資源簡介

3.1知識表
直線方程的概念及直線的傾斜角和斜率
（1）直線的方程：如果以一個方程的解為坐標的點都是某條直線上的點；反之，這條直線上的點的坐標都是這個方程的解，這時，這個方程就叫做這條直線的方程，這條直線叫做這個方程的直線．
（2）直線的傾斜角：一條直線向上的方向與x軸正方向所成的最小正角叫這條直線的傾斜角．傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°．
（3）直線的斜率：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率．傾斜角是90°的直線的斜率不存在．過P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x2≠x1）兩點的直線的斜率特別地是，當，時，直線與x軸垂直，斜率k不存在；當，時，直線與y軸垂直，斜率k=0.
注意：直線的傾斜角α=90°時，斜率不存在，即直線與y軸平行或者重合. 當α=90°時，斜率k=0；當時，斜率，隨著α的增大，斜率k也增大；當時，斜率，隨著α的增大，斜率k也增大. 這樣，可以求解傾斜角α的范圍與斜率k取值范圍的一些對應問題.
傾斜角
斜率

1.特殊角與斜率
※基礎達標
若直線的傾斜角為，則等于（ ）.
A．0 B．45° C．90° D．不存在
2．已知直線的斜率的絕對值等于，則直線的傾斜角為（ ）.
A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150°
3. 已知直線經過點A(0,4)和點B（1，2），則直線AB的斜率為__________
4.經過兩點的直線的傾斜角為1350，則的值等于 （ ）
5.過點P(－2,m)和Q(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為（ ）.
A.1 B.4 C.1或3 D.1或4
6．已知兩點A(，－2)，B(3，0)，并且直線AB的斜率為2，則＝ .
7.已知過兩點, 的直線l的傾斜角為45°，求實數的值.


若三點P（2，3），Q（3，），R(4，)共線，那么下列成立的是( )
A． B． C． D．
9．若A(1，2)，B(-2，3)，C(4，y)在同一條直線上，則y的值是 .
10.已知三點A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一條直線上，求實數a的值．


11．光線從點出發射入y軸上點Q, 再經y軸反射后過點, 試求點Q的坐標,以及入射光線、
反射光線所在直線的斜率.




※能力提高
12．已知兩點，直線過定點且與線段AB相交，求直線的斜率的取值范圍.




13.已知兩點M(2，－3)、N(－3，－2)，直線l過點P(1，1)且與線段MN相交，則直線l的斜率k的取值范圍是( A )
A.k≥或k≤－4 B.－4≤k≤ C. ≤k≤4 D.－≤k≤4
14.已知兩點A (-2,- 3) , B (3, 0) ,過點P (-1, 2)的直線與線段AB始終有公共點，求直線的斜率的取值范圍.



15.右圖中的直線l1、l2、l3的斜率分別為k1、k2、k3，則（ ）.
A .k1＜k2＜k3 B. k3＜k1＜k2 C. k3＜k2＜k1 D. k1＜k3＜k2





§3.1.2 兩條直線平行與垂直的判定
基礎知識：1.兩條不重合的直線平行或垂直，則（1）l1∥l2 k1=k2（2）l1⊥l2k1·k2=－1.
若l1和l2都沒有斜率，則l1與l2平行或重合.若l1和l2中有一條沒有斜率而另一條斜率為0，則l1⊥l2.
【例1】四邊形ABCD的頂點為、、、，試判斷四邊形ABCD的形狀.


【例2】已知的頂點，其垂心為，求頂點的坐標．


【例3】（1）已知直線經過點M（-3，0）、N（-15，-6），經過點R（-2，）、S（0，），試判斷與是否平行？
（2）的傾斜角為45°，經過點P（-2，-1）、Q（3，-6），問與是否垂直？


【例4】已知A（1，1），B（2，2），C（3，-3），求點D，使直線CD⊥AB，且CB∥AD．


點評：通過設點D的坐標，把已知條件中的垂直與平行的兩種關系、三點的坐標聯系在一起，聯系的紐帶是斜率公式. 解題的數學思想是方程求解，方程的得到是利用平行與垂直時斜率的關系.
※基礎達標
1．下列說法中正確的是（ ）.
A. 平行的兩條直線的斜率一定存在且相等 B. 平行的兩條直線的傾斜角一定相等
C. 垂直的兩直線的斜率之積為-1 D. 只有斜率相等的兩條直線才一定平行
2．若直線的傾斜角分別為，則有（ ）.
A. 　　B. 　 C. 　　D.
3．經過點和的直線平行于斜率等于1的直線，則的值是（ ）.
A．4 B．1 C．1或3 D．1或4
4．若， 則下面四個結論：①；②；③；④. 其中正確的序號依次為（ ）.
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
5．已知的三個頂點坐標為，則其形狀為（ ）.
A. 直角三角形 B. 銳角三角形 C. 鈍角三角形 D. 無法判斷
6．直線的斜率是方程的兩根，則的位置關系是 .
7．若過點的直線與過點的直線平行，則m= .
※能力提高
8．已知矩形的三個頂點的分別為，求第四個頂點D的坐標．
9． 的頂點，若為直角三角形，求m的值.


※探究創新
10．已知過原點O的一條直線與函數y=log8x的圖象交于A、B兩點，分別過點A、B作y軸的平行線與函數y=log2x的圖象交于C、D兩點.
證明：點C、D和原點O在同一直線上. （2）當BC平行于x軸時，求點A的坐標.


必修二3.2知識表
名稱 幾何條件 方程 局限性
點斜式 過點(x0，y0)，斜率為k y－y0=k(x－x0) 不含垂直于x軸的直線
斜截式 斜率為k，縱截距為b y=kx＋b 不含垂直于x軸的直線

找要素，寫方程（兩點、一點一斜、兩截）
設方程，求系數（討論）
線段中點坐標公式
§3.2.1 直線的點斜式方程
※基礎達標
1．.寫出下列點斜式直線方程：
（1）經過點，斜率是4；　（2）經過點，傾斜角是..
2. 傾斜角是，在軸上的截距是3的直線方程是 .
3.直線（＝0）的圖象可以是（ ）.

4．已知直線l過點，它的傾斜角是直線的兩倍，則直線l的方程為（ ）.
A. B. C. D.
5．過點的直線與x、y軸分別交于P、Q，若M為線段PQ的中點，則這條直線的方程為_____________
6． 將直線繞它上面一點（1，）沿逆時針方向旋轉15°，得到的直線方程是 .
7.方程表示（ ）.
A. 通過點的所有直線　 B. 通過點的所有直線
C. 通過點且不垂直于軸的直線 D. 通過點且除去軸的直線
8．直線必過定點，該定點的坐標為（ B ）
A．（3，2） B．（2，3） C．（2，–3） D．（–2，3）
※能力提高
9．已知△在第一象限，若，求：（1）邊所在直線的方程；
（2）邊和所在直線的方程.
10.已知直線.（1）求直線恒經過的定點；（2）當時，直線上的點都在軸上方，求實數的取值范圍.


11.光線從點A（－3，4）發出，經過x軸反射，再經過y軸反射，光線經過點 B（－2，6），求射入y軸后的反射線的方程.


12. 已知直線在軸上的截距為－3，且它與兩坐標軸圍成的三角形的面積為6，求直線的方程.
13.已知直線經過點，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為5，求直線的方程．


※探究創新
14．國慶慶典活動的中心廣場有數萬名學生手持圓花組成大型圖案方陣，方陣前排距觀禮臺120米，方陣縱列95人，每列長度192米，問第一、二排間距多大能達到滿意的觀禮效果？




兩點式 在x軸、y軸上的截距分別為a，b（a,b≠0）a——直線的橫截距b——直線的縱截距 不包括垂直于坐標軸的直線.
截距式 在x軸、y軸上的截距分別為a，b（a,b≠0） 不包括垂直于坐標軸和過原點的直線.


§3.2.2 直線的兩點式方程
※基礎達標
1．過兩點和的直線的方程為（ ）.A. 　 B. 　 C. 　 D.
2.已知△頂點為，求過點且將△面積平分的直線方程.
3.過兩點和的直線在軸上的截距為（ ）. A. 　　B. 　　C. 　　D. 2
4．已知，則過點的直線的方程是（ ）.
A. B. C. D.
5.求過點，并且在兩軸上的截距相等的直線方程.
6.經過點（-3，4）且在兩個坐標軸上的截距和為12的直線方程是：____________________
7.．已知直線l過點（3，-1），且與兩軸圍成一個等腰直角三角形，則l的方程為 .
8.菱形的兩條對角線長分別等于8和6，并且分別位于x軸和y軸上，求菱形各邊所在的直線的方程.
※能力提高
9．三角形ABC的三個頂點A（－3，0）、B（2，1）、C（－2，3），求：
（1）BC邊所在直線的方程； （2）BC邊上中線AD所在直線的方程；
10.長途汽車客運公司規定旅客可隨身攜帶一定重量的行李，如果超過規定，則需要購買行李票，行李費用y（元）是行李重量x（千克）的一次函數，直線過兩點（1）求y與x之間的函數關系式，并說明自變量x的取值范圍；
（2）如果某旅客攜帶了75千克的行李，則應當購買多少元行李票？




11．直線在X軸、Y軸上的截距之比是2:3,且過點,求直線的方程.
12.已知直線l的斜率為6，且被兩坐標軸所截得的線段長為，求直線l的方程.
13.已知直線過點，且與兩坐標軸構成單位面積的三角形，求直線的方程．
14.與兩坐標軸圍成的三角形周長為9，且斜率為的直線的方程為
15.已知△ABC的頂點A（－4，2），兩條中線所在的直線方程分別為求BC邊所在的直線方程。


※探究創新
16. 光線從點A（-3，4）射出，經x軸上的點B反射后交y軸于C點，再經C點從y軸上反射恰好經過點D（-1，6），求直線AB，BC，CD的方程．
17.一束光線從點射到點后被X軸反射,求入射線和反射線所在的直線方程

18．已知點、，點P是x軸上的點，求當最小時的點P的坐標．

一般式 　，，分別為斜率、橫截距和縱截距 Ax＋By＋C=0 　A、B不能同時為零


§3.2.3 直線的一般式方程
¤知識要點：
1. 一般式（general form）：，注意A、B不同時為0. 直線一般式方程化為斜截式方程，表示斜率為，y軸上截距為的直線.
第24練 §3.2.3 直線的一般式方程
※基礎達標
1．如果直線的傾斜角為，則有關系式（ ）.A. 　 B. C. D. 以上均不可能
2．若，則直線必經過一個定點是（ ）.A. B. C. D.
3．直線與兩坐標軸圍成的面積是（ ）.A． B． C． D．
4．（2000京皖春）直線（）x+y=3和直線x+（）y=2的位置關系是（ ）.
A. 相交不垂直 B. 垂直 C. 平行 D. 重合
5．過兩點（5，7）和（1，3）的直線一般式方程為 ；若點（，12）在此直線上，則＝ ．
6.直線方程的系數A、B、C分別滿足什么關系時，這條直線分別有以下性質?
（1）與兩條坐標軸都相交；（2）只與x軸相交；（3）只與y軸相交；（4）是x軸所在直線；（5）是y軸所在直線.


.※能力提高
7．根據下列各條件寫出直線的方程，并且化成一般式：
（1）斜率是－，經過點A（8，－2）； （2）經過點B(4，2)，平行于軸；
（3）在軸和軸上的截距分別是,－3； （4）經過兩點（3，－2）、（5，－4）.
8.某房地產公司要在荒地ABCDE（如下圖）上劃出一塊長方形地面（不改變方位）建造一幢八層的公寓樓，問如何設計才能使公寓占地面積最大？并求出最大面積.（精確到1 m2）


必修二3.3兩條直線的位置關系
1.已知直線的方程分別是：（不同時為0），（不同時為0），則兩條直線的位置關系可以如下判別：
(1) ；
（2）；
（3）
（4）與相交.
2.與直線平行的直線，可設所求方程為；與直線垂直的直線，可設所求方程為. 過點的直線可寫為.
經過點，且平行于直線l的直線方程是；
經過點，且垂直于直線l的直線方程是.
※基礎達標
1.已知直線的方程為，則與平行，且過點（—1，3）的直線方程是______________
2. 若直線與直線平行，則 ．
3.的頂點，求AC邊上的高線方程_______________，中線方程____________
4.若從點M（1，2）向直線作垂線，垂足為點（，4），則直線的方程為_______________
5.已知點、，則線段的垂直平分線的方程是（ ）
6.已知直線mx+ny+1=0平行于直線4x+3y+5=0，且在y軸上的截距為，則m，n的值分別為（ ）.
A. 4和3 B. －4和3 C. －4和－3 D. 4和－36．
7.若直線x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，則a= .

※能力提高
8．已知直線的方程分別是：（不同時為0），（不同時為0），且. 求證.
※探究創新
9．已知直線，，求m的值，使得：（1）l1和l2相交；（2）l1⊥l2；（3）l1//l2；（4）l1和l2重合.
第22講 §3.2.1
對稱關系 點-點-點 點-線-點 線-點-線 線-線-線
圖象及 數值關系

1.（1）點（）關于x軸對稱的點為（）；（2）點（）關于y軸對稱的點為（）；
（3）點（）關于原點對稱的點為（）；（4）點（）關于對稱的點為（）；
（5）點（）關于對稱的點為（）。
2.點點對稱：點（）關于（）對稱的點為（）；
3.線點對稱：法一; （轉化為點點對稱） 在待求直線上任取一點（），它關于點（）對稱點（）在已知直線上，代入已知直線化簡即得所求直線方程。
法二:在已知直線上任取一點A，利用點點對稱，得到對稱點A1 ，過A1 與原直線平行的直線即為所求，利用點斜式
4.點線對稱：
方法一：點與對稱點的中點在已知直線上且點與對稱點連線的直線斜率是已知直線斜率的負倒數；
方法二：求出過該點與已知直線垂直的直線方程，然后聯立已知直線求出交點，再由點點對稱得之。
方法三：在對稱直線上設點M(),由（A為已知點）得M，再由點點對稱得對稱點。
5.線線對稱：分為平行還是相交，若是平行根據平行關系設出直線方程，只有一個未知數c，再在直線上任取一點關于對稱直線找到對稱點在要求直線上即可。若為相交直線，求出交點，在回歸到點點對稱。
法二：利用點到直線的距離可求
法三；利用到角公式
已知點與點關于軸對稱，點P與點N關于軸對稱，點Q與點P關于直線對稱，則點Q的坐標為_______；點P（關于直線的對稱點的坐標是
已知一束光線通過點Ａ（－３，５），經直線:3x－4y+4=0反射。如果反射光線通過點Ｂ（２，15），則反射光線所在直線的方程是________
與直線關于點P（對稱的直線方程是 _______
直線關于軸對稱的直線方程為___________________，
關于x軸的呢____________________
求直線關于直線對稱的直線的方程_____________


第25講 §3.3.1 兩條直線的交點坐標
¤學習目標：進一步掌握兩條直線的位置關系，能夠根據方程判斷兩直線的位置關系，理解兩直線的交點與方程的解之間的關系，能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標.
¤知識要點：
1. 一般地，將兩條直線的方程聯立，得到二元一次方程組. 若方程組有惟一解，則兩條直線相交，此解就是交點的坐標；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行；若方程組有無數解，則兩條直線有無數個公共點，此時兩條直線重合.
2. 方程為直線系，所有的直線恒過一個定點，其定點就是與的交點.
¤例題精講：
【例1】判斷下列各對直線的位置關系. 如果相交，求出交點坐標.
（1）直線l1: 2x－3y+10=0 , l2: 3x+4y－2=0； （2）直線l1: , l2: .



（2）解方程組，消y得 .
當時，方程組無解，所以兩直線無公共點，//.
當時，方程組無數解，所以兩直線有無數個公共點，l1與l2重合.
當且，方程組有惟一解，得到，， l1與l2相交.
∴當時，//；當時，l1與l2重合；
當且，l1與l2相交，交點是.
【例2】求經過兩條直線和的交點，且平行于直線的直線方程.


【例3】已知直線. 求證：無論a為何值時直線總經過第一象限.


【例4】若直線l：y＝kx與直線2x＋3y－6＝0的交點位于第一象限，求直線l的傾斜角的取值范圍.


點評：此解法利用數形結合的思想，結合平面解析幾何中直線的斜率公式，抓住直線的變化情況，迅速、準確的求得結果. 也可以利用方程組的思想，由點在某個象限時坐標的符號特征，列出不等式而求.
第25練 §3.3.1 兩條直線的交點坐標
※基礎達標
1．直線與的交點是（ C ）.
A. B. C. D.
2．直線：2＋3＝12與：－2＝４的交點坐標為 .
3．直線＋2＋８＝0，4＋3＝10和2－＝10相交于一點，則的值為（ B ）.
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
4．直線與直線的位置關系是（ A ）.
A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 重合
5．經過直線與的交點，且垂直于直線的直線的方程是（ B ）.
A. B. C. D.
6．已知直線的方程分別為 ，，且只有一個公共點，則（ B ）.
A. B. C. D.
7．.，不管怎樣變化恒過點____________
※能力提高
8．已知直線l1: 2x-3y+10=0 , l2: 3x+4y-2=0. 求經過l1和l2的交點，且與直線l3: 3x-2y+4=0垂直的直線l的方程.
※探究創新
9．已知直線方程為(2+λ)x+(1-2λ)y+4-3λ=0.
（1）求證不論λ取何實數值，此直線必過定點；
（2）過這定點引一直線，使它夾在兩坐標軸間的線段被這點平分，求這條直線方程.


第26講 §3.3.2 兩點間的距離
¤學習目標：探索并掌握兩點間的距離公式. 初步了解解析法證明，初步了解由特殊到一般，再由一般到特殊的思想與“數”和“形”結合轉化思想.
¤知識要點：
1. 平面內兩點，，則兩點間的距離為：.
特別地，當所在直線與x軸平行時，；當所在直線與y軸平行時，；當在直線上時，.
2. 坐標法解決問題的基本步驟是：（1）建立坐標系，用坐標表示有關量；（2）進行有關代數運算；（3）把代數運算的結果“翻譯”成幾何關系.
¤例題精講：
過點P(1,2)且與原點O距離最大的直線l的方程（ ）.
A. B. C. D.
【例1】在直線上求一點，使它到點的距離為５，并求直線的方程.
　


【例2】直線2x－y－4=0上有一點P，求它與兩定點A(4，－1)，B(3，4)的距離之差的最大值.（中檔）


【例3】已知AO是△ABC中BC邊的中線，證明|AB|＋|AC|=2（|AO|＋|OC|）（中檔）.



點評：此解體現了解析法的思路. 先建立適當的直角坐標系，將△ABC的頂點用坐標表示出來，再利用解析幾何中的“平面內兩點間的距離公式”計算四條線段長，即四個距離，從而完成證明. 還可以作如下推廣：平行四邊形的性質：平行四邊形中，兩條對角線的平方和，等于其四邊的平方和.
三角形的中線長公式：△ABC的三邊長為a、b、c，則邊c上的中線長為.





第26練 §3.3.2 兩點間的距離
※基礎達標
已知，則|AB|等于（ ）.
A. 4 B. C. 6 D.
2．已知點且，則a的值為（ ）.
A. 1 B.－5 C. 1或－5 D. －1或5
3．點A在x軸上，點B在y軸上，線段AB的中點M的坐標是，則的長為（ ）.
A. 10 B. 5 C. 8 D. 6
4．已知，點C在x軸上，且AC=BC，則點C的坐標為（ ）.
A. B.C. D.
5．已知點，點到M、N的距離相等，則點所滿足的方程是（ ）.
P在MN的中垂線上
A. B. C. D.
6．已知，則BC邊上的中線AM的長為 .
7．已知點P（2，－4）與Q（0，8）關于直線l對稱，則直線l的方程為 . PQ中垂線
※能力提高
8．已知點，判斷的類型．
9．已知，點為直線上的動點．求的最小值，及取最小值時點的坐標．



10. △ABC中，. 求∠A的平分線AD所在直線的方程.（難，講解）
法一：首先把三角形ABC畫出來，令AB與X軸交于P點，AC與Y軸交于M點
因為A（3，3），所以OA是一三象限角分線，所以角POA=角MOA=45度，求出AC方程：y=x/5+12/5
求出AB方程：y=5x-12，則M(0,12/5) P(12/5,0)，所以OM=OP
所以用“邊角邊”可以證明三角形MOA和三角形POA全等，所以OA就是所求直線AD，所以AD方程：x-y=0
法二：


第27講 §3.3.3 點到直線的距離及兩平行線距離
¤學習目標：探索并掌握點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離. 體會數形結合、轉化的數學思想，培養研究探索的能力.
¤知識要點：
1. 點到直線的距離公式為.
2. 利用點到直線的距離公式，可以推導出兩條平行直線，之間的距離公式，推導過程為：在直線上任取一點，則，即. 這時點到直線的距離為.
¤例題精講：
【例1】求過直線和的交點并且與原點相距為1的直線l的方程.



【例2】在函數的圖象上求一點P，使P到直線的距離最短，并求這個最短的距離.


【例3】求證直線L：與點的距離不等于3.

【例4】求直線與的正中平行直線方程.


第27練 §3.3.3 點到直線的距離及兩平行線距離
※基礎達標
1．點（0，5）到直線y=2x的距離是（ ）. A. B. C. D.
2．動點在直線上，為原點，則的最小值為（ ）. A. 　　B. C. 　 D. 2
3．已知點到直線的距離為1，則a=（ ）.
A． B．－C． D．
4．兩平行直線間的距離是（ ）. A. B. C. 　D.
5．直線l過點P(1，2)，且M(2，3)，N(4，－5)到的距離相等，則直線的方程是（ ）.
A. 4x+y－6=0 B. x+4y－6=0
C. 2x+3y－7=0或x+4y－6=0 D. 3x+2y－7=0或4x+y－6=0
6．與直線l：平行且到的距離為2的直線的方程為 .
※能力提高
7．（1）已知點A（，6）到直線3－4＝2的距離d=4，求的值.
（2）在直線求一點, 使它到原點的距離與到直線的距離相等.
※探究創新
8．已知點P到兩個定點M（－1，0）、N（1，0）距離的比為，點N到直線PM的距離為1．求直線PN的方程．


第28講兩條直線的位置關系
①到角：直線l1到l2的角是指l1按逆時針方向旋轉到與l2重合時所轉的角.
設l1到l2的角為θ1，l2到l1的角為θ2，則有θ1∈（0，π），θ2∈（0，π），且θ1+θ2=π.
當k1k2≠－1時，有公式tanθ1=.當k1k2=－1時，l1⊥l2，θ1=θ2=.
②夾角：l1到l2的角θ1和l2到l1的角θ2中不大于90°的角叫l1和l2的夾角.設為α，則有α∈（0，］，當α≠時，有公式tanα=||.
1． 已知兩條直線的方程分別是，求兩條直線的夾角。
2． 求直線與直線的夾角。
3． 已知直線過點，且與直線的夾角為，求直線的方程。
4．直線繞點逆時針旋轉后得到直線，求直線的方程．
5．已知等腰直角三角形ABC的斜邊AB所在直線的方程為，直角頂點為，求兩條直角邊所在直線的方程．
6．已知等腰直角三角形ABC的直角邊BC所在直線的方程為，頂點A的坐標為（0，6），求斜邊AB和直角邊AC所在直線的方程．
7. 光線沿直線1：照射到直線2：上后反射，求反射線所在直線的方程.
8.（如右圖）等腰三角形的一個腰所在直線的方程是，底邊所在直線的方程是，點在另一腰上，求這條腰所在直線的方程.
在平面直角坐標系內，，試在軸正半軸上找一點P，使得最大．
9. 在軸的正半軸上給定兩點，點在點上方，試在軸正半軸上求一點，使取到最大值.
10.已知三角形的頂點,邊的中線所在的直線方程為，的平分線所在直線的方程為，求邊所在直線的方程.
11.是否存在實數，使直線與直線分別有如下的位置關系: (1)平行; (2)重合; (3)相交; (4)垂直; (5)相交,且交點在第二象限.若存在求出的值；若不存在，說明理由.


第29講 第三章 直線與方程 復習
¤學習目標：理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式；能根據兩條直線的斜率判定平行或垂直；握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式）；能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標；掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.
¤例題精講：
【例1】設A、B是軸上的兩點，點P的橫坐標為2，且｜PA｜＝｜PB｜，若直線PA的方程為，則直線PB的方程是（ ）.
A. B. 2 C. D.
【例2】一直線被兩直線：，：截得的線段的中點恰好是坐標原點，求該直線方程.
【例3】求過點且與直線平行的直線方程．
【例4】 求與直線平行，且在兩坐標軸上載距之和為的直線的方程。
【例5】 下面三條直線l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my－4＝0不能構成三角形，求m的取值集合．
　
【例6】求過點，且與直線垂直的直線的方程。




【例7】選擇題
若直線 平行，那么系數a等于( )
A． B． C． D．
2．下列各組直線中，兩條直線互相平行的是（ ）
與 與
與 與
3．直線的位置關系是 （ ）
（A）平行 （B）垂直 （C）相交但不垂直 （D）不能確定
4.以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）為端點的線段的垂直平分線方程是（　　　　）
Ａ　3x-y-8=0 B 3x+y+4=0C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=0


5．直線Ax+By+C=0與直線x+3y-5=0垂直，則系數A，B，C之間的關系一定是?? [??? ]A．3A+B=0 B．A+3B=0 C．3A=B+C D．3B=A+C
【例8】 求點P關于直線對稱的點的坐標。

【例9】求直線關于點對稱的直線方程。


題7. 直線y=2x是△ABC中∠C的平分線所在的直線，若A、B坐標分別為A（－4，2）、B（3，1），求點C的坐標，并判斷△ABC的形狀.


【例10】 光線從A（－3，4）點射出，到x軸上的B點后，被x軸反射到y軸上的C點，又被y軸反射，這時反射線恰好過點D（－1，6），求BC所在直線的方程.


【例11】已知點M（3，5），在直線l：x－2y+2=0和y軸上各找一點P和Q，使△MPQ的周長最小.

【例12】在三角形ABC中，BC邊上的高所在直線方程是，的內角平分線所在直線方程是，若點B的坐標是，求頂點A、C的坐標。


【例13】．已知直線l1：(m+2)x+(m2-3m)y+4=0，l2：2x+4(m-3)y-1=0，如果l1∥l2，求m的值．


【例14】已知直線的方程為，求直線的方程，使與垂直且與坐標軸圍成的三角形面積為．


【例15】已知△ABC的一個頂點A（－1，－4），∠B、∠C的平分線所在直線的方程分別為l1：y+1=0，l2：x+y+1=0，求邊BC所在直線的方程.


【例16】求函數的最小值。


【例17】在東方紅學校的東南方有一塊如圖所示的地，其中兩面是不能動的圍墻，在邊界OAB內是不能動的一些體育設施．現準備在此建一棟教學樓，使樓的底面為一矩形，且靠圍墻的方向須留有5米寬的空地，問如何設計，才能使教學樓的面積最大？






相交（1）兩條直線l1：y=k1x+b1和l2：y=k2x+b2相交得到兩類角：“到角”和“夾角”.
①到角：直線l1到l2的角是指l1按逆時針方向旋轉到與l2重合時所轉的角.
設l1到l2的角為θ1，l2到l1的角為θ2，則有θ1∈（0，π），θ2∈（0，π），且θ1+θ2=π.
當k1k2≠－1時，有公式tanθ1=.當k1k2=－1時，l1⊥l2，θ1=θ2=.
②夾角：l1到l2的角θ1和l2到l1的角θ2中不大于90°的角叫l1和l2的夾角.設為α，則有α∈（0，］，當α≠時，有公式tanα=||.
【例18】求過點P（5，－2），且與直線x－y+5=0相交成45°角的直線l的方程.


【例19】等腰三角形一腰所在直線l1的方程是x－2y－2=0，底邊所在直線l2的方程是x+y－1=0，點（－2，0）在另一腰上，求該腰所在直線l3的方程.剖析：依到角公式求出l3的斜率，再用點斜式可求l3的方程.

第28練 第三章 直線與方程 復習
※基礎達標
1．在x軸和y軸上的截距分別為－2、3的直線方程是（ ）.
A. B. C. D.
2．若直線通過第二、三、四象限，則系數A、B、C需滿足條件（ ）.
A. A、B、C同號 B. AC＜0，BC＜0 C. C＝0，AB＜0 D. A＝0，BC＜0
3．到兩坐標軸距離相等的點的軌跡方程是（ ）.
A. x－y=0 B. x+y=0 C. |x|－y=0 D. |x|－|y|=0
4．下列四種說法中的正確的是（ ）.
A. 經過定點P0（x0，y0）的直線都可以用方程y－y0=k（x－x0）表示
B. 經過任意兩個不同點的直線都可以用方程表示
C. 不經過原點的直線都可以用方程表示
D. 經過定點A（0，b）的直線都可以用方程y=kx+b表示
5．已知點，點Q在直線x-y+1=0上，若直線PQ垂直于直線x+2y-5=0，則點Q的坐標是（ ）.
A．（－2，1） B．（2，1） C．（2，3） D．（－2，－1）
6．已知兩點A（1，－1）、B（3，3），點C（5，a）在直線AB上，則實數a的值是 .
7．點P在直線x+y-4=0上，O為原點，則|OP|的最小值是 .
※能力提高
8．求經過直線的交點，且與原點距離為的直線方程．
9．已知點A的坐標為，直線的方程為3＋－2＝0，求：
（1）點A關于直線的對稱點A′的坐標； （2）直線關于點A的對稱直線的方程.
※探究創新
10．某市現有自市中心O通往正西和東北方向的兩條主要公路，為了解決交通擁擠問題，市政府決定修一條環城路，分別在通往正西和東北方向的公路上選取A、B兩點，使環城公路在A、B間為線段，要求AB環城路段與中心O的距離為10 km，且使A、B間的距離|AB|最小，請你確定A、B兩點的最佳位置（不要求作近似計算）.

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