資源簡介

數學思維訓練教程
小升初系統總復習
目 錄
目 錄 3
第1講 計算（一） 速算與巧算 4
第2講 計算（二） 比較大小、估算、定義新運算 20
第3講 數字謎、數陣圖、幻方 35
第4講 數論（一） 整除、奇偶性、極值問題 53
第5講 數論（二） 約數倍數、質數合數、分解質因數 66
第6講 數論（三） 帶余除法、同余性質、中國剩余定理 79
第7講 幾何（一） 平面圖形 92
第8講 幾何（二） 曲線圖形 116
第9講 幾何（三） 立體圖形 130
第10講 典型應用題（一）和差倍、年齡、植樹問題 142
第11講 典型應用題（二）雞兔同籠、盈虧、平均數問題 151
第12講 牛吃草問題 161
第13講 行程（一） 相遇追及（多次）、電車問題 170
第14講 行程（二） 平均速度、變速度、流水、電梯 188
第15講 行程（三） 行程中的比例 201
第16講 分數與百分數 218
第17講 工程問題 229
第18講 濃度與經濟問題 247
第19講 方程 257
第20講 排列組合 270
第21講 容斥原理 283
第22講 抽屜原理 297
第23講 邏輯推理 305
第24講 統籌與策略 324
第1講 計算（一） 速算與巧算
一、知識地圖
二、基礎知識
（一）整數計算
1、基本公式
加法交換律：
加法結合律：
減法的性質：
乘法交換律：
乘法結合律：
乘法分配律：
除法的性質：
2、平方、立方公式
完全平方公式：
平方差公式：
完全立方公式：
立方和公式：
立方差公式：
3、數列及特殊公式
等差數列：
通項公式：………………為什么要“n-1”呢？
求項數公式：………………為什么要“+1”呢？
求和公式：………………為什么要“÷2”呢？
關于這個等差數列，同學們可以聯系植樹問題的數量關系來看，怎么把植樹問題與等差數列聯系在一起呢？
“在數軸上植樹”，這可是帶有一定的技術含量的……
如圖：
請體會這里數字與“樹”對應、公差與“株距間隔”對應。
例如：
22這個數是“第七棵樹”，要由“第一棵樹”加上六個“間隔”得到，算式為： 22=4+（7-1）×3；
如果要求這個數列從4到25，一共有多少個數，相當于把4看作第一棵樹，問25是第幾棵樹？
可以思考，從4到25一共有多少個“間隔”，
（25-4）÷3=7，
所以應該是“第8棵樹”，這里注意到了為什么求項數“加1”了吧？
求和公式的來龍去脈，同學們不可不知：
法一：高斯“配對法”。
例如，在計算1+2+3+…+8+9這一串數列的和時，我們可以把第一個數加上最后一個數，第二個數加上倒數第二個數，這樣，一直到第四個數加上倒數第四個數，每一對數的和都是10，這里，要注意還有一個“中間數”5，，沒有配上對，所以，這組數列9個數的和是10×4+5=45。
法二：借來還去法。
例如，還是計算1+2+3+…+8+9這一串數列吧，如果我再“借”來一串“9+8+7+…+3+2+1”，
這么一串數只是把原來的數列顛倒一下順序，可以知道兩串數是相等的。所以，如果我把這兩串數的和求出來，是一定要“除以2”的！
問題在于，本來要求一串數的和，干嘛我還扯上了另一串，這樣做好算嗎？答案正在這個地方，就是因為再有這么一串倒過來的數，好算不得了——“變異為同”了！
如圖：

所以，可以得出，10×9÷2=45
回頭再看，這里的10可以用（1+9）為代表，則得：
（1+9）×9÷2=45
再推廣開去，對于其他等差數列，都有這么一個公式：
和=（首項+末項）×項數÷2
等比數列：
（n≤9）
這一類的數不妨稱之為“重碼數”，關鍵于把一個循環節的“個位”的“1”作為記數單位，結合位值原則，我們可以得到上述結果。
4、特殊方法
湊整法：利用運算公式和運算律（如交換律、結合律、分配律）將一些數湊成整一或整十整百再計算。
換元法：將一些數或一個式子記為某個字母，如a，b，c…… 達到化繁為簡的目的。
（二）分數計算
1、拆分與裂項


2、幾個常用拆分分數





… …
3、循環小數化分數


請聰明的你，來比較1與0.99999999……的大小？
你可能已經知道：0.9999999……=1
也就是：=1，可是這是為什么呢？
鋪墊：
==
==
==
== ==

以此題為例推導：
設 為A，那么100A=
10000A=
所以：10000A-100A=1234-12
9900A=1234-12
注意：循環小數化分數，分母中9的個數與其循環節的位數對應，0的個數與小數點后不循環的位數對應。分子是不循環部分連上第一個循環節組成的多位數與不循環部分組成的多位數相減所得到的差。
三：經典透析
【例1】：（☆☆☆）
審題要點：
看題目中的數，聰明的你是否發現了什么秘密？
對了，每一個數都有一個小秘密：


…
發現了秘密就趕緊動手吧！
詳解過程：

專家點評：
這道題目不是很難，關鍵是要學會“湊整”的思路！
【例2】（☆☆☆）
審題要點：
好大的數啊！別怕，肯定有絕招。
哈哈，終于發現了數之間的小秘密。
詳解過程：
專家點評：
做這道題目，你會發現，奧數的很多題目，不僅僅是記公式就能解決的，很多時候需要你對公式進行消化吸收，達到靈活應用才能在用時得心應手。
【例3】（☆☆☆☆）
審題要點：
這題看著很熟悉→聯想平方求和公式
可是起始的數不是？
沒關系，缺什么補什么！
詳解過程：
專家點評：
很多題目不能就題論題，你必須要在熟練應用公式的前提下，做適當的變換，這道題目就是一個很好的例子。
【例4】（☆☆☆☆）
審題要點：
1）“73”好像是關鍵。
2）如果可以提取73，那不是很簡單？
試試吧！
詳解過程：

專家點評：此處利用了分拆法，將730分拆為73×10，153.3分拆為73×2.1，目的都是為了構造出“公因數”73。此種構造方法很常用，你學會了嗎？
【例5】（☆☆☆☆）

審題要點：
分母很特別哦：

詳解過程：
原式=
=
=
=
專家點評：
這道題目稍微有點難度，需要先歸納分母的通項，然后利用裂項進行解題，所以同學們應該在記住公式的同時做適當的綜合應用。
【例6】（☆☆☆☆）
審題要點：
分數相加，分子不相等，似乎不能裂項；
如果做一下變換呢？
…
試試吧。
詳解過程：
原式=
=
=
=
=
=
專家點評：
這道題目的解題關鍵在于對裂項的熟練應用。題目本身并不是很難，但是需要同學認真仔細。
【例7】（☆☆☆☆）＝
審題要點：
1）既然題目這樣出了，說明絕大部分項能夠裂項約掉！試驗可知：
，（這兩個利用輾轉相除法），能夠約掉37，看來確實可以裂項。
詳解過程：
觀察到5，37，101以及約去的最大公約數17和65都是偶數的平方+1，所以立刻猜測最后的約分后等于，原式等于。
專家點評：這是一道比較難的計算題，很多人認為只有到了初中，學了因式分解才有可能做出來。但是，小學生如果能夠有“找規律”的思維，也是完全可以得出答案的。本題解題的關鍵在于“試算觀察法”與“輾轉相除法”的綜合運用，你學會了么？
【例8】（☆☆☆☆）

審題要點：
1）看到這么龐大的算式，應該想到要換元；
2）換元時注意要整個括號作為一個整體代換；
3）不妨設

詳解過程：
原式
=
=
=
=9
專家點評：
“換元”法在龐大的數學計算中經常用到，數學題目很少是需要你對一個復雜的式子進行每一步的計算，一般都有簡便算法，這些需要你平時多積累。利用換元法解題時有兩種可能性：一，換元的未知數最后都消去，可直接得出答案。二，換元的未知數不能完全消去，那么就應該將原數或原式重新代入計算，此時的代入計算將很簡單，如本題中最后（a-b）須換回原來式子計算得。
【例9】（☆☆☆☆）
審題要點：
1）：有循環小數的計算，首先要進行分數轉換。
2）：每個數都是混循環小數，應該怎樣化成分數？
詳解過程：
原式=+++…+
=++…+
=
=
=
專家點評：
循環小數化分數，你學會了么？這是個很重要的知識，在比較大小和計算過程中經常用到。
另外，如果對循環小數的性質很熟悉的話，知道=1，則可觀察到：


還有一個，所以總和為

。
經驗證，。
四、拓展訓練
=
[初級點撥] 這道題目不難，關鍵是考察對公式的應用
；
[深度提示] 注意哦，分母中1與3，3與5都是要差2，所以在裂項時，括號外面要乘以；
[全解過程] 原式=
=
=
=
（－＋…－＋）×（1－＋－＋－…＋）
－（1－＋－＋－…＋－）×（－＋…－）=_______。
[初級點撥] 這么龐大的式子，換元毫無疑問，但是要找好，到底換什么哦。
[深度提示] 換元時，可以設，；
[全解過程] 設，
原式=
=++
=
=
=________。
[初級點撥] 類似于例題2；
[深度提示] 運用平方差公式，你會了么？
[全解過程] 原式
=________。
[初級點撥] 這題比較簡單，利用；
[深度提示] 這道題目很簡單，主要就是公式應用的問題；
[全解過程] 原式= 2×（－+－+…+－）
=
=
=________。
[初級點撥] 直接利用公式；
[深度提示] 公式的直接應用，但是要注意，分母拆開后，差值是3；
[全解過程] 原式=×（1－+－+…+－）
=
=
=________。
[初級點撥] 帶分數在計算過程中，通常有兩種處理辦法，或者化成整數和分數的和，或者化成假分數，聰明的同學，想想這道題應該怎么處理呢？
[深度提示] 拆成你熟悉的形式：
…
[全解過程] 原式=（1+2+3+…+6）+(++…+)
=
=
=
=________。
[初級點撥] 類似于上面的第6題，但是要稍微難點，關鍵也是對帶分數的處理，不要猶豫，你想的沒錯，寫出來試試。
[深度提示] 將帶分數拆成整數和分數的和；
[全解過程] 原式=(3－)－(3+)+(5－)+(5+)－(7－)+(7+)－
(9－)+(9+)－(1+)
=
=
=
=
=________。
[初級點撥] 這道題目是典型的利用公式解題，所以公式一定要熟記哦。
[深度提示] 記住兩個公式即可，翻看前面的基礎知識，你需要的都在那里；
[全解過程] 原式=
=
=________。
[初級點撥] 提取公因數，但是要先做下變換，看看，怎么變動一下！
[深度提示] 1）找題目中的特殊之處。
2）如果分母中也是那多好啊！
3）變變嘛！
[全解過程] 原式==1.
=________。
[初級點撥] 第一步肯定是要去括號，聰明的你想到了嗎？
[深度提示] 去括號，提取公因式，兩項結合；
[全解過程] 原式=
=
=
=
________。
[初級點撥] 如果在計算中出現循環小數，那毫無疑問要先化為分數。
[深度提示] 循環小數化分數的計算。
[全解過程] 原式=
=
=
=

第2講 計算（二） 比較大小、估算、定義新運算
一：知識地圖：
二：基礎知識
（一）：比較大小
1、分數的大小比較
1）通分：a） 通分母：化成分母相同的分數比較，分子小的分數小；
b） 通分子：化成分子相同的分數比較，分母小的分數大。
2）比倒數：倒數大的分數小。
3）與1相減比較法：a） 真分數：與1相減，差大的分數小；
b） 假分數：與1相減，差大的分數大。
4）經典結論：a） 對于兩個真分數，如果分子分母相差相同的數，則分子分母都大的分數比較大；
b） 對于兩個假分數，如果分子和分母相差相同的數，則分子分母都小的分數比較大。
對于分數的分子分母同時加上或減去相同的數和原分數進行比較：
（，且為非零自然數時）
（1）
即“真分數越加越大，越減越小”（）如；
（2）即“假分數越加越小，越減越大”。
5）放縮法。
6）化成小數比較：小數比較大小的關鍵是小數點對齊，從高位比起。切記！
7）兩個數相除進行比較。如：和，，所以。
2、小數的大小比較
常用方法：將小數排成一個豎列，并在它們的末尾添上適當的“0”，使它們都變成小數位數相同的小數，然后比較。
（二）估算問題
1、常用方法
1） 放縮法：為求出某數的整數部分，設法放大或縮小，將結果確定在兩個接近數之間，從而估算出結果。
2）變換結構：將算式變形為便于估算的形式。
2、經典步驟
估算和式整數部分：a） 令和式結果等于A；
b） 最小的數×個數＜A＜最大的數×個數；
c） 求A。
對于較簡單的題目，使用“最小的數×個數＜A＜最大的數×個數”就可以確定整數部分。對于較復雜的題目，這會造成放縮幅度過大。如果出現此情況，設法比較原式與（最小的數+最大的數）×個數÷2的大小，以及與（中位數×個數）的大小（總共有偶數個數的時候，“中位數”視為中間兩個數的平均數）。
（三）定義新運算
這是近年來出現的一種新題型，解題的過程可以歸結為經典三步：閱讀→理解→應用。
三：經典透析
【例1】（☆☆☆☆）如果，，那么，中較大的數是_________。
審題要點： 1°通分似乎太麻煩了，怎么辦呢？
2°大小比較有6個經典方法，這個似乎與“4 經典結論”相仿哦！
3°發現了嗎？兩個分數的分子分母的差值都相等：，
詳解過程：因為a與b都是真分數，且分母與分子差相同，并且＜，所以a＜b。
專家點評：分數比較問題，方法很多，做題時要注意從不同角度考慮。
下面再介紹兩種解題方法：
方法二：
1°a與b都很接近“1”；
2°聰明的你，發現秘密了吧！
1-a= ， 1-b=。
＞ 且a和b為真分數，
所以a＜b。
方法（三）：比倒數。
==1， ==1，
＞ 所以a＜b。
方法（四）：兩個數相除進行比較。
，
所以：。
同學們開動腦筋看還有沒有更多的思路！
【例2】（☆☆☆）如果，A與B中哪個數較大？
審題要點：1°快開動腦筋看這個題目適合用哪個方法？
2°不妨先試試比倒數。
詳解過程：，
專家點評： 同樣是分數比大小的問題，你能做出幾種解答過程呢？下面給出另外兩個解題過程。
解法二：
1°這么龐大的式子，如果能“4經典結論”該多棒啊！
2°開動腦筋做個小變換，，
變換后A與B分子分母相差相同的數“3”，
A與B都為真分數且A的分子分母都較小，
所以A 解法三：
與比較法，聰明的你自己動手試試哦!
【例3】（☆☆☆☆）在上式的方框內填入一個整數，使不等式成立，那么= 。
審題要點：1°這類題目關鍵是對公式的靈
活應用
詳解過程：
因為
所以
即
則
專家點評：這道題目比較簡單，聰明的你做出來了吧！下面再介紹另外一個解法希望對同學們日后解題有幫助。
利用公式：當
那么：

可以得到
所以
【例4】（☆☆☆☆）已知除法算式12345678910111213÷31211101987654321，它的計算結果的小數點后的前三位數字分別是________。

審題要點： 1°毫無疑問，這是一道估算題。
詳解過程：
取除數的前兩位：
12.345…÷32<原式<12.345…÷31
0.385…<原式<0.398…
在0.385到0.398之間無法確定小數點后三位的準確值，說明放縮范圍太大。
再取除數的前三位：
123.456…÷313<原式<123.456…÷312
0.394…<原式<0.395…
仍無法確定。
取除數的前四位。
1234.567…÷3122<原式<1234.567…÷3121
0.3954…<原式<0.3955…
所以小數點后三位分別為3，9，5。
專家點評：這道題目稍微有點難，但是只要是估算的問題，都不需要算出最終結果，通過這道題目，你有沒有學到什么呢？
有些書上解這道題的時候是把被除數和除數都放縮：12÷32<原式<13÷31，123÷313<原式<124÷312，1234÷3122<原式<1235÷3121。
但是，對被除數的放縮只會徒增加放縮幅度，而不會簡化計算。如果你認為，計算1234÷3122比計算1234.567…÷3122省事，那你一定是在用計算器！
【例5】（☆☆☆☆）老師在黑板上寫了7個自然數，讓小明計算它們的平均數（保留小數點后面兩位），小明算出的答數是14.73，老師說：“除最后一位數字外其他都對了”，那么正確的得數應是 。
審題要點：1°估算題目最直接的方法就是放縮。
2°這道題的關鍵點是，只有最后一位是錯的，那么分數的取值范圍是 14.70～14.79
詳解過程：設這7個自然數之和為A（A為整數）
平均數為
專家點評：關于平均數的估算，是經常會出的題目，所以同學們一定要學會如何去解答這類題目，下面再介紹另外一種解題方法。
14.73中前三位14.7是 正確的
所以總數肯定大于 14.7
則總數只能是103、104…
當和等于103時，平均數是14.71
當和等于104時，平均數是14.86（不符合）
所以七個自然數的和為103，平均分是14.71
事實上一個自然數被7除如果除不盡，那么所得的商的小數部分一定按照“1、4、2、8、5、7”的順序不斷循環，只是循環初始數字不一定相同。觀察一下除式：
所以如果對被7除商數特征熟悉的話，一定能馬上反應過來這個平均數是。
【例6】（☆☆☆☆），哪個更大，為什么？
審題要點：1°這道題比較難，式子比較龐大，我們不妨引入換元的思想。
設a
2°設
詳解過程：
很明顯
所以

專家點評：這道題目，可以說是估算里面比較難的題目，需要自己構建新的算式，同學們學會這個解題思路了嗎？
【例7】（☆☆☆）數
審題要點：1°這道題的難點集中在分母上
2°不妨把分母單獨拿出來，設A=
3°看明白了吧
詳解過程：
原式=

所以
即1<原式<1.9
所以數。
【例8】（☆☆☆）（第二屆小學"希望杯"全國數學邀請賽）
如果，那么
。
審題要點：
定義新運算，不妨試試經典三步法：閱讀→理解→應用！
詳解過程：
原式=
=
=
專家點評：這是一道綜合性題目，首先要看明白定義的新運算，其次要學會用裂項法解題，總的來說，題目不難，關鍵是要認真仔細。
【例9】（☆☆☆☆）兩個用同樣材料做成的球A和B，一個實心，一個空心，A的直徑為7，重量為22，B的直徑為10.6，重量為33.3。問哪一個球是實心球？
審題要點：顯然，兩個球中單位體積重量大的球是實心球。所以第一步首先要求兩個球的體積各是多少！
詳解過程：由球的體積公式可知，球的體積與半徑的3次方成正比；顯然球的體積與直徑的3次方成正比。
即 V1：V2 = 73：10.63
因為，即可知：
所以
即A球為實心球
專家點評：比較大小，估算以及定義新運算，都不是只局限于現有的幾個數的計算，很多時候是將知識點作了綜合，因此同學們在做題過程中，一定要在讀懂題的前提下再動筆開始做！
四、拓展訓練
在___.
[初級點撥] 1）觀察題目，找數之間的相似處
2）你是否發現了這個小秘密？

[深度提示] 1）發現了嗎？
2）因為

[全解過程]
顯然，所以題中最小分數為.
，求A的整數部分 .
[初級提示] 這道題隱藏的知識點是估算，你發現了么？
[深度提示] “經典三步法”看行不行？
[全解過程] ，適當擴展：，，所以A的整數部分為44。（同學們想想，還有沒有別的方法！）
已知：.
[初級點撥] 問題的關鍵在分母，同于“例7”（但是要小心，有一點小區別哦）
[深度提示] 這道題目中，分母按照我們給出的估算方法，似乎不能做到最后，那怎么辦呢？



發現規律了么？
[全解過程] 設



即
不能確定A的整數部分，怎么辦？先看看一個例子


則
聰明的你從中會發現一個找“最小界線的新規律”，那么讓我們回到原題來看看吧！
即

∴A的整數部分為73。
有8個數，如果按從小到大的順序排列時，第四個數是
[初級點撥] 循環小數化分數。
[深度提示] 1）分數小數的大小比較首先要統一形式
2）兩個未寫出的數要確定它們的位置
[全解過程]
顯然
即
因為8個數由小到大排第4個是所以從大到小第4 個是
1）試比較。
2）如果A=.
[初級點撥] 這兩道題目可以參考例1和例2
[深度提示] 對于兩個真分數，如果分子分母相差相同的數，則分子分母都大的分數比較大
[全解過程] 1）
2）A有13個自然數，它們的平均值利用四舍五入精確到小數點后一位是26.9。那么精確到小數點后兩位數是多少？
[初級點撥] 估算問題參考例5
[深度提示] 平均小數估算，關鍵確定最后兩位是什么？平均數如果保留兩位數，則范圍為26.85～26.94
[全解過程] 1）平均數如果保留兩位數，則范圍為26.85～26.94。（想想為什么？）
2）設13個自然數的和為A

，所以A=350，平均數為.
1）比較以下小數，找最大的數：
2）比較以下5個數，排列大小：
[初級點撥] 分數、小數之間大小的比較，首先要統一形式
[深度提示] 通常將分數化為循環小數，將各個數位都寫出來，逐個數位作比較
[全解過程] （1）
1.121=1.121000000

1.12121=1.121210000
1.12=1.120000000
顯然
（2）
如果用max
max.
[初級點撥] 1）這是一道典型的定義新運算的問題，經典三大步找出來
2）閱讀---max，理解---找最大的數，應用吧！
[深度提示] max的作用是找較大的數，所以首先要比較兩個分數的大小
[全解過程] ，所以max.
假設有一種計算器，它由A，B，C，D四種裝置組成。將一個數輸入一種裝置后會自動輸出另一個數，各裝置的運算程序如下：
裝置A：將輸入的數加上6之后輸出；
裝置B：將輸入的數除以2后輸出；
裝置C：將輸入的數減去5之后輸出；
裝置D：將輸入的數乘以3后輸出；
這些裝置可以互相連接，如在裝置A后接裝置B就記做：A→B。例如輸入1后，經過A→B輸出3.5
1）若經過A→B→C→D，輸出120。則輸入的數是多少？
2）若經過B→D→A→C，輸出13，則輸入的數是多少？
[初級點撥] 1）好復雜的過程啊，但是聰明的同學肯定不會被嚇倒
2）對啦，利用經典三步分析后，你會發現，這并不是一道難題
3）閱讀→A，B，C，D四個裝置是關鍵
理解→明白這四個裝置的運算特點
應用→逆向思維
[深度提示] 裝置A：將輸入的數加上6；
裝置B：將輸入的數除以2；
裝置C：將輸入的數減去5；
裝置D：將輸入的數乘以3；
確定每個裝置的作用后，從后往前計算結果。
[全解過程] 1）經A→B→C→D后輸出120
按逆向思維后推
設最先輸入的數為經過A后變為，經過B后變為，經過C后變為，如上圖所示
即
2）類似于1）的解答，聰明的你試試吧。輸入的數是8。
有一個算式，左邊方框里都是整數，右邊答案寫出了四舍五入后的近似值：

求左邊方框里的整數從左至右分別是什么？
[初級點撥] 1）這道題目，入手比較難。開動你的小腦筋看能不能發現什么小秘密？
2）近似值→估算？
[深度提示] 看似一道數字謎問題，其實也是估算的問題，既然結果約等于1.16那么原式可以做一個變換（看明白了么）
[全解過程] 將原式做一下變化，，三個分數不妨先通分，
即，將式子擴大105倍得
設A= ；A為整數（想想為什么？）
121.275，A=122
即
通過試驗知
所以左邊方框里的值依次是1，2，3。
用表示不超過a的最大整數。例如=0.3； ，記請計算的值.
[初級點撥] 1）這是一道綜合題目，同學們千萬不要被多變的符號給嚇倒！
2）“三步經典”來分析
[深度提示] 閱讀→題中的符號有﹛﹜；[ ]； ，
理解→﹛﹜，〔 〕；的意義及表示方法應用吧！
[全解過程] ====1.4
==1
﹛﹜=﹛1.4﹜=0.4
[]=[1.4]=1
﹛﹜=﹛1﹜=0 []=[1]=1
第3講 數字謎、數陣圖、幻方
一，知識地圖
二，基礎知識
趣題導引：
學而思教育的數學興趣小組每周都要進行小組討論。有一次小組討論時，李同學在黑板上畫了一個“九宮格”，問其他同學說：“你們能看出這個表格的的數字規律嗎？”這時很多同學都說：“這還不簡單啊，這是幻方，每行每列和兩條對角線的數字和都相等，我自己也會填。”李同學又畫了一個幻方，但是里面數字不全，只有三個數字，說：“那你們能把這個表格補充完整，使它成為一個幻方嗎？”這時剛才非常活躍的同學都沉默了，同學們，你們可以補充完整嗎？


（一）數字謎
數字謎介紹
數字謎從形式上可以分為橫式數字謎與豎式數字謎，從內容上可以分為加減乘除四種數字謎。橫式數字謎一般可以轉化為豎式數字謎，所以我們這里主要討論豎式數字謎的一般解題技巧與思路。
2、數字謎常用的分析法介紹
解決數字迷問題最重要的就是找到突破口，突破口的尋找是需要一定的技巧，一般來說首先是觀察題目中給出數字位置，同時找出涉及這些已知數字的所有相關計算，然后根據各種分析法進行突破，一般的突破順序是，三位分析（個位分析，高位分析，進位借位分析），另外加入三大技巧（估算技巧（結合數位），奇偶分析技巧，分解質因數技巧）等。而且一般應該先從涉及乘法的地方入手，然后再考察加法或減法的分析（并不完全是這樣）。
（1）個位數字分析法（加法個位數規律，減法個位數規律，乘法個位數規律）
若題目已知條件里面給出的主要是個位數字，那么我們就要考慮使用個位分析法，這是
大部分數字謎都要用的分析方法。
加減法的個位數字規律比較簡單，這里要求重點掌握乘法個位數的規律。
A）加法個位數規律舉例：
如右圖：由a+8的結果個位數為5可推出a=7，十位進位，9+1+b結果個位為7，
可推出b=7，進而推出c=1。
B）減法個位數規律舉例：
如右圖：由a-7的結果個位為9，可推出a=6，且借一位，進而十位數
中9-1-b結果個位數為4，可推出b=4。
注意：當個位數已經推導出來，那么十位數的推理也可以繼續使用個位分析法進行推理，后面依次類推，高位使用個位數字分析法時必須同時考慮進位或借位的情況。
C）乘法個位數規律歸納：
1、當結果為奇數，其中一個乘數也為奇數時，則另一個乘數也為奇數，
且只有一種答案（注意：數字5除外，5和0的規律比較特殊，后面補充）。
如右圖：由b×7結果個位為1，可推知b=3，利用后面介紹的高位分析法可
繼續推出a=1，c=9。
2、當結果為偶數，其中一個乘數為奇數時，則另一個乘數為偶數，且只
有一種答案。
如右圖：由b×9結果個位數為8，可推知b=2，由后面介紹的高位分析法
可繼續推知a=4，c=7。
3、當結果為偶數，其中一個乘數也為偶數時，則另一個乘數有兩種可能
性，一奇一偶，且相差5。
如右圖：由b×6結果個位數為4，可推知b=4或9，當b=4時，進而推出
a=8或9，相對應c=0或6。
當b=9時，進而推出a=8或9，相對應c=3或9。共有四種可能性，再根據
其他條件進行排除。
4、當結果為奇數，其中一個乘數為偶數時，另一個乘數無解，因為根據
奇偶性，偶數乘于任何數都不可能等于奇數。
如右圖：由b×8結果為7可推知此題無解。
5、當結果為5，則其中一個乘數必須為5，另一個為奇數。
當結果為0，則其中一個乘數為5，另一個為偶數，或者一個乘數為0即可。
當一個乘數為5，則結果為0或5，另一個乘數為偶數時，結果為0；另一個乘數為奇數時，結果為5。
（2） 高位分析法（主要在乘法中運用）
如右圖：由a×7結果為四十幾，結合進位考慮，可知a=5，6或7，再根
據其他條件進行排除。
（3） 數字估算分析法（最大值與最小值的考量，經常要
結合數位考慮）
如右圖：由×4=A，A為三位數，可推知≥25，由
×3=B，B
為二位數，可推知≤33，由×34=C，C為三位數，可推
知≤29，綜合考慮可知b=2，a=5，6，7，8或9。再根據其他條件排除。
（4） 加減乘法中的進位與借位分析
前面三種分析法都涉及到了進位與借位，這里再次強調進位與借位的重要性，千萬不要忽視了（這是同學們非常容易出錯的地方。）
加法進位中，加數有n個，則最多向前進n-1，乘法進位中，乘數是n，則最多
向前進n-1。
如右圖：由百位可推知十位向百位進2，而個位最多向十位進2，則推知a至
少為9，即就是9，進而繼續推知b也只能是9，而c=d=0。
如右圖：由a×8等于四十幾而個位最多向前進7，得知a只能為5或6，而不能是4。
注意：此處也可以利用數字估算分析法得出50≤≤62，同學們知道為什么嗎？
（5） 分解質因數分析法
當乘法數字謎中一個積全部已知或者只有一個數字未知而又沒有其他辦法判斷時，
可考慮使用分解質因數。
由×c=206可將206分解質因數，206=2×2×2×2×13，根據兩個乘數分別
是一位數和兩位數可推知兩種可能性：52×4與26×8，又根據×3為兩位數
可確定=26。
（6） 奇偶性分析（加減乘法）
數字謎中經常可以直接利用奇偶性進行排除選項。（見乘法個位規律里面的第四點。）
復雜數字謎中不能直接確定某一數字時，經常需要使用假設法進行逐一排除，排除的判斷一般是通過另外一個數字或者題目中其他條件來進行。如帶漢字的數字謎經常需要符合的條件是“相同漢字代表相同數字，不同漢字代表不同數字”等。
（二）數陣圖的一般解題思路與步驟
數陣圖中的數字關系一般比較復雜，同學們注意一定不要一開始就使用嘗試的方法，而應該使用一定的技巧求出某些特殊位置的數字后再逐一分組嘗試。
由于數陣圖中沒有填充之前各個數字的位置無法確定，所以從每一個單個數字上無法進行判斷，所以我們采用的是整體與個體相結合考慮的方法，即利用所有相關數字和全部相加法進行分析。
一般分為以下幾個步驟：（注意：建議先學習完幾個相關例題再回來進行總結）
1、從整體考慮，將要求滿足相等的幾個數字和全部相加，一般為n×S的形式。
2、從個體考慮，分別計算每一個位置數字相加的次數，將比較特殊的（多加或少加幾次）位置數字用未知數表示，全部相加，一般為（題目所給全部數字和）×一般位置數字相加次數±（特殊位置數字和）×多加或少加次數 的形式。
3、根據整體與個體的關系，列出等式即：n×S=（題目所給全部數字和）×一般位置數字相加次數±（特殊位置數字和）×多加或少加次數
4、根據數論知識即整除性確定特殊位置數的取值及相對應的S值。
5、根據確定的特殊位置數字及S值進行數字分組及嘗試。
三：幻方
8
1
12
11
7
3
2
13
6
幻方中的各數互不相同，且橫行、豎列、對角線上數的和都相等的數的方陣，具有這一性質的3×3的數陣稱作三階幻方，4×4的數陣稱作四階幻方，5×5的稱作五階幻方……
我們這里重點介紹三階幻方的主要性質，以上圖為例，主要有以下幾個，希望同學們牢記：
1、能組成幻方的數必須為從小到大排列，首尾對應相加均相等且等于中間數兩倍的九個數數列。如1，2，3， 6，7，8，11，12，13中1+13=2+12=3+11=6+8=7×2，一般為等差數列（不完全是）。
2、幻方的中心數為數列中的中間數，如上一列數中的7必須位于幻方中心。
3、幻方中關于中心對稱的兩數均為數列中首尾相對應的配對，且兩數的平均數為中心數。如上列數中的1，13與4，10的平均數均為7。
4、幻方中所有相等的和稱做幻和，幻方的幻和等于中心數的三倍。如幻和為21，等于中心數7的三倍。
5、數列中最大與最小數的配對不能出現在幻方中的四角，即只能出現在中間位置，依次可以得知第二大與第二小數的配對只能出現在四角，在構造幻方的過程中如果能夠遵循這個規律可以很快地得出答案。
6、幻方中四角的數等于與它不相鄰的兩個行列中間數的平均數。如2等于1，3的平均，6等于1，11的平均，12等于11，13的平均，8等于3，13的平均。
7、具有一個共同數的一行和一列中其他兩個數的和相等（同學們能不能知道為什么？）如第一行和第一列中有一個共同數8，則其他兩個數1+12=11+2。
綜合利用上面7個幻方性質就可以得出很多幻方的解題思路了。
趣題解析：
學習完幻方的性質之后，開篇趣題就很好填了吧，首先根據性質7，可知a+6=10+4，a=8，根據性質3，可知：d=（4+8）÷2=6，根據性質4，可知幻和為18，其他就全部根據每行相加等于幻和求出每一項，結果如圖所示：

三、經典透析
【例1】（☆☆☆）右面殘缺算式中只知道三個“4”，那么補全后它的
乘積是 。
審題要點：
此題為乘法數字謎，由于其中A中4出現在高位，所以利用高位分析法進行突破。
詳解過程：
解：1、由c×=A，A百位數為4，可知c=8或9，若c=8，則
c×a必須向前進8，不可能。所以c=9。
2、c=9時，a×9至少向前進4，即a×9≥40，知a≥5。
3、對a=5，6，7，8，9進行逐一驗算，驗算的主要方法是通過c
中的4進行，
若a=5，則A=405，f=4，但5×b末位不可能為4，排除。
若a=6，則A=414，f=3，但6×b末位不可能為3，排除。
若a=7，則A=423，f=2，7×b末位為2，則b=6，
所以乘積為3243。
若a=8，則A=432，f=1，但8×b末位不可能為1，排除。
若a=9，則A=441，f=0，但9×b末位不可能為0，（因為乘數不能0開頭），排除。
專家點評：
此題是乘法數字謎中比較經典的一個題型，用到的分析法依次包括：高位分析法（步驟1），進位分析法（步驟1），估算分析法（步驟2），個位分析法（步驟3），逐一嘗試法（步驟3），及排除法（步驟3），注意尋找數字謎突破口的方法，抓住題目所給的已知數字，從涉及已知數字所有的計算處考慮，首先考慮乘法的關系，因為能夠使用的分析法最多。希望同學也可以自己根據做題體會進行總結。
【例2】（☆☆☆）已知右面的除法算式中，每個□表示一個數字，
那么被除數應是 。
審題要點：
此題屬于數字謎中的復雜題型，題目給出已知數字只有兩個，不能直接使用個位分析法與高位分析法，可以結合數位考慮利用數值大小估值的方法進行分析。
詳解過程：
解：1、首先比較明顯可得出d=0，然后從2個數字的相關計算
進行突破，首先，，由于B只有兩位數，所以可估算
推知=10，11或12。
2、又，A為3位數，結合=10，11或12可知，c=9
且，將其他各數補充完整即可。
專家點評：
此題是結合數位進行估算的一個典型數字迷，也利用了循環推理的原理。先是根據數字8×的乘積，利用數位估算確定的可能值，再根據c×的乘積，利用數位估算確定為12。所以在數字迷中，不僅有數字的地方有突破口，沒有數字的地方也可能有突破口，一般是利用數位估算，當然也有其他分析方法，例如利用進退位的分析進行突破。
【例3】（☆☆☆☆☆）在右面的乘法算式中，每一個□中要填一個數字，
不同的中文字代表不同的數字，請問：“新年”兩字代表什么數字？
審題要點：
此題屬于乘法數字謎中較難的題型，由于題目中出現的幾個數字都為個位數，所以首先考慮運用個位分析法進行突破。
詳解過程：
解：1、A行中末位為1，可推知a×b有四種可能性，1×1，3×7，
7×3，9×9，又因為A行中為5位數，所以排除1×1，若a×b為
9×9，則又結合B，C，D行中末位為9，可推出h，f，d為1，與B，
C，D都為5位數矛盾，排除。3×7，7×3暫時不能確定。
2、假設a=7，b=3，由三個末位數是9，可推知h=f=d=7，這樣反復利用
乘法和加法的個位分析法，可推知c=6，e=4，g無法滿足。假設排除。
3、假設a=3，b=7，由三個末位數為9，可推知h=f=d=3，同步驟2反
復利用乘法與加法個位分析法，可依次推出，而且滿
足，所以“新年”代表15。
專家點評：
此題也是乘法數字謎中非常經典的一個題型，綜合運用的分析法非常的多，且反復使用，環環相扣，同學可以在練習中好好體會其中的巧妙之處，依次包括：個位分析法（乘法與加法）（步驟1，2，3），結合數位考慮數字大小估算分析法（步驟1），循環推導（步驟2，3）。
【例4】（☆☆☆☆）2008年奧運會快要到了，下圖是大家都熟悉的奧林匹克的五環標志，你能把1—9分別填入五個圓相互分割的九個部分，并且使每個圓環內的數字之和都相等嗎？
審題要點：
此題屬于典型的數陣圖，應該利用數字和全部相加的方法進行解答，從整體與個體的角度，同時考察應該填入的數字。
詳解過程：
解：1、首先由于一共5個圓圈的數字和相等，由于填入的數無法確認，將5個數字和全部相加，由于數字和未知，設為S，則5個圓圈全部數字和為5S。
2、考慮全部數字和5S中的各個組成部分：可知a，b，c，
h，i只加了一次，而d，e，f，g四個加了2次，即可以看
成1至9全部數字均加了一次，d，e，f，g多加了一次，表示
為（1+2+3+4+5+6+7+8+9）+（d+e+f+g）。
3、 整體等于部分之和，列出方程：5S=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）+（d+e+f+g），化簡為5S=45+（d+e+f+g），d+e+f+g的最小值為1+2+3+4=10，此時S=11，最大值為6+7+8+9=30，此時S=15，一共5種可能填法。
4、逐一進行試驗：
當S=11時，d，e，f，g為1，2，3，4時，可得出答案為：
當S=12時，經過試驗無解。
當S=13時，d+e+f+g=20，取2，4，6，8，得出答案：
當S=14時，d+e+f+g=25，取3，6，7，9，得出答案：
當S=15時，經過試驗無解。
　
【例5】（☆☆☆）小兔子在森林玩耍，遇到一個畫著奇怪圖形的樹樁，
上面寫著：把10至20這11個數分別填入右圖的各圓圈內，使每條線段
上3個圓內所填數的和都相等。如果中心圓內填的數相等，那么就視為同
一種填法，請寫出所有可能的填法，小兔子發了愁，你能幫它嗎？
審題要點：
此題屬于數陣圖中的經典題型，同學們一定要利用數字和的規律來做，千萬不要直接試，否則會浪費很多時間的。
詳解過程：
解：1、由于5條線段的和均相等，從整體考慮將其全部相加為5S。
2、從個體考慮，除中間數加了5次外，其他數均加了1次，可看作所有數10至20均加了1次，中間數a多加了四次，表示為（10+11+……+20）+4a，
3、列出等式為5S=（10+11+……+20）+4a，化簡為5S=165+4a，要使等式成立，a必須為5的倍數，得出三種答案，a=10時，S=41，a=15時，S=45，a=20時，S=49。
4、將三種答案逐一嘗試，得出三種答案分別如圖：
專家點評：
此題中個體考慮時中心數字a一共加了5次，在列式當中一定要注意：加上的是多加的次數，即4a，而不是5a，因為在全部數字里面a已經相加一次。對a進行取值時的原則是使右邊總和能夠被5整除，確定a值與S值后進行簡單的數字分組即可完成。有的題目在數字分組時需要同時滿足多個條件，需要綜合考慮，請看例6。
【例6】（☆☆☆☆☆）右圖中有三個正三角形，將1～9填入它們頂點處
的九個○中，要求每個正三角形頂點的三數之和都相等，并且通過四個○
的每條直線上的四數之和也相等。
審題要點：
此題與上題相類似，注意題目要求兩組和相等，應該先由一組進行分析滿足后，再在此基礎上滿足另外一組和相等的條件。前面的分析方法一致，后面嘗試部分數字分組時需要多考慮幾個部分的和相等即可。
詳解過程：
解：1、先考慮三角形和相等的部分，由于無重復數字，全部數字相加一次，直接列出等式：3S =（1+2+3+4+5+6+7+8+9），解出：S =15
將所有數字分成數字和為15的三組：（1，5，9）；（2，6，7）；（3，4，8）
任意選擇其中一組填入最里面三角形，另外兩組則不能隨便填，需要再滿足另一組和相等。
2、考慮三直線和相等。觀察發現內部三角形三數相加兩次，其他相加一次，列出等式為：
3K=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）+（a+b+c）
注意到內部三角形三數之和a+b+c已確定為15，代入解出方程得：K =20。
先看有5和9的直線，其他兩個數和為20–5-9=6，即需要從其他兩組數中分別選取兩數和為6，可為4，2。
再看有5和1的直線，其他兩個數和為20–5-1=14，即需要從其他兩組數中分別選取兩數和為14，可為8，6。
最后看有9和1的直線，其他兩個數和為20–9-1=10，即需要從其他兩組數中分別選取兩數和為10，可為3，7。
分別填入即得到答案如下左圖。
如果一開始使用其他的分組法，還可得出下右圖。
專家點評：
1、此題中兩組和均需要滿足相等，應該首先選擇較為簡單的一組進行分析，三角形三數和相等由于無重復數字，可以直接求出和為15，對后面另一組分析有用。
2、步驟二的等式分析中，利用了第一組的結論三角形三數和為15，a+b+c=15，此處的利用十分巧妙，大家要注意其特點，還有很多題目中有此類使用。
3、步驟二中的嘗試是在第一組分組的基礎上進行，注意直線上其他兩個數必須分別來自兩組數字中，大家可以想一想其中的原因。
4、步驟二中三組數（4，2）（8，6）（3，7）確定后，填入圖中時，同時又要考慮步驟一中的分組情況，即須保證（2，6，7），（3，4，8）在同一直線上。綜合考慮，需要全面周到。
【例7】（☆☆☆）請你將2～10這九個自然數填入圖中的空格內每行、每列、每條
對角線上的三數之和相等。
審題要點：
此題屬于構造簡單幻方題型，不能簡單的直接嘗試，而應該利用幻方的性質，按一定的順序和步驟進行逐一填入。
詳解過程：
A
7
B
2
C
9
D
8
E 6
F
4
G
3
H
10
I
5
解：1、首先將2，3，4，5，6，7，8，9，10找出中間數6，并把其他數按首尾順序配好對即（2，10），（3，9），（4，8），（5，7），根據幻方性質4知道幻和為18。
2、根據幻方性質2將中間數填入幻方中心。
3、根據幻方性質3和5依次將配對填入。首先（2，10）填入（B，H）（或者（D，F）也可以）。其次（3，9）可填入（G，C）
注意：（3，9）不能填入（C，G），大家知道為什么嗎？）下面兩對就不能隨便填入了。
4、根據每行每列三數相加等于幻和18將其他數依次填入。例如第一行中，A+2+9=18推出A=7，其他依次類推。
5、時間允許的情況下最好能夠完全檢驗所有行列及對角線是否相加等于幻和。
專家點評：
構造幻方有很多的方法，這里介紹的是一種比較常用的方法，推薦使用，因為其構造的過程完全依賴于幻方的性質，掌握此構造過程有利于對幻方性質的更深理解。
【例8】（☆☆☆☆）在右圖的九個方格中填入不大于12且互不相同的九個自然
數（其中已填好一個數），使得任一行、任一列及兩條對角線上的三個數之和都
等于21。
審題要點：
此題也是屬于幻方的構造，只不過條件更為復雜，但還是萬變不離其宗，利用幻方的基本性質按步驟進行構造。
詳解過程：
解：1、由幻和為21首先確定數列中間數及幻方中心數為7，進而確定C為9。
2、根據數列不大于12的條件將數列按中間數為7依次列出為2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，發現有五組可能的配對，所以應該排除一組。
3、采用假設法，設最大最小數組為（3，11），按照幻方的性質5將填入（B，H），進而確定（A，I）為（C,G）為（9，5），（A,I）為（8，6），但是此時第一行三數之和8+3+9=20不等于幻和21。
4、確定最大最小數組為（2，12），填入（B，H），進而根據幻和依次填入其他數組。滿足條件。
A
8
B
3
C
9
D
E 7
F
G
5
H
11
I
6
A
10
B
2
C
9
D
6
E 7
F
8
G
5
H
12
I
4
專家點評：
此題中根據已知無法直接確定數列，而且幻方中有一組配對已經確定，所以只能采用假設法，按照最大最小數組的選擇進行假設，很容易得出結論。假設法是奧數里面常用的一種方法，希望同學們在幾種情況無法確定的時候一定要采用假設法。
【例9】（☆☆☆☆☆）如圖所示，在3×3方格表內已填好了兩個數19和95，在其余的空格中填上適當的數，可以使得每行、每列以及兩條對角線上的三個數之和都相等。（1）求x；（2）如果中間的空格內填入100，試在上一小題的基礎上，完成填圖。
審題要點：
此題第一問中給出的條件只有兩個數字，無法確定中心數，也無法確定幻和，這里需要利用幻方性質中最為復雜的一個即性質6。第二問相對就簡單得多了。
詳解過程：
A
B
x
C
D
E
F
19
G
95
H
I
解：1、直接根據幻方性質6：幻方中四角的數等于與它不相鄰的兩個行列中間數的平均數。可知95即為19與x的平均數，所以可求出x為171。
A
24
B
171
C
105
D
181
E
100
F
19
G
95
H
29
I
176
2、由中心數為100確定幻和為300，然后由每一行列數相加為幻和依次計算出其他數組。結果如圖所示：
專家點評：
本題中使用的幻方性質6比較偏，同學們可以重點記憶，當然此問也可以用方程法直接解出，但是過程比較復雜，這里就不作深入分析，有興趣的同學可以自己去試試，得出的答案完全一樣。第二問屬于一般的幻方計算，綜合利用幻方性質就可以直接得出結論。
四、拓展訓練
下面是一個殘缺的乘法算式，只知道其中一個數字“8”，請你補全，那么這個算式的乘積是 。
[初級點撥] 此題與例2相類似，突破口一樣，主要利用大小估值的方法進行分析。
[深度提示] 由。
[全解過程] 。
右面的除法算式（1）中，每個□表示一個數字，那么商數是 。

[初級點撥] 此題根據已知數字6，7，1，出現的位置可容易判斷需要用到的分析法有高位分析法，個位分析法及根據數位大小估值法。
[深度提示] 由a×=A，而A為三位數，根據高位大小估值法可知a=1。 進而可知d=7，繼續考慮B中個位數利用個位分析法。
[全解過程] 容易看出B個位數為1，由b×=B，根據個位分析法知b=3， 所以商數為13。
在右面的算式中，相同的漢字代表相同的數字，不同的漢字代表不同的數字。那么，“努力力爭”四個漢字所代表的四個數字的和是 。
[初級點撥] 題目中唯一出現的個位數字1，考慮使用個位分析法突破，注意 不同的漢字代表不同的數字的限制條件進行排除。
[深度提示] A個位數為1，結合習與爭為不同數，可知只有兩種可能性：1，習＝3，爭＝7；2，習＝7，爭＝3。先假設第一種情況，“習”＝3，“爭”＝7 則A中十位數為學＝學×7+2（個位數）推知學＝3或8，又習＝3，所以學＝8，這樣A百位數8＝8×7+5（進位）不成立，排除。繼續假設第二種情況。
[全解過程] 先確定力為0，再假設習＝7，爭＝3 ，則十位的學＝學×3+2（個位數），推知學＝4或9，當學＝4時百位4＝4×3+1（進位）不成立。所以學＝9。千位數×3+2不進位，推知數＝1或2，當數＝2時，a＝8，b＝1，7×努，個位為1，則努＝3，與爭＝3重復，排除。所以數＝1，則a＝5，b＝4，努＝2，“努力力爭”＝2003。所以“努力力爭”四個漢字所代表的數字和為5。
將1～6填入右圖的六個○中，使三角形每條邊上的三個數之和都等于k，請指出k的取值范圍。
[初級點撥] 此題屬于典型數陣圖填空，利用數字和全部相加的方法，找出每一個數字的相加次數，列出等式進行分析取值。
[深度提示] 1、把三個要求相等的數字和相加為3k。
2、計算每一個位置數字相加的次數，很明顯，全部數字相加一次外，角上三個數字多加一次，表示為（1+2+3+4+5+6）+（a+b+c）。
3、列出等式3k=（1+2+3+4+5+6）+（a+b+c）進行分析，計算a+b+c的所有可能取值及對應k的取值。
[全解過程] a+b+c最小為1+2+3=6，此時k=9，最大為4+5+6=15，此時k=12，那么k可等于10，11，對應a+b+c=9和12，可取1，3，5和2，4，6，經過嘗試四種結果如下：
k=9 k=10 k=11 k=12
1～9分別填入小三角形內（每個小三角形內只填一個數），要求靠近大三角形三條邊的每五個數相加和相等。想一想，怎樣填這些數才能使五個數的和盡可能大一些？
[初級點撥] 典型數陣圖，利用全部數字和相加，從整體和個體同時考慮，列出等式進行分析取值。注意計算清楚數陣圖中每一個位置的相加次數。
[深度提示] 1、將三個要求相等的數字和相加為3S。
2、計算每一位置的相加次數，可知a，b，c只加一次外，其他都相加兩次，可以看成全部數字相加二次，再減去（a+b+c），即為（1+2+3+4+5+6+7+8+9）-（a+b+c）。
3、列出等式3S=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×2-（a+b+c）=90-（a+b+c）
要使S盡可能大，則a+b+c可取1+2+3=6，此時S=28。
[全解過程] 取a=1,b=2,c=3,再用嘗試法完成其他數字：剩下的六個數分成三組，并且每組中兩數的和是三個連續自然數，那么可選擇：4+8＝12；6+7＝13；5+9＝14。結果如下：

海豚是很聰明的動物，它能將1～9填入下圖的九個○內，并且使得每個圓周和每條直線上的三數之和都相等，并且7，8，9依次位于小、中、大圓周上，你能做到嗎？
[初級點撥] 此數陣圖中每一個數字都相加兩次，根據等式可以直接確定S，然后根據要求將數字分組并實驗。
[深度提示] 一共六個要求相等的數字和，而每一個數字都相加兩次，無特殊數字。列出等式為6S＝（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×2 解出S＝15。將九個數字分為三組，每組三個數字和為15。
[全解過程] 數字分組進行嘗試：將全部數字分為三組，注意7，8，9必須分在不同組，無唯一分法，例如（951），（843），（762），又觀察可知必須從每一組選一個組成數字和為15，可選擇為（942），（537）（186），調換順序可下列兩種答案：
如圖是一個三階幻方，那么標有＊的方格中所填的數是多少？
[初級點撥] 此幻方給出的已知條件比較少，中心數與幻和均未知，但是觀察發現 第一行與第一列除共同的數字外只有一個未知，考慮使用幻方性質7解決。
[深度提示] 幻方性質7：具有一個共同數的一行和一列中其他兩個數的和相等，可知1+G=8+10，所以G為17，再根據幻方性質3可將中心數填出。
[全解過程] 幻方性質3：幻方中關于中心對稱的兩數均為數列中首尾相對應的配對，且兩數的平均數為中心數，可知中心數為10與17的平均，即13.5，確定幻和為40.5，再根據第一行中幻和算出A為22.5。
A
B
8
C
10
D
1
E
F
G
17
H
I
A
22.5
B
8
C
10
D
1
E
13.5
F
G
17
H
I

把1，2，3，4，6，9，12，18，36這9個數分別填入3×3方格表的各方格內，使每一行、每一列及兩條對角線上的3個數的乘積都是216。求位于正中間的方格中所填的數。
A
3
B
36
C
2
D
4
E
6
F
9
G
18
H
1
I
12
[初級點撥] 此題是屬于三階乘法幻方，可利用加法幻方的性質及步驟類推得出結論進行解答。
[深度提示] 加法幻方步驟進行操作：1，確定中間數6，配對數組（1，36），（2，18），（3，12），（4，9），按大小順序依次填入幻方中對稱位置。注意幻方性質5的利用。
[全解過程] 中心數為6。我們繼續填下去：幻積為216，將配對依次填入：（1， 36）填入中間（H，B），（2，18），填入四角（C，G），其他再全部根據幻積為216計算，依次填入，答案如圖：
7個圓內填入7個連續自然數，使得每兩個相鄰圓內所填數的和都等于連線上的已知數，那么標有★的圓內填的數是多少？
[初級點撥] 此題屬于數陣圖的變形，應用數陣圖的基本思路，將所有和相加，進行分析。
[深度提示] 將所有和相加得14+11+8+12+9+6+10=70，從個體考慮，可看出每個數相加兩次，所以七個連續數和為70÷2=35，所以七個連續數為：2，3，4，5，6，7，8。
[全解過程] （法1）從最大和或最小和處開始嘗試，14只有唯一分解14=8+6假設★為8，嘗試發現不能完成，所以★為6，逐一計算完成如圖：
（法2）本題也可以用方程的方法可以先假設最頂端的圓圈中所填的數為x，那么根據它與右鄰的和為14可以得到它右邊的圓圈中的數為14-x，如此按順時針順序得到各個圓圈的代數表達式：x-3，11-x，1+x，8-x，x-2，所以最頂端的圓圈的左鄰中的數是x-2，根據最頂端圓圈與其左鄰圓圈中的數和為10可列方程x-2+x=10，得到x=6，其他圓圈中的數也就可以全部求出。
把1.2，3.7，6.5，2.9，4.6分別填在右下圖的5個圓圈內，然后在每個方框中填上和它相連的3個圓圈中的數的平均值，再把3個方框中的數平均值填在三角形中。請找出一種填法，使三角形中的數盡可能小。問這個最小的數是多少？
[初級點撥] 此題中數量關系不是很明顯，也無法從整體上直接求和，應該設出未知數并表示出最后數，就能看出它們的關系，再進行分析。
[深度提示] 設個小圓中的數依次為a1、a2、a3、a4、a5，則三個正方形中的數依次為、、，繼而求出三角形中的數值為。要使數值最小，a1、a2、a3、a4、a5應該怎么樣取值。
[全解過程] 很明顯，a3中應該填入最小的數1.2，a2、a4中應該填入次大的2.9和3.7，a1、a5中填入4.6和6.5，這樣三角數等于3.1。
第4講 數論（一） 整除、奇偶性、極值問題
知識地圖：
基礎知識：
數論是研究整數性質的一個數學分支，它歷史悠久，而且有著強大的生命力。數論問題敘述簡明，“很多數論問題可以從經驗中歸納出來，并且僅用三言兩語就能向一個行外人解釋清楚，但要證明它卻遠非易事”。因而有人說：“用以發現天才，在初等數學中再也沒有比數論更好的課程了。任何學生，如能把當今任何一本數論教材中的習題做出，就應當受到鼓勵，并勸他將來從事數學方面的工作。”所以在國內外各級各類的數學競賽中， 數論顯得格外重要。數論研究的是奇數、偶數、素數、合數，這些最簡單的數——整數及其內部關系，但是從這些簡單的數中誕生了“費馬大定理”、“哥德巴赫猜想”和“朗蘭茲綱領”這樣的難題，它們吸引數學家們花費數十年、甚至整世紀努力研究。
小學數學競賽和小升初考試的數論問題，常常涉及整數的整除性、質數與合數、約數與倍數、帶余除法、奇數與偶數、整數的分解與分拆。
（一）整除問題 數的整除
數的整除在算術中應用廣泛，下面我們從整除的概念、整除的性質及數的整除特征三方面來介紹。

1.整除的概念
在整數范圍內，兩個數相除，余數為零（沒有余數）或不為零，兩種結果必定有一種成立。如果余數為零，我們就說被除數能被除數整除。如15÷3=5；24÷2=12。
一般地，如果用字母表示，可以這樣說：
整數a除以整數b（b≠0），除得的商正好是整數而沒有余數，我們就說a能被b整除（也可以說b能整除a），記作b︱a。如15能被3整除，記作3︱15；24能被2整除，記作2︱24。
如果數a能被數b（b≠0）整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數。像在上面的算式中，因為3︱15，15是3的倍數，3是15的約數。
由于0÷b=0（b≠0），就是說零能被任何非零整數整除。因此，零是任意一個非零整數的倍數。
1是任意一個整數的約數，也就是說，對于整數a，都能保證1︱a成立。
同樣，由于a÷a=1（a≠0），也就保證一個非零整數必能整除它本身，也就是a︱a（a≠0）。

2.整除的性質

（1）性質1 如果數a和數b都能被數c整除，那么它們的和或差也能被c整除。即如果c︱a，c︱b，那么c︱（a±b）。在理解這個性質時，我們要注意，反過來是不成立的，即兩數的和（a+b）或差（a-b）能被c整除，這兩個數不一定能被c整除。如5 ︱（26+24），但526，524。
再看下面這個問題：2∣12，12∣36。2能否整除36？顯然，回答是肯定的。這是因為36是12的倍數，12又是2的倍數，那么36一定是2的倍數。由此我們又可以得出：
（2）性質2 如果數a能被數b整除，b又能被數c整除，那么a也能被c整除。即如果b∣a，c∣b，那么c∣a。

用同樣的方法，我們還可以得出：
（3）性質3 如果數a能被數b與數c的積整除，那么a也能被b或c整除。即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a。
（4）性質4 如果數a能被數b整除，也能被數c整除，且數b和數c互質，那么a一定能被b與c的乘積整除。即如果b∣a，c∣a，且（b，c）=1，那么bc∣a。
如：如果3∣12，4∣12，且（3，4）=1，那么（3×4） ∣12。
（5）性質5 如果數a能被數b整除，那么am也能被bm整除。
如果 b｜a，那么bm｜am（m為非0整數）；
（6）性質6 如果數a能被數b整除，且數c能被數d整除，那么ac也能被bd整除。
如果 b｜a ，且d｜c ，那么bd｜ac；
　3.數的整除特征
①能被2整除的數的特征：個位數字是0、2、4、6、8的整數。“特征”包含兩方面的意義：一方面，個位數字是偶數（包括0）的整數，必能被2整除；另一方面，能被2整除的數，其個位數字只能是偶數（包括0）。下面“特征”含義相似。
②能被5整除的數的特征：個位是0或5。
　 ③能被3（或9）整除的數的特征：各個數位數字之和能被3（或9）整除。
例如：123的各位數字之和是1+2+3=6，因為6能被3整除，所以3∣123。
再如：126的各位數字之和是1+2+6=9，因為9能被9整除，所以9∣126。
我們以三位數為例來證明被9整除只需看各位數字之和這一性質
假設該三位數為＝100a＋10b＋c＝（99a＋9b）＋（a＋b＋c）
很明顯第一個括號里的數是9的倍數，因此只要a＋b＋c，即各位數字之和能被9整除，那么這個三位數abc就能被9整除，反之亦然。推廣到任意位數的自然數，該證明方法仍然成立，請大家自己嘗試一下。
注意：從這種證明過程中，我們可以進一步得到兩個小技巧：
（1）“棄九法”。即看各位數字和能否被9整除，只要先把9劃去，或者其它的和是9的幾個數劃去，剩下的數字之和是否是9的倍數，則可以判定這個數能否被9整除。
（2）得余數。通過上面的過程，我們可以看出這個數被9除的余數就是在棄9法以后的余數。
類似地，判斷能否被3整除或者不能整除時的余數是幾，也可以用這種簡便方法。
　　④能被4（或25）整除的數的特征：末兩位數能被4（或25）整除。
　　例如：1864=1800＋64，因為100是4與25的倍數，所以1800是4與25的倍數。又因為4｜64，所以1864能被4整除。但因為2564，所以1864不能被25整除。。
　　⑤能被8（或125）整除的數的特征：末三位數能被8（或125）整除。
　　例如：29375＝29000＋375，因為1000是8與125的倍數，所以29000是8與125的倍數。又因為125｜375，所以29375能被125整除。但因為8375，所以829375。
　　⑥能被11整除的數的特征：這個整數的奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差（大減小）是11的倍數。
　　例如：判斷123456789這九位數能否被11整除？
　　解：這個數奇數位上的數字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶數位上的數字之和是8＋6＋4＋2＝20。因為25—20＝5，又因為115，所以11123456789。
　　再例如：判斷13574是否是11的倍數？
　　解：這個數的奇數位上數字之和與偶數位上數字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0。因為0是任何整數的倍數，所以11｜0。因此13574是11的倍數。
　　⑦能被7（11或13）整除的數的特征：一個整數的末三位數與末三位以前的數字所組成的數之差（以大減小）能被7（11或13）整除。
　　例如：判斷1059282是否是7的倍數？
　　解：把1059282分為1059和282兩個數。因為1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282。因此1059282是7的倍數。
再例如：判斷3546725能否被13整除？
解：把3546725分為3546和725兩個數。因為3546-725=2821。再把2821分為2和821兩個數，因為821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，進而13｜3546725。
特殊的，六位數是7、11、13的倍數。
[思考]：為什么要從末三位把這個數一分為二呢？
仔細想一想我們會發現7×11×13＝1001，正好比1000大1，由此我們可以得到如下證明
我們設一個多位數的末三位是abc，前面部分是x
那么我們要證明的就是這個多位數能否被7，11，13整除決定于abc-x能否被7，11，13整除
該數＝1000x＋abc＝1001x＋（abc－x）
由于1001同時是7，11，13的倍數，所以這個多位數能否被7，11，13整除決定于abc-x能否被7，11，13整除。
希望大家能熟練掌握以上判別方法，并理解我們是如何證明的，考試不會考這些證明，但是這種證明的方法在做一些其他數論題目的時候是非常有效的。
上面介紹了能被2、3、4、5、7、8、9、11、13整除數的特征。那么，怎樣判斷一個數能否被6、12、15……等整數整除呢？
顯然6=2×3，12=3×4，15=3×5…… 這里，等號右邊的兩個因數之間沒有相同的約數，于是我們可以把6，12，15…… 這類數的整除問題轉化為同時能被2和3整除或3和4整除……等簡單的問題來做。
4.奇數和偶數
　　整數可以分成奇數和偶數兩大類。能被2整除的數叫做偶數，不能被2整除的數叫做奇數。
　　偶數通常可以用2k（k為整數）表示，奇數則可以用2k+1（k為整數）表示。
　　特別注意，因為0能被2整除，所以0是偶數。
　　
奇數與偶數有許多的性質
奇數±奇數=偶數
奇數±偶數=奇數
偶數±偶數=偶數
奇數個奇數的和或差（相加減）為奇數
偶數個奇數的和或差（相加減）為偶數
加減法中偶數不改變結果的奇偶性（偶數都可以看作0或沒有操作）
加減法中奇數改變結果的奇偶性（奇數都可以看作1）
奇數×奇數=奇數
偶數×偶數=偶數
奇數×偶數=偶數
奇數×奇數×奇數×奇數×…×奇數×偶數=偶數
a+b與a-b同奇或同偶
奇數的平方=4K+1，偶數的平方=4K
任何一個奇數一定不等于任何一個偶數。
5.最值分析（離散）
在日常生活、工作中，經常會遇到有關最短路線、最短時間、最大面積、最大乘積等問題，這就是在一定條件下的最大值或最小值方面的數學問題。這類問題涉及的知識面廣，在生產和生活中有很大的實用價值。最值分析問題是數學中的一個難點和重點，可以融入到認識的題目中去考核，并因為他們的存在使題目變得更有難度。一般而言，最大與最小問題包括數、式、方程（組）中的最大最小問題、統籌方法中教學思想方法的初步應用、幾何中的最大最小問題（周長、面積、最短的路線）。
重要結論：兩數和一定時，這兩數差越小（越接近）乘積越大
整數分拆中的最值問題
在國內外的數學競賽試題中經常出現與整數分拆有關的最大值或最小值的問題。
例如： 試把14分拆為兩個自然數之和，使它們的乘積最大。
解：把14分拆成兩個自然數之和，共有7種不同的方式。對每一種分拆計算相應的乘積：
　　14=1＋13，1×13＝13；
　　14=2+12，2×12=24；
　　14=3＋11，3×11=33；
　　14=4＋10，4×10=40；
　　14=5＋9，5×9=45；
　　14=6+8，6×8=48；
　　14=7+7，7×7=49。
　　因此，當把14分拆為兩個7之和的時候，乘積（7×7=49）最大。
　　說明：本例可以推廣為一般性結論：“把自然數n≥2分拆為兩個自然數a與b（a≥b）之和，使其積a×b取最大值的條件是a=b或a-b=1（a＞b）”。事實上，假設a-b=1+m（其中m是一個自然數），顯然n=a+b=（a-1）+（b+1），而有（a-1）×（b+1）＝a×b＋a-b-1＝a×b＋m＞a×b。
　　
例如：試把14分拆為3個自然數之和，使它們的乘積最大。
分析： 假設n＝a+b+c（a≥b≥c）且a-c＞1時，乘積a×b×c不是最大的。換句話說，若n=a+b＋c（a≥b≥c），當a、b、c中的任意兩數相等或差為1時，乘積a×b×c取最大值。
　　解：因為14=3×4＋2，由分析可知：當a=b=5且c=4時，乘積a×b×c=5×5×4＝100為最大值。
　　說明：本題可以推廣為一般結論：把自然數n≥3分拆為3個自然數，什么情況下乘積最大？
　　下面我們再研究一個難度更大的拆數問題。
　　問題：給定一個自然數n，把它拆成若干個自然數的和，使它們的積最大。
　　這個問題與前面研究的兩個拆數問題的不同點是：問題中沒有規定把n拆成幾個自然數的和。這也正是這題的難點，使分拆的種類要增加許多。我們仍舊走實驗-觀察-歸納結論這條路。先選擇較小的自然數5開始實驗。并把數據列表以便比較。
你注意到了嗎？我們的實驗結果是按把5拆分數的個數多少，由多到少的次序進行的。再注意，當被拆數n＞3時（這里n=5），為了使拆分數的乘積最大，拆分數中不能有1。因為當n＞3，n=1+（n-1）=2+（n-2），且2×（n-2）＞1×（n-1）。
　結果：7拆分成2+2+3時。其積12最大。
　　注意，分拆數中有4時，總可把4再分拆成2與2之和而不改變分拆的乘積。
　　實驗結果4：8拆分成2+3+3時，其積最大。
　　實驗結果5：9拆分成3+3+3時，其積最大。
　　實驗結果6：10拆分成3+3+2+2時，其積最大。
　　觀察分析實驗結果，要使拆分數的乘積最大，拆分數都由2與3組成，其形式有三種：
　　①自然數=（若干個3的和）；
　　②自然數=（若干個3的和）+2；
　　③自然數=（若干個3的和）+2+2。
　　因此，我們得到結論：把一個自然數n拆分成若干個自然數的和，只有當這些分拆數由2或3組成，其中2最多為2個時，這些分拆數的乘積最大。（因為2+2+2=3+3，2×2×2＜3×3，所以分拆數中2的個數不能多于2個）
　　
我們以上采用的“實驗-觀察-歸納總結”方法，在數學上叫做不完全歸納法。我國著名數學家華羅庚講過：難處不在于有了公式去證明，而在于沒有公式之前怎么去找出公式。不完全歸納法正是人們尋找公式的重要方法之一。但是這種方法得出的結論有時會不正確，所以所得結論還需要嚴格證明。這一步工作要等到學習了中學的課程才能進行。
【例1】（☆☆☆）在865后面補上三個數字，組成一個六位數，使它能分別被3、4、5整除，且使這個數值盡可能的小。
[審題要點] 被3、4、5整除的數的特征， 數字和（8+6+5+a+b+c）是3的倍數；末兩位數字組成的兩位數是4的倍數；末位數字c是0或5；“數值盡可能小”，條件必須同時滿足。
[詳解過程] 設補上數字后的六位數是，因為這個六位數能分別被3、4、5整除，所以它應滿足以下三個條件：
第一，數字和（8+6+5+a+b+c）是3的倍數；
第二，末兩位數字組成的兩位數是4的倍數；
　　第三，末位數字c是0或5。
由以上條件，4|，且c只能取0或5，
又能被4整除的數的個位數不可能是5， ∴c只能取0，因而b只能取0，2，4，6，8中之一。
　　又3|，且（8+6+5）除以3余1，∴a＋b除以3余2。
　　為滿足題意“數值盡可能小”，只需取a=0，b=2。
　　∴要求的六位數是865020。
[專家點評] 被3、4、5整除的特征應用非常重要，一定要掌握好。
在考慮兩個數的和能否被n整除，分別看這兩個數被n除的余數，這種技巧題中用到，更多時候在解不定方程的時候，我們稱之為“除余試值法”。
【例2】（☆☆☆）各位數碼是0、1或2，且能被225整除的最小自然數是多少？
[審題要點] 被合數整除把225分解，分別考慮能被25和9整除特征。
[詳解過程] 225=25×9，所以要求分別能被25和9整除。要能被25整除，所以最后兩位就是00。要能被9整除，所以所有數字的和是9的倍數，為了使得位數盡可能少，只能是4個2和1個1，這樣得到1222200。
[專家點評] 為了使得位數盡可能少，所以每個數位數字應盡可能大，高位數小。

注意：對整除性質 如果b∣a，c∣a，且（b，c）=1，那么bc∣a。
所以對于考慮一個數是否能被225整除，只能考慮同時被25和9整除，而不能是15和15，或者5和45。請“奧數研究生”們細作體會。
【例3】（☆☆☆）一個六位數，它能夠被9和11整除。去掉這個六位數的首、尾兩個數字，中間的四個數字是1997，那么這個六位數是多少？
[審題要點] 被11整除的特征奇位數減偶位數的差
[詳解過程] 設這個六位數是，它能夠被9整除，所以 能被9整除，因此或10。當時，、，而119970不能被11整除，所以。
又能被11整除，，說明
或，即或，結合，只有符合，此時、，所以這個六位數是219978。
專家點評：分類討論考察綜合能力

【例4】（☆☆☆）下面這個199位整數：被13除，余數是多少？
[審題要點] 100100能被13整除，每六位能被13整除的關于周期的規律經常應用于數論的相關分析中。
這一點與1001=7×11×13有關。
[詳解過程] 100100能被13整除，每六位能被13整除，199÷6=33余1，原數相當于33個100100的循環的10倍再+1，即1001001001…001001001（199位）-1=1001001001…001001000（199位）=1001001…100100100（198位）的10倍，顯而易見1001001…100100100（198位）是1001的倍數，所以也是13的倍數，所以原數被13除所得的余數是1。
[專家點評] 多位數整除有的同學無從下手，規律無處不在。此題是香港圣公會小學數學奧林匹克試題。
【例5】（☆☆☆☆）用1，9，8，8這四個數字能排成幾個被11除余8的四位數？
[審題要點] 現在要求被11除余8，我們可以這樣考慮：這樣的數加上3后，就能被11整除了。所以我們得到“一個數被11除余8”的判定法則：將偶位數字相加得一個和數，再將奇位數字相加再加3，得另一個和數，如果這兩個和數之差能被11整除，那么這個數是被11除余8的數；否則就不是。
[詳解過程]
要把1，9，8，8排成一個被11除余8的四位數，可以把這4個數分成兩組，每組2個數字。其中一組作為千位和十位數，它們的和記作A；另外一組作為百位和個位數，它們之和加上3記作B。我們要適當分組，使得能被11整除。現在只有下面4種分組法：
偶位 奇位
（1） 1，8 9，8
（2） 1，9 8，8
（3） 9，8 1，8
（4） 8，8 1，9
經過驗證，第（1）種分組法滿足前面的要求：
A=1＋8=9，B=9＋8＋3=20，B－A=11能被11除盡。
但其余三種分組都不滿足要求。根據判定法則還可以知道，如果一個數被11除余8，那么在奇位的任意兩個數字互換，或者在偶位的任意兩個數字互換得到的新數被11除也余8。于是，上面第（1）分組中，1和8任一個可以作為千位數，9和8中任一個可以作為百位數。這樣共有4種可能的排法：1988，1889，8918，8819。
[專家點評] 難點在于有余數，偶位數字相加的和與奇位數字相加的和之差能被11整除余數的特點互補性

【例6】（☆☆☆☆☆）如右圖，用一塊邊長18厘米的正方形硬紙片，在四個
角上截去4個相同的小正方形（圖中陰影部分），然后
把四邊形折合起來，做成一個沒有蓋的長方體紙盒。
截去的4個相同的小正方形的邊長是多少厘米時，長方
體紙盒的容積最大？
[審題要點] 和一定，差小積大
[詳解過程] 設高為x，則V=（18－2x）（18－2x）·x，18－2x=18－2x=4x，x=3，所以12×12×3=432。
[專家點評] V=abh
==2h=6
【例7】（☆☆☆）在黑板上寫1～2007這2007個自然數，每次任意擦去兩個數，然后寫上它們的和或差，一直這樣重復操作，經過若干次后黑板上只剩下一個數，請問結果是奇數還是偶數？為什么？
[審題要點] 加減法中偶數不改變結果的奇偶性（偶數都可以看作0或沒有操作）
加減法中奇數改變結果的奇偶性（奇數都可以看作1）
[詳解過程] 奇數±奇數=偶數 擦去兩個奇數寫上一個偶數不改變結果的奇偶性
偶數±偶數=偶數 擦去兩個偶數寫上一個偶數不改變結果的奇偶性
奇數±偶數=奇數 擦去一個奇數一個偶數寫上一個奇數相當于只擦去一個偶數還是不改變結果的奇偶性，在1-2007中有1004個奇數，每次都是成對的擦去奇數，所以最后只剩下一個數是偶數。
[專家點評] 此題可以轉化為1—2007這2007個數之間任意添加號或減號其結果是奇數還是偶數？
【例8】（☆☆☆）用1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數字（每個數字僅用一次）組成一個四位數和一個五位數，使乘積最大：則□□□□□×□□□□應該怎樣填？
若將1——9這九個數字，分別填入下面九個□中，使乘積最大：□□□×□□□×□□□
[審題要點] 要使得這兩個數的乘積最大，就要使得這兩個數的差盡可能小
[詳解過程] 補數字0組成兩個五位數，把0寫在某個五位數的末位。96420－87531=8889，所以最大87531×9642=843973902。
遵循“把比較大的數都填在高位上”的原則和“和一定，差小積大”，有941×852×763 。
【例9】（☆☆☆☆☆）9999和99！能否表示成為99個連續的奇自然數之和？
[審題要點] 奇數個奇數之和為奇數，而奇數永遠不會等于偶數
[詳解過程]
1）9999能。因為9999等于99個9998之和，所以可以直接構造如下：
　9999=（9998-98）+（9998-96）+…+（9998-2）+9998+（9998+2）+…+（9998+96）+（9998+98）。
2）99！不能。因為99！為偶數，而99個奇數之和為奇數，所以99！不能表示為99個連續奇數之和。說明：利用構造法證明存在性問題，只要把滿足題設要求的數學對象構造出來就行
專家點評：構造法在數學中非常重要，也往往是難點。反證法是奇偶分析常用的方法。
四、拓展訓練
要使能被36整除，而且所得的商最小，那么A、B、C分別是多少？
[初級點撥] 分解為互質的幾個數的乘積，36=4×9分別考慮
[深度提示] 因為36=4×9，所以能被4整除，從而C只可能是1，3，5，7，9。要使商最小，A、B應盡可能小，先取A=0，又1+5+6+A+B+C=12+B+C=9+3+B+C，所以3+B+C是9的倍數。
[全解過程] 因為36=4×9，所以能被4整除，從而C只可能是1，3，5，7，9。要使商最小，A、B應盡可能小，先取A=0，又1+5+6+A+B+C=12+B+C=9+3+B+C，所以3+B+C是9的倍數，B=1，C=5時，取得最小值。本題商的最值分析是亮點和難點， 被合數整除的特征，應分解為互質的幾個數的乘積，被4、9整除的特征是必要前提。
2、☆☆能被11整除，那么，n的最小值為多少？
3、☆☆☆☆求最小的自然數，它的各位數字之和等于56，它的末兩位數是56，它本身還能被56所整除。
4、☆☆☆（2002年南京市少年數學智力冬令營）一個十位數，如果各位上的數字都不相同，那么就稱為“十全數”，例如，3 785 942 160就是一個十全數。現已知一個十全數能被1，2，3，…，18整除，并且它的前四位數是4876，那么這個十全數是 。
5、已知四十一位數55…55□99…99（其中5和9各20個）能被7整除，那么中間方格內的數字是多少？
6、把三位數接連重復寫下去，共寫1993個，所得的數恰是91的倍數，試求=？
7、已知等式1993×□+4×□=6063，其中□都是自然數，試求這兩個“□”的和。
8、能否找到這么一個數，它加上24，和減去30所得的兩個數都是完全平方數？
9、桌子上有7個杯子，開口全部向上，現在允許每次同時翻動其中6個，能否經過若干次翻動使得所有杯子杯口全部向下，若可以，請指出最少需要多少次？并給出具體的翻法。若不可以，請說明理由；
10、某農場打算用60米長的籬笆靠墻圍成5個面積大小相等的羊圈（如圖所示），
問：若要求每個羊圈的面積盡可能大，應為多少平方米？



1.初級點撥：分解為互質的幾個數的乘積，36=4×9分別考慮
2.初級點撥：能被11整除的特征奇位數減偶位數的差
3.初級點撥：所求的數寫成100a＋56的形式。由于100a＋56能被56整除，所以a能被14整除，所以.應是14的倍數。
4.初級點撥：這個十全數能被10整除，個位數必為0；能被4整除，十位數必為偶數，末兩位只能是20。設這個十全數為。
5.初級點撥：考慮到555555和999999都是7的倍數，如果原數是能被7整除，那么由□=□且7為奇數，可知□也能被7整除；
6.初級點撥：因為91=7×13，且（7，13）=1，所以7|，13|
根據一個數能被7或13整除的特征可知：
原數能被7以及13整除，當且僅當-能被7以及13整除，也就是能被7以及13整除。
7.初級點撥：設1993×a+4×b=6063，其中a、b為自然數。由于6063為奇，4×b為偶數，可知1993×a為奇數，從而判定a為奇自然數。
8.初級點撥：設這兩個完全平方數分別為A、B那么這兩個完全平方數的差為54=（A+B）（A－B）。
9.初級點撥：采用反證法，假設可以經過若干次翻動，使得所有杯子杯口全部向下，接著計算所有杯子被翻動的次數之和。
10.初級點撥：每個羊圈盡可能大，五個面積相同。5a＋6b=60
1.深度提示：因為36=4×9，所以能被4整除，從而C只可能是1，3，5，7，9。要使商最小，A、B應盡可能小，先取A=0，又1+5+6+A+B+C=12+B+C=9+3+B+C，所以3+B+C是9的倍數。
2.深度提示：分析：中奇位數減偶位數的差為（8-2）n+8=6n+8；當n=6時，（6n+8）是11的倍數
3.深度提示：而且a的數字和等于56－5－6=45。具有數字和45的最小偶數是199998，但這個數不能被7整除。接下來數字和為45的偶數是？
4.深度提示：由于它能被11整除，必有b+d-（a+c）=10，所以b、d是9和5；a、c是3和1，這個十全數只能是4 876 391 520，4 876 351 920，4 876 193 520，4 876 153 920中的一個。
5.深度提示：又□可以表示成＋□，說明□也能被7整除，相當于將原數的前后分別去掉555555和999999后整除性不變，依次下去，得到55□99。
6.深度提示：因為（7，10）=1，（13，10）=1，所以7|，13|也就是
7|，13|，因此，用一次性質（特征），就去掉了兩組；反復使用性質996次，最后轉化成：原數能被7以及13整除，當且僅當能被7以及13整除。
7.深度提示：由于1993×4=7932>6063，所以□只能取1或3。當a=1時，b=（6063—1993）÷4=4070÷4不是整數；
8.深度提示：由于（A+B）和（A－B）的奇偶性質相同，所以（A+B）（A－B）不是4的倍數，就是奇數
9.深度提示：一方面，每個杯子從杯口向上變成杯口向下，需要翻動奇數次，一共有7個杯子，7個奇數之和一定還是奇數，因此所有杯子被翻動的次數之和是奇數；另一方面，每次翻動六個杯子，因此總次數一定是六的倍數，那么就一定是偶數。
10.深度提示：要是ab最大，則5a×6b=30ab最大，根據和一定，差小積大原則
1.全解過程： 因為36=4×9，所以能被4整除，從而C只可能是1，3，5，7，9。要使商最小，A、B應盡可能小，先取A=0，又1+5+6+A+B+C=12+B+C=9+3+B+C，所以3+B+C是9的倍數，B=1，C=5時，取得最小值。
本題商的最值分析是亮點和難點， 被合數整除的特征，應分解為互質的幾個數的乘積，被4、9整除的特征是必要前提。
2.全解過程：中奇位數減偶位數的差為（8-2）n+8=6n+8，當n=6時，（6n+8）是11的倍數；所以n的最小值是6。
3.全解過程：1：所求的數寫成100a＋56的形式。由于100a＋56能被56整除，所以a能被14整除，所以應是14的倍數。而且a的數字和等于56－5－6=45。具有數字和45的最小偶數是199998，但這個數不能被7整除。接下來數字和為45的偶數是289998和298998，但前者不能被7除盡，后者能被7整除，所以本題的答數就是29899856。
4.全解過程：這個十全數能被10整除，個位數必為0；能被4整除，十位數必為偶數，末兩位只能是20。設這個十全數為。由于它能被11整除，必有b＋d-（a＋c）=10，所以b、d是9和5；a、c是3和1，這個十全數只能是4 876 391 520，4 876 351 920，4 876 193 520，4 876 153 920中的一個。 經檢驗，它是4 876 391 520。
5.全解過程：考慮到555555和999999都是7的倍數，如果原數是能被7整除，那么由□=□且7為奇數，可知□也能被7整除；又□可以表示成＋□，說明□也能被7整除，相當于將原數的前后分別去掉555555和999999后整除性不變，依次下去，得到55□99。因此□44是7的倍數，□3是7的倍數，所以得□=6。
6.全解過程：因為91=7×13，且（7，13）=1，所以7|，13|
根據一個數能被7或13整除的特征可知，原數能被7以及13整除，當且僅當－能被7以及13整除，也就是能被7以及13整除。因為（7，10）=1，（13，10）=1，所以7|，13|也就是7|，13|，因此，用一次性質（特征），就去掉了兩組；反復使用性質996次，最后轉化成：原數能被7以及13整除，當且僅當能被7以及13整除，又∵91的倍數中小于1000的只有91×4=364的百位數字是3，∴=364。
7.全解過程：1、設1993×a+4×b=6063，其中a、b為自然數。由于6063為奇，4×b為偶數，可知1993×a為奇數，從而判定a為奇自然數；2、由于1993×4=7972>6063，所以□只能取1或3。當a=1時，b=（6063—1993）÷4=4070÷4不是整數； 3、當a=3時，b=21合于題設等式。所以a+b=3+21= 24。
8.全解過程：1. 分析：設這兩個完全平方數分別為A、B那么這兩個完全平方數的差為54=（A+B）（A－B），由于（A+B）和（A－B）的奇偶性質相同，所以（A+B）（A－B）不是4的倍數，就是奇數；54既不是4的倍數，也不是奇數，所以54不可能等于兩個平方數的差，所以這樣的數找不到。
9.全解過程：采用反證法，假設可以經過若干次翻動，使得所有杯子杯口全部向下，下面計算所有杯子被翻動的次數之和：一方面，每個杯子從杯口向上變成杯口向下，需要翻動奇數次，一共有7個杯子，7個奇數之和一定還是奇數，因此所有杯子被翻動的次數之和是奇數；另一方面，每次翻動6個杯子，因此總次數一定是6的倍數，那么就一定是偶數。由于奇數不可能等于偶數，所以我們的假設錯誤，故不可能經過若干次翻動使得所有杯子杯口全部向下。
10.全解過程：1.分析與解答：每個羊圈盡可能大，五個面積相同。5a＋6b=60 要是ab最大，則5a·6b=30ab最大，根據和一定，差小積大原則， ∴5a=6b=60÷2=30，所以a=6，b=5，所以ab=6×5=30。
第5講 數論（二） 約數倍數、質數合數、分解質因數
一、知識地圖
二、基礎知識
（一）1．質數與合數
一個數除了1和它本身，不再有別的約數，這個數叫做質數（也叫做素數）。
一個數除了1和它本身，還有別的約數，這個數叫做合數。
要特別記住：0和1不是質數，也不是合數。顯然，在自然數范圍內，最小的質數是2，2也是惟一的偶質數。最小的合數是4。我們可以按照一個數約數的個數，把自然數分成三類：0和1，質數和合數。因此，除0和1以外的自然數，不是質數就是合數。自然數的個數是無限的。早在2000多年前古希臘數學家歐幾里德就證明了質數有無限多個。
2. 質因數與分解質因數
如果一個質數是某個數的約數，那么就說這個質數是這個數的質因數。
把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。例如，12=2×2×3。
常用的是100以內的質數：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共計25個；其中2是唯一的偶數，5是唯一的個位為5的質數，這也是多年考試的一個重點。
分解質因數往往是解數論題目的突破口，因為這樣可以幫助我們分析數字的特征。同學們必須熟練掌握100以內以及其他常用合數的分解質因數。部分特殊數的分解：111=3×37；1001=7×11×13；11111=41×271；10001=73×137；1995=3×5×7×19；1998=2×3×3×3×37；2007=3×3×223；2008=2×2×2×251；2007+2008=4015=5×11×73；10101=3×7×13×37。
注意：從小學奧數要求看，我們對一個數分解質因數，一般根據唯一分解定理，把相同質因子寫成指數形式，這對求這個數的約數個數或者所有約數的和來說，很重要。
例如： 120=23×3×5，而不寫成：120=2×2×2×3×5。
判斷一個數是否為質數的方法：根據定義如果能夠找到一個小于的質數（均為整數），使得能夠整除，那么就不是質數，所以我們只要拿所有小于的質數去除就可以了；但是這樣的計算量很大，對于不太大的，我們可以先找一個大于且接近的平方數，再列出所有小于的質數，用這些質數去除，如沒有能夠除盡的那么就為質數。例如，149很接近169=13×13，根據整除的性質149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是質數。
（二）公約數和最大公約數
1. 幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。
例如：12的約數有：1，2，3，4，6，12；
　　 18的約數有：1，2，3，6，9，18。
12和18的公約數有：1，2，3，6。其中6是12和18的最大公約數，記作（12，18）=6。
一般地，如果兩個數a、b的最大公約數是d，我們可以簡便地記作（a，b）=d。
　對于較小的兩個數a、b可用短除法求最大公約數。
2. 最大公約數的性質：
（1） 兩個自然數分別除以它們的最大公約數，所得的商互質。
即若a＝a1×（a，b），b＝b1×（a，b），則（a1，b1）＝1（2） 兩個數的最大公約和最小公倍的乘積等于這兩個數的乘積。
[a，b]×（a，b）＝ab
還有如下推廣：
幾個數的公約數，都是這幾個數的最大公約數的約數。
幾個數都乘以一個自然數n，所得的積的最大公約數等于這幾個數的最大公約數?

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