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空間向量應(yīng)用問題解答的基本方法
縱觀近幾年的高考數(shù)學(xué)試題，理科立體幾何大題的第二小題都是求空間角的余弦值（或正弦值）的問題。解答時(shí)，一般都是通過建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量的方法達(dá)到解題的目的。這樣一來，空間向量應(yīng)用問題解答的基本方法就顯得尤為重要，歸結(jié)起來，空間向量應(yīng)用問題主要包括：①建立空間直角坐標(biāo)系的基本方法；②應(yīng)用空間向量證明平行問題的基本方法；③應(yīng)用空間向量證明垂直問題的基本方法；④應(yīng)用空間向量求空間角余弦值（或正弦值）問題的基本方法等幾種類型。各種類型結(jié)構(gòu)上具有一定的特征，解答的基本方法也各不相同，那么在實(shí)際解答該類問題時(shí)，到底如何抓住題型的特征，快捷，準(zhǔn)確地給予解答呢？下面通過典型例題的詳細(xì)解析來回答這個(gè)問題。
【典例1】解答下列問題： z
1、如圖在正方體ABCD---中
建立直角坐標(biāo)系D----XYZ；
【解析】 D C y
【知識(shí)點(diǎn)】①空間直角坐標(biāo)系的定義與性質(zhì)；②空間 x
直角坐標(biāo)系建立的基本方法；③正方體的定義與性質(zhì)。 A B
【解題思路】運(yùn)用正方體的性質(zhì)，結(jié)合空間直角坐標(biāo)系建立的基本方法就可解答問題。
【詳細(xì)解答】 ABCD---是正方體，DDA，DDC，ADDC，如圖，以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，D分別為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz。 z
2、如圖在幾何體中，底面ABCD是邊長為 E F
6的正方形，是以E為直角頂點(diǎn)的等腰
直角三角形且垂直于底面，試建立直角坐標(biāo)系
O----XYZ； D C
【解析】 O F y
【知識(shí)點(diǎn)】①空間直角坐標(biāo)系的定義與性質(zhì)；②空間 x
直角坐標(biāo)系建立的基本方法；③等腰三角形的定義與 A B
性；④正方形的定義與性質(zhì)；⑤平面垂直平面的性質(zhì)。
【解題思路】分別取AD，BC的中點(diǎn)O，F(xiàn)，連接EO，F(xiàn)O，運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合問題條件可證EOOA，EOOF，AOOF，利用空間直角坐標(biāo)系建立的基本方法就可解答問題。
【詳細(xì)解答】分別取AD，BC的中點(diǎn)O，F(xiàn)，連接EO，F(xiàn)O，是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，O是AD的中點(diǎn)， EOAD，平面EAD平面ABCD，平面EAD 平面ABCD=AD，EO 平面EAD， EO平面ABCD， EOOA，EOOF，四邊形ABCD是邊長為6的正方形， AOOF，如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，射線OA，OF，OE分別為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz。
3、如圖在四菱錐P----ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA=PD=，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD的中點(diǎn)，試建立直角坐標(biāo)系O---XYZ；
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①空間直角坐標(biāo)系的定義與性質(zhì)；②空間 P z
直角坐標(biāo)系建立的基本方法；③平面垂直平面的性質(zhì)；
④直角梯形的定義與性質(zhì)；⑤等腰三角形的定義與性質(zhì)。
【解題思路】連接PO，運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合 A O D y
問題條件可證POOD，POOC，COOD，利用
空間直角坐標(biāo)系建立的基本方法就可解答問題。 B x C
【詳細(xì)解答】連接CO， PA=PD=，O為AD的中點(diǎn)， POAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD 平面ABCD=AD，PO 平面PAD， PO平面ABCD， POOD，POOC， BC∥AD， AD=2AB=2BC=2，四邊形ABCO是菱形，AB⊥AD，四邊形ABCO是正方形， OCOD，如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，射線OC，OD，OP分別為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz。
4、如圖在四菱錐O----ABCD中，底面ABCD是 O z
邊長為1的菱形，，OA⊥底面ABCD，
試建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)---XYZ。 A D y
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①空間直角坐標(biāo)系的定義與性質(zhì)；②空間 x
直角坐標(biāo)系建立的基本方法；③菱形的定義與性質(zhì)；④B E C
直線垂直平面的定義與性質(zhì)。
【解題思路】過A作AEAD，垂足為A，交BC于點(diǎn)E，運(yùn)用直線垂直平面的性質(zhì)，結(jié)合問題條件可證ADOA，AEOA，利用空間直角坐標(biāo)系建立的基本方法就可解答問題。
【詳細(xì)解答】過A作AEAD，垂足為A，交BC于點(diǎn)E， OA⊥底面ABCD，AD，AE 平面ABCD， ADOA，AEOA，如圖，以A為原點(diǎn)，射線AE，AD，AO分別為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz。
『思考題1』
（1）【典例1】是空間向量運(yùn)用的首要問題—建立空間直角坐標(biāo)系，【典例1】中的（1）可以直接建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz，原因是AD⊥D，AD⊥DC，DC⊥D是條件ABCD---是正方體給定了的；
（2）【典例1】中的（2），（3），（4）中沒有現(xiàn)成的系，這時(shí)需要我們?nèi)フ蚁怠Ｕ蚁档幕疽?guī)律是：①條件中有兩個(gè)平面垂直可利用平面垂直平面的性質(zhì)，在一個(gè)平面內(nèi)找垂直于另一個(gè)平面的直線，其垂足為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系；②條件中沒有兩個(gè)平面垂直，但有直線垂直于平面，可利用直線垂直平面的性質(zhì)直接取垂足為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系。
〔練習(xí)1〕按要求解答下列各題： S
1、如圖四菱錐S----ABCD中，底面ABCD是矩形，
SD⊥底面ABCD，試建立直角坐標(biāo)系D----XYZ；
D C

A B



E
2、如圖DC⊥平面ABC，EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2，
，P、Q分別為AE、AB的中點(diǎn)，試 D
建立直角坐標(biāo)系C----XYZ。 P
C B

A Q
【典例2】解答下列問題：
1、如圖在正方體ABCD----中，E，F(xiàn)分別是B、CD的中點(diǎn)，M是AE上一點(diǎn)，且=。求證： z
（1）M⊥平面DAE；
（2）M⊥AD； D M F E C y
（3）平面AED⊥平面F。 x A B
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①建立空間直角坐標(biāo)系的基本方法；②空間點(diǎn)坐標(biāo)確定的基本方法；③直線所在向量的求法；④平面法向量的基本求法；⑤運(yùn)用空間向量證明直線垂直平面的基本方法；⑥運(yùn)用空間向量證明直線垂直直線的基本方法；⑦運(yùn)用空間向量證明平面垂直平面的基本方法。
【解題思路】（1）如圖運(yùn)用建立空間自己坐標(biāo)系的基本方法建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz，根據(jù)確定點(diǎn)坐標(biāo)的基本方法分別確定點(diǎn)，M，D，A，E的坐標(biāo)，從而求出直線M，DA，DE所在向量，，，得到.=0，. =0，可證M⊥DA，M⊥DE，利用直線垂直平面判定定理和判定方法就可證明結(jié)論；（2）由（1）點(diǎn)的坐標(biāo)分別求出直線M，AD所在的向量，，得到.=0，從而證明M⊥AD；（3）設(shè)平面DAE的法向量為=（，，），由.=0，. =0，求出法向量，用同樣的方法求出平面F的法向量，得到.=0，利用證明平面垂直平面的基本方法就可證明結(jié)論。
【詳細(xì)解答】（1） ABCD---是正方體，DDA，DDC，ADDC，如圖，以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，D分別為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz，設(shè)正方體的棱長為1，M（x，y，z）， D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），（0，0，1），（1，1，1），（1，0，1），E是B的中點(diǎn)， E（1，1，），=（1，0，0），=（1，1，），=（x-1，y，z），=（0，1，），=，x-1=0，y=，z=，M（1，，），=（0，，-），.=0+0+0=0，. =0+-=0，M⊥DA，M⊥DE，DA，DE
平面DAE，DADE=D，M⊥平面DAE；（2）由（1）知=（0，，-），=
（-1，0，0），.=0+0+0=0，M⊥AD；（3）設(shè)平面DAE的法向量為=（，，），.=+0+0==0，. =++=0，=0，=-1，=2，=（0，-1，2），同理求出平面F的法向量=（0，2，1），.=0-2+2=0，平面AED⊥平面F。
2、如圖在正方體ABCD----中，點(diǎn)E，F(xiàn) z
分別是B，的中點(diǎn)。 F
求證：EF⊥D； D E C y
【解析】 x
【知識(shí)點(diǎn)】①建立空間直角坐標(biāo)系的基本方法； A B
②空間點(diǎn)坐標(biāo)確定的基本方法；③直線所在向量的求法；④運(yùn)用空間向量證明直線垂直直線的基本方法。
【解題思路】如圖運(yùn)用建立空間自己坐標(biāo)系的基本方法建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz，根據(jù)確定點(diǎn)坐標(biāo)的基本方法分別確定點(diǎn)D，，B，，的坐標(biāo)，由問題條件求出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，從而求出直線EF，D，所在向量，，得到.=0，利用空間向量證明直線垂直直線的基本方法就可證明結(jié)論。
【詳細(xì)解答】 ABCD---是正方體，DDA，DDC，ADDC，如圖，以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，D分別為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz，設(shè)正方體的棱長為1， D（0，0，0），（1，0，1），B（1，1，0），（0，0，1），（1，1，1），E，F(xiàn)分別是B，的中點(diǎn)， E（1，1，），F(xiàn) （，，1），=（1，0，1），=（-，-，），.=-+0+=0，
EF⊥D。
3、如圖四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，M為側(cè)棱PD上一點(diǎn)，該四棱錐的俯視圖和側(cè)（左）視圖如圖所示。 P z
（1）證明：AM//平面PBC； 1
（2）證明：BC⊥平面PBD；
（3）線段CD上是否存在點(diǎn)N，使AM與BN所成角 M 4
的余弦值為？若存在，找出所有符合要求的 D y C 2 2 3
點(diǎn)N，并求CN的長；若不存在，請(qǐng)說明理由。 x A B
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①建立空間直角坐標(biāo)系的基本方法；②空間點(diǎn)坐標(biāo)確定的基本方法；③直線所在向量的求法；④運(yùn)用空間向量證明直線平行平面的基本方法；⑤運(yùn)用空間向量證明直線垂直平面的基本方法；⑥求平面法向量的基本方法；⑦運(yùn)用空間向量求直線與直線所成角余弦值的基本方法。
【解題思路】（1）如圖，運(yùn)用直線垂直平面的性質(zhì)可證PD⊥DA ，PD⊥DC，由底面ABCD是直角梯形，得到AD⊥DC，利用建立空間自己坐標(biāo)系的基本方法建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz，根據(jù)確定點(diǎn)坐標(biāo)的基本方法分別確定點(diǎn)D，A，B，C，P的坐標(biāo)，由問題條件求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而求出直線AM，BP，BC所在向量，，，由求平面法向量的基本方法求出平面PBC的法向量，得到.=0，利用空間向量證明直線平行平面的基本方法就可證明結(jié)論；（2）由（1）點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線BD所在向量，得到.=0，.=0，從而證明BC⊥BP， BC⊥BD，利用空間向量證明直線垂直平面的基本方法就可證明結(jié)論；（3）設(shè)線段CD上存在點(diǎn)N（x，y，z），使AM與BN所成角的余弦值為，由（1）點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線AM，BN所在向量，，根據(jù)公式cos<，>=
計(jì)算，利用計(jì)算結(jié)果得出結(jié)論。
【詳細(xì)解答】（1） PD⊥底面ABCD，AD，CD 平面ABCD， PD⊥DA ，PD⊥DC，
底面ABCD是直角梯形， AD⊥CD，如圖，以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DP分別為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz， D（0，0，0），A（，0，0），B（，1，0），P（0，0，4），M（0，0，3），C（0，4，0），=（-，0，3），=（-，-1，4），，=（-，3，0），設(shè)平面PBC的法向量為=（，，），.=--+4=0，. =-+3+0=0，=，=1，=1，=（，1，1），.=-3+0+3=0，AM平面PBC， AM//平面PBC；（2）
由（1）得=（-，-1，0），.=3-3+0=0，.=3-3+0=0， BC⊥BP， BC⊥BD，BP，BD平面PBD，BPBD=B，BC⊥平面PBD；（3）設(shè)線段CD上存在點(diǎn)N（x，y，z），使AM與BN所成角的余弦值為，=（0，-4，0），=（x，y-4，z），點(diǎn)N在線段CD上，存在tR，使=t，（x，y-4，z）=（0，-4t，0），x=0，y=4-4t，z=0，=（-，3-4t，0）， cos<，>== = =，=2，t=或t=1，y=1或y=-1，04、如圖在幾何體中底面ABCD是邊長為6的 E z F
正方形，是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直
角三角形且垂直于底面，EF⊥平面EAD,EF=3， G
若R是BC的中點(diǎn)，G、H是BF上的兩個(gè)三等
分點(diǎn)。求證： D H C
（1）EF∥平面ABCD； R y
（2）AG⊥FB, RH⊥FB. A x B
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①建立空間直角坐標(biāo)系的基本方法；②空間點(diǎn)坐標(biāo)確定的基本方法；③直線所在向量的求法；④運(yùn)用空間向量證明直線平行平面的基本方法；⑤運(yùn)用空間向量證明直線垂直平面的基本方法；⑥求平面法向量的基本方法。
【解題思路】（1）如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接EO，OR，運(yùn)用平面垂直平面的性質(zhì)可證EO⊥平面ABCD，得到EO⊥OA ，EO⊥OR，由底面ABCD是正方形，得到AO⊥OR，利用建立空間自己坐標(biāo)系的基本方法建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz，根據(jù)確定點(diǎn)坐標(biāo)的基本方法分別確定點(diǎn)O，E，F(xiàn)的坐標(biāo)，從而求出直線EO，EF所在向量， ，得到.=0，利用空間向量證明直線平行平面的基本方法就可證明結(jié)論；（2）根據(jù)確定點(diǎn)坐標(biāo)的基本方法分別確定點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，由問題條件求出點(diǎn)R，G，H的坐標(biāo)，得出直線AG，BF，RH所在向量，，，得到.=0，.=0，從而證明AG⊥BF， RH⊥BF。
【詳細(xì)解答】（1）如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接EO，OR，是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，O是AD的中點(diǎn)， EOAD，平面EAD平面ABCD，平面EAD 平面ABCD=AD，EO 平面EAD， EO平面ABCD， EOOA，EOOF，四邊形ABCD是邊長為6的正方形， AOOF，以O(shè)為原點(diǎn)，射線OA，OF，OE分別為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz，四邊形ABCD是邊長為6的正方形，EF⊥平面EAD,EF=3，O是AD的中點(diǎn)，O（0，0，0），E（0，0，3），
F（0，3，3），= （0，0，-3），=（0，3，0），.=0+0+0=0，EF平面ABCD， EF//平面ABCD；（2）A（3，0，0），B（3，6，0），C（-3，6，0），R是BC的中點(diǎn)，G、H是BF上的兩個(gè)三等分點(diǎn)， R（0，6，0），H（2，5，1），G（1，4，2），
= （-2，4，2），=（-3，-3，3），=（2，-1，1），.=6-12+6=0，
.=-6+3+3=0， AG⊥BF， RH⊥BF。
5、如圖在正方體ABCD---中，M， D z C
N，P分別是C、、的中點(diǎn)。 A B M
求證：（1）AP⊥MN； P N y
（2）平面MNP∥平面BD； x
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①建立空間直角坐標(biāo)系的基本方法；②空間點(diǎn)坐標(biāo)確定的基本方法；③直線所在向量的求法；④運(yùn)用空間向量證明直線垂直直線的基本方法；⑤運(yùn)用空間向量證明平面平行平面的基本方法；⑥求平面法向量的基本方法。
【解題思路】（1）如圖，運(yùn)用正方體的性質(zhì)可證D，D，，以為原點(diǎn)，射線，，D分別為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系—xyz，根據(jù)確定點(diǎn)坐標(biāo)的基本方法分別確定點(diǎn)，，，，，A，C的坐標(biāo)，結(jié)合問題條件得到點(diǎn)M，N，P的坐標(biāo)，從而求出直線AP，MN所在向量，，得到.=0，利用空間向量證明直線垂直直線的基本方法就可證明結(jié)論；（2）根據(jù)確定點(diǎn)坐標(biāo)的基本方法分別確定點(diǎn)B，D的坐標(biāo)，求出直線D，B，PM，PN所在向量，，，，運(yùn)用求平面法向量的基本方法，分別求出平面MNP,平面BD的法向量法向量，，得到//=0，利用證明平面平行平面的基本方法就可證明結(jié)論。
【詳細(xì)解答】（1）如圖， ABCD---是正方體，D，D，，以為原點(diǎn)，射線，，D分別為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系—xyz，設(shè)正方體的棱長為1，（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（1，1，0），A（1，0，1），C（0，1，1），M，N，P分別是C，，的中點(diǎn)，P（0，，0），M（0，1，），N（，1，0），= （-1，，-1），=（，0，-），.=-+0+=0， AP⊥MN；（2）B（1，1，1），D（0，0，1），=（0，1，1），=（-1，0，1），=（0，，），=（，-，0），設(shè)平面BD的法向量為=（，，），.=0++=0，. =-+0+=0，=1，=-0，=1，=（1，-1，1），同理求出平面PMN的法向量=（-1，1，-1），//，平面MNP∥平面BD。
6、如圖已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， B E
ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB，F(xiàn)為
CD的中點(diǎn)。 z
（1）求證：AF//平面BCE； M A
（2）求證：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求直線BF和平面BCE所成角的正弦值 C F D y
【解析】 x
【知識(shí)點(diǎn)】①建立空間直角坐標(biāo)系的基本方法；②空間點(diǎn)坐標(biāo)確定的基本方法；③直線所在向量的求法；④運(yùn)用空間向量證明直線平行平面的基本方法；⑤運(yùn)用空間向量證明平面垂直平面的基本方法；⑥求平面法向量的基本方法；⑦三角形中位線的定義與性質(zhì)；⑧求直線與平面所成角正弦值的基本方法。
【解題思路】（1）如圖，取CE的中點(diǎn)M，連接FM，運(yùn)用三角形中位線的性質(zhì)可證MF平面ACD，得到FMFD，F(xiàn)M FA，F(xiàn)A FD，以F為原點(diǎn)，AF的延長線，射線FD，F(xiàn)M分別為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系F—xyz，根據(jù)確定點(diǎn)坐標(biāo)的基本方法分別確定點(diǎn)，A，F(xiàn)，B，C，E的坐標(biāo)，從而求出直線AF，BC，BE所在向量，，，根據(jù)求平面法向量的基本方法求出平面BCE的法向量，得到.=0，利用空間向量證明直線平行平面的基本方法就可證明結(jié)論；（2）根據(jù)確定點(diǎn)坐標(biāo)的基本方法分別確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，求出直線DC，DE所在向量，，運(yùn)用求平面法向量的基本方法，分別求出平面CDE的法向量法向量，得到.=0，利用證明平面垂直平面的基本方法就可證明結(jié)論；（3）求出直線BF所在向量，運(yùn)用求直線與平面所成角正弦值的基本方法通過計(jì)算就可求出結(jié)果。
【詳細(xì)解答】（1）如圖，取CE的中點(diǎn)M，連接FM，延長AF，M，F(xiàn)分別是CE，CD的中點(diǎn)，F(xiàn)M//DE， DE⊥平面ACD，F(xiàn)M⊥平面ACD， FMFD，F(xiàn)M FA，ACD為等邊三角形，D是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)A FD，以F為原點(diǎn)，AF的延長線，射線FD，F(xiàn)M分別為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系F—xyz，設(shè)AD=DE=2，平面BCE的法向量為=（，，）， AD=DE=2AB，A（-，0，0），F(xiàn)（0，0，0），B（-，0，1），C（0，-1，0），E（0，1，2），=（，0，0），=（，-1，-1），=（，1，1），.=--=0，. =-++=0，=0，=-1，=1，=（0，-1，1），. =-0+0+0=0，AF平面BCE， AF//平面BCE；（2）D（0，1，0），=（0，-2，0），=（0，0，2），設(shè)平面CDE的法向量為=（x，y，z），.=0-2y+0=0，.=-0+0+2z=0，x=，y=0，z=0，=（x，0，1），.=0+0+0=0，平面BCE⊥平面CDE；（3）設(shè)直線BF與平面BCE所成角為，=（，0，-1），sin=cos<，>==
=。
『思考題2』
（1）【典例2】是證明直線與直線，直線與平面，平面與平面的平行、垂直問題，解答這類問題，首先是建立空間直角坐標(biāo)系，然后把相關(guān)的點(diǎn)，直線的方向向量用坐標(biāo)表示出來，再根據(jù)問題的條件和要求選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行解答；
（2）證明兩直線垂直的基本方法是證明兩直線的方向向量互相垂直或方向向量的數(shù)量積為零，其步驟為：①分別在直線上取兩點(diǎn)，求出兩點(diǎn)確定的向量（注意兩點(diǎn)的順序）；②證明兩個(gè)向量垂直或兩個(gè)向量的數(shù)量積為零；③得出結(jié)論；
（3）證明直線與平面垂直的基本方法是：①證明直線的方向向量與平面的法向量平行，其基本步驟為：①在直線上取兩點(diǎn)，求出兩點(diǎn)確定的向量（注意兩點(diǎn)的順序）；②求出平面的法向量；③證明直線的方向向量與平面的法向量平行；
②證明直線方向向量與平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量分別垂直或與兩向量的數(shù)量積分別為零；其步驟為：①在直線上取兩點(diǎn)，求出兩點(diǎn)確定的向量（注意兩點(diǎn)的順序）；②在平面內(nèi)找兩條相交直線并分別求出其方向向量；③分別證明兩向量垂直或與兩向量的數(shù)量積為零；
（4）證明平面與平面垂直的基本方法是證明兩平面的法向量垂直或兩法向量的數(shù)量積為零，其基本步驟為：①分別求出兩個(gè)平面的法向量；②證明兩法向量垂直或兩法向量的數(shù)量積為零； ③得出結(jié)論；
（5）證明直線與直線平行的基本方法是兩直線的方向向量平行，但要注意說明兩條直線不在一條直線上；其基本步驟為：①分別在直線上取零點(diǎn)，求出兩點(diǎn)確定的向量（注意兩點(diǎn)的順序）；②證明兩個(gè)向量平行；③得出結(jié)論；
（6）證明直線與平面平行的基本方法是①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直，但應(yīng)注意說明直線不在平面內(nèi)，其基本步驟為：①在直線上取兩點(diǎn)，求出兩點(diǎn)確定的向量（注意兩點(diǎn)的順序）；②求出平面的法向量；③證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；或證明直線的方向向量與平面內(nèi)的一條直線的方向向量共線，但應(yīng)注意說明直線不在平面內(nèi)，其基本步驟為：①在直線上取兩點(diǎn)，求出兩點(diǎn)確定的向量（注意兩點(diǎn)的順序）；②在平面內(nèi)找一條直線并求出其方向向量；③證明兩向量共線；
（7）證明平面與平面平行的基本方法是證明兩個(gè)平面的法向量平行，但應(yīng)注意說明兩法向量不在一條直線上；其基本步驟為：①分別求出兩個(gè)平面的法向量；②證明兩個(gè)法向量平行； ③得出結(jié)論；
（8）求平面法向量的基本方法：①設(shè)平面的法向量為，在平面內(nèi)找兩條相交的直線并求出其方向向量分別為，；②由⊥，⊥，.=0，.=0，從而得到含坐標(biāo)的兩個(gè)方程組成的方程組；③求解②中的方程組（這里三個(gè)未知數(shù)只有兩個(gè)方程，解答時(shí)可令其中的一個(gè)坐標(biāo)為單位1，再代入方程組求出其余兩個(gè)坐標(biāo)的值）得到法向量。
〔練習(xí)2〕按要求解答下列各題： V
1、如圖在四棱錐V----ABCD中，底面ABCD
是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底
面ABCD。
求證：①AB⊥平面VAD； D C
②CD⊥AV； A B
③平面VAD⊥平面VDC. P
2、如圖在三棱錐P---ABC中，AB=BC=PA，O， D
D分別是AC，PC的中點(diǎn)，OP⊥底面ABC。 O C
求證：①OD∥平面ABP； A O
②OP∥AP。 B P
3、已知空間四邊形OABC中，M為BC的中點(diǎn)，N Q
為AC的中點(diǎn)，P為OA的中點(diǎn)，Q為OB的中點(diǎn)，若 A N C
AB=OC，求證：PM⊥QN。 D C M
4、如圖所示在正方體ABCD---中，M，N A B M B
分別是C，的中點(diǎn)。
求證：MN//平面BD。
【典例3】按要求解答下列各題： z
1、如圖在三棱錐P---ABC中，PA⊥平面ABC， P
，D、E、F分別是棱AB，BC， F
PC的中點(diǎn)，AB=AC=1，PA=2。求：
（1）異面直線PB、DF所成角的余弦值； A C y
（2）直線PA與平面DEF所成角的正弦值； D E
（3）二面角A---BC----P的余弦值。 x
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①建立空間直角坐標(biāo)系的基本方法；②空間點(diǎn)坐標(biāo)確定的基本方法；③直線所在向量的求法；④求平面法向量的基本方法；⑤運(yùn)用空間向量求直線與直線所成角余弦值的基本方法；⑥運(yùn)用空間向量求直線與平面所成角正弦值的基本方法；⑦運(yùn)用空間向量求平面與平面所成角余弦值的基本方法；
【解題思路】（1）如圖，運(yùn)用直線垂直平面的性質(zhì)可證APAB，AP AC，由，得到ABAC，以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz，根據(jù)確定點(diǎn)坐標(biāo)的基本方法分別確定點(diǎn)A，B，C，P的坐標(biāo)，結(jié)合問題條件得到點(diǎn)D，F(xiàn)的坐標(biāo)，從而求出直線PB，DF所在向量，，利用空間向量求直線與直線所成角余弦值的基本方法就可求出結(jié)果；（2）根據(jù)問題條件確定點(diǎn)E的坐標(biāo)，求出直線PA，DE所在向量，，運(yùn)用求平面法向量的基本方法，求出平面DEF的法向量法向量，利用空間向量求直線與平面所成角正弦值的基本方法通過計(jì)算就可求出結(jié)果；（3）求出直線PC式子向量，運(yùn)用求平面法向量的基本方法，求出平面PBC的法向量法向量，利用空間向量求平面與平面所成角余弦值的基本方法通過計(jì)算就可求出結(jié)果。
【詳細(xì)解答】（1）如圖， PA⊥平面ABC，AB,AC 平面ABC， PAAB，PA AC，
，ABAC，以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz，A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，2），D，F(xiàn)分別是棱AB，PC的中點(diǎn)， D（，0，0），F(xiàn)（0，，1），
=（1，0，-2），=（-，，1）， cos<，>=||=||
==；（2）設(shè)平面DEF的法向量為=（，，），直線PA與平面DEF所成角為，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，E（，，0），=（0，0，-2），=（0，，0），.=0++0=0，.=-++=0，=2，=0，=1，=（2，0，1），sin=cos<，>=||=||=；（3）設(shè)平面PBC的法向量為=（x，y，z），=（0，1，-2），.=0+y-2z=0，.=x+0-2z=0，x=2，y=2，z=1，=（2，2，1）， cos<，>==
==，二面角A—BC—P的余弦值為。
2、如圖在正方體ABCD---中，、分別是，的一個(gè)四等分點(diǎn)，求B與D所成角的余弦值。
【解析】 z
【知識(shí)點(diǎn)】①建立空間直角坐標(biāo)系的基本方法；
②空間點(diǎn)坐標(biāo)確定的基本方法；③直線所在向量 D C y
的求法；④求平面法向量的基本方法；⑤運(yùn)用空 x
間向量求直線與直線所成角余弦值的基本方法。 A B
【解題思路】如圖，運(yùn)用正方體的性質(zhì)可證DDA，DDC，DADC，以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，D分別為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz，根據(jù)確定點(diǎn)坐標(biāo)的基本方法分別確定點(diǎn)D，B，，，，的坐標(biāo)，結(jié)合問題條件求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，從而求出直線B，D所在向量，，利用空間向量求直線與直線所成角余弦值的基本方法就可求出結(jié)果。
【詳細(xì)解答】如圖， ABCD---是正方體， DDA，DDC，DADC，以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，D分別為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz，設(shè)正方體的棱長為1，（x，y，z），（，，）， D（0，0，0），B（1，1，0），（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1），（0，0，1），=（0，1，0），=（x-1，y，z-1），是的一個(gè)四等分點(diǎn)，=，
x-1=0，y=，z-1=0，（1，，1），同理可得（1，-，1），=（0，-，1），=（1，-，1）， cos<，>=||=||=，
B與D所成角的余弦值為。
3、如圖正方體ABCD---的棱長為a， z
（1）求B和C夾角的余弦值；
（2）求證：B⊥A 。 D C y
【解析】 A B
【知識(shí)點(diǎn)】①建立空間直角坐標(biāo)系的基本方法； x
②空間點(diǎn)坐標(biāo)確定的基本方法；③直線所在向量的求法；④求平面法向量的基本方法；⑤運(yùn)用空間向量求直線與直線所成角余弦值的基本方法；⑥運(yùn)用空間向量證明直線垂直直線的基本方法。
【解題思路】（1）如圖，運(yùn)用正方體的性質(zhì)可證DDA，DDC，DADC，以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，D分別為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz，根據(jù)確定點(diǎn)坐標(biāo)的基本方法分別確定點(diǎn)B，，，C的坐標(biāo)，從而求出直線B，C 所在向量，，利用空間向量求直線與直線所成角余弦值的基本方法就可求出結(jié)果；（2）根據(jù)確定點(diǎn)坐標(biāo)的基本方法分別確定點(diǎn)A，的坐標(biāo)，求出直線B，A 所在向量，，利用空間向量證明直線垂直直線的基本方法就可證明結(jié)論。
【詳細(xì)解答】（1）如圖， ABCD---是正方體， DDA，DDC，DADC，以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，D分別為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz， B（a，a，0），（a，0，a），（a，a，a），C（0，a，0），=（0，a，-a），=（-a，0，-a）， cos<，>=||=||=，
B和C夾角的余弦值為；（2） A（a，0，0），（0，a，a），=（-a，a，a），.=0+-=0，B⊥A 。
P z
4、如圖已知兩個(gè)正四棱錐P—ABCD與
Q—ABCD的高分別為1，2，AB=4。 D C
（1）證明：PQ⊥平面ABCD； x O
（2）求異面直線AQ與PB所成角的余弦值。 A B y
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①建立空間直角坐標(biāo)系的基本方法； Q
②空間點(diǎn)坐標(biāo)確定的基本方法；③直線所在向量的求法；④求平面法向量的基本方法；⑤運(yùn)用空間向量證明直線垂直平面的基本方法；⑥運(yùn)用空間向量求直線與直線所成角余弦值的基本方法；⑦正四棱錐的定義與性質(zhì)。
【解題思路】（1）如圖，連接AC，BD相較于點(diǎn)O，根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，可證 PO平面ABCD，OAOB，得到 OPOA，OPOB，以O(shè)為原點(diǎn)，射線OA，OB，OP分別為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz，根據(jù)確定點(diǎn)坐標(biāo)的基本方法分別確定點(diǎn)P，Q，O，A，B，的坐標(biāo)，求出直線PQ，OA，OB所在向量，，，由.=0，. =0證明PQOA，PQOB，利用空間向量證明直線垂直平面的基本方法就可證明結(jié)論；（2）求出直線AQ，PB所在向量，，利用空間向量求直線與直線所成角余弦值的基本方法就可求出結(jié)果。
【詳細(xì)解答】（1）如圖，四棱錐P—ABCD是正四棱錐， PO平面ABCD，OAOB，
OPOA，OPOB，以O(shè)為原點(diǎn)，射線OA，OB，OP分別為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz，正四棱錐P—ABCD與Q—ABCD的高分別為1，2，AB=4， P（0，0，1），Q（0，0，-2），O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），=（0，0，-3），=（2，0，0），=（0，2，0），.=0+0+0=0，. =0+0+0=0， PQOA，PQOB，OA，OB平面ABCD，OA OB=O，
PQ⊥平面ABCD； （2）=（-2，0，-2），=（0，2，-1）， cos<，>=||=||=，異面直線AQ和PB夾角的余弦值為。
5、如圖直三棱柱ABC—中，AC=BC z
=A，D是棱A的中點(diǎn)，D⊥BD。
（1）證明：D⊥BC； D C B y
（2）求二面角—BD—的大小。 x A
【解析】
【知識(shí)點(diǎn)】①建立空間直角坐標(biāo)系的基本方法；②空間點(diǎn)坐標(biāo)確定的基本方法；③直線所在向量的求法；④求平面法向量的基本方法；⑤運(yùn)用空間向量證明直線垂直直線的基本方法；⑥運(yùn)用空間向量求平面與平面所成角大小的基本方法；⑦直三棱柱的定義與性質(zhì)。
【解題思路】（1）如圖，根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)，可證C 平面ABCD，得到CCA，CCB，結(jié)合問題條件證明D⊥平面BCD，從而就可證明結(jié)論；（2）由（1）結(jié)合問題條件可證BC⊥平面AC，得到BC⊥AC，以C為原點(diǎn)，射線CA，CB，O分別為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系C—xyz，根據(jù)確定點(diǎn)坐標(biāo)的基本方法分別確定點(diǎn)A，B，C，，的坐標(biāo)，結(jié)合問題條件求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，直線B，D所在向量，，運(yùn)用求平面法向量的基本方法求出平面BD的法向量，同理可求出平面BD的法向量，利用空間向量求平面與平面所成角余弦值的方法求出二面角的余弦值，再得出二面角的大小。
【詳細(xì)解答】（1）如圖， AC=BC=A，D是棱A的中點(diǎn)，三棱柱ABC—是直三棱柱， AC=AD=A，DC=D=AC=A，DC+D=A+A=A=C， DC⊥D， D⊥BD，DC，BD平面BCD，DC BD=D， D⊥平面BCD, BC平面BCD， D⊥BC；
（2）三棱柱ABC—是直三棱柱， C⊥平面ABC, AC，BC平面ABC， C⊥BC, C⊥AC, D⊥BC, D，C平面AC，D C=， BC⊥平面AC， BC⊥AC，以C為原點(diǎn)，射線CA，CB，O分別為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系C—xyz，設(shè)AB=BC=1，平面BD的法向量=（x，y，z），A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），（0，0，2），（1，0，2）的坐標(biāo)，D是棱A的中點(diǎn)，D（1，0，1），=（-1，1，-2），=（0，0，-1）
.=-x+y-2z=0，.=-0+0-z=0，x=1，y=1，z=0，=（1，1，0），設(shè)平面
BD的法向量=（，，），=（0，1，-2），=（1，0，-1），.
=0+-2=0，.=+0-=0，=1，=2，=1，=（1，2，1），cos<，>===，二面角—BD—的大小是。
『思考題3』
(1) 【典例3】是求空間角余弦值（或正弦值）的問題，解答這類問題需要建立空間直角坐標(biāo)系，然后把相關(guān)的點(diǎn)，直線的方向向量用坐標(biāo)表示出來，再根據(jù)問題的條件和要求選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行解答；
（2）求異面直線所成角的余弦值的基本方法是先確定兩異面直線的方向向量，再運(yùn)用公式cos= ||求出結(jié)果，（其中是兩異面直線所成角，，分別是異面直線所在向量）；其基本步驟為：①分別在直線上取兩點(diǎn)，求出兩點(diǎn)確定的向量（注意兩點(diǎn)的順序）；②直接代入公式cos= ||求出結(jié)果；
(3)求直線與平面所成角正弦值的基本方法是先確定直線的方向向量和平面的法向量，再運(yùn)用公式sin= ||求出結(jié)果，（其中是直線與平面法向量所成角，，分別是平面法向量，直線所在向量）；其基本步驟為：①在直線上取兩點(diǎn)，求出兩點(diǎn)確定的向量（注意兩點(diǎn)的順序）；②求出平面的法向量；③直接代入公式sin= ||求出結(jié)果；
(4)求平面與平面所成角余弦值的基本方法先確定兩個(gè)平面的法向量，再運(yùn)用公式cos=求出結(jié)果，（其中是兩個(gè)平面所成角，，分別是兩個(gè)平面的法向量）；其基本步驟為：①分別求出兩個(gè)平面的法向量；②直接代入公式cos=求出結(jié)果；
〔練習(xí)4〕按要求解答下列各題： P
1、 1、如圖在四棱錐P-----ABCD中，PC⊥平面ABCD，
PC=2，在四邊形ABCD中，，AB=4， C D
CD=BC=1。求：
（1）直線PB與平面ABCD所成角的正弦值； A B
（2）直線PA與BD所成角的余弦值。 P
2、如圖在四棱錐P-----ABCD中，底面ABCD是矩形，
已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2，。
（1）求異面直線PC與AD所成角的余弦值； A D
（2）求二面角P---BD---A的余弦值。
3、如圖在正方體ABCD---中，點(diǎn)M是 B C
AB的中點(diǎn)。
求直線D與CM所成角的余弦值。
D C

A M B
4、如圖點(diǎn)M，N分別是正方體ABCD
—的棱B和的中點(diǎn)。 N
求：（1）直線MN與C所成角的余弦值；
（2）MN和AD所成角的余弦值。 D M C

A B

5、如圖已知正方體ABCD---，B
和C相交于O，連接DO。
求證：DO⊥B 。
6、如圖在正方體ABCD--- 中 ，點(diǎn)E， D O C
F，G，H，K，L分別是棱AB，B ，， A B
，D，DA的中點(diǎn)。 H
①求證：C⊥平面EFGHKL； K
②求D與平面EFGHKL所成角的余弦值。 D F C
7、如圖空間四邊形OABC各邊以及AC，BO的 A E B
長都是1，點(diǎn)D,E分別是邊OA,BC的中點(diǎn)， O
連接DE。
①計(jì)算DE的長； D C
②求點(diǎn)O到平面ABC的距離。
8、已知和所在平面互相垂直， A E A
且AB=BC=BD，。 B
求：①直線AD與平面BCD所成角的正弦值；
②直線AD與直線BC所成角的余弦值； D
③二面角A—BD—C的余弦值。 C
B

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