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數列5分小題的類型與解法
大家知道，數列問題是近幾年高考的熱點問題之一，高考試卷中不是大題，就是兩到三個小題，分值一般在十到十五分之間。從題型上看，可能是大題，也可能是選擇題或填空題；難度系數較低，一般為中檔題或低檔題。這里著重探導數列的5分小題，縱觀近幾年高考試題，歸結起來，數列的5分小題主要包括：①數列的概念問題；②數列通項公式的問題；③數列前n項和的問題；④等差數列的問題；⑤等比數列的問題等幾種類型，各種類型問題結構上具有一定的特征，解答方法也各不相同。那么在實際解答數列問題時，到底應該如何抓住問題的結構特征，快捷，準確地給予解答呢？下面通過典型例題的詳細解析來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
1、已知集合A={x|x=2n-1，n}，B={x|x= ，n}，將A B的所有元素從小到大依次排列構成一個數列｛｝，記為數列｛｝的前n項和，則使得＞12成立的n的最小值為 ；
【解析】
【知識點】①集合的表示法；②集合運算的基本方法；③子集的定義與性質；④數列通項公式的定義與性質；⑤數列前n項和公式的定義與性質。
【解答思路】根據集合表示方法和集合運算的基本方法求出A B，從而得到數列｛｝，利用數列通項公式與前n項和公式就可得出結果。
【詳細解答】集合A={x|x=2n-1，n}={1，3，5，7，-------，2n-1，-------}，B={x|x= ，n}={2，4，8，16，------，，------}，A B={1，2，3，4，5，7，8，9，11，13，15，16，-------}，數列｛｝可表示為：1，2，3，4，5，7，8，9，11，13，15，16，------- ，=+=441+62=503，=43，12=12
43=516，=+=484+62=546，=45，12=1245=540，
<12，>12，使得>12成立的n的最小值是27。
2、已知數列｛｝共16項，且=1，=4，記關于x的函數（x）=-+（-1）x，n∈。若（1n15）是函數（x）的極值點，且曲線y=（x）在點（，（））處的切線的斜率為15，則滿足條件的數列｛｝的個數為 ；
【解析】
【知識點】①導數的定義與幾何意義；②求函數導數的基本方法；③函數極值點的定義與確定；④數列遞推公式的定義與運用；⑤組合的定義與組合數的求法。
【解答思路】根據求函數導數的基本方法，結合問題條件求出函數（x）的導函數（x），
由函數（x）的極值點得到 =+1或=-1，從而得到 | -|=1，利用到函數=-8x+15=15， 得到-8+15=15，解這個方程求出 的值，由的值分別確定數列｛｝，運用組合數的求法就可求出數列｛｝的個數。
【詳細解答】（x）=-2x+( -1)=[x-（+1）] [x-（-1）]，（1n15）是函數（x）的極值點， =+1或=-1| -|=1，=-8x+15
=15，-8+15=15，=0或=8， 當=0時，由-=（-）+（-）
+-----+（-）=3，-（1i7，i）有2個為-1，5個為1，由-=（-）
+（-）+------+（-）=-4，-（,8i15 ，i）有6個為-1，2個為1， 數列｛｝的個數為.=588；當=8時，由-=（-）+（-）
+-----+（-）=3，-（1i7，i）有2個為-1，5個為1，由-=（-）
+（-）+------+（-）=-4，-（,8i15 ，i）有2個為-1，6個為1， 數列｛｝的個數為.=588；綜上所述，數列｛｝的個數為.
+.=588+588=1176；
3、下列四個結論：①數列可以看作一個定義在正整數集（或它的有限子集）{1，2，3，---，n}上的函數；②數列若用圖像表示，從圖像上看都是一群孤立的點；③數列的項數是無限的；④數列的通項公式是唯一的。其中正確的是（ ）
A ①② B ①②③ C ②③ D ①②③④
【解析】
【知識點】①數列的定義與性質；②函數的定義與性質。
【解答思路】根據數列，函數的定義能夠判斷①，②是正確的，可以排除C；由數列的分類能夠判斷③是錯誤的，可以排除B，D，從而得出選項。
【詳細解答】根據數列，函數的定義能夠判斷①，②是正確的，可以排除C；由數列的分類能夠判斷③是錯誤的，可以排除B，D；A正確，選A。
4、下列四個數列中，既是無窮數列又是遞增數列的是（ ）
A 1, ，，，----- B sin，sin ，sin ，-----
C -1, -，-，-，----- D 1，，，-------，
【解析】
【知識點】①數列的分類的基本方法；②數列的單調性的定義與單調性判斷的基本方法。
【解答思路】根據數列的分類的基本方法能夠判斷A，B，C，D都是正確的；根據數列的單調性判斷的基本方法能夠判斷A，B，C是錯誤的，可以排除A，B，C，從而得出選項。
【詳細解答】根據數列的單調性判斷的基本方法能夠判斷A，B，C是錯誤的，可以排除A，B，C，D正確，選D。
5、數列｛｝中，=-+11n，則此數列最大項的值是 。
【解析】
【知識點】①數列通項公式的定義與性質；②一元二次函數的定義與性質。
【解答思路】根據數列通項公式=-+11n，可以視為關于n的一元二次函數，運用一元二次函數的性質就能夠求出結果。
【詳細解答】數列通項公式=-+11n是關于n的一元二次函數，-1<0，當n=-=，n，即當取n=6時，=-+116=30為最大值，數列最大項的值是30。
『思考問題1』
（1）【典例1】是與數列的概念相關的問題，解答這類問題需要理解數列的定義，注意數列的通項公式、遞推公式的意義，同時掌握數列的分類和數列的表示的基本方法；
（2）數列是一個特殊的函數，它的表示與函數一樣有：①解析法；②列表法；③圖像法；但需要注意數列的特殊性是它的定義域為正整數。
〔練習1〕解答下列問題：
1、下列說法中，正確的是（ ）
A數列1，3，5，7可表示為{1，3，5，7} B數列1，0，-1，-2與數列-2，-1，0，1是相同的數列 C數列{}的第k項為1+ D數列0，2，4，6，8------可記為{2n}
2、已知數列，，，----，，----下列各數中是此數列中的項的是（ ）
A B C D
3、在數列｛｝中，=1，=1+（n2），則等于（ ）
A B C D
4、已知數列｛｝的通項公式是=，那么這個數列是（ ）
A 遞增數列 B 遞減數列 C 常數數列 D 擺動數列
5、數列｛｝滿足：=，=2，則= 。
【典例2】解答下列問題：
1、設為數列｛｝的前n項和，且=4，=，n，則= ；
【解析】
【知識點】①數列前n項和公式的定義與性質；②數列通項公式的定義與性質；③數列通項公式與前n項和公式之間的關系；④已知數列通項公式求數列某一項的基本方法。
【解答思路】根據數列通項公式與前n項和公式之間的關系，結合問題條件得到=2，從而得到 =2，由=4，=，n求出 的值，可知當n2時，數列｛｝是,以4為首項，2為公比的等比數列，運用數列通項公式的求法求出數列｛｝的通項公式，由數列通項公式的性質就可求出的值。
【詳細解答】=，=，-=-=，=2，=2，=4，=，n，====4，當n2時，數列｛｝
是,以4為首項，2為公比的等比數列，=4=（n2），當n=1時，=24，數列｛｝的通項公式是：當n=1時，=4，當n2時，=，==32。
2、已知數列｛｝的通項公式=，那么是它的（ ）
A 第4項 B 第5項 C 第6項 D 第7項
【解析】
【知識點】①數列通項公式的定義與性質；②根據數列某一項的值確定數列所在項數的基本方法。
【解答思路】根據數列通項公式的性質，結合問題條件得到關于項數n的方程，求解這個方程就可得出選項。
【詳細解答】數列｛｝的通項公式==，=， ===，n=4， A正確，選A。
3、數列｛｝滿足=1，=2-1（n∈），則=（ ）
A 1 B 1999 C 1000 D - 1
【解析】
【知識點】①數列遞推公式的定義與性質；②運用數列遞推公式求數列通項公式的基本求法；③數列通項公式的定義與性質；④根據數列通項公式求數列某一項的值的基本方法。
【解答思路】根據數列｛｝遞推公式的性質，結合問題條件，得到 =2（n∈，且n2），從而求出數列｛-｝的通項公式，利用數列｛-｝的通項公式的性質得到-=0=0，得出==-----==1，結合問題條件就可求出的值。
【詳細解答】數列｛｝滿足： =2+1（n∈），=2-1，-=2（-），=2（n∈，且n2），=1，==2-1，
-=1-1=0，-=0=0，==-----==1，=1，A正確，選A。
4、數列，-，，-，------的一個通項公式是（ ）
A = B = C = D =
【解析】
【知識點】①數列通項公式的定義與性質；②已知數列前幾項，求數列通項公式的基本方法；③由特殊到一般的數學思想與基本方法。
【解答思路】根據已知數列前幾項，求數列通項公式的基本方法，結合問題條件，求出數列｛｝的通項公式，就可得出選項。
【詳細解答】數列的前幾項為：，-，，-，----，①從各項的符號來看，奇數項為正，偶數項為負；②注意各項的絕對值，，，，都是分數，分母分別是2=，
4=，8=，16=，------分子分別是1=21-1，3=22-1，5=23-1，7=24-1，-------
=，C正確，選C。
5、已知數列｛｝的前n項和為，滿足+ = ，且=1，那么等于（ ）
A 1 B 9 C 10 D 55
【解析】
【知識點】①數列通項公式的定義與求法；②數列前n和公式的定義與性質。
【解題思路】運用數列前n項和公式的性質，結合問題條件求出數列的通項公式，從而求出的值。
【詳細解答】當n=m=1時，+ = ，+=，+=+，
=，當n=1，m=2時，+ = ，+=，++=++，
=，當n=1，m=3時，+ = ，+=，+++=+++，=，------，當n=1，m=9時，+ = ，+ = ，+++
+------+=+++-------+，=，A正確，選A。
『思考問題2』
（1）【典例2】是與數列通項公式相關的問題，解答這類問題需要理解數列通項公式的定義，掌握求數列通項公式的基本方法；
（2）求數列通項公式問題涉及到幾種不同的類型，各種類型問題結構上具有一定的特征，解答方法也各不相同，在實際解答問題時，應該注意抓住問題的結構特征，采用恰當的方法快捷，準確地解答問題。
〔練習2〕解答下列問題：
1、已知遞增的等差數列｛｝滿足：=1，=-4，則= ；
2、已知數列，，，----，，----下列各數中是此數列中的項的是（ ）
A B C D
3、在數列｛｝中，=1，=1+（n2），則等于（ ）
A B C D
4、數列，-，，-，-----的第10項是（ ）
A - B - C - D -
5、已知數列｛｝滿足=1，=2，（n為正奇數），則其前6項之和為（ ）（2016山西長治月考） +1，（n為正偶數），
A 16 B 20 C 33 D 120
6、若數列｛｝滿足=2，=3，=（n≥3且n∈），則等于（ ）
A 3 B 2 C D
7、數列｛｝滿足= 2，0，=，則數列的第2015項為 ； 2-1，＜＜1，
8、數列1，，，，------的一個通項公式是（ ）
A = B = C = D =
【典例3】解答下列問題：
1、已知等差數列｛｝的前n項和為，=5，=15，則數列{}的前100項和為（ ）
A B C D
【解析】
【知識點】①數列前n項和公式及運用；②等差數列前n項和公式及運用；③等差數列通項公式及運用。
【解題思路】設等差數列｛｝的首項為，公差為d，運用等差數列前n項和公式與通項公式，結合問題條件得到關于首項為，公差為d的方程組，求解方程組得出首項為，公差為d的值，根據等差數列通項公式求出，代入進行裂項，運用數列前n項和公式就可得出結果。
【詳細解答】設等差數列｛｝的首項為，公差為d， =+4d=5，=5+10d =15，
+4d=5①，+2d =3②，聯立①②解得=1，d=1，=1+n-1=n，=
=-，=+++------++=1-+-+-+-------+-+-
=1-=，=，A正確，選A。
2、數列｛｝中，=，若｛｝的前n項和=，則n等于（ ）
A 2016 B 2017 C 2018 D 2019
【解析】
【知識點】①數列前n項和公式及運用；②數列通項公式及運用。
【解題思路】運用數列通項公式，結合問題條件求出數列的前n項和公式，根據前n項和的值得到關于n的方程，求解方程就可得出結果。
【詳細解答】=，=-，=+++------++=1-+
-+-+-------+-+-=1-==，n=2017，B正確，選B。
3、數列7，77，777，7777，------77----7，----的前n項的和為（ ）
A （-1）B （-1）C ［（-1）-1］ D ［ （-1）-n］
【解析】
【知識點】①數列前n項和公式及運用；②數列通項公式及運用。
【解題思路】運用數列通項公式，結合問題條件得到數列｛｝的通項公式：=77-----7=7
11-----1=7（1+10++------+）=7=-，將每一項分成兩項，從而可知數列｛｝由兩個基本數列（等差數列或等比數列），利用基本數列的前n項和公式，分別求出兩個基本數列的前n和，把兩個前n和相加，就可求出數列｛｝的前n項和的值。
【詳細解答】數列｛｝的通項公式：=77-----7=7 11-----1=7（1+10++------+）
=7=-，=（10+++------+）-n=
-n=[（-1）-n]，D正確，選D。
4、若數列｛｝的通項公式=（3n-2），則++-------+等于（ ）
A 15 B 12 C -12 D -15
【解析】
【知識點】①數列前n項和公式及運用；②數列通項公式及運用。
【解題思路】運用數列通項公式，結合問題條件得到數列｛｝前n項和的表示式，注意相鄰兩項的符號，把它們相加，從而得到一個項數是原數列項數一半的新數列，這個新數列是基本數列，利用基本數列前n項和公式就可求出數列｛｝的前n項和的值。
【詳細解答】=（3n-2），=-1+4-7+10+-------- -25+28=(-1+4)+(-7+10)+(-13
+16)+(-19+22)+(-25+28)=3+3+3+3+3=15, A正確，選A。
5、若數列｛｝的通項公式=（3n-2）.，則數列｛｝的前n項和= ；
【解析】
【知識點】①數列前n項和公式及運用；②數列通項公式及運用。
【解題思路】運用數列通項公式，結合問題條件得到數列｛｝的前n項和關于n的式子，根據=（3n-2）.的結構特征，把數列前n項和關于n的式子兩邊同乘以2得到又一個數列前n項和關于n的式子，兩個式子相減得出c(c為常數)關于n的式子，這個式子中的一部分是等差數列（或等比數列），利用等差數列（或等比數列）的前n和公式求出這部分的和，從而可以求出數列｛｝的前n項和的值。
【詳細解答】=（3n-2）.，=+++------++=2+4+7
+--------+（3n-5）+（3n-2）①，2=2（+++------++）=
+4+7+--------+（3n-5）+（3n-2）②，①-②得：-=2+3+3
+3+--------+3-（3n-2）=2+3（+++-------+）-3n-2）=2+
3（）-（3n-2）=2+3-4-（3n-2）=-2-（3n-5），
=（3n-5）+2。
6、記為數列｛｝的前n項和，若=2+1，則= ；
【解析】
【知識點】①數列前n項和公式的定義與性質；②數列通項公式的定義與性質；③數列通項公式與前n項和公式之間的關系；④求數列前n項和的基本方法。
【解答思路】根據數列｛｝的前n項和的性質，結合問題條件得到=2，判定數列｛-1｝是等比數列，求出數列｛-1｝的通項公式，從而得出數列｛｝的通項公式，就可求出的值。
【詳細解答】=2+1，=2（-）+1，=2-1， -1=2（-1），=2，當n=1時，==2+1，=-1；當n2時，=+=2+1，=-2，=+=-1-2=-3，-1=-3-1=-4，當n2時，數列｛-1｝是,以-4為首項，2為公比的等比數列，-1=-4=-，=-+1（n2），當n=1時，=-2+1=-1成立，數列｛｝ 的通項公式是=-+1=-+1=-63。
『思考問題3』
（1）【典例3】是與數列前n項和公式相關的問題，解答這類問題需要理解數列前n項和的定義，掌握求數列前n項和的基本方法；
（2）求數列前n項和問題涉及到幾種不同的類型，各種類型問題結構上具有一定的特征，解答方法也各不相同，在實際解答問題時，應該注意抓住問題的結構特征，采用恰當的方法快捷，準確地解答問題。
〔練習3〕解答下列問題：
1、數列｛｝滿足+= （n∈)，=2，若是數列｛｝的前n和，則為（ ）
A 5 B C D
2、數列｛｝的通項公式為= ，若前n項和為10，則項數為（ ）
A 11 B 99 C 120 D 121
3、已知=2-4+6-8+10-12+-----+2n，則++等于（ ）
A -10 B -2 C 0 D 12
4、已知數列｛｝的通項公式=2. +.（ln2-ln3）+.nln3的前n項和為，則= 。
【典例4】解答下列問題：
1、設等差數列｛｝滿足3=5，且>0，則前n項和中最大的是（ ）
A B C D
【解析】
【知識點】①等差數列前n項和公式的定義與性質；②等差數列通項公式的定義與性質；③等差數列的定義與性質；④求等差數列前n項和的基本方法。
【解答思路】設等差數列｛｝的公差為d，根據等差數列｛｝通項公式的性質，結合問題條件得到關于首項，公差d的等式，從而得出公差d關于首項的表示式，運用求等差數列前n項和的基本方法把表示成關于n的函數，利用函數求最值的基本方法求出的最大值就可得出選項。
【詳細解答】設等差數列｛｝的公差為d，=+7d，=+12d，3=5，
3+21d=5+60d, d=-，=n+(-)=（-+40n），當n=-=20時，取的最大值，C正確，選C。
2、已知等差數列｛｝的前n項和為，且=，=15，則=（ ）
A B 1 C D 2
【解析】
【知識點】①等差數列前n項和公式的定義與性質；②等差數列通項公式的定義與性質；③等差數列的定義與性質；④求等差數列通項公式的基本方法。
【解答思路】設等差數列｛｝的首項為，公差為d，根據等差數列｛｝通項公式和前n項和的性質，結合問題條件得到關于首項，公差d的方程組，求解方程組得出首項，公差d，運用求等差數列通項公式的基本方法把表示成關于n的式子，從而求出的值就可得出選項。
【詳細解答】設等差數列｛｝的首項為，公差為d，=+3d=，=10+45d=15，
=，d=-，=-（n-1）=-n+，=-7+=，A正確，選A。
3、設為等差數列｛｝的前n項和，且2+=+，則=（ ）
A 28 B 14 C 7 D 2
【解析】
【知識點】①等差數列前n項和公式的定義與性質；②等差數列通項公式的定義與性質；③等差數列的定義與性質；④求等差數列前n項和的基本方法。
【解答思路】設等差數列｛｝的首項為，公差為d，根據等差數列｛｝通項公式和前n項和的性質，結合問題條件得到關于首項，公差d的等式，求出首項關于公差d的式子，運用求等差數列前n項和的基本方法把表示成關于n的式子，從而求出的值就可得出選項。
【詳細解答】設等差數列｛｝的首項為，公差為d，=+4d，=+5d，=+
2d，2+=+，+4d+2=2+7d，+3d=2，=7+21d=7(+3d)=72=14，B正確，選B。
4、已知公差大于零的等差數列｛｝中，，，依次成等比數列，則的值是 ；
【解析】
【知識點】①等差數列前n項和公式的定義與性質；②等差數列通項公式的定義與性質；③等差數列的定義與性質；④求等差數列通項公式的基本方法。
【解答思路】設等差數列｛｝的首項為，公差為d，根據等差數列｛｝通項公式的性質，結合問題條件得到關于首項，公差d的等式，求出首項關于公差d的式子，運用求等差數列通項公式的基本方法把表示成關于n的式子，從而求出的值。
【詳細解答】設等差數列｛｝的首項為，公差為d，=+d，=+4d，=+11d，，，依次成等比數列，（+4d）=（+d）（+11d），5d-4d=0，d>0，=d，=d+(n-1)d=（n+）d，==。
5、（1）記為等差數列{ }的前n項和，0，=3，則= ；
（2）記為等差數列{ }的前n項和，若=5，=13，則= ；
【解析】
【知識點】①等差數列前n項和公式的定義與性質；②等差數列通項公式的定義與性質；③等差數列的定義與性質；④求等差數列前n項和的基本方法。
【解答思路】（1）設等差數列｛｝的公差為d，根據等差數列｛｝通項公式的性質，結合問題條件得到關于首項，公差d的等式，求出首項關于公差d的式子，運用求等差數列前n項和的基本方法把表示成關于n的式子，從而求出的值；（2）設等差數列｛｝的首項為，公差為d，根據等差數列｛｝通項公式的性質，結合問題條件得到關于首項，公差d的方程組，求解方程組的出首項，公差d的值，運用求等差數列前n項和的基本方法求出的值。
【詳細解答】（1）設等差數列｛｝的公差為d，=+d，0，=3，+d=
3，d=2，=n+.2=n，==4；（2）設等差數列｛｝的首項為，公差為d，=+2d=5，=+6d=13，=1，d=2，=101+
2=100。
『思考問題4』
（1）【典例4】是與等差數列相關的問題，解答這類問題需要理解等差數列的定義和性質，掌握求等差數列通項公式與前n項和的基本方法；
（2）解答等差數列問題的關鍵是由條件求出：①等差數列的首項；②等差數列的公差；
（3）求等差數列的首項，公差的基本思想是方程思想；其基本方法是：①根據條件列出關于首項，公差的方程（或方程組）；②求解方程（或方程組）；③運用求得的結果求問題的結果。
〔練習4〕解答下列問題：
1、記為等差數列{ }的前n項和，已知=0，=5，則（ ）
A =2n-5 B =3n-10 C =2-8n D =-2n
2、記為等差數列｛｝的前n項和，若3=+，=2，=（ ）
A -12 B -10 C 10 D 12
3、等差數列｛｝的公差為2，若，，成等比數列，則｛｝的前n項和為=（ ）
A n(n+1) B n(n-1) C D
4、設等差數列｛｝的前n項和為，若=20，=10，則=（ ）
A -32 B 12 C 16 D 32
5、設數列｛｝為等差數列，其前n項和為，已知++=99，++=93，若對任意n∈，都有成立，則k=（ ）
A 19 B 20 C 21 D 22
6、設等差數列｛｝為1，且，，成等比數列，則｛｝的前20項和為（ ）
A 230 B -230 C 210 D -210
7、設等差數列{ }的前n項和為，若=-3，=-10，則= ，的最小值為
；
8、設｛｝是等差數列，且=3，+=36，則｛｝的通項公式為 。
【典例5】解答下列問題：
1、已知等比數列｛｝的各項均為正數，若++------+=12，則=（ ）
A 1 B 3 C 6 D 9
【解析】
【知識點】①等比數列通項公式的定義與性質；②等比數列的定義與性質；③求等比數列通項公式的基本方法；④對數的定義與性質。
【解答思路】設等比數列｛｝的公比為q，根據等比數列｛｝通項公式的性質，結合問題條件得到關于首項，公比q的等式，求出首項關于公比q的式子，運用求等比數列通項公式的基本方法把表示成關于，q的式子，從而求出的值就可得出選項。
【詳細解答】設等比數列｛｝的公比為q，=，++------+
===12，=，=9，
==9，D正確，選D。
2、設數列｛｝是首項為m，公比為q（q 1）的等比數列，它的前n項和為，對任意的n∈，點（，）（ ）
A在直線mx+qy-q=0上 B在直線qx-my+m=0上C在直線qx+my-q=0上D不一定在一條直線上
【解析】
【知識點】①等比數列通項公式的定義與性質；②等比數列的定義與性質；③求等比數列通項公式的基本方法；④等比數列前n項和的定義與求法；⑤直線與點的位置關系。
【解答思路】根據等比數列｛｝通項公式的性質，前n項的求法，結合問題條件得到，，從而得出點（，）的坐標，運用判斷點與直線位置關系的基本方法就可得出選項。
【詳細解答】數列｛｝是首項為m，公比為q（q 1）的等比數列，=m，
==1+，點（，）為（m，1+）， qx-my+m=q. m-m（1+）+m=m-m-m+m=0，點（m，1+）在直線qx-my+m=0上，B正確，選B。
3、已知數列｛｝，｛｝均為等比數列，其前n項和分別為，，若對任意的n∈，都有= ，則=（ ）
A 81 B 9 C 729 D 730
【解析】
【知識點】①等比數列通項公式的定義與性質；②等比數列的定義與性質；③求等比數列通項公式的基本方法；④等比數列前n項和的定義與求法。
【解答思路】設等比數列｛｝，｛｝的首項分別為，，公比分別為，，根據等比數列｛｝通項公式的性質，前n項的求法，結合問題條件求出，，，的值，從而得出，，運用等比數列通項公式的性質求出的值就可得出選項。
【詳細解答】設等比數列｛｝，｛｝的首項分別為，，公比分別為，，前n項和，，對任意的n∈，都有= ，===1，=
==，===7，=，2=3+5，+=6+7+7，
=，=4，=1或=，=9，=4，=，=256或=9，=，
=256或=729，C正確，選C。
4、已知各項均為正數的等比數列{ }的前4項和為15，且=3+4，則=（ ）
A 16 B 8 C 4 D 2
【解析】
【知識點】①等比數列通項公式的定義與性質；②等比數列的定義與性質；③等比數列前n項和的定義與求法。
【解答思路】設等比數列｛｝的首項為，公比為q，根據等比數列｛｝通項公式的性質，前n項的求法，結合問題條件得到關于，q的方程組，解方程組求出，q的值，從而求出的值就可得出選項。
【詳細解答】設等比數列｛｝的首項為，公比為q，， （1+q++）=15，==3+4，q=2，=1或q=-2，=-3，數列{ }各項均為正數，q=2，=1，==4，C正確，選C。
2、（1）記為等比數列{ }的前n項和，若= ，=，則= ；
（2）記為等比數列{ }的前n項和，若=1，=，則= 。
【解析】
【知識點】①等比數列通項公式的定義與性質；②等比數列的定義與性質；③等比數列前n項和的定義與求法。
【解答思路】（1）設等比數列｛｝的公比為q，根據等比數列｛｝通項公式的性質，前n項的求法，結合問題條件得到關于，q的方程組，解方程組求出，q的值，從而求出的值；（2）設等比數列｛｝的公比為q，根據等比數列｛｝通項公式的性質，前n項的求法，結合問題條件得到關于，q的方程組，解方程組求出，q的值，從而求出的值.
【詳細解答】（1）設等比數列｛｝的公比為q，， = ，===，
= ，q=3， ==，（2）設等比數列｛｝的公比為q，， =1，=
1+q+=，=1，q=-，==。
『思考問題5』
（1）【典例5】是與等比數列相關的問題，解答這類問題需要理解等比數列的定義和性質，掌握求等比數列通項公式與前n項和的基本方法；
（2）解答等比數列問題的關鍵是由條件求出：①等比數列的首項；②等比數列的公比；
（3）求等比數列的首項，公比的基本思想是方程思想；其基本方法是：①根據條件列出關于首項，公比的方程（或方程組）；②求解方程（或方程組）；③運用求得的結果求問題的結果。
〔練習5〕解答下列問題：
1、“十二平均算”是通用的普算體系，明代朱載培最早用數學方法計算出半普比例，為這個理論的發展做出了重要貢獻，十二平均算將一個純八度普程分成十二份，依次得到十三個單普，從第二個單普起，每一個單普的頻率與它的前一個單普的頻率的比都等于，若第一個單普的頻率為f，則第八個單普的頻率為（ ）
f A f B f C f D f
2、設a，b，c，d是非零實數，則“ad=bc”是“a，b，c，d成等比數列”的（ ）
A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件
3、已知數列｛｝是首項為2018，公比為2018的等比數列，設數列｛｝的前n項和為，則...------.= ；
4、在等比數列｛｝中，＞0，若.=81，=1，則=（ ）
A 16 B 81 C 3 D 27
5、（1）已知等比數列{}為遞增數列，且=，2（+）=5，則數列{}的通項公式=（ ）
A B C D
（2）在正項數列{}中，若=1，且對所有n滿足n-（n+1）=0，則=（ ）
A 1013 B 1014 C 2016 D 2017
6、設1------，其中，，，成公比為q的等比數列，，，成公差為1的等差數列，則q的最小值是 。

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