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平面向量問題的類型與解法
大家知道，平面向量問題是近幾年高考的熱點(diǎn)問題之一，每年高考必有一個五分小題，有時在大題中也會涉及到平面向量的內(nèi)容。從題型上，以選擇題或填空題為主，難度系數(shù)為低檔或中檔，但近幾年有向高檔題目發(fā)展的趨勢。縱觀近幾年高考試題，歸結(jié)起來平面向量問題主要包括：①平面向量幾何運(yùn)算問題；②平面向量坐標(biāo)運(yùn)算問題；③平面向量數(shù)量積的問題等幾種類型。各種類型問題結(jié)構(gòu)上具有一定的特征，解答方法也各不相同。那么在實(shí)際解答平面向量問題時，到底應(yīng)該如何抓住問題的結(jié)構(gòu)特征，快捷，準(zhǔn)確地給予解答呢？下面通過典型例題的詳細(xì)解析，來回答這個問題。
【典例1】解答下列問題：
1、在ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則=（ ）
A - B - C + D +
【解析】
【知識點(diǎn)】①平面向量幾何運(yùn)算的法則與基本方法；②向量共線的充分必要條件；③三角形一邊上中線的定義與性質(zhì)。
【解題思路】運(yùn)用向量幾何運(yùn)算的基本方法和三角形一邊上中線的性質(zhì)，結(jié)合問題條件求出向量關(guān)于向量，的式子就可得出選項。 A
【詳細(xì)解答】如圖，ABC中，AD為BC 邊上的
中線，=-，=-=- E
=+， E為AD的中點(diǎn)， B D C
==+，=-=- -=- ,
A正確，選A。
2、如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是邊CD上靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn)， A D
連接BF交AC于點(diǎn)E，若=m+n（m，nR），則m+n E F
的值是（ ）
A - B C - D B C
【解析】
【知識點(diǎn)】①平面向量幾何運(yùn)算的法則與基本方法；②向量共線的充分必要條件；③正方形的定義與性質(zhì)；④方程組的定義與解法。
【解題思路】運(yùn)用正方形的性質(zhì)和向量幾何運(yùn)算的基本方法，結(jié)合問題條件把表示成，的式子，與已知式子比較得到關(guān)于m，n的方程組，求解方程組得出m，n的值就可求出m+n的值，從而得出選項。
【詳細(xì)解答】如圖， F是邊CD上靠近D點(diǎn)的三等分點(diǎn)，ABCD是正方形，=
-，==，=-=--=-，
A，E，C三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù)，使=，=-=--
=（1-）-，B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù)t，使=t，
（1-）-=t（-），（1--t）+（t-1）=0，1--t=0，
且t-1=0，=，t=，=-，=m+n，m=-1，n=，
m+n=-1+=-，C正確，選C。
3、如圖，在ABC中，已知=-，P為AD上一點(diǎn)，且滿足=m+，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）
A B C D
【解析】
【知識點(diǎn)】①平面向量幾何運(yùn)算的法則與基本方法；②向量共線的充分必要條件；③方程組的定義與解法。
【解題思路】運(yùn)用向量幾何運(yùn)算的基本方法，結(jié)合問題條件把表示成，的式子，與已知式子比較得到關(guān)于m，t的方程組，求解方程組得出m，t的值就可求出m的值，從而得出選項。
【詳細(xì)解答】如圖，=-=-， A
=-，=-，A，P， P
D三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù)t，使=t， B D C
-=t（-），=（1-t）+t=（1-t）+ t，=m+
，（1-t）=，且m=t，t=m=，B正確，選B。
4、已知P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，=2（+），記PBC的面積為，ABC的面積為，則= ；
【解析】
【知識點(diǎn)】①平面向量幾何運(yùn)算的法則與基本方法；②向量共線的充分必要條件；③三角形面積計算的基本方法；④相似三角形的定義與性質(zhì)；⑤三角形一邊上中線的定義與性質(zhì)。
【解題思路】運(yùn)用向量幾何運(yùn)算的基本方法，結(jié)合問題條件可知+是，得到+是連接AC，BC中點(diǎn)所在線段的向量，從而推出點(diǎn)P是連接AC，BC中點(diǎn)所在線段的中點(diǎn)，利用三角形一邊上中線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)求出就可得出選項。
【詳細(xì)解答】如圖，分別取AC，BC的中點(diǎn)D，E， A
連接DE，取DE的中點(diǎn)P，連接CP，延長PE到F，
使PE=EF，連接BF，CF，E是BC的中點(diǎn)， D
BE=CE，四邊形BPCF是平行四邊形， B E P C
=+，P是DE的中點(diǎn)，PE=EF， F
==，點(diǎn)P是滿足條件的點(diǎn)，=，CDECAB，=，
CP是CDE邊DE上的中線，===，同理可得
=， ==+=+=，=。
5、（1）已知G為ABC的重心，過點(diǎn)G的直線與邊AB，AC分別相交于P，Q，若=，則當(dāng)ABC與APQ的面積之比為時，實(shí)數(shù)的值為 ；
（2）已知G為ABC的重心，過點(diǎn)G的直線與邊AB，AC分別相交于P，Q，若= ，則ABC與APQ的面積之比為 。
【解析】
【知識點(diǎn)】①平面向量幾何運(yùn)算的法則與基本方法；②向量共線的充分必要條件；③三角形重心的定義與性質(zhì)；④三角形面積計算的基本方法。
【解題思路】（1）根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，求出，，由P、G、Q三點(diǎn)共線，求出的值（用含的式子表示），利用三角形面積計算的基本方法把，表示出來，結(jié)合=就可求出的值；（2）設(shè)=u，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，求出，，由P、G、Q三點(diǎn)共線求出u的值，利用三角形面積計算的基本方法把，表示出來，從而求出的值。
【詳細(xì)解答】（1）如圖，連接CG并延長交邊AB于點(diǎn)D，連接BG 并延長交邊AC于點(diǎn)E，
G是ABC的重心，=+=-+， A
==-+， =-=- D E
++（1-）=(-）+，設(shè) P G Q
=t，=+=-+t，P、G、Q B C
三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù)u，使=u-+t
=u[(-）+]，（-+u-u）+(t-u)=0 -+u-u=0，
u=， t-u=0，
t=，=||||sinA，=||||sinA=
||||sinA，==，9（）=20，20-27+9=0，=或=；（2）如圖，連接CG并延長交邊AB于點(diǎn)D，連接BG并延長交邊AC于點(diǎn)E，設(shè)=u，G是ABC的重心，=+=-+，==
-+，=-=- ++=-+，=
=+=-+t， P、G、Q三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù)t，使=t-
+t=t（-+），（-+t）+(u-t)=0-+t=0，且u-t=0，
t=，u=，=||||sinA，=||||sinA=
||||sinA，==。
『思考問題1』
（1）【典例1】是向量幾何運(yùn)算的問題，解答這類問題需要掌握向量幾何運(yùn)算的法則和運(yùn)算的基本方法，能夠靈活運(yùn)用平行四邊形法則和三角形法則，一般來說，兩個向量具有公共的始點(diǎn)時，選用平行四邊形法則；兩個向量如果一個向量的始點(diǎn)與另一個向量的終點(diǎn)重合時，選用三角形法則；
（2）用兩個不共線的已知向量來表示其他向量是用向量解題的基本要領(lǐng)，在實(shí)際解答問題時，應(yīng)該盡可能地把相關(guān)向量轉(zhuǎn)化到同一平行四邊形 或 同一三角形中去；
（3）注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用，在實(shí)際解答問題時，經(jīng)常運(yùn)用向量共線的充分必要條件和平面向量基本定理建立方程（或方程組），再通過解方程（或方程組）達(dá)到解答問題的目的。
〔練習(xí)1〕解答下列問題：
1、已知P為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，++=0，||=||=||=2，則PBC的面積等于（ ）
A 3 B 2 C D 4
2、設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，=3，則（ ）（2015全國高考新課標(biāo)I卷）
A =-+ B=-
C=+ D=-
3、設(shè)P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，+=2，則（ ）
A +=0 B +=0 C + =0 D ++=0
4、已知點(diǎn)O、N、P在所在的平面內(nèi)，且||=||=||，++=0，.=.=.,則點(diǎn)O、N、P依次是的（ ）
A 重心、外心、垂心 B重心、外心、內(nèi)心 C外心、重心、垂心 D外心、重心、內(nèi)心
5、如圖，在平行六面體ABCD—中，E為B與C的交點(diǎn)，記=，=，=，則=（ ）
A ++ B ++ C ++ D --
6、已知正方形ABCD的邊長為2，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，動點(diǎn)P滿足||=1，若=m+n，其中m，nR，則的最大值為 ；
7、在ABC中，點(diǎn)M、N滿足=2，=，若=x+y，則x=
，y= 。
【典例2】解答下列問題：
1、已知平面向量=（1，2），=（1，-1），則2+=（ ）
Ａ（3，0）　Ｂ（2，1）　Ｃ　（-3，3）　　Ｄ　　（3，3）
【解析】
【知識點(diǎn)】①平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則與基本方法；②平面向量坐標(biāo)的定義與表示方法。
【解題思路】運(yùn)用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則與基本方法，結(jié)合問題條件通過運(yùn)算就可得出選項。
【詳細(xì)解答】平面向量=（1，2），=（1，-1），2+=（2，4）+（1，-1）=
（3，3），D正確，選D。
2、已知向量=（，1），=（-3，），則向量在向量方向上的投影為（ ）
A - B C -1 D 1
【解析】
【知識點(diǎn)】①平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則與基本方法；②平面向量坐標(biāo)的定義與表示方法；③向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)；④向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的基本方法。
【解題思路】運(yùn)用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則與基本方法，結(jié)合問題條件通過運(yùn)算求出兩個向量的數(shù)量積與向量的模，利用向量數(shù)量積的性質(zhì)求出向量在向量方向上的投影就可得出選項。
【詳細(xì)解答】向量=（，1），=（-3，），.=-3+1=-3+
=-2，||==2，.=||.||cos<，>，||cos<，>==
=-，A正確，選A。
3、已知平面向量=（m+1，-2），=（-3，3），若//，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）
A 0 B -3 C 1 D -1
【解析】
【知識點(diǎn)】①平面向量平行的定義與性質(zhì)；②平面向量坐標(biāo)的定義與表示方法；③方程的定義與解法。
【解題思路】運(yùn)用平面向量平行的性質(zhì)，結(jié)合問題條件得到關(guān)于實(shí)數(shù)m的方程，求解方程求出實(shí)數(shù)m的值就可得出選項。
【詳細(xì)解答】平面向量=（m+1，-2），=（-3，3），且//，=，m
=1，C正確，選C。
4、已知向量=（1，2），=（2，-1），=（1，），若//(2+)，則= 。
【解析】
【知識點(diǎn)】①平面向量平行的定義與性質(zhì)；②平面向量坐標(biāo)的定義與表示方法；③平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法；④方程的定義與解法。
【解題思路】運(yùn)用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法，結(jié)合問題條件求出(2+)，根據(jù)斜率平行的性質(zhì)得到關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，求解方程就可求出實(shí)數(shù)的值。
【詳細(xì)解答】=（1，2），=（2，-1），2+=（2，4）+（2，-1）=（4，3），
=（1，），且//(2+)，=， =。
『思考問題2』
（1）【典例2】是向量坐標(biāo)運(yùn)算的問題，解答這類問題需要理解平面向量坐標(biāo)的定義，掌握向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法；
（2）向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要包括：①向量坐標(biāo)的加法運(yùn)算；②向量坐標(biāo)的減法運(yùn)算，③向量坐標(biāo)的數(shù)乘運(yùn)算；這三種運(yùn)算都可以直接運(yùn)用運(yùn)算法則進(jìn)行，同時注意坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算律的靈活運(yùn)用，對于綜合性問題解答時注重方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用。
〔練習(xí)2〕解答下列問題：
1、已知點(diǎn)A（2，-2），B（4，3），向量=（2k-1，7），若//，則k的值為（ ）
A - B C - D
2、已知，是兩個不共線的向量，=+，=+（，∈R），那么A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是（ ）
A +=2 B -=1 C =-1 D =1
3、若向量=（x+3，-3x-4）與相等，已知A（1，2），B（8，2），則x的值為（ ）
A -1 B -1或4 C 4 D 1或-4
4、已知向量=（2，1），=（3，4），=（k，2），若(3-)//，則實(shí)數(shù)k的值為（ ）
A -8 B -6 C -1 D 6
5、在平面直角坐標(biāo)系XOY中，已知點(diǎn)P在曲線：y=(x0)上，曲線與X軸相交于點(diǎn)B，與Y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D（2,1）和點(diǎn)E（1,0）滿足=+（，R），則+的最小值為 。
【典例2】解答下列問題：
1、已知非零向量，滿足||=2||，且（-），則與的夾角為（ ）
A B C D
【解析】
【知識點(diǎn)】①平面向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)；②平面向量數(shù)量積幾何運(yùn)算法則和基本方法。
【解題思路】運(yùn)用平面向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算的基本方法，結(jié)合問題條件得到含與的夾角余弦的方程，求解方程得出與夾角的余弦值，從而求出與的夾角。
【詳細(xì)解答】非零向量，滿足||=2||，且（-），（-）.= .-
.=||.||cos<，>-||=2|| cos<，>-||=||（2 cos<，>-1）=0，
||0，2 cos<，>-1=0， cos<，>=，<，>=，B正確，選B。
2、（1）已知=（2，3），=（3，t），| |=1，則.=（ ）
A -3 B -2 C 2 D 3
（2）已知向量=（2，3），=（3，2），則|-|=（ ）
A B 2 C 5 D 50
【解析】
【知識點(diǎn)】①平面向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)；②平面向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算法則和基本方法；③向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法；④向量模的定義與求法。
【解題思路】（1）運(yùn)用向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法，結(jié)合問題條件求出向量，從而求出t的值，根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，平面向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算法則和基本方法，結(jié)合問題條件通過運(yùn)算求出.就可得出選項；（2）運(yùn)用向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法，結(jié)合問題條件求出-，利用向量模的求法求出|-|就可得出選項。
【詳細(xì)解答】（1）=（2，3），=（3，t），=-=（3，t）-（2，3）=（1，t-3），| |==1，=1，t=3，=（1，0），
.=21+30=2，,C正確，選C；（2）向量=（2，3），=（3，2），
-=（2，3）-（3，2）=（-1，1），|-|==，A正確，選A。
3、（1）在平面直角坐標(biāo)系XOY中，已知點(diǎn)A（0，-2），N（1，0），若動點(diǎn)M滿足=，則.的取值范圍是（ ）
A [0，2] B [0，2] C [-2，2] D [-2，2]
（2）在平面直角坐標(biāo)系XOY中，點(diǎn)A（1，0），直線l：y=k(x-1)+2，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為B，則.的取值范圍是 。
【解析】
【知識點(diǎn)】①平面向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)；②平面向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算法則和基本方法；③向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法；④已知點(diǎn)關(guān)于已知直線對稱點(diǎn)的定義與求法；⑤基本不等式及運(yùn)用。
【解題思路】（1）設(shè)M（x，y），運(yùn)用向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法，結(jié)合問題條件得到關(guān)于x，y的等式，從而把y表示成關(guān)于x的式子，根據(jù)平面向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算法則和基本方法，結(jié)合問題條件通過運(yùn)算求出.關(guān)于x的函數(shù)，通過求函數(shù)值域的方法求出.的取值范圍就可得出選項；（2）設(shè)B（x，y），運(yùn)用已知點(diǎn)關(guān)于已知直線對稱點(diǎn)的求法，結(jié)合問題條件求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法，結(jié)合問題條件求出向量，，利用面向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算法則和基本方法得到.關(guān)于k的函數(shù)，通過求函數(shù)值域的方法就可求出.的取值范圍。
【詳細(xì)解答】（1）設(shè)M（x，y），==，=2（），=-+4y+4，=（x，y），=（1，0），.=x+0=x
==，-2.2，D正確，選D；（2）設(shè)B（x，y），點(diǎn)A（1，0），關(guān)于直線l：y=k(x-1)+2的對稱點(diǎn)為B，=k(-1)
+2，且=-，x=，y=，B（，），=（1，0），=（，），.=+0==1+=1+，①若
k>0，2=2，，1+1+=；②若k<0，=-（-k- ）-2=-2，-，1+1-=；③若k=0， B（1，4），=（1，4），.=1+0=1，綜上所述，.，即
.的取值范圍是[，]。
4、（1）已知，為單位向量，且.=0，若=2-，則cos<，>= ；
（2）已知向量=（2，2），=（-3，6），則cos<，>= 。
【解析】
【知識點(diǎn)】①平面向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)；②平面向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算法則和基本方法；③單位向量的定義與性質(zhì)。
【解題思路】（1）運(yùn)用單位向量的性質(zhì)，向量數(shù)量積運(yùn)算的法則和基本方法，結(jié)合問題條件求出.的值，利用平面向量數(shù)量積幾何運(yùn)算公式，結(jié)合問題條件通過運(yùn)算就可求出cos<，>的值；（2）運(yùn)用向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法，結(jié)合問題條件求出.，||，||的值，根據(jù)向量數(shù)量積幾何運(yùn)算公式，結(jié)合問題條件通過運(yùn)算就可求出cos<，>的值。
【詳細(xì)解答】（1），為單位向量，.=0，=2-，||=||=1，.=.（2-）=2.-.=2||-0=2，||=|2-|=
==3，.=||.|| cos<，>， cos<，>= = = ；
（2）向量=（2，2），=（-3，6），.=2（-3）+26=-6+12=6， ||==2，||==3，.=||.|| cos<，>，cos<，>==
=。
5、已知向量=（-4，3），=（6，m），且，則m= ；
【解析】
【知識點(diǎn)】①平面向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)；②平面向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算法則和基本方法。
【解題思路】運(yùn)用平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，坐標(biāo)運(yùn)算的法則和基本方法，結(jié)合問題條件得到關(guān)于實(shí)數(shù)m的方程，求解方程就可得出實(shí)數(shù)m的值。
【詳細(xì)解答】向量=（-4，3），=（6，m），且，.=-46+3m=-24+3m=0，
m=8。
6、已知，是夾角為的兩個單位向量，=-2，=k+，若.=0，則k的值為 。
【解析】
【知識點(diǎn)】①平面向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)；②平面向量數(shù)量積幾何運(yùn)算法則和基本方法，③單位向量的定義與性質(zhì)。
【解題思路】運(yùn)用平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，幾何運(yùn)算的法則和基本方法，單位向量的性質(zhì)，結(jié)合問題條件得到關(guān)于實(shí)數(shù)k的方程，求解方程就可得出實(shí)數(shù)k的值。
【詳細(xì)解答】，是夾角為的兩個單位向量，=-2，=k+，.=
k.+.-2k.-2.=k+(1-2k) (-)-2=k-+k-2=2k-=0，k=。
『思考問題3』
（1）【典例3】是向量數(shù)量積的問題，解答這類問題需要理解平面向量數(shù)量積的定義，掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，運(yùn)算的法則和基本方法；平面向量數(shù)量積包括：①平面向量數(shù)量積的幾何運(yùn)算；②平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)；
（2）平面向量數(shù)量積幾何運(yùn)算的基本方法是：①若已知向量的模和夾角，則直接運(yùn)用公式.=||||cos〈，〉計算；②運(yùn)用向量數(shù)量積的幾何意義求解；
（3）已知向量=，=，求向量數(shù)量積直接運(yùn)用公式.=求解；
已知向量=，求向量的模一般運(yùn)用公式.=||=+，||=求解，尤其是求幾個向量的和或差的模時需要靈活運(yùn)用公式；
（4）求與的夾角常用公式cos= 求解，基本方法是：①求出.及||||或得出它們之間的關(guān)系，②根據(jù)三角函數(shù)的相關(guān)知識得出結(jié)果(注意兩向量夾角的取值范圍)。
〔練習(xí)3〕解答下列問題：
1、已知平面向量=（1，1），=（t+1，1），若⊥，則實(shí)數(shù)t的值為（ ）
A -2 B 0 C 2 D -1
2、已知是邊長為2的等邊三角形，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，則.(+)的最小值是（ ）
A -2 B - C - D -1
3、已知向量，滿足||=1，.=-1，.（2-）=（ ）
A 4 B 3 C 2 D 0
4、（1）設(shè)，均為單位向量，則“|-3|=|+3|”是“⊥”的（ ）
A 充分而不必要條件B 必要而不充分條件C 充分必要條件D 既不充分也不必要條件
（2）設(shè)向量=（1，0），=（-1，m），若⊥（m-），則m= 。
5、在平面直角坐標(biāo)系XOY中，已知=（1,0），=（0，b）（b R），若=
2+，點(diǎn)M滿足=（R），且||.||=36，則.的最大值為 ；
6、（1）已知向量，的夾角為，||=2，||=1，則|+2|= ；
（2）已知向量=（-1，2），=（m，1），若向量+與垂直，則m= 。

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