為溫度應力，它也屬于初應力。
工程中常采取一些措施來降低溫度應力。例如，在兩段鋼軌間預留空隙，在混凝土路面及房屋建筑中設置伸縮縫，橋梁、桁架的一端采用活動鉸支座等。
2?9〓連接件的實用計算
工程中的構件之間，往往采用鉚釘、螺栓、銷軸以及鍵等部件相互連接（圖2-40）。 起連接作用的部件稱為連接件。連接件在工作中主要承受剪切和擠壓作用。由于連接件大多為粗短桿，應力和變形規律比較復雜，因此理論分析十分困難，通常采用實用計算法。
圖2-40
? 現以鉚釘為例［圖2-41（a）］，介紹剪切的概念及其實用計算。當上、下兩塊鋼板以大小相等、方向相反、作用線相距很近且垂直于鉚釘軸線的兩個力F作用于鉚釘上時，鉚釘將沿m-m截面發生相對錯動，即剪切變形［圖2-41（b）］。如力F過大，鉚釘會被剪斷。M-m截面稱為剪切面。
2?9?1 〓剪切的實用計算
圖2-41
應用截面法，將鉚釘假想沿m-m截面切開，并取其中一部分為研究對象［圖2-41(c)］，利用平衡方程求得剪切面上的剪力FS＝F。
在剪切的實用計算中，假定切應力在剪切面上均勻分布，因而有
??τ＝FS/AS? （2-18）??
式中：AS——剪切面面積；
FS——剪切面上的剪力。
???
剪切強度條件為
??τ＝FS/AS≤［τ］ （2-19）??
式中：［τ］——連接件的許用切應力。［τ］由剪切破壞試驗確定。對于鋼材，其許用切應力與許用拉應力之間大致有如下關系：
??［τ］＝（0.6～0.8）［σ］
圖2-41(a)所示的鉚釘在受剪切的同時，在鋼板和鉚釘的相互接觸面上，還會出現局部受壓現象，稱為擠壓。這種擠壓作用有可能使接觸處局部區域內的材料發生較大的塑性變形而破壞（圖2-42）。連接件與被連接件的相互接觸面，稱為擠壓面（圖2-42）。擠壓面上傳遞的壓力稱為擠壓力，用Fbs表示。擠壓面上的應力稱為擠壓應力，用σbs表示。
2?9?2 〓擠壓的實用計算
圖2-42
在擠壓的實用計算中，假定擠壓應力在擠壓面的計算面積Abs上均勻分布，因而有
??σbs＝Fbs/Abs??（2-20）
擠壓強度條件為
??σbs＝Fbs/Abs≤［σbs］ （2-21）??
式中：［σbs］——材料的擠壓許用應力，由試驗測定。對于鋼材，其擠壓許用應力［σbs］與許用拉應力［σ］之間大致有如下關系：
??［σbs］＝（1.7～2.0）［σ］??
圖2-43
上兩式中的擠壓面計算面積Abs規定如下：當擠壓面為平面時（如鍵連接），Abs即為該平面的面積；當擠壓面為半圓柱面時（如鉚釘、螺栓連接），Abs為擠壓面在其直徑平面上投影的面積［圖2-43(b)中陰影線部分的面積］。這是由于這樣算得的擠壓應力值，與理論分析所得的最大擠壓應力值相近［圖2-43（a）］。
【例2-15】拖車掛鉤用銷軸連接［圖2-44（a）］。銷軸材料的許用應力［τ］＝30?MPa?，［σbs］＝80MPa。掛鉤與被連接的板件厚度分別為δ1＝8mm，δ2＝12mm。拖車拉力F＝15kN。試確定銷軸的直徑d。
【解】1） 由銷軸的剪切強度條件確定銷軸直徑d。根據銷軸的受力情況［圖2-44（b）］，銷軸有m-m和n-n兩個剪切面，這種情況稱為雙剪切。取銷軸中段為研究對象［圖2-44（c）］，由平衡方程?∑X＝0，
? 得 ?FS＝F/2?? 根據剪切強度條件
τ＝FS/AS＝（F/2）/（πd2/4）≤［τ］
圖2-44
??
可得 d≥（2F/π［τ］）1/2
＝（2×15×103N/π×30×106Pa）1/2
＝ 17.8×10-3m
2） 由銷軸的擠壓強度條件確定銷軸直徑d。由于銷軸上段及下段的擠壓力之和等于中段的擠壓力，而中段的擠壓面計算面積為δ2d,小于上段及下段擠壓面計算面積之和2δ1d［圖2-44(b)］，故應按中段進行擠壓強度計算。
由擠壓強度條件?σbs＝Fbs/Abs＝F/δ2d≤［σbs］
可得 d≥F/（δ2［σbs］）
＝ 15×103N/12×10-3m×80×106Pa
＝15.6×10-3m?最后選取銷軸直徑d＝18mm。
【例2-16】圖2-45表示一松木屋架的端結點。已知F1＝15kN，F2＝13kN；木材的順紋許用切應力［τ］＝1MPa，順紋許用擠壓應力［σbs］＝10MPa，順紋許用拉應力［σt］＝6MPa，與木紋成30°角的斜紋許用擠壓應力［σbs］30°＝7.2MPa。求l和hc的尺寸。
【解】1） 由剪切強度條件決定l的尺寸。在上弦桿的壓力F1的水平分力F1cosα和下弦桿的拉力F2作用下，下弦桿將沿截面m-m發生順紋剪切。
剪力FS＝F2＝F1cosα，剪切面面積AS＝bl。由剪切強度條件
??τ＝FS/AS=F2/bl≤［τ］?得
??l≥F2/b［τ］
＝13×103N/80×10-3m×1×106Pa
＝0.163m＝163mm
圖2-45
2） 由擠壓強度條件決定hc的尺寸。在擠壓面m-n處，下弦桿順紋擠壓，而上弦桿斜紋擠壓。由已知條件可知，斜紋許用擠壓應力低于順紋許用擠壓應力，故上弦桿的抗擠壓能力弱，應對其進行計算。擠壓力Fbs＝F2＝F1cosα，擠壓面的計算面積Abs＝bhc。由擠壓強度條件σbs＝Fbs/Abs＝F2/bhc≤［σbs］30°??
得 hc≥F2/b［σbs］30°
＝ 13×103N/80×10-3m×7.2×106Pa
＝ 0.023m＝23mm?
3） 校核下弦桿的拉伸強度。由于切槽、下弦桿的截面受到削弱。被削弱的截面n-n上的應力為
?σ＝FN/A＝F2/b（h-hc）
＝13×103N/80×(100-23)×10-6m2
＝2.11×106Pa＝2.11MPa＜［σt］
＝6MPa???可見滿足抗拉強度要求。
第三章〓扭〓〓轉
本章介紹扭轉的有關概念，受扭桿件的外力和內力計算，圓軸扭轉時的應力和變形，以及強度和剛度計算。簡單介紹矩形截面桿自由扭轉時的應力和變形。
? 在工程中，有很多承受扭轉的桿件。例如汽車方向盤的操縱桿［圖3-1（a）］，機器中的傳動軸［圖3-1（b）］，鉆機的鉆桿［圖3-1（c）］以及房屋中的雨篷梁和邊梁［圖3-1（d）、（e）］等。工程中常把以扭轉為主要變形的構件稱為軸。本章主要研究圓軸的扭轉。
3?1 〓工程實例和計算簡圖
圖3-1
扭轉桿件的受力特點是：在桿件兩端受到兩個作用面垂直于桿軸線的力偶的作用，兩力偶大小相等、轉向相反。其變形特點是：桿件任意兩個橫截面都繞桿軸線作相對轉動，兩橫截面之間的相對角位移稱為扭轉角，用φ表示。圖3-2是受扭桿的計算簡圖，φ表示截面B相對于截面A的扭轉角。扭轉時桿的縱向線發生微小傾斜，表面縱向線的傾斜角用γ表示（圖3-2）。
圖3-2
3?2〓扭矩和扭矩圖
3?2?1〓外力偶矩的計算
工程中作用于軸上的外力偶矩一般不直接給出，而是給出軸的轉速和軸所傳遞的功率。這時需先由轉速及功率計算出相應的外力偶矩。
由理論力學知，矩為Me的外力偶產生角位移θ時，它所作的功為??W= Me θ??
軸轉動一周時外力偶所作的功為
??W=2π Me ???
若軸的轉速為n（單位為r／min），則外力偶每分鐘所作的功為
??W=2πn Me ?（a）??
若功率用P表示（單位為kW），則外力偶每分鐘所作的功也可表示為
??W=60×103P （N·m） （b）??
令式（a）等于式（b）?，可得外力偶矩的計算公式為
?? Me =9549P/n（3-1）??
式中： Me ——軸上某處的外力偶矩，單位為N·m；
P——軸上某處輸入或輸出的功率，單位為kW；
n——軸的轉速，單位為r/min。
?確定了作用于軸上的外力偶矩之后，就可應用截面法求其橫截面上的內力。設有一圓截面軸如圖3-3（a）所示，在外力偶矩Me作用下處于平衡狀態，現求任意m-m截面上的內力。
3?2?2〓扭矩
圖3-3
假想將軸在m-m處截開，任取其中一段，例如取左段為研究對象［圖3-3（b）］。由于左端有外力偶作用，為使其保持平衡，m-m截面上必存在一個內力偶矩。它是截面上分布內力的合力偶矩，稱為扭矩，用T來表示。由空間力系的平衡方程
??∑Mx=0 T-Me ＝0??得T＝Me???
若取右段為研究對象，也可得到相同的結果［圖3-3（c）］，但扭矩的轉向相反。
為了使同一截面上扭矩不僅數值相等，而且符號相同，對扭矩T的正負號作如下規定：使右手四指的握向與扭矩的轉向一致，若拇指指向截面外法線，則扭矩T為正［圖3-4（a）］，反之為負［圖3-4（b）］。顯然，在圖3-3（b）中，m-m截面上的扭矩T為正。
與求軸力一樣，用截面法計算扭矩時，通常假定扭矩為正。
圖3-4
為了直觀地表示出軸的各個截面上扭矩的變化規律，與軸力圖一樣用平行于軸線的橫坐標表示各橫截面的位置，垂直于軸線的縱坐標表示各橫截面上扭矩的數值，選擇適當的比例尺，將扭矩隨截面位置的變化規律繪制成圖，稱為扭矩圖。在扭矩圖中，把正扭矩畫在橫坐標軸的上方，負扭矩畫在下方。
3?2?3〓扭矩圖
【例3-1】已知傳動軸［圖3-5（a）］的轉速n＝300r／min，主動輪A的輸入功率PA＝29kW，從動輪B、C、D的輸出功率分別為PB＝7kW，PC＝PD＝11kW。試繪出該軸的扭矩圖。
【解】1） 計算外力偶矩。由式（3-1），軸上的外力偶矩為
MeA=9549PA/n=9549×29kW/300r/min=923?N·m?
MeB=9549PB/n=9549×7kW/300r/min=223?N·m?
MeC=MeD=9549PC/n=9549×11kW/300r/min=350?N·m2
圖3-5
2） 計算各段軸內橫截面上的扭矩。利用截面法，取1-1截面以左部分為研究對象［圖3-5（c）］，由平衡方程 ∑Mx=0
T1+MeB=0? 得 T1=-MeB=-223N·m
T1為負值表示假設的扭矩方向與實際方向相反。
再取２-２截面以左部分為研究對象［圖3-5（d）］，由平衡方程 ∑Mx=0 T2+MeC+MeB=0?
?得 T2=-(MeC+MeB)=-573?N·m?
最后取３-３截面以右部分為研究對象［圖3-5（e）］，由平衡方程
??∑Mx=0 T3-MeD?=0??得 T3=MeD=350N·m???
3） 繪出扭矩圖如圖3-5（b）所示。由圖可知，最大扭矩發生在CA段軸的各個截面上,其值為|T|max=573N·m。
3?3〓圓軸扭轉時的應力和強度 計算
3?3?1〓圓軸的扭轉試驗
1? 扭轉試驗現象與分析
圖3-6（a）所示為一圓軸，在其表面畫上若干條縱向線和圓周線，形成矩形網格。扭轉變形后［圖3-6（b）］，在彈性范圍內，可以觀察到以下現象：
1） 各縱向線都傾斜了一個微小的角度γ，矩形網格變成了平行四邊形。
2） 各圓周線的形狀、大小及間距保持不變，但它們都繞軸線轉動了不同的角度。
圖3-6
根據以上觀察到的現象，可以作出如下的假設及推斷：
① 由于各圓周線的形狀、大小及間距保持不變，可以假設圓軸的橫截面在扭轉后仍保持為平面，各橫截面象剛性平面一樣繞軸線作相對轉動。這一假設稱為圓軸扭轉時的平面假設。
② 由于各圓周線的間距保持不變，故知橫截面上沒有正應力。 ?
③ 由于矩形網格歪斜成了平行四邊形，即左右橫截面發生了相對錯動，故可推斷橫截面上必有切應力τ，且切應力的方向垂直于半徑。
④ 由于各縱向線都傾斜了一個角度γ，故各矩形網格的直角都改變了γ角，直角的改變量稱為切應變。切應變γ是切應力τ引起的。
2? 切應力互等定理
設矩形網格ABCD沿縱向長為dx，沿圓周向長為dy，以它作為一個面，再沿半徑方向取長為dz，截出一個微小正六面體，稱為單元體，如圖3-7所示。 當圓軸發生扭轉變形時，橫截面上有切應力τ，故單元體左、右面上有切應力τ。
圖3-7
根據平衡條件，兩個面上的切應力大小相等、方向相反，組成一個力偶，其矩為(τdydz)dx。為了保持單元體的平衡，在上、下面上必定還存在著切應力τ′，組成一個方向相反的力偶，其矩為（τ′dxdz）dy。由平衡方程∑xMz=0，得
??(τdydz)dx=（τ′dxdz）dy??
故? τ=τ′（3-2）??
上式表明，在單元體相互垂直的兩個平面上，沿垂直于兩面交線作用的切應力必然成對出現，且大小相等，方向共同指向或背離該兩面的交線。這一結論稱為切應力互等定理。圖3-7所示單元體的兩對面上只有切應力而沒有正應力，這種應力情況稱為純剪切。
3? 剪切胡克定律
切應力越大，圖3-7所示單元體的歪斜越厲害，即切應變γ越大。大量的試驗表明：當切應力τ未超過材料的剪切比例極限τ-p時，切應力τ與其相應的切應變γ成正比。引入比例常數G，則可得到
??τ=Gγ （3-3）??
上式稱為剪切胡克定律。式中的比例常數G稱為材料的切變模量。它與材料的力學性能有關。對同一材料，切變模量G為常數，可由試驗測定。G的單位與應力的單位相同。
? 下面從變形的幾何關系、力和變形的物理關系及靜力學關系推導橫截面上切應力的分布規律。
?（1） 幾何關系
從圓軸中截取長為dx的一段進行分析，如圖3-8（a）所示。
3?3?2〓圓軸扭轉時橫截面上的切應力
圖3-8
假想截面m-m固定不動，則截面n-n相對截面m-m繞軸線轉動了一個角度dφ，其上的半徑O2D也轉過了角度dφ，而到達位置O2D′。相應地，縱向線AD傾斜了一個微小角度γ，該傾斜角即為圓軸表面A點處的切應變。同理，設半徑O2D上任一點G的縱向線EG的傾斜角為γρ，γρ即為E點處的切應變。
令G點到軸線的距離為ρ，由幾何關系知
??γρ≈tanγρ=GG′/EG=ρdφ/dx （a）??
由于在同一橫截面處dφ/dx為一個常量，因此上式表明，橫截面上任一點處的切應變γρ與該點到圓心的距離ρ成正比。這就是變形的幾何關系。
（2） 物理關系
設橫截面上距圓心為ρ點處的切應力為τρ，由剪切胡克定律，有
??τρ=Gγρ （b）??
將式（a）代入式（b），得
??τρ=G(dφ/dx)ρ （c）??
因Gdφ/dx為常數，所以上式表明切應力的大小與ρ成正比，τρ沿任一半徑的變化規律如圖3-8（b）所示。可見同一半徑ρ的圓周上各點處的切應力τρ相同，截面邊緣各點處的切應力最大。
（3） 靜力平衡關系
下面我們由靜力平衡條件來確定dφ/dx的數值。如圖3-8（b）所示，距圓心為ρ的微面積上的微內力為τρdA，其對圓心的矩為ρτρdA。因扭矩T為截面上的分布內力的合力，則有
??∫AρτρdA=T （d）??
將式（c）代入上式，整理得
??Gdφ/dx∫Aρ2dA=T （e）??
令 Ip=∫Aρ2dA （3-4）??則式（e）可寫為
??dφ/dx=T/GIp （3-5）??
上式是研究圓軸扭轉變形的基本公式。
將上式代入式（c）得
??τρ=Tρ/Ip （3-6）
式中：T——橫截面上的扭矩；
ρ——橫截面上任一點到圓心的距離；
Ip——橫截面對圓心的極慣性矩，單位為mm4或m4。
式（3-6）就是圓軸扭轉時橫截面上任一點處切應力大小的計算公式。
切應力的方向則與半徑垂直，并與扭矩的轉向一致［圖3-8（b）］。 由式（3-6）可知，當ρ=R時，切應力最大，最大切應力為
??τmax=TR/Ip 令 Wp=Ip/R （3-7）則有 τmax=T/Wp （3-8）
? 式中：Wp——扭轉截面系數，單位為mm3或m3。
極慣性矩Ip和扭轉截面系數Wp是只與橫截面形狀、尺寸有關的幾何量。
由式（3-4）及式（3-7）可算得，直徑為D的圓截面和外徑為D、內徑為d的空心圓截面，它們對圓心的極慣性矩和扭轉截面系數分別為
圓截面：Ip=πD4/32
Wp=πD3/16 （3-9）
空心圓截面：Ip=πD4/32 (1-α4) Wp=πD3/16(1-α4) （3-10）
式中：α=d/D——內、外徑的比值。
【例3-2】空心圓軸的橫截面外徑D=90mm，內徑d=85mm，橫截面上的扭矩T=1.5kN·m（圖3-9）。求橫截面上內外邊緣處的切應力，并繪出橫截面上切應力的分布圖。
【解】1） 計算極慣性矩。極慣性矩為
??Ip=π/32(D4-d4)=π/32×(904-804)mm4
=1.32×106 mm4?
2） 計算切應力。內外邊緣處的切應力分別為：
圖3-9
τ內=τA=T/Ip·d/2
=1.5×103×85/2×10-3/1.32×106×10-12Pa
=48.3×106Pa=48.3MPa?
τ外=τB=T/Ip·D/2
=1.5×103×90/2×10-3/1.32×106×10-12Pa
=51.1×106Pa=51.1MPa???
橫截面上切應力的分布圖如圖3-9所示。
為使圓軸扭轉時能正常工作，必須要求軸內的最大切應力τmax不超過材料的許用切應力［τ］，若用Tmax表示危險截面上的扭矩，則圓軸扭轉時的強度條件為τmax =Tmax /Wp≤［τ］（3-11）
式中：［τ］——材料的許用切應力，通過試驗測得。
3?3?3〓圓軸的強度計算
它與許用拉應力之間有如下關系：
? 塑性材料［τ］=（0.5～0.6）［σ］
? 脆性材料［τ］=（0.8～1.0）［σ］
利用式（3-11）可以對圓軸進行強度校核、設計截面尺寸和確定許用荷載等三類強度計算問題。
【例3-3】如圖3-10（a）所示的空心圓軸，外徑D=100mm,內徑d=80mm，外力偶矩Me1=6kN·m、Me2=4kN·m。材料的許用切應力［τ］=50MPa ，試進行強度校核。
圖3-10
【解】1） 求危險截面上的扭矩。繪出軸的扭矩圖如圖3-10（b）所示，BC段各橫截面為危險截面,其上的扭矩為
??Tmax=4kN·m???
2） 校核軸的扭轉強度。
截面的扭轉截面系數為
Wp=π/16×0.13×（1-0.84）m3=1.16×10-4m3??
軸的最大切應力為
τmax=Tmax/Wp=4×103N·m/1.16×10-4m3=34.5×106 Pa?
=34.5MPa?<［τ］=50MPa?
可見軸是安全的。
【例3-4】實心圓軸和空心圓軸通過牙嵌離合器連在一起，如圖3-11所示。已知軸的轉速n=100r/min，傳遞功率P=10kW，材料的許用切應力［τ］=20MPa。(1)選擇實心軸的直徑D1。(2)若空心軸的內外徑比為1/2，選擇空心軸的外徑D2。(3)若實心部分與空心部分長度相等且采用同一種材料，求實心部分與空心部分的重量比。
圖3-11
【解】軸承受的外力偶矩為
?Me=9549P/n=9549×10/100 N·m=955N·m???故軸任一橫截面上的扭矩為 T=Me=955N·m
1） 選擇實心軸的直徑。
由強度條件
? τmax=T/Wp=16T/πD31〖SX)〗≤［τ］，得
??D1≥（16T/π［τ］）1/3=（16×955/π×20×106）1/3m=0.062m
2) 選擇空心軸的外徑D2。空心圓截面的扭轉截面系數為：
Wp=πD32(1-α4)/16
=πD32 (1-0.54)/16=0.184D32??
由強度條件
τmax=T/Wp=T/0.184D32≤［τ］?
?得 D2≥（T/0.184［τ］）1/3
=（955N·m/0.184×20×106）1/3Pa
=0.0638m???
3） 實心部分與空心部分的重量比為
??W實/W空=A實/A空=D21/（D22-d22） =1.259??
顯然空心軸比實心軸節省材料。
3?4〓圓軸扭轉時的變形和剛度計算
3?4?1 〓圓軸扭轉時的變形
圓軸扭轉時的變形通常是用兩個橫截面繞軸線轉動的相對扭轉角φ來度量的。在上節中已得到式（3-5），即 ?dφ/dx=T/GIp?
?式中：dφ——相距為dx的兩橫截面間的扭轉角。
上式也可寫成 dφ=T/GIpdx??
因此，相距為l的兩橫截面間的扭轉角為 φ=∫ l dφ=∫(T l /GIp)dx （3-12）??
若該段軸為同一材料制成的等直圓軸，并且各橫截面上扭矩T的數值相同，則上式中的T、G、Ip均為常量，積分后得
φ=Tl/GIp （3-13）??
扭轉角φ的單位為rad。
由上式可見，扭轉角φ與GIp成反比，即GIp越大，軸就越不容易發生扭轉變形。因此把GIp稱為圓軸的扭轉剛度，用它來表示圓軸抵抗扭轉變形的能力。工程中通常采用單位長度扭轉角，即 θ=dφ/dx?
? 由式（3-13），得?
θ=T/GIp（3-14）??
單位長度扭轉角θ的單位為rad／m。
?對于承受扭轉的圓軸，除了滿足強度條件外，還要求它的扭轉變形不能過大。例如，精密機床上的軸若產生過大變形則會影響機床的加工精度；機器的傳動軸如有過大的扭轉變形，將使機器在運轉時產生較大振動。
3?4?2〓圓軸的剛度計算
因此必須對軸的扭轉變形加以限制，即使其滿足剛度條件：
?θmax=Tmax/GIp≤［θ］（3-15）
式中：［θ］——許用單位長度扭轉角，單位為rad/m，其數值是由軸上荷載的性質及軸的工作條件等因素決定的，可從有關設計手冊中查到。
在實際工程中［θ］的單位通常為°/m，剛度條件變為
θmax=Tmax/GIp×(180/π)≤［θ］ （3-16）?
一般情況下，對精密機械中的軸，其［θ］=（0.25～0.50°/m）之間；一般傳動軸，其［θ］=（0.5～1.0°/m）之間；精密度較低的軸，［θ］=（1.0～2.5°/m）。
【例3-5】圖3-12（a）所示的傳動軸，在截面A、B、C三處輸入或輸出的功率分別為PA=100kW、PB=60kW、PC=40kW，軸的轉速n=200r／min，軸的直徑D=90mm，材料的切變模量G=80×103MPa，材料的許用切應力［τ］=60MPa，單位長度許用扭轉角［θ］=1.1°/m。試校核該軸的強度和剛度。
【解】1） 計算外力偶矩。由式（3-1），
得 MeA=9549PA/n=9549×100kW/200r/min
=4.77×103N·m=4.77kN·m
MeB=9549PB/n=9549×60kW/200r/mi
=2.86×103N·m=2.86kN·m?
MeC=9549PC/n=9549×40kW/200r/min
=1.91×103N·m=1.91kN·m??
圖3-12
? 2） 求危險截面上的扭矩。
繪出扭矩圖如圖3-12（b）所示。
由圖可知，BA段各橫截面為危險截面，其上的扭矩為
Tmax=2.86?kN·m???
3） 強度校核。截面的扭轉截面系數和極慣性矩分別為
Wp=πD3/16=3.14×903×10-9m3/16
=1.43×10-4m3
Ip=πD4/32=3.14×904×10-12m4/32
=6.44×10-4m4??
軸的最大切應力為
τmax=Tma /Wp=2.86×103N·m/1.43×104m
=20×106Pa=20MPa<［τ］=60MPa?
可見強度滿足要求。
4） 剛度校核。軸的單位長度最大扭轉角為
θmax=Tmax/GIp×180/π
=2.86×103N·m/8.0×1010Pa×6.44×106m4×180/3.14
=0.318°/m＜［θ］=1.1°/m???
可見剛度也滿足要求。
【例3-6】一鋼制傳動圓軸。材料的切變模量G=79×103MPa，許用切應力［τ］=88.2MPa，單位長度許用扭轉角［θ］=0.5°/m，承受的扭矩為T=39.6kN·m。試根據強度條件和剛度條件設計圓軸的直徑D。??
【解】1） 按強度條件設計圓軸的直徑。由強度條件式（3-11），即?τmax=Tmax/Wp=16T/πD3≤［τ］??
得 D≥（16T/π［τ］）1/3
=（16×39.6×103/π×88.2×106）1/3m
=0.131m=131mm
? 2） 按剛度條件設計軸的直徑。由剛度條件式（3-16），即
θmax=Tmax/GIp×180/π
=32×180Tmax/Gπ2D4≤ ［θ］??
得
??
D=（32×180T/Gπ2［θ］）1/4
=（32×180×39.6×103/79×109×π2×0.5）1/4m
=0.156m=156mm???
故取D＝160mm，顯然軸能同時滿足強度條件和剛度條件。
3?5〓矩形截面桿自由扭轉時的應力和變形
在土建工程中還經常會遇到非圓截面桿，例如矩形截面桿的扭轉問題。在圖3-13（a）所示矩形截面桿的表面畫上若干縱向線和橫向線，則在扭轉后可看到所有橫向線都變成了曲線［圖3-13（b）］，這說明橫截面不再保持為平面而變為曲面，這種現象稱為翹曲。試驗表明，非圓截面桿扭轉時都會發生翹曲，圓軸扭轉時的平面假設不再成立，應力和變形的計算公式也不再適用。
圖3-13
當非圓截面桿不受任何約束時，橫截面能自由翹曲，各截面翹曲的程度相同（圖3-13），此時橫截面上只有切應力而沒有正應力，這種扭轉稱為自由扭轉。若桿件受到約束，例如一端固定，則各截面的翹曲受到限制，橫截面上不僅有切應力，而且還有正應力，這種扭轉稱為約束扭轉。
對于實體截面桿，由約束扭轉所引起的正應力數值很小，可忽略不計；而對于薄壁截面桿，這種正應力往往較大，不能忽略。
非圓截面桿的扭轉，必須用彈性力學的方法來研究。下面僅簡單介紹矩形截面桿自由扭轉的主要結論：
1） 矩形截面桿自由扭轉時橫截面上切應力的分布規律如圖3-14所示。截面周邊各點處的切應力平行于周邊且與扭矩方向一致；在對稱軸上，各點的切應力垂直于對稱軸；其他各點的切應力是斜向的；角點及形心處的切應力為零；最大切應力τmax發生在長邊中點處；短邊中點處有較大的切應力τ1。
圖3-14
2） 計算公式。最大切應力為
??τmax=T/Wp=T/αhb2 （3-17）??
短邊中點處的切應力為
??τ1=γτmax?? （3-18）??
單位長度扭轉角為
??θ=T/GIt=T/Gβhb3 （3-19）
式中：Wp——矩形截面的扭轉截面系數， Wp=αhb2；
It——矩形截面的相當極慣性矩，It=βhb3；
α、β、γ——與矩形截面高寬比h／b有關的系數，可查表得出。
【例3-7】有一矩形截面的等直鋼桿，其橫截面尺寸為h＝100mm，b＝50mm，桿兩端作用一對扭轉力偶Me，已知Me＝4kN·m，鋼的許用切應力［τ］＝100MPa，切變模量G＝80×103MPa，單位長度許用扭轉角［θ］=1.2°/m。試對此桿進行強度和剛度校核。
【解】桿的扭矩為 T=Me=4kN·m???
由h/b=100mm/50mm=2，
查表8-1得α=0.246，β=0.229
τmax=T/αhb2
=4×103N·m/0.246×100×10-3×50×10-3）2m4
=65×106Pa=65MPa<［τ］＝100MPa?
θmax=T/Gβhb3×180/π=4×103N·m/80×109Pa?×0.299×100×10-3×(50×10-3)3m4×180/π?
=1.0°/m<［θ］=1.2°/m??
可見此桿滿足強度和剛度要求。
第四章〓彎 曲 內 力
本章主要介紹彎曲變形的基本概念，彎曲變形的內力和內力圖的繪制。繪制內力圖的方法有三種：內力方程法、微分關系法和區段疊加法。
4?1〓梁的平面彎曲的概念和計算簡圖
4?1?1〓彎曲的實例
在工程中經常遇到這樣一類構件。它們所承受的荷載是作用線垂直于桿件軸線的橫向力，或者位于通過桿軸縱向平面內的外力偶。在這些外力的作用下，桿件的橫截面要發生相對的轉動，桿件的軸線也要彎成曲線，這種變形稱為彎曲變形。
凡是以彎曲變形為主要變形的構件，通常稱為梁。
梁是工程結構中應用得非常廣泛的一種構件。例如圖4-1［（a)、(b)、(c）］所示的混凝土公路橋梁、房屋建筑的陽臺挑梁，以及水利工程的水閘立柱等。
圖4-1
? 梁的軸線方向稱為縱向，垂直于軸線的方向稱為橫向。梁的橫截面是指梁的垂直于軸線的截面，一般都存在著對稱軸，常見的有圓形、矩形、工字形和T形等。梁的縱向平面是指過梁的軸線的平面，有無窮多個，但通常所說的縱向平面是指梁橫截面的縱向對稱軸與梁的軸線所構成的平面，稱為梁的縱向對稱面。
4?1?2〓梁的平面彎曲的概念
如果梁的外力和外力偶都作用在梁的縱向對稱面內，那么梁的軸線將在此對稱面內彎成一條平面曲線，這樣的彎曲變形稱為平面彎曲，如圖4-2所示。產生平面彎曲變形的梁，稱為平面彎曲梁 。
圖4-2
平面彎曲梁是工程中最常見的構件。作用線垂直于梁的軸線的集中力，稱為橫向外力。平面彎曲梁在橫向外力作用下發生的彎曲變形稱為橫力彎曲，如圖4-3（a）所示。平面彎曲梁在平面外力偶的作用下發生的彎曲變形稱為純彎曲，如圖4-3（b）所示。
圖4-3
在進行梁的工程分析和計算時，不必把梁的復雜的工程圖原原本本地畫出來，而是以能夠代表梁的結構、荷載情況的，按照一定的規律簡化出來的圖形代替，這種簡化后的圖形稱為梁的計算簡圖。一般應對梁作以下三方面的簡化：
4?1?3〓梁的計算簡圖
1? 梁本身的簡化
梁本身可用其軸線來代表，但要在圖上注明梁的結構尺寸數據，必要時也要把梁的截面尺寸用簡單的圖形表示出來。
2? 荷載的簡化
梁上的荷載一般簡化為集中力、集中力偶和均布荷載，分別用q、F、Me表示。集中力和均布荷載的作用點簡化在軸線上，集中力偶的作用面簡化在縱向對稱面內。
3? 支座的簡化
梁的支承情況很復雜，但為了計算的方便，可以簡化為活動鉸支座、固定鉸支座和固定端支座三種情況。
圖4-4（a）是圖4-1（a）所示的混凝土公路橋第一跨的計算簡圖。其中，公路橋梁本身用直線AB代表，左端的支承簡化成固定鉸支座，有兩個約束反力FAx和FAy，右端的支承簡化成活動鉸支座，有一個約束反力FBy，正在行駛中的汽車簡化成集中力F，橋梁本身的自重簡化成均布荷載q。
圖4-4（b）是圖4-1（b）所示的房屋建筑中的陽臺挑梁的計算簡圖。其中，挑梁本身用直線AB代表，左端的支承簡化成固定端支座，有三個約束反力FAx、FAy和MA，右端是一個自由端，無約束反力。其上的荷載簡化成均布荷載q。
圖4-4
4?1?4〓靜定梁的基本形式
1?靜定梁與超靜定梁的概念
梁可以分為靜定梁和超靜定梁。如果梁的支座反力的數目等于梁的靜力平衡方程的數目，就可以由靜力平衡方程來完全確定支座反力，這樣的梁稱為靜定梁，如圖4-5（a）所示。
4?1?4〓靜定梁的基本形式
反之，如果梁的支座反力的數目多于梁的靜力平衡方程的數目，就不能由靜力平衡方程來完全確定支座反力，這樣的梁稱為超靜定梁，如圖4-5（b）所示。
2? 靜定梁的三種形式
靜定梁有三種形式：簡支梁、懸臂梁和外伸梁，其計算簡圖如圖4-6［（a）、（b）、（c）］所示。
圖4-5
圖4-6
4?2〓梁的內力——剪力和彎矩
4?2?1〓剪力和彎矩的概念
梁的任一橫截面上的內力，在作用于梁上的外力確定后，可由截面法求得。圖4-7（a）是一個受集中力F作用的簡支梁，現在求其任意橫截面m-m上的內力。首先沿截面m-m假想地把梁AB截成左、右兩段，然后取其中的一段作為研究對象。
例如，取梁的左段為研究對象，梁的右段對左段的作用則以截面上的內力來代替，如圖4-7（b）所示。根據靜力平衡條件，在截面m-m上必然存在著一個沿截面方向的內力FS。由平衡方程 ∑Y=0 FA-FS=0??
得 FS=FA?
? FS稱為剪力，它是橫截面上分布內力系在截面方向的合力。
由圖4-7（b）中可以看出，剪力FS和支座反力FA組成了一個力偶，因而，在橫截面m-m上還必然存在著一個內力偶M與之平衡，由平衡方程
??∑MO=0 M-FAx=0?
?得 ?M=FAx??
M稱為彎矩，它是橫截面上分布內力系的合力偶矩。
在上面的討論中，如果取右段梁為研究對象，同樣也可求得橫截面m-m上的剪力FS和彎矩M，如圖4-7（c）所示。但是，根據力的作用與反作用定律，取左段梁與右段梁作為研究對象求得的剪力FS和彎矩M雖然大小相等，但方向相反。
4?2?2〓剪力和彎矩的符號規定
圖4-7
為了使無論取左段梁還是右段梁得到的同一截面上的FS和M不僅大小相等，而且正負號一致，需要根據梁的變形來規定FS和M的符號。
1? 剪力的符號規定
梁截面上的剪力對所取梁段內任一點的矩為順時針方向轉動時為正，反之為負，如圖4-8（a）所示。
2? 彎矩的符號規定
梁截面上的彎矩使所取梁段上部受壓、下部受拉時為正，反之為負，如圖4-8（b）所示。
根據上述正負號的規定，在圖4-7（b）、（c）兩種情況中，橫截面m-m上的剪力FS和彎矩M均為正。
圖4-8
【例4-1】簡支梁如圖4-9（a）所示，求橫截面1-1、2-2、3-3上的剪力和彎矩。
【解】1） 求支座反力。由梁的平衡方程求得支座A、B處的反力為?FA=FB=10kN???
2） 求橫截面1-1上的剪力和彎矩。沿截面1-1假想地把梁截成兩段，取受力較簡單的左段為研究對象，設截面上的剪力FS1和彎矩M1均為正，如圖4-9（b）所示。
列出平衡方程 ?∑Y=0 FA-FS1=0
∑MO=0 M1-FA×1m=0??
得 FS1=FA=10kN? M1=FA×1m=10kN·m???
計算結果FS1和M1為正，表明二者的實際方向與假設的相同，即FS1為正剪力，M1為正彎矩。
圖4-9
3） 求橫截面2-2上的剪力和彎矩。沿截面2-2取左段為研究對象，設截面上的剪力FS2和彎矩M2均為正，如圖4-9（c）所示。列出平衡方程
?∑Y=0 FA-FS1-FS2=0
∑MO=0 M2-FA×4m+F1×2m=0?
得 ?FS2=FA-FS1=0 M2=FA×4m+F1×2m=20kN·m??
由計算結果可知，M2為正彎矩。
4） 求橫截面3-3上的剪力和彎矩。取截面3-3右段為研究對象，設截面上的剪力FS3和彎矩M3均為正，如圖4-9（d）所示。列出平衡方程
??∑Y=0 FB-FS3=0
∑MO=0 FB×1m-M3=0??
得? FS3=-FB=-1

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