資源簡介

五年級知識點梳理&經典例題
第二單元因數和倍數
一、知識點梳理
（1）、因數和倍數
a.因數和倍數相互依存。（注意研究因倍數不考慮0；因數和倍數是針對整數）
b.一個數最小因數是1，最大因數是他本身；一個數最小倍數是本身。（注意沒有最大倍數）
c.一個數的因數是有限的，倍數是無限的。
d.一個數找因數時可以借助乘法算式。（例：4=1×4 ；4=2×2則4的因數是1、2、4）
（2）、2、3、5的倍數
a. 2的倍數特征：個位是0、2、4、6、8
b. 5的倍數特征：個位是0、5
c. 3的倍數特征： 各個數位和是3的倍數。
d. 2、3、5最小倍數是30
e. 2、5的公倍數個位是0。
f. 自然數范圍內，最小奇數是1，最小偶數是2，最小的合數是4。
（3）質數與合數
a.質數只有1和它本身兩個因數。（公因數只有1的兩個數，叫做互質數）
b.除了1和它本身外還有其他因數。
c.1既不是質數也不是合數。
d.同奇數和是偶，同偶數和還偶。一奇一偶和是奇。
f.自然數范圍內非奇即偶（自然數范圍內包括0、1、質數、合數四類）
二、經典例題
1、(1).一個數的倍數一定大于它的因數。（x）
解析：一個數最大公因數和最小公倍數都是這個數本身。
(2).在算式18÷2=9中，18是2和9的倍數，因此在算式1.8÷9=0.2中，1.8是9和0.2的倍數。 （x）
解析：因數和倍數是針對整數。
(3).個位上是3、6、9的數，都是3的倍數。 （x）
解析： 3的倍數特征： 各個數位和是3的倍數。
(4).如果四位數111( ) 是3的倍數，那么（ ）里最小能填3。 （x）
解析：3的倍數是要求各個數位和是3的倍數即可，前三位已經滿足，（）里最小可填0。
(5).一個三位數，百位上是最小的奇數，十位上是0，個位上是一位數中最大的偶數，那么這個數即是2的倍數，又是3的倍數。 （√）
解析：百位上是1，個位是8。這個數是108，滿足2、3的倍數要求。
(6).自然數（0除外）不是奇數就是偶數，不是質數就是合數。 （x）
解析：自然數（0除外）=奇數+偶數；自然數（0除外）=質數+合數+1
(7).質數都是奇數，偶數都是合數。 （x）
解析：2是最小的質數，也是偶數。
2、(1).一個三位數41( ),如果這個數是2的倍數，（ ）里可以填（ 0、2、4、6、8 ）；如果這個數是5的倍數，（ ）里可以填（ 0、5 ）；如果這個數即是5的倍數又是2的倍數，（ ）里只能填（ 0 ）。
解析： 2的倍數特征：個位是0、2、4、6、8 ；5的倍數特征：個位是0、5
(2).一個三位數，既有因數3，又有因數2，同時又是5的倍數，這個三位數最小是（ 120 ），最大是（ 990 ）。
解析：2、3、5最小倍數是30，寫三位數時直接判斷30的倍數即可。
(3).一個五位數，萬位是最小的合數，千位是最小的奇數，十位即是質數又是偶數，其余各位都是0，這個數寫作（ 41020 ）。
解析：最小合數4，最小奇數1，即是質數又是偶數的是2。
3、一個長方形周長是16㎝，它的長和寬的米數分別是兩個質數，這個長方形的面積是多少平方米？
解題思路:確定長寬和后再確定長寬具體數值。注意1既不是質數又不是合數。
解題步驟: 16÷2=8；8=3+5；面積：3×5=15

4、美術小組郊外寫生。該興趣小組人數多余30但不到35，剛好可以分成幾個人數相等的小組，且小組數和每組人數都是不同的質數，那么該小組有多少人？
解題思路:小組人數大于30小于35，在其中確定能被兩個質數相乘的即為答案。
解題步驟：大于30小于35的數有31、32、33、34。
其中33=3×11；34=2×17 滿足要求。

5.籃子里有64個蘋果，如果不能一個一個地拿，也不能一次性全部拿走，要求每次拿出的個數都一樣，一共有多少種拿法？
解題思路:每次次數相同即要求找到64的因數。
解題步驟：64=1×64；64=2×32；64=4×16；64=8×8；
題目要求不能一次都拿走也不能逐一拿取。那么排除1和64。還有2、32、4、16、8共計5個因數，則共有5種取法。

6.媽媽給手機設置的密碼為六位數，第一位上數字是10以內最大的質數；第二位上數字只有一個因數；第三位上數字的最大因數和最小倍數的乘積為49；第四位上數字是最小的合數；第五位和第六位上是兩個連續的自然數，且都是質數。你能根據以上的線索來推理出密碼嗎
解題思路:10以內最大的質數7;只有一個因數的數是1；最大因數和最小倍數為同一個人數，二者的乘積為49，則這個數為7；最小合數是4；兩個連續的自然數且都是質數的是2、3。
解題步驟：717423

7.有三個學生，他們最大的比最小的大6歲，中間的人的年齡為三個人年齡的平均數，他們三人年齡的乘積是1620，這三個學生的年齡分別是幾歲？
解題思路：涉及乘積問題用分解質因數和假設法。
解題步驟：1620=2×2×3×3×3×3×5；
假設最小年齡為a，中間年齡為△，年齡最大為a+6。
3△=a+△+a+6
△=a+3。
則三人年齡相差3，且為3的倍數。
根據分解質數，三人年級為9、12、15。


第二單元
基礎知識
一、填空題：
（1）36的因數有（ ）。
（2）寫出100以內14的倍數（ ）。
（3）在20以內的自然數中，既不是質數也又不是合數的是（ ）；既是奇數又是合數的有（ ）。
（4）三個連續奇數的和是93，這三個奇數分別是（ ）、（ ）、（ ）。
（5）在0、3、7、8中選出3個數字，組成能同時是2、3、5倍數的最小三位數是（ ），最大三位數是（ ）。
二、選擇題：
a+3的和是奇數，a一定是（ ）。
A.質數 B.合數 C.奇數 D.偶數
（2）兩個質數的積一定是（ ）。
A.質數 B.合數 C.奇數 D.偶數
（3）用0、3、4、8組成的所有四位數一定都是（ ）的倍數。
A.0 B.5 C.3 D.2
三、綜合應用
（1）540這個數的因數有多少個？這些因數的和是多少？

（2）小江每天堅持書法練習，開學前4天，他每天堅持練習的張數是四個連續的自然數，并且乘積是360，請問小江這四天各寫了幾張？

能力發展
例1：
（1）120能被2和5整除，并且2與5互質，那么120能否被2和5的乘積整除？
（2）18能被2和3整除，并且2與3互質，那么18能否被2和3的乘積整除？18能被2和6整除，那么18能否被2和6的乘積整除？為什么？


舉一反三：
如果六位數591□□□能分別被2、3、5整除，則這個六位數最小是多少？

例2：不計算，你能判斷15×385與75×77的兩個積是否相等嗎？
（溫馨提示：左右兩邊分解質因數后，各有哪些質因數？）


舉一反三：有8張數字卡片分別是14、20、35、39、49、66、143、169，小江和小浙各抽4張卡片，正巧每位同學手中的四張數字卡片的乘積相等，你能猜出小浙和小江分別抽了哪四張數字卡片呢？


思維提升
已知7A+2B=1996，其中A，B都是質數，那么A+B的和是多少？
第三單元長方體和正方體
一、知識點梳理
1.長方體
(1).有6個面，8個頂點，12條棱，相對的面的面積相等，相對的棱長相等。
(2).一個長方體最多有6個面是長方形，最少有4個面是長方形，最多有2個面是正方形。
(3).長方體的棱長總和=（長+寬+高）×4
(4).長方體的表面積=（長×寬＋長×高＋寬×高）×2 （注意實際情況的表面積個數計算）
(5).長方體的體積=長×寬×高
2.正方體
(1).有6個面，8個頂點，12條棱，每個面的面積都相等，所有棱長相等。
(2).正方體可以說是長、寬、高都相等的長方體，它是一種特殊的長方體。
(3).正方體的棱長總和=棱長×12
(4).正方體的表面積=棱長×棱長×6 （注意實際情況的表面積個數計算）
(5).正方體的體積=棱長×棱長×棱長
3.*形狀不規則的物體求體積
排水法的公式：V物體 =V現在－V原來
V物體 =S×(h現在- h原來)
V物體 =S×h升高
二、經典例題
1、判斷
(1).一個長方體表面積時24dm2，把它平均分成兩個長方體后，每個長方體的表面積是12dm2。 （x）
解析：長方體切割后表面積會增加，每個長方體表面積會比原來增加。
(2).一個正方體棱長擴大到原來的2倍，它的表面積就擴大到原來的8倍。 （x）
解析：正方體表面積=棱長×棱長×6 棱長擴大2倍，面積就擴大4倍。
(3).把5個棱長為1㎝的小正方體拼成一個長方體，長方體的表面積就是2cm2。 (X）
解析：五個小正方體拼接，總表面積減少8個面。小正方體表面積是30cm2，長方體表面積是22cm2。
(4).一個長方體木箱能裝貨8m3 ，長方體木箱的體積就是8m3。 （X）
解析：體積≠容積，要注意實際情況。
(5).把表面積為6cm2的兩個正方體拼成一個長方體，長方體表面積是12cm2。 （X）
解析:正方體拼接后表面積減少兩個面。長方體表面積應該是10cm2
(6).一個正方體棱長減少1dm，體積就比原來減少1dm3。 （X）
解析：正方體體積=棱長3（可以用假設法，解題更加方便）開始：體積=13 減少后：體積=23,減少了7dm3.
2、用一根60㎝長的鋼絲焊接一個長方體框架，如果這個長方體的長是7㎝，寬是3㎝，那么高是多少？（不記焊接處的材料長度）
解析:長方體棱長和=（長+寬+高）×4
60=（7+3+高）×4
高=60÷4－10
高=2

3、一個禮品盒長10㎝，寬6㎝，高2㎝，彩帶打結部分長15㎝，包裝這個盒子至少需要多長的彩帶？
解題思路：長方體禮盒包裝共計長、寬各兩次，高四次。
解析過程：（長+寬）×2+高×4+打結部分
（10+6）×2+2×4+15=87

4、一個正方體框架是用一根長48㎝的鐵絲焊成，要給這個框架的各個面都糊上彩紙，至少需要多大面積的彩紙？（接口處不計）
解題思路：借助棱長和求出正方體表面
解題步驟：48÷12=4 4×4×6=96

5、某小學建立一個長方體游泳池，長是50米，寬是5米，深是2米。
（1）游泳池占地面積多少平方米？（2）在游泳池四周和底面抹上水泥，抹水泥的部分是多少平方米？（3）沿游泳池的內壁1.5米高處用白漆畫一條水位線，水位線全長多少米？(4)按水位線的高度蓄水，蓄水池內蓄水多少立方米？
解題步驟：1）占地面積：50×5=250 2)表面積：50×5+50×2×2+5×2×2= 470
3）（50+5）×2=110 4）50×5×1.5=375

6、一個長方體玻璃容器，底面是邊長2dm的正方形容器，向容器中倒入5L水，再放入一塊鐵塊，鐵塊浸沒在水中，這是水面高度是20㎝（水沒有溢出），這塊鐵塊體積是多少？
解題思路：水上升部分體積=鐵塊體積
解題步驟；2dm=20cm 上升部分水體積：20×20×20=8000cm3
易錯點：本題提示水沒有溢出。若投入鐵塊，沒有明確文字說明，先確定水上升高度是否溢出。

7、將一個長方體沿底面平行的方向切成5個同樣大小的正方體，切成的5個正方體表面積比原來長方體表面積增加了200cm2,求原來長方體表面積。
解題思路：長方體切割開，表面積增加8個底面。長方體表面積=正方體表面積×5－200
解題步驟: 200÷8=25 25×6×5－200=550

8、一個空的長方體容器A長30cm、寬20cm、另一個裝有水的長方體容器B長20cm、寬15cm、水深12厘米.現將容器B中的水倒一部分到容器A,使兩容器內水的高度一樣.這時水深幾厘米?
解題思路：水的總體積=A容器水體積+B容器水體積
解題步驟：水的體積： 20×15×12=3600 3600=20×30×h+20×15×h
3600=600h+300h
h=4
易錯點：注意題目中條件是兩個容器中水的體積相同、容器底面積相同、容器中水高度相同。






第三單元
一、基礎知識
1、填空題：
（1）將兩個同樣大小的正方體黏合乘一個長方體，黏合乘的長方體比原來兩個正方體少掉（ ）個面。如果正方體的棱長是5分米，那么黏合成的長方體的長是（ ）分米，寬是（ ）分米，高是（ ）分米。
（2）一個集裝箱長是7.5m，寬是4m，高是4m，這個集裝箱左右面的面積之和是（ ）㎡，其余四個面的面積相等，面積之和是（ ）㎡。
（3）一個正方體的棱長總和為60cm，這個正方體側面積是（ ）cm?。
（4）長方體的地面周長為36cm，如果高增加10cm，那么表面積增加了（ ）cm?。
（5）有一個棱長是5分米的正方體水箱中裝有半箱水，現把一塊石頭完全浸沒在水中，水面上升6厘米（未溢出）。這塊石頭的體積是（ ）。

2、選擇題：
用一根52厘米長的鐵絲，恰好可以焊成一個長6厘米、寬4厘米，高（ ）厘米的長方體教具。
A.2 B.3 C.4 D.5
（2）把1立方米的正方體木塊切成1立方厘米的小正方體木塊，如果把這些小木塊排成一行，共有（ ）長。
A.10千米 B.1千米 C.1000米 D.10000分米
（3）一段鋼材長0.4m，橫截面積是120cm?，它的體積是（ ）cm?。
A.48 B.480 C.4800 D.8000
（4）一個正方體的棱長為10厘米，一個長方體的長、寬、高分別是9厘米、10厘米、11厘米。它們的表面積相比（ ）。
A.一樣大 B.正方體大 C.長方體大
一個長方體，地面是周長為8分米的正方形，側面展開也是一個正方形，這個長方體的體積是（ ）立方分米。
A.512 B.64 C.32 D.128


二、綜合應用
1、一種長方體鋼材，長2.5米，寬和高都是6厘米。每立方米鋼材重7.8噸，這根鋼材重多少噸？


2、一個長方體，地面是周長36分米的正方形，側面展開也是一個正方形，這個長方體的體積是多少？



三、能力發展
1.在一個長24m，寬12m，深1.6m的長方體游泳池里面貼瓷磚，瓷磚為邊長0.2m的正方形，共需要多少塊瓷磚？

2.有一張長40厘米，寬20厘米的長方形硬紙片，從四個角各剪去邊長為5厘米的正方形，做成紙盒。該紙盒的表面積和容積各為多少？



四、思維提升
一個木盒從外面量長12厘米，寬10厘米，高6厘米，木板厚1厘米。做這個木盒最少需要1厘米厚的木板多少平方厘米？這個木盒的容積是多少立方厘米？

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