資源簡介

四邊形——三角形的中位線在四邊形中的常見應(yīng)用
　　單純的三角形中位線問題并不復(fù)雜，但把它放到四邊形中就難多了。下面通過一些例子來有序地討論這些問題。
　　例1.已知點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)，試問四邊形EFGH是平行四邊形嗎？

　　分析：這是個引子問題，也是個基礎(chǔ)問題。只要連結(jié)四邊形ABCD的一條對角線，再利用三角形中位線性質(zhì)和平行四邊形的判定定理“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”可解決問題。它也有許多引伸。如：當(dāng)四邊形ABCD滿足什么樣條件時，連結(jié)它四邊中點(diǎn)所得到的四邊形是菱形？答案是對角線相等。想想為什么？
　　例2.已知：如圖，四邊形ABCD，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，試說明AD+BC＞2EF。
　　分析：本題看條件很簡單，如何得結(jié)論似乎無處入手。但只要想到三角形中位線，知道構(gòu)造三角形，這問題也不難。
　　解：連結(jié)BD，取BD中點(diǎn)為H，連結(jié)EH、FH。
　　因為點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)
　　所以EH=AD,FH=BC,
　　又EH+FH>EF，所以AD+BC>EF,
　　即AD+BC＞2EF。
　　例3.已知：如圖，四邊形ABCD，AC、BD交于點(diǎn)O，且AC＝BD，點(diǎn)E、F分別是AB、CD中點(diǎn)，連結(jié)EF交AC、BD于G、H，試說明OG＝OH。
　　分析：本題看條件比例3多了一個條件，但解題仍比較困難，這時經(jīng)驗與想象力就很重要了。
　　解：取BC中點(diǎn)為M，連結(jié)ME、MF
因為點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，所以ME=AC,MF=BD，
　　ME∥AC，MF∥BD，
　　又AC＝BD，所以ME＝MF，　　則∠MEF＝∠MFE.
　　又ME∥AC，MF∥BD，所以∠1＝∠MEF，∠2＝∠MFE，
　　所以∠1＝∠2，OG＝OH.
　　下面兩道題留給同學(xué)們思考。
　　（1）已知：四邊形ABCD，點(diǎn)M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別是AC、BD的中點(diǎn)，且AC＝BD，試說明MN⊥PQ。

（2）已知：如圖，四邊形ABCD，AB＝CD，點(diǎn)E、F分別
是AD、BC的中點(diǎn)，BA、CD的延長線交EF的延長線于點(diǎn)
H，試說明∠BGF＝∠CHF。


三角形中位線輔助線的應(yīng)用
三角形的中位線定理是幾何中一個重要定理，它不僅反映了圖形間線段的位置關(guān)系，而且還揭示了線段間的數(shù)量關(guān)系，利用三角形中位線定理可以解決許多相關(guān)的問題.
一、借助中位線定理選擇結(jié)論
例1如圖1，已知四邊形ABCD中，R、P分別是BC、CD上的點(diǎn)，E、F分別是AP、RP的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在CD上從C向D移動而點(diǎn)R不動時，那么下列結(jié)論成立的是（ ）.
（A）線段EF的長逐漸增大
（B）線段EF的長逐漸減小
（C）線段EF的長不變
（D）線段EF的長與點(diǎn)P的位置有關(guān)

分析：由E，F(xiàn)分別為AP，RP的中點(diǎn)，由此可聯(lián)想三角形的中位線，故連接AR，由于已知條件可知EF為ARP的中位線，根據(jù)中位線定理可知EF=AR，
由于點(diǎn)P從點(diǎn)C到點(diǎn)D移動的移動過程中，AR始終不變，∴EF的長度也不變.
解：連接AR，∵E，F(xiàn)分別是PA，PR的中點(diǎn)，∴EF=AB，
∵AR不變，∴線段EF的長不變.故選（C）.
點(diǎn)評：本題通過巧妙地連接AR，把問題轉(zhuǎn)化為三角形中位線問題，借助于中位線的性質(zhì)倆來解決.
二、借助中位線定理求長度
例2某花木場有一塊如四邊形ABCD的空地(如圖2)，兩對角線相等，各邊的中點(diǎn)分別是E、F、G、H，用籬笆圍成的四邊形EFGH場地的周長為40cm，則對角線AC= cm

分析：根據(jù)E、F分別為BA，BC的中點(diǎn)，可知EF為△ABC的中位線，根據(jù)中位線定理可得EF=AC，同理可得HG=AC，HE=BD，F(xiàn)G=BD，根據(jù)兩對角線相等可得EF=FG=GH=HE，由此可求到EF的長，也就求到AC的長.
解：∵E，F(xiàn)分別是BA，BC的中點(diǎn)，∴EF=AC，同理可得HG=AC，
∵E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)，∴EH=BD，同理可得FG=BD，
∵AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，
∵EF+FG+GH+HE=40cm，∴EF=10cm，
∴AC=2EF=20cm.
點(diǎn)評：根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，本題是將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，通過多次利用三角形中位線的性質(zhì)，確定EF的長，進(jìn)而求到AC的長.
三、借助中位線定理說理
例3 如圖3，在△ABC中，BC>AC，點(diǎn)D在BC上，且DC＝AC,∠ACB的平分線CF交AD于F，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連結(jié)EF.
說明EF∥CB理由

分析：根據(jù)E為AB的中點(diǎn)，要說明EF//BC，可說明EF為△ABC的中位線，為此，需要證明F為AD的中點(diǎn).
解：∵CF平分∠ACB，
∴∠DCF=∠ACF.
又∵DC=AC，∴CF是△ACD的中線，
∴ 點(diǎn)F是AD的中點(diǎn).
∵ 點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴ EF//BD，即 EF∥BC.
點(diǎn)評：本題根據(jù)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)聯(lián)想三角形的中位線，打開了證明的思路，在解決類似問題中應(yīng)注意中位線的應(yīng)用.


構(gòu)造中位線
“遇中點(diǎn)找中點(diǎn)，聯(lián)想中位線”是一個解題突破口，但在一般問題中，要應(yīng)用中位線的性質(zhì)時，往往需要作輔助線.下面介紹幾種如何構(gòu)造中位線的方法，供大家參考.
一、連中點(diǎn)，構(gòu)造三角形的中位線
　　例1　如圖1，D、E、F分別是等邊三角形ABC的邊AB、BC、AC的中點(diǎn)，P為BC上任意一點(diǎn)，△DPM是等邊三角形.連接FM.那么EP與FM相等嗎？為什么？

　　分析：由D、E、F是中點(diǎn)，想到連接中點(diǎn)，得到中位線DE、DF.這樣就可以把EP、FM放到△DPE、△DMF中，進(jìn)而推出它們?nèi)仁箚栴}得以解決.
　　解：連接DF、DE.
　　因為D、E、F分別是等邊三角形ABC的邊AB、BC、AC的中點(diǎn)，所以DF∥BC，DF=BC；DE∥AC,DE=AC.所以四邊形DECF是平行四邊形.
　　所以∠C=∠EDF=60°.
　　因為△ABC、△DPM是等邊三角形，
　　所以BC＝AC，DP＝DM，∠PDM＝60°.所以DF＝DE.
　　因為∠EDP＝60°－∠PDF，∠FDM＝60°－∠PDF，
　　所以∠EDP＝∠FDM.所以△DEP≌△DFM.
所以EP＝FM.
跟蹤訓(xùn)練1 如圖2，四邊形ABCD中，AC=BD，AC、BD相交于點(diǎn)O，M、N分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，MN交BD于點(diǎn)E、交AC于點(diǎn)F.OE與EF相等嗎？為什么？


二、找中點(diǎn)，構(gòu)造三角形的中位線
　 例2　如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝CD，M、N分別是BC、AD邊的中點(diǎn)，延長BA、MN交于點(diǎn)F，延長CD交MF于點(diǎn)E.請說明∠1與∠2相等.

　　分析：因為M、Ｎ分別是BC、AD的中點(diǎn)，若連接BD，取其中點(diǎn)G，再連接NG、MG,則NG∥AB，NG＝AB，MG∥CD，MG＝CD.這樣把∠1與∠2通過中位線移到同一個等腰三角形ＧMＮ中，從而使問題得以解決.
　　解：連接BD，取BD的中點(diǎn)G，連接NG、MG，則NG∥AB，NG＝AB，MG∥CD，MG＝CD.
　　所以∠1＝∠GNM，∠2＝∠GMN.
　　因為AB＝CD，所以NG＝MG.
　　所以∠GNM＝∠GMN.所以∠1=∠2.
跟蹤訓(xùn)練2　如圖4，△ABC的一個外角平分線AE與過點(diǎn)C的直線互相垂直，垂足為點(diǎn)E，D為BC的中點(diǎn)，試說明：DE∥AB，且DE=（AB+AC）

答案
1.解：取AD的中點(diǎn)Ｇ，連接GM、GN，得GM∥BD，GN∥AC，且GM＝BD，GN＝AC，因為AC＝BD，故GM＝GN，所以∠GMN＝∠GNM，又∠OEF＝∠GMN，∠OFE＝∠GNM，所以∠OEF＝∠OFE，所以O(shè)E＝OF．
2.解：延長BA、CE相交于點(diǎn)F，由AE⊥CF，AE平分∠CAF，得EF＝EC，AF＝AC，又D是BC的中點(diǎn)，所以DE是△BCF的中位線，故有DE∥AB，且DE=BF=（AB+AC）．





PAGE

展開更多......

收起↑