資源簡介

18.2特殊的平行四邊形——正方形、菱形創新題精選
一、操作題
例1．在數學活動中，小明為了求的值（結果用n表示），設計如圖1－1所示的幾何圖形．
（1）請你利用這個幾何圖形求的值為__________．
（2）請你利用圖2－2，再設計一個能求的值的幾何圖形．

解：由圖形知利用的是面積法：第一次把面積為1的正方形等分，得到，第二次把面積為的一個矩形等分得到，第三次把面積為的一個正方形等分得到，第四次把面積為的一個等腰直角三角形等分得到，…，最后把面積為的一個等腰直角三角形的面積等分得到兩個，從而易知=，由以上過程知：首次把正方形的面積等份，以后每次均為等分上次所得的兩個圖形中的一個，n-1次即達到目的，如圖2給出供參考，事實上，方法還有很多，不再列舉，答案如下：
（1）．
（2）如圖2－1或如圖2－2或如圖2－3或如圖2－4等，圖形正確．





二、拼圖題
例2．如圖3，是由四個形狀大小完全相同的長方形拼成的圖形，利用面積的不同表示法，寫出一個代數恒等式： ．

分析：如何展示一個代數恒等式的幾何意義，又如何從一個圖形中挖掘提煉一個抽象的代數恒等式，成為近年中考命題的一大亮點，事實上，利用面積的割補原理，可列出，或，
或．
三、探究題
例3．如圖4甲，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥DC．由4個這樣的等腰梯形可以拼出圖乙所示的平行四邊形．
(1)求四邊形ABCD四個內角的度數；
(2)試探究四邊形ABCD四條邊之間存在的等量關系，并說明理由；
(3)現有圖甲中的等腰梯形若干個，利用它們你能拼出一個菱形嗎?若能，請你畫出大致的示意圖．

解：(1)如圖，∠1=∠2=∠3，∠1+∠2+∠3=360°，
所以3∠1=360°，即∠1=120°．
所以梯形的上底角均為120°，下底角均為60°
(2)由于EF既是梯形的腰，又是梯形的上底，所以梯形的腰等于上底． 連接MN，則∠FMN=∠FNM=30°．
從而∠HMN=30°，∠HNM=90°．所以NH=．
因此，梯形的上底等于下底的一半，且等于腰長．
(3)能拼出菱形．
如圖5：(拼法不唯一) ．
評析：本題是考察學生觀察能力和綜合分析能力的好素材，由圖甲（等腰梯形）到圖乙（平行四邊形）的拼合中隱含了等腰梯形內角之間的內在的關系．只要認真觀察，就不難發現角的關系：即下底角的3倍等于180°或三個上底角拼成了一個周角，同時由乙圖中隱含的信息很容易看出等腰梯形上底等于其腰長，這樣問題便很容易得到解決了．
四、猜想題
例4．如圖6－1，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起．現正方形ABCD保持不動，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點O（點O也是BD中點）按順時針方向旋轉．
（1）如圖6－2，當EF與AB相交于點M，GF與BD相交于點N時，通過觀察或測量BM，FN的長度，猜想BM，FN滿足的數量關系，并證明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋轉到如圖6－3所示的位置時，線段FE的延長線與AB的延長線相交于點M，線段BD的延長線與GF的延長線相交于點N，此時，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．







分析：本題是以正方形為背景的操作探究題，以學生非常熟悉的學具------等腰直角三角尺進行操作，只要動手、動腦就能發現不變量，用“不變應萬變”、“以靜制動”，借助正方形和全等知識就可以解決了．
解：（1）BM=FN．
證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．又∵∠BOM=∠FON，∴ △OBM≌△OFN ，∴ BM=FN．
（2）BM=FN仍然成立．
證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．∴∠MBO=∠NFO=135°．
點評：本題是一道以正方形為背景的三角板操作題，它推廣旋轉角度的變化，來探究圖形的規律，尋找出不變量，并證明猜想的開放題．
五、方案設計題
例5．正方形通過剪切可以拼成三角形，方法如下：
仿上用圖7（1）示的方法，解答下列問題：操作設計：
（1）對直角三角形，設計一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個與原三角形等面積的矩形．
（2）如圖7（2），對任意三角形設計一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個與原三角形等面積的矩形．




分析：本題通過對圖形的剪裁拼接，考查學生的創新求索，
發散思維，優化解題方案和過程的策略．本題的方案很多，
略舉幾例：
（1）方案1．　　　　　　　　　　方案2．







（2）方案1．　　　　　　　　　　　方案2．













































圖2－1

圖2－2

圖2－3

圖2－4

圖4

圖6－2

E

A

B

D

G

F

O

M

N

C

圖6－3

A

B

D

G

E

F

O

M

N

C

圖6－1

A( G )

B( E )

C

O

D( F )

圖7（2）



②

①

①

②

圖7（1）

中點

中點

①

①

中點

中點

①

①

中點

中點

①

①

②

②

中點

中點

①

①

②

②

展開更多......

收起↑