資源簡介

平移旋轉折疊問題
例1、如圖,將三角形紙片ABC沿DE折疊,使點A落在BC邊上的點F處,
且DE∥BC,下列結論:①△BDF是等腰三角形;②DE=BC;③四邊形ADFE
是菱形;④∠BDF+∠FEC=2∠A.其中一定正確的個數是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
例2、下列圖形中,是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是( ).

例3、如圖，在平面直角坐標系中，正三角形OAB的頂點B的坐標為（2，0），
點A在第一象限內，將△OAB沿直線OA的方向平移至△O′A′B′的位置，
此時點A′的橫坐標為3，則點B′的坐標為 .

例4、在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,線段AD是BC邊上的中線,如圖1,將△ADC沿直線BC平移,使點D與點C重合,得到△FCE,如圖2,再將△FCE繞點C順時針旋轉,設旋轉角為α(0°＜α≤90°),連接AF,DE．

(1)在旋轉過程中,當∠ACE=150°時,求旋轉角α的度數；
(2)探究旋轉過程中四邊形ADEF能形成哪些特殊四邊形？請說明理由．

例5、如圖，矩形紙片ABCD，將△AMP和△BPQ分別沿PM和PQ折疊（AP＞AM），點A和點B都與點E重合；再將△CQD沿DQ折疊，點C落在線段EQ上的點F處.
（1）判斷△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪幾對相似三角形？
（2）如果AM=1，sin∠DMF=，求AB的長.

例6、如圖，在平面直角坐標系中，正三角形OAB的頂點B的坐標為（2, 0），點A在第一象限內，將△OAB沿直線OA的方向平移至△O′B′A′的位置，此時點A′的橫坐標為3，則點B′的坐標為（ ）．
A．（4，） B．（3，） C．（4，） D．（3，）




圖形的折疊：如圖，在矩形ABCD中，AD＝15，點E在邊DC上，聯結AE，△ADE沿直線AE翻折后點D落到點F，過點F作FG⊥AD，垂足為G．如果AD＝3GD，那么DE＝_____．



例8、圖形的旋轉：如圖，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝6，BC＝4，將△ABC繞直角頂點C順時針旋轉90°得到△DEC，若點F是DE的中點，連接AF，則AF= ．




例9、三角形： 如圖，△ABC≌△DEF（點A、B分別與點D、E對應），AB＝AC＝5，BC＝6．△ABC固定不動，△DEF運動，并滿足點E在BC邊從B向C移動（點E不與B、C重合），DE始終經過點A，EF與AC邊交于點M，當△AEM是等腰三角形時，BE＝_________．





例10、四邊形：如圖，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．點E在邊AB上，點F在邊CD上，點G、H在對角線AC上．若四邊形EGFH是菱形，則AE的長是（ ）．
A． B． C．5 D．6



例11、圓：如圖，⊙O的半徑為2，AB，CD是互相垂直的兩條直徑，點P是⊙O上任意一點（P與A，B，C，D不重合），過點P作PM⊥AB于點M，PN⊥CD于點N，點Q是MN的中點，當點P沿著圓周轉過45°時，點Q走過的路徑長為__________．
A. B. C. D.



例12、函數圖象：如圖，直線l與半徑為4的⊙O相切于點A，P是⊙O上一個動點（不與點A重合），過點P作PB⊥l，垂足為B，聯結PA．設PA＝x，PB＝y，則(x－y)的最大值是_____．





例13、.如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,AB=8.半徑為的⊙M與射線BA相切,切點為N,且AN=3.將Rt△ABC順時針旋轉120°后得到Rt△ADE,點B,C的對應點分別是點D,E．
(1)畫出旋轉后的Rt△ADE；
(2)求出Rt△ADE 的直角邊DE被⊙M截得的弦PQ的長度；
(3)判斷Rt△ADE的斜邊AD所在的直線與⊙M的位置關系,并說明理由.
























平移旋轉折疊問題
例1、如圖,將三角形紙片ABC沿DE折疊,使點A落在BC邊上的點F處,
且DE∥BC,下列結論:①△BDF是等腰三角形;②DE=BC;③四邊形ADFE
是菱形;④∠BDF+∠FEC=2∠A.其中一定正確的個數是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】如圖,分別過點D，E作BC的垂線DG，EH；連接AF,由于折疊是軸對稱變換知AF與DE垂直,因為DE∥BC，所以AF與BC垂直,且AM=MF,可以證明點D，E分別是AB,AC的中點,即DE是△ABC的中位線,所以②DE=BC是正確的；由于折疊是軸對稱變換知AD=DF,AE=EF,所以DA=DB=DF,所以①△BDF是等腰三角形是正確的；因DG∥AF∥EH,所以∠BDG=∠DAM,又因為DG是等腰三角形BDF的高,所以∠BDF=2∠DAM,同 理 ∠CEF = 2 ∠EAM, 所以 ④∠BDF+∠FEC=2∠A是正確的；如圖顯然四邊形ADFE不是菱形,③是錯誤的．
【答案】C
例2、下列圖形中,是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是( ).

【解析】把一個圖形沿著某一條直線折疊,如果直線兩旁的部分能互相重合,那么這個圖形是軸對稱圖形； 把一個平面圖形繞某一點旋轉180°,如果旋轉后的圖形能和原圖形互相重合,那么這個圖形叫做中心對稱圖形.對照定義,可知A是軸對稱圖形,且有1條對稱軸,但不是中心對稱圖形；B是中心對稱圖形,不是軸對稱圖形；C是軸對稱圖形,有1條對稱軸,但不是中心對稱圖形；D既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形,有4條對稱軸．
【答案】B
例3、如圖，在平面直角坐標系中，正三角形OAB的頂點B的坐標為（2，0），
點A在第一象限內，將△OAB沿直線OA的方向平移至△O′A′B′的位置，
此時點A′的橫坐標為3，則點B′的坐標為 .
【解析】作AM⊥x軸于點M.根據等邊三角形的性質得OA=OB=2，∠AOB=60°，
在Rt△OAM中,利用含30°角的直角三角形的性質求出OM=1，AM=，從而求得
點A的坐標為（1，），直線OA的解析式為y=x,當x=3時，y=3,所以
點A′的坐標為（3，3），所以點A′是由點A向右平移2個單位，向上平移
23個單位后得到的，于是得點B′的坐標為（4,2）.
【答案】（4,23）

例4、在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,線段AD是BC邊上的中線,如圖1,將△ADC沿直線BC平移,使點D與點C重合,得到△FCE,如圖2,再將△FCE繞點C順時針旋轉,設旋轉角為α(0°＜α≤90°),連接AF,DE．

(1)在旋轉過程中,當∠ACE=150°時,求旋轉角α的度數；
(2)探究旋轉過程中四邊形ADEF能形成哪些特殊四邊形？請說明理由．
【解析】(1)由題意分析可知此問需分兩種情況討論：①點E和點D在直線AC兩側；②點E和點D在直線AC同側；(2)在旋轉過程中,總是存在AC=CE,DC=CE.由圖形的對稱性可知,將會出現兩種對角線相等的特殊四邊形：等腰梯形和矩形.抓住平移和旋轉的性質,較易證明．
【答案】：(1)在圖1中,∵∠BAC=90°,∠B=30°,
∴∠ACE=∠BAC+∠B=120°．
如圖2,當點E和點D在直線AC兩側時,由于∠ACE=150°,
∴α=150°-120°=30°.當點E和點D在直線AC同側時,
由于∠ACB=180°-∠BAC-∠B=60°,∴∠DCE=∠ACE-∠ACB=150°-60°=90°.
∴α=180°-∠DCE=90°.∴旋轉角α為30°或90°;
(2)四邊形ADEF能形成等腰梯形和矩形．
∵∠BAC=90°,∠B=30°,∴AC=BC．
又∵AD是BC邊上的中線,∴AD=DC=BC=AC.∴△ADC為正三角形．
①當α=60°時,如圖3,∠ACE=120°+60°=180°.
∵CA=CE=CD=CF,
∴四邊形ADEF為矩形．
②當α≠60°時,∠ACF≠120°,∠DCE=360°-60°-60°-∠ACF≠120°．
顯然DE≠AF．∵AC=CF,CD=CE,
∴2∠FAC+∠ACF=2∠CDE+∠DCE=180°.
∵∠ACF+∠DCE=360°-60°-60°=240°,
∴∠FAC+∠CDE=60°.∴∠DAF+∠ADE=120°+60°=180°.∴AF∥DE．
又∵DE≠AF,AD=EF,∴四邊形ADEF為等腰梯形．
例5、如圖，矩形紙片ABCD，將△AMP和△BPQ分別沿PM和PQ折疊（AP＞AM），點A和點B都與點E重合；再將△CQD沿DQ折疊，點C落在線段EQ上的點F處.
（1）判斷△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪幾對相似三角形？
（2）如果AM=1，sin∠DMF=，求AB的長.
【解析】（1）由矩形的性質得∠A=∠B=∠C=90°，由折疊的性質和等角的余角相等，可得∠BPQ=∠AMP=∠DQC，所以△AMP∽△BPQ∽△CQD；（2）先證明MD=MQ，然后根據sin∠DMF=DFMD=35，設DF=3x，MD=5x，再分別表示出AP，BP，BQ，根據△AMP∽△BPQ，列出比例式解方程求解即可.
解：（1）△AMP∽△BPQ∽△CQD.
∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°.
由折疊的性質可知∠APM=∠EPM，∠EPQ=∠BPQ.
∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°.
∵∠APM+∠AMP=90°，∴∠BPQ=∠AMP.
∴△AMP∽△BPQ.
同理：△BPQ∽△CQD.
根據相似的傳遞性可得△AMP∽△CQD；
（2）∵AD∥BC，∴∠DQC=∠MDQ.
由折疊的性質可知∠DQC=∠DQM.
∴∠MDQ=∠DQM.∴MD=MQ.
∵AM=ME，BQ=EQ，
∴BQ=MQ-ME=MD-AM.
∵sin∠DMF=，則設DF=3x，MD=5x，則BP=PA=PE=，BQ=5x-1.
∵△AMP∽△BPQ，∴，即，解得x=（舍去）或x=2，∴AB=6.
例6、如圖，在平面直角坐標系中，正三角形OAB的頂點B的坐標為（2, 0），點A在第一象限內，將△OAB沿直線OA的方向平移至△O′B′A′的位置，此時點A′的橫坐標為3，則點B′的坐標為（ ）．
A．（4，） B．（3，） C．（4，） D．（3，）





【答案】A
【解析】如圖，當點B的坐標為（2, 0），點A的橫坐標為1．
當點A'的橫坐標為3時，等邊三角形A′OC的邊長為6．
在Rt△B′CD中，B′C＝4，所以DC＝2，B′D＝．此時B′．
圖形的折疊：如圖，在矩形ABCD中，AD＝15，點E在邊DC上，聯結AE，△ADE沿直線AE翻折后點D落到點F，過點F作FG⊥AD，垂足為G．如果AD＝3GD，那么DE＝_____．





【答案】
【解析】思路如下：
如圖，過點F作AD的平行線交AB于M，交DC于N．
因為AD＝15，當AD＝3GD時，MF＝AG＝10，FN＝GD＝5．
在Rt△AMF中，AF＝AD＝15，MF＝10，所以AM＝．
設DE＝m，那么NE＝．
由△AMF∽△FNE，得，即．解得m＝．
例8、圖形的旋轉：如圖，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝6，BC＝4，將△ABC繞直角頂點C順時針旋轉90°得到△DEC，若點F是DE的中點，連接AF，則AF= ．





【答案】 5．
【解析】思路如下：
如圖，作FH⊥AC于H．
由于F是ED的中點，所以HF是△ECD的中位線，所以HF＝3．
由于AE＝AC－EC＝6－4＝2，EH＝2，所以AH＝4．所以AF＝5．
例9、三角形： 如圖，△ABC≌△DEF（點A、B分別與點D、E對應），AB＝AC＝5，BC＝6．△ABC固定不動，△DEF運動，并滿足點E在BC邊從B向C移動（點E不與B、C重合），DE始終經過點A，EF與AC邊交于點M，當△AEM是等腰三角形時，BE＝_________．
【答案】 或1
【解析】思路如下：
設BE＝x．
由△ABE∽△ECM，得，即．
等腰三角形AEM分三種情況討論：
①如圖2，如果AE＝AM，那么△AEM∽△ABC．
所以．解得x＝0，此時E、B重合，舍去．
②如圖3，當EA＝EM時，．解得x＝1．
③如圖4，當MA＝ME時，△MEA∽△ABC．所以．解得x＝．



圖2 圖3 圖4
例10、四邊形：如圖，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．點E在邊AB上，點F在邊CD上，點G、H在對角線AC上．若四邊形EGFH是菱形，則AE的長是（ ）．
A． B． C．5 D．6



【答案】C．
【解析】思路如下：
拖動點E在AB上運動，可以體驗到，當EF與AC垂直時，四邊形EGFH是菱形（如圖2）．
如圖3，在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝4，所以AC＝．
由cos∠BAC＝，得．所以AE＝5．

圖2 圖3
例11、圓：如圖，⊙O的半徑為2，AB，CD是互相垂直的兩條直徑，點P是⊙O上任意一點（P與A，B，C，D不重合），過點P作PM⊥AB于點M，PN⊥CD于點N，點Q是MN的中點，當點P沿著圓周轉過45°時，點Q走過的路徑長為__________．
A. B. C. D.
【答案】 A．
【解析】思路如下：
拖動點P在圓周上運動一周，可以體驗到，當點P沿著圓周轉過45°時，點Q走過的路徑是圓心角為45°半徑為1的一段弧．
如圖2，四邊形PMON是矩形，對角線MN與OP互相平分且相等，因此點Q是OP的中點．
如圖3，當∠DOP＝45°時，的長為．

圖2 圖3
例12、函數圖象：如圖，直線l與半徑為4的⊙O相切于點A，P是⊙O上一個動點（不與點A重合），過點P作PB⊥l，垂足為B，聯結PA．設PA＝x，PB＝y，則(x－y)的最大值是_____．
【答案】 2．
【解析】思路如下：
拖動點P在圓上運動一周，可以體驗到，AF的長可以表示x－y，點F的軌跡象兩葉新樹丫，當AF最大時，OF與AF垂直（如圖2）．
如圖3，AC為⊙O的直徑，聯結PC．
由△ACP∽△PAB，得，即．所以．
因此．
所以當x＝4時，x－y最大，最大值為2．

圖2 圖3
例13、.如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,AB=8.半徑為的⊙M與射線BA相切,切點為N,且AN=3.將Rt△ABC順時針旋轉120°后得到Rt△ADE,點B,C的對應點分別是點D,E．
(1)畫出旋轉后的Rt△ADE；
(2)求出Rt△ADE 的直角邊DE被⊙M截得的弦PQ的長度；
(3)判斷Rt△ADE的斜邊AD所在的直線與⊙M的位置關系,并說明理由.





【分析】(1)點A不動,由于∠BAC=60°,因此旋轉120°后AE與AB在同一條直線上；(2)過點M作MF⊥DE,垂足為F.連接MP,構造出Rt△MPF，再通過勾股定理解直角三角形并結合垂徑定理即可求解；(3)易猜想AD與⊙M相切.欲證AD與⊙M相切,只需HM=NM即可,而HM=NM可由△MHA≌△MNA得到．
【答案】證明：(1)如圖1，Rt△ADE就是旋轉后的圖形；

(2)如圖2,過點M作MF⊥DE,垂足為F,連接MP．在Rt△MPF中,MP=,MF=4-3=1,由勾股定理易得PF=2,再由垂徑定理知PQ=2PF=2；
(3)AD與⊙M相切．
證法一：如圖2,過點M作MH⊥AD于H,連接MN, MA,則MN⊥AE且MN=.在Rt△AMN中,tan∠，∴∠MAN=30°.
∵∠DAE=∠BAC=60°,∴∠MAD=30°.
∴∠MAN=∠MAD=30°.∴MH=MN(由△MHA≌△MNA或解Rt△AMH求得MH=3,從而得MH=MN 亦可).
∴AD與⊙M相切；
證法二：如圖2,連接MA,ME,MD,則S△ADE=S△AMD+S△AME+S△DME,過M作MH⊥AD于H, MF⊥DE于F, 連接MN, 則MN⊥AE且MN=,MF=1,
∴AC·BC=AD·MH+AE·MN+DE·MF,由此可以計算出MH=.∴MH=MN.
∴AD與⊙M相切．

展開更多......

收起↑