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2020屆江西省南昌市高三第一次模擬測試試題
理 數
一、選擇題
1.已知全集為實數集，集合，，則（ ）
A.
B.
C.
D.
2.在復平面內，復數對應的點為，將向量繞原點按逆時針方向旋轉，所得向量對應的復數是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.一個正三棱柱的正視圖如圖，則該正三棱柱的側面積是（ ）

A.
B.
C.
D.
4.由實數組成的等比數列的前項和為，則“”是“”的（ ）
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
5.已知向量，，，且在方向上的投影為，則等于（ ）
A.
B.
C.
D.
6.函數的圖象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
7.根據散點圖，對兩個具有非線性關系的相關變量，進行回歸分析，設，，利用最小二乘法，得到線性回歸方程為，則變量的最大值的估計值是（ ）
A.
B.
C.
D.
8.已知拋物線的焦點為，拋物線上任意一點，且軸于點，則的最小值為（ ）
A.
B.
C.
D.
9.已知雙曲線（，）的右焦點為，過原點作斜率為的直線交的右支于點，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A.
B.
C.
10.臺球是一項國際上廣泛流行的高雅室內體育運動，也叫桌球（中國粵港澳地區的叫法）、撞球（中國臺灣地區的叫法）.控制撞球點、球的旋轉等控制母球走位是擊球的一項重要技術.一次臺球技術表演節目中，在臺球桌上，畫出如圖正方形，在點，處各放一個目標球，表演者先將母球放在點處，通過擊打母球，使其依次撞擊點，處的目標球，最后停在點處，若，，，，則該正方形的邊長為（ ）

A.
B.
C.
11.如圖，點是正方體的棱的中點，點，分別在線段，（不包含端點）上運動，則（ ）

A.在點的運動過程中，存在
B.在點的運動過程中，不存在
C.四面體的體積為定值
D.四面體的體積不為定值
12.已知函數（，）滿足，，則等于（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
二、填空題
13.曲線在點的切線方程為 .
14.已知，則 .
15.已知函數，則的值為
.
16.如圖所示，一列圓（，）逐個外切，且均與曲線相切，若，則 ， .

三、解答題
17.如圖，是在邊上的一點，與面積比為，
.

（1）若，求的值；
（2）若，，求邊的長.
18.如圖，三棱柱中，側面是菱形，，，點在平面上的投影為棱的中點.

（1）求證：四邊形為矩形；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
19.已知函數（其中為自然對數的底，為常數）有一個極大值點和一個極小值點.
（1）求實數的取值范圍；
（2）證明的極大值不小于.
20.已知圓，圓.
（1）證明：圓與圓有公共點，并求公共點的軌跡的方程；
（2）過點，斜率為的直線與（1）中軌跡相交于，兩點，點，記直線的斜率為，直線的斜率為，是否存在實數使得為定值？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.
21.某工廠生產零件，工人甲生產一件零件，是一等品、二等品、三等品的概率分別為，，，工人乙生產一件零件，是--等品、二等品、三等品的概率分別為，，.已知生產一件一等品、二等品、三等品零件給工廠帶來的效益分別為元、元、元
（1）試根據生產一件零件給工廠帶來的效益的期望值判斷甲乙技術的好壞：
（2）為鼓勵工人提高技術，工廠進行技術大賽，最后甲乙兩人進入了決賽.決賽規則是：每一輪比賽，甲乙各生產--件零件，如果一方生產的零件品級優于另一方生產的零件，則該方得分分，另一方得分分，如果兩人生產的零件品級一-樣，則兩方都不得分，當一方總分為分時，比賽結束，該方獲勝，，表示甲總分為時，最終甲獲勝的概率.
①寫出，的值；
②求決賽甲獲勝的概率.
四、選做題（2選1）
22.在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的普通方程為，曲線的參數方程為（為參數）.
（1）求曲線和的極坐標方程；
（2）設射線分別與曲線和相交于，兩點，求的值.
23.已知，，.
（1）求的最小值；
（2）證明.

2020屆江西省南昌市高三第一次模擬測試試題
理 數答案
一、選擇題
1.
答案：
D
解答：
依題意，，，則.
2.
答案：
A
解答：
復數對應的點的坐標是，將點按逆時針方向旋轉到點的坐標是，對應的復數為.
3.
答案：
B
解析：
由題意可知，正三棱柱的底面邊長為，高為，∴側面積.
4.
答案：
C
解答：
.
5.
答案：
B
解答：
.
6
答案：
A
解析：
當時，，此時令，，∴在上單調遞增，故排除B，C，當時，，當時，
，∴在上單調遞減，且，故排除D，綜上所述，選A.
7.
答案：
B
解答：
依題意，，模擬函數為，所以最大值為.
8.
答案：
A
解答：
因為，設點，則，則，，則.
9.
答案：
B
解答：
設雙曲線左焦點為，因為，所以，設點，則，所以點，所以
，所以.
10.
答案：
D
解答：
作與平行且相等，得到，依題意，，，，由余弦定理可以求得，從而邊長為.
11.
答案：
C
解答：
在長方體中，平面平面，又因為點在上運動，則不存在；當時，，其理由如下：設與相交于點，因為，所以，易證平面，所以，故平面，∴；因為平面，所以為定值；因為，所以點到平面的距離為定值，所以四面體的體積為定值.
12.
答案：
C
解答：
因為，則函數的周期為，所以最小正周期為，所以（），因為，則，，因為，則，則，所以，則.
二、填空題
13.答案：

解答：
由題意可得：，又，，故該切線方程為.

14.答案：

解答：
.
15. .
答案：

解答：
由于函數的圖像關于點對稱，所以，
所以，，所以原式等于.
16.
答案：


解答：
當圓與相切時，消去可得方程，
由可得.
當圓與相切時，
消去可得方程，
由可得，從而，兩式相減得，
而因為圓與圓外切，故，
從而，即是以為首項，為公差的等差數列，
則，.
三、解答題
17.
答案：
見解析.
解答：
（1），所以，
所以.
（2），
所以，
所以，，
所以，
所以邊.
18.
答案：
見解析
解答：
（1）因為平面，所以，又因為，，，所以，因此，所以，因此平面，所以，從而，即四邊形為矩形.
（2）如圖，以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，所以，，，.平面的法向量，設平面的法向量為，由，由，令，，即，所以，所以二面角的余弦值是.

19.
答案：
見解析
解答：
（1），由，記，，由，且時，，單調遞減，；時，，單調遞增，，由題意，方程有兩個不同解，所以.
（2）由（1）知在區間上存在極大值點，且，所以的極大值為，
記，則，因為，所以，所以時，，單調遞減，時，，單調遞增，所以，即函數的極大值不小于.
解法二：由（1）知在區間上存在極大值點，且，所以的極大值為，因為，，所以，即函數的極大值不小于.
20.
答案：
見解析
解答：
（1）因為，，所以，因為圓的半徑為，圓的半徑為，又因為，所以，即，所以圓與圓有公共點.設交點為，因此，所以點的軌跡是以，為焦點的橢圓，所以，，，即軌跡的方程為.
（2）設過點點且斜率為的直線方程為，，，聯立，消去得到，則，①，因為，，所以，將①式代入整理得，因為，所以當時，即時，.
21.
答案：
見解析
解答：
（1）記甲乙各生產一件零件給工廠帶來的效益分別為元、元，隨機變量，的分布列分別為


所以，，所以，即乙的技術更好.
（2）①表示的是甲得分時，甲最終獲勝的概率，所以，表示的是甲得分時，甲最終獲勝的概率，所以.
②每輪比賽甲得分的概率，甲得分的概率為，甲得分的概率為，所以當時，，所以是等差數列，則，即決賽甲獲勝的概率是.
四、選做題（2選1）
22.
答案：
見解析
解答：
（1）曲線的極坐標方程為，
的極坐標方程為.
（2）令，則，，
則，即，
所以，，故.
23.
答案：
見解析
解答：
（1），當且僅當，即，時，的最小值為.
（2）要證明，由，，也即證.
因為，當且僅當時取等號，所以，即.

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