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第2章 不等式
考點解讀

1.不等式的性質(zhì)
（1）實數(shù)的大小比較與實數(shù)運算性質(zhì)之間的關(guān)系
；；
（2）不等式的基本性質(zhì)
性質(zhì)1.（傳遞性）如果，那么
性質(zhì)2.（加法性質(zhì)）如果，那么
性質(zhì)3.（乘法性質(zhì)）如果，，那么；如果，那么
（3）從不等式的基本性質(zhì)出發(fā)，還可以得到哪些有用的推論？
推論1. ； 推論2.
推論3. ； 推論4.
推論5. ； 推論6.
推論7.
（4）如何比較不等式的大小？
①作差法 ②作商法


2. 解不等式
（1）一元一次不等式的解集的討論：
2.不等式的性質(zhì)
（1）不等式的解集：
當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；
當(dāng)且時，解集為；當(dāng)且時，解集為.
（2）一元二次不等式的解集的討論：
一元二次不等式解集如表所示：（當(dāng)方程方程的兩個不相等的實根時，不妨設(shè)為，且）

判別式
的圖像
的根 有兩相異實根 有兩相等實根 沒有實根
的解集
的解集













（3）分式不等式的解法
同解變形法（分式不等式整式不等式一次、二次不等式）
①同解；
②與不等式組同解.
（4）一元高次不等式的解法——標(biāo)根法
其步驟是：（1）分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正；（2）將每一個一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集.
若，則不等式或的解法如下圖（即“數(shù)軸標(biāo)根法”）：



（5）絕對值不等式的解法
方法一：應(yīng)用分類討論思想去絕對值（最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集）；
方法二：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想；
方法三：應(yīng)用化歸思想等價轉(zhuǎn)化.
①最簡單的絕對值不等式的同解變形
；；
或； 或.
②關(guān)于絕對值不等式的常見類型有下列的同解變形
；
或；
.


（5）含參不等式的解法
求解的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵．”



3.常用的基本不等式
（1）如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立）；
（2）如果，那么≥（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立）.



4.不等式的證明
（1）比較法
①作差比較法
A.理論依據(jù)



B.證明步驟：
I:作差：對要比較大小的兩個數(shù)（或式）作差；
II：變形：對差進行因式分解或配方成幾個數(shù)（或式）的完全平方和；
III：判斷：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號.





②作商比較法
A.理論依據(jù)
當(dāng)時, .
B.證明步驟：I:判斷（判斷能否作商）；II：作商；III：變形；IV: 下結(jié)論.
（2）綜合法
證題時，從已知條件入手，經(jīng)過逐步的邏輯推導(dǎo)，運用已知的定義、定理、公式等，最終達到要證結(jié)論，這是一種常用的方法（由因?qū)Ч?
（3）分析法
從要證明的結(jié)論出發(fā)，一步一步地推導(dǎo)，最后達到命題的已知條件（可明顯成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推導(dǎo)過程都必須可逆（執(zhí)果索因）.
























【總結(jié)】
不等式證明的常用方法：
（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；
（2）作商（常用于分數(shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；
（7）尋找中間量或放縮法 ；
（8）圖象法.
其中比較法（作差、作商）是最基本的方法.


【總結(jié)】
1、一元二次方程、一元二次不等式、二次函數(shù)間的聯(lián)系：
一元二次方程的兩個根即為一元二次不等式的解集的端點值，也是二次函數(shù)的圖象與軸的交點的橫坐標(biāo).
2、解一元二次不等式的步驟：
（1）化標(biāo)準(zhǔn)：將不等式化成標(biāo)準(zhǔn)形式（右邊為0、最高次的系數(shù)為正）；
（2）考慮判別式：計算判別式的值，若值為正，則求出相應(yīng)方程的兩根；
（3）下結(jié)論：注意結(jié)果要寫成集合或者區(qū)間的形式 .
記憶口訣： 大于取兩邊，小于取中間（前提）.

【拓展】一元二次方程根的分布理論：
1、方程在上有實數(shù)解，首先要討論最高次項系數(shù)是否為0，其次，若，則一定有．
2、方程在上有兩根充要條件是；在上有兩根的充要條件是；在和上各有一根的充要條件分別是： .
若在閉區(qū)間討論方程有實數(shù)解的情況，可先利用在開區(qū)間上實根分布的情況，得出結(jié)果，再令和檢查端點的情況．當(dāng)然也可以利用參變分離結(jié)合函數(shù)圖像來做.







【提醒】
標(biāo)根法主要用于簡單的一元高次不等式題型，因為上海高考不作要求，可以簡單的了解.

【拓展】不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題：
（1）恒成立問題
若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上；
若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上.
補充：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式：常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法.
（2）能成立問題
若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上；
若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上.
（3）恰成立問題
若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價于不等式的解集為；
若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價于不等式的解集為.








【注意】
1、解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是…” ；
2、按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集；
3、解含有參數(shù)的不等式要注意對字母參數(shù)的討論，如果遇到下述情況則一般需要討論：
①不等式兩端乘除一個含參數(shù)的式子時，則需討論這個式子的正、負、零性；
②在求解過程中，需要使用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，則需對它們的底數(shù)進行討論；
③在解含有字母的一元二次不等式時，需要考慮相應(yīng)的二次函數(shù)的開口方向，對應(yīng)的一元二次方程根的狀況（有時要分析），比較兩個根的大小,設(shè)根為（或更多）但含參數(shù)，要分、、討論.



【提醒】
基本不等式可以用來求最值，但要注意條件的滿足：一正、二定、三相等；
如：若變數(shù)，則若（常數(shù)），則當(dāng)且僅當(dāng)時，有最小值；
若（常數(shù)），當(dāng)且僅當(dāng)時，有最大值.


【拓展】
常用不等式有：
（1）當(dāng)為正數(shù)時, EMBED Equation.DSMT4 （當(dāng)且僅當(dāng)時取“”號），即平方平均數(shù)≥算術(shù)平均數(shù)≥幾何平均數(shù)≥調(diào)和平均數(shù)；
（2）糖水不等式：若，則（糖水的濃度問題）；
（3）絕對值不等式：


【注意】
若兩個正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小.


【注意】
（1）在具體處理問題時，常常是先用分析法分析，再用綜合法證明，兩種方法結(jié)合使用；
（2）如果采用分析法證明時，要注意書寫的要求.
分析法可以敘述為：
欲證結(jié)論，需先證得，
欲要證得，需先證得，
欲要證得，需先證得，
……………………………，
欲要證得，需先證得.
當(dāng)成立時，若以上步步可逆，則結(jié)論成立.






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