資源簡介

初中數學知識寶典
知識歸納

第1章　數與式
第1節　實　數

知識點 內容
實數的分類 按定義分按正負分
數軸 (1)三要素：原點、正方向和單位長度；(2)特征：數軸上表示的實數，右邊的數總比左邊的數大(右大左小)
相反數 (1)只有符號不同的兩個數互為相反數(a的相反數是－a，0的相反數是0)；(2)a，b互為相反數 a＋b＝0；(3)在數軸上，表示互為相反數(0除外)的兩個點，位于原點的兩側，且到原點的距離相等
絕對值 (1)幾何意義：一個數在數軸上對應的點到原點的距離；(2)|a|＝　(3)|a|≥0
倒數 (1)a與(a≠0)互為倒數；0沒有倒數；(2)a，b互為倒數 ab＝1
實數的大小比較 (1)數軸上表示的實數，右邊的數總比左邊的數大；(2)正數都大于0，負數都小于0，正數大于負數；(3)兩個正數比較大小，絕對值大的數大；兩個負數比較大小，絕對值大的數反而小；(4)比較無理數的方法：①估算法；②平方法；③作差法等
實數的運算法則
實數的加法 (1)同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；(2)異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；(3)互為相反數的兩個數相加得0；一個數同0相加，仍得這個數(4)加法交換律：a＋b＝b＋a；加法結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
實數的減法 減去一個數，等于加上這個數的相反數
實數的乘除法 (1)兩數相乘除，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘除；(2)除以一個數(不等于0)，等于乘這個數的倒數(3)任何數與0相乘，積為0；0除以任何一個不等于0的數都得0(4)乘法交換律：a×b＝b×a；乘法結合律：(a ×b)×c＝a×(b×c)；分配律：a×(b＋c)＝a×b＋a×c
實數的乘方 (1)a×a×…×a n個a＝an；(2)正數的任何次冪都是正數；負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數；(3)任何數a的偶次冪均為非負數
實數的混合運算順序 (1)先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減．如果遇到括號，則先進行括號里的運算；(2)同級運算，應從左到右進行運算
第2節　代數式、整式與因式分解
知識點 內容
代數式 由數、表示數的字母和運算符號(加、減、乘、除、乘方和開方)組成的數學表達式稱為代數式
整式的概念
單項式 由數與字母或字母與字母相乘組成的代數式叫做單項式；單獨的一個數或一個字母也叫單項式
多項式 由幾個單項式相加組成的代數式叫做多項式
同類項 多項式中，所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項
整式的運算法則
合并同類項法則 把同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不變
去括號法則 (1)括號前是“＋”號，把括號和它前面的“＋”號去掉，括號里各項都不變號；(2)括號前是“－”號，把括號和它前面的“－”號去掉，括號里各項都改變符號
冪的運算
同底數冪的乘法法則 am·an＝am＋n (m，n都是正整數)
冪的乘方法則 (am)n＝amn(m，n都是正整數)
積的乘方法則 (ab)n＝anbn(n是正整數)
同底數冪的除法 am÷an＝am－n (a≠0，m，n為整數)
零指數冪 a0＝1(a≠0)
負整數指數冪 a－p＝(a≠0，p是正整數)
整式的加減 先去括號，再合并同類項
整式的乘法
單項式×單項式 (1)系數相乘；(2)同底數冪相乘；(3)其余字母連同它的指數不變，作為積的因式
單項式×多項式 m(a＋b)＝ma＋mb
多項式×多項式 (a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn
乘法公式
平方差公式 (a＋b)(a－b)＝a2－b2
完全平方公式 (a±b)2＝a2±2ab＋b2
整式的除法
單項式÷單項式 (1)系數相除；(2)同底數冪相除；(3)只在被除式里含有的字母，連同它的指數作為商的一個因式
多項式÷單項式 (a＋b＋c)÷m＝a÷m＋b÷m＋c÷m(m≠0)
因式分解
定義 把一個多項式化成幾個整式的積的形式
常用方法 (1)提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)；(2)公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；a2±2ab＋b2＝(a±b)2
注意 (1)因式分解要分解到最后結果不能再分解為止；(2)因式分解與整式的乘法互為逆變形
第3節　分　式
知識點 內容
分式
概念 形如(A，B都是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式；分子和分母沒有公因式的分式叫做最簡分式
注意 (1)當B＝0時，分式無意義；　(2)當B≠0時，分式有意義；(3)當A＝0，且B≠0時，分式＝0
分式的基本性質
基本性質 (1)＝(M≠0)；(2)＝(M≠0)
變號法則 (1)＝＝；(2)－＝＝
分式的約分和通分 (1)約分(可化簡分式)：＝；(2)通分(可化為同分母)：，?，注意：通分的關鍵是確定各個分式的最簡公分母，約分的關鍵是確定分式的分子、分母的最大公因式
分式的運算
加減法 (1)同分母時，±＝；(2)異分母時，±＝
乘除法和乘方 (1)乘法：·＝；(2)除法：÷＝；(3)乘方：＝(n為正整數)
分式的混合運算 (1)首先觀察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解因式后約分；(2)注意運算順序和運算律的合理應用．一般先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減；若有括號，先算括號里面的；同級運算要從左往右運算
第4節　二次根式
知識點 內容
平方根 如果x的平方等于a，那么x就是a的平方根
算術平方根 正數的正平方根叫做它的算術平方根，0的算術平方根是0
立方根 如果x的立方等于a，那么x就是a的立方根
二次根式
概念 形如(a≥0)的式子叫做二次根式
非負性 (1)被開方數是非負數，即a≥0；(2)二次根式的值是非負數，即≥0
最簡二次根式 (1)被開方數的因數是整數，因式是整式；(2)被開方數中不含開得盡方的因數或因式
性質 (1)()2＝a(a≥0)；(2)＝|a|＝(3)＝×(a≥0，b≥0)；(4)＝(a≥0，b＞0)
二次根式的運算
加減法 先化為最簡二次根式，再合并同類二次根式
乘除法 (1)×＝(a≥0，b≥0)；(2)＝(a≥0，b＞0)
混合運算 運算順序與有理數的運算順序相同



第2講　方程與不等式
第1節　一元一次方程和二元一次方程組
知識點 內容
等式的基本性質 性質1：若a＝b，則a±c＝b±c；性質2：若a＝b，則ac＝bc或＝(c≠0)
一元一次方程 解一元一次方程的一般步驟：去分母；(2)去括號；(3)移項；(4)合并同類項；(5)系數化為1
二元一次方程(組) 常用解法：(1)代入消元法； (2)加減消元法
方程(組)的實際應用 列方程(組)解應用題的一般步驟：審題；設未知數；列方程(組)；解方程(組)；檢驗；(6)作答
第2節　分式方程
知識點 內容
分式方程的解法 一般步驟：去分母，將分式方程化為整式方程；解所得的整式方程；驗根；(4)結論
分式方程的實際應用 列分式方程解實際問題的一般步驟：審題；設未知數；列分式方程；解分式方程；檢驗：①檢驗所求未知數的值是不是所列分式方程的解；②檢驗所求未知數的值是否符合題目的實際意義；(6)作答
第3節　一元二次方程
知識點 內容
一元二次方程
解法 開平方法； (2)配方法；(3)公式法； (4)因式分解法
求根公式 x＝
根的判別式 Δ＝b2－4ac
根的判別 式與方程的根之間的關系 (1)Δ＝b2－4ac>0 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個不相等的實數根；(2)Δ＝b2－4ac＝0 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個相等的實數根；(3)Δ＝b2－4ac<0 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實數根
根與系數的關系 若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個根，則有x1＋x2＝－，x1·x2＝
實際應用 列一元二次方程解應用題的一般步驟：審題；(2)設未知數；(3)列一元二次方程；(4)解方程(組)；(5)檢驗；(6)作答



第4節　不等式與不等式組
知識點 內容
不等式的基本性質 性質1：a＜b，b＜c則a＜c；性質2：a＞b則a±c＞b±c；a＜b則a±c＜b±c；性質3：a＞b，且c＞0則ac>bc，>；
一元一次不等式 內容
定義 不等號的兩邊都是整式，而且只含有一個未知數，未知數的最高次數是二次的不等式
解集 能使不等式成立的未知數的值的全體
解法 一般步驟：(1)去分母；(2)去括號；(3)移項；(4)合并同類項；(5)系數化為1
一元一次不等式組
定義 一般地，由幾個含同一未知數的一元二次不等式所組成的一組不等式
解集 組成不等式組的各個不等式的解的公共部分就是這個一元一次不等式組的解集
常見不等式組的解集
不等式組(a＜b) 解集 數軸表示 口訣
x≥ax≥b x≥b 大大取大
x≤ax≤b x≤a 小小取小
x≥ax≤b a≤x≤b 大小小大中間找
x≤ax≥b 無解 大大小小取不了
不等式(組)的實際應用 列不等式(組)解實際問題的一般步驟：審、設、找、列、解、驗
第3講　函數及其圖象

第1節　函數與平面直角坐標系
知識點 內容
平面直角坐標系
定義 在平面內有公共原點且互相垂直的兩條數軸構成平面直角坐標系
幾何意義 坐標平面內任意一點M與有序實數對(x，y)是一一對應的
各象限內點的坐標特征
坐標軸上的點的特征 (1)P(x，y)在橫軸上 y＝0；(2)P(x，y)在縱軸上 x＝0；(3)P(x，y)既在橫軸上，又在縱軸上 x＝0，y＝0
點到坐標軸的距離 點M(a，b)到x軸的距離為|b|，到y軸的距離為|a|
點與點之間的距離 點M1(x1，y)，M2(x2，y)之間的距離為|x1－x2|；點M1(x，y1)，M2(x，y2)之間的距離為|y1－y2|
坐標平面內點的平移規律 (1)點M(a，b)沿x軸正方向平移n個單位得到點M1(a＋n，b)，沿x軸負方向平移n個單位得到點M2(a－n，b)；(2)點M(a，b)沿y軸正方向平移n個單位得到點M1(a，b＋n)，沿y軸負方向平移n個單位得到點M2(a，b－n)
平面直角坐標系
點的對稱點坐標 (1)點P(x，y)關于x軸對稱的點P1的坐標為(x，－y)；(2)點P(x，y)關于y軸對稱的點P2的坐標為(－x，y)；(3)點P(x，y)關于原點對稱的點P3的坐標為(－x，－y)
函數
常量、變量 在一個過程中，固定不變的量稱為常量；可以取不同數值的量稱為變量
概念 在某個變化過程中，設有兩個變量x，y，如果對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值，那么就說y是x的函數，x叫做自變量
函數
自變量的取值范圍 (1)使函數關系式有意義的自變量的取值的全體；(2)一般原則：整式為全體實數；分式的分母不為零；開偶次方的被開方數為非負數；使實際問題有意義
表示法 解析法、列表法、圖象法
第2節　一次函數
知識點 內容
一次函數的概念 一般地，函數y＝kx＋b(k，b都是常數，且k≠0)叫做一次函數．特別地，當b＝0時，一次函數y＝kx＋b就成為y＝kx(k為常數， k≠0)，叫正比例函數
一次函數的圖象及性質
k，b的符號 圖象 經過象限 圖象走勢 y隨x的變化情況
k＞0
b>0 經過第一、二、三象限 圖象從左到右上升 y隨x的增大而增大
b＝0 經過第一、三象限
b＜0 經過第一、三、四象限
k＜0
b＞0 經過第一、二、四象限 圖象從左到右下降 y隨x的增大而減小
b＝0 經過第二、四象限
b＜0 經過第二、三 、四象限
一次函數的圖象與坐標軸的交點坐標 (1)交點坐標：一次函數y＝kx＋b(k≠0)的圖象與x軸的交點是，與y軸的交點是(0，b)；(2)正比例函數y＝kx(k≠0)的圖象恒過點(0，0)
確定一次函數表達式的條件 一次函數需要兩個點的坐標；正比例函數需要一個點的坐標(除原點外)
待定系數法確定一次函數的表達式 (1)設：設函數表達式為y＝kx＋b(k≠0)；(2)代：將已知點的坐標代入函數表達式；(3)解：解方程或方程組，求出k與b的值，得到函數表達式
一次函數與二元一次方程組的關系 二元一次方程組的解為兩個一次函數圖象的交點的橫、縱坐標
一次函數與一元一次不等式的關系 (1)y＝kx＋b(k>0)，x＞－，y＞0；x＜－，y＜0；(2)y＝kx＋b(k<0)，x＜－，y>0；x＞－，y＜0
第3節　反比例函數
知識點 內容
反比例函數的概念 (1)形如y＝(k為常數，且k≠0)的函數稱為反比例函數，其中x是自變量，y是關于x的函數，自變量x的取值不能為0；(2)另外兩種形式為y＝k－1x(k≠0)和k＝xy(k≠0)
反比例函數的圖象和性質
k的符號 圖象 經過象限 y隨x變化的情況
k>0 圖象經過第一、三象限 在每個象限內，函數值y隨x的增大而減小
k<0 圖象經過第二、四象限 在每個象限內，函數值y隨x的增大而增大
反比例函數的圖象特征 (1)圖象是由兩個分支組成的曲線，叫做雙曲線；(2)圖象的兩個分支都無限接近x軸和y軸，但都不會與x軸和y軸相交；(3)圖象關于直角坐標系的原點成中心對稱
待定系數法確定反比例函數的表達式 只需要知道雙曲線上任意一點的坐標，設出函數的表達式，代入點的坐標求出反比例函數系數k即可
反比例函數系數k的幾何意義 從反比例函數y＝(k≠0)圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為|k|




第4節　二次函數
知識點 內容
二次函數的定義 形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數，a≠0)的函數叫做二次函數
二次函數的圖象和性質
圖象
開口 向上(a>0) 向下(a<0)
對稱軸 直線x＝－ 直線x＝－
頂點坐標
增減性 當x>－時，y隨x的增大而增大；當x＜－時，y隨x的增大而減小 當x>－時，y隨x的增大而減小；當x＜－時，y隨x的增大而增大
最值 有最小值，y最小＝ 有最大值，y最大＝
系數a，b，c和圖象的關系
a a的符號決定拋物線的開口方向 當a＞0時，拋物線開口向上；當a＜0時，拋物線開口向下
b a，b的符號共同決定對稱軸的位置 當a，b同號時，對稱軸在y軸左邊；當a，b異號時，對稱軸在y軸右邊；當b＝0時，對稱軸為y軸
c c的符號決定拋物線與y軸的交點在正半軸或負半軸或原點 當c＞0時，拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸上；當c＝0時，拋物線經過原點；當c＜0時，拋物線與y軸的交點y軸的負半軸上
拋物線與x軸的交點的個數 Δ＝b2－4ac＞0，有兩個交點；Δ＝b2－4ac＝0，有一個交點；Δ＝b2－4ac＜0，沒有交點
用待定系數法求二次函數的表達式 (1)已知拋物線上的三點，選一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0); (2)已知頂點或對稱軸、最大(小)值，選頂點式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)； (3)已知拋物線與x軸的兩個交點，選交點式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
二次函數的平移與表達式的關系 y＝ax2的圖象y＝a(x－h)2的圖象y＝a(x－h)2＋k的圖象
二次函數的綜合運用 (1)從實際問題中抽象出二次函數，并能利用二次函數的最值公式解決實際問題中的最值問題；(2)二次函數綜合幾何圖形，要充分抓住幾何圖形的特點并結合二次函數圖 象的特點才能有效解決問題．二次函數綜合動點問題，要弄清楚在動的過程中，什么變了，什么沒變，動中求靜才能有效解決問題
第4講　圖形的認識
知識點 內容
線
直線的基本事實 兩點確定一條直線
線段的基本事實 兩點之間線段最短
角
余角的概念 ∠1＋∠2＝90° 則∠1與∠2互為余角
補角的概念 ∠1＋∠2＝180°則∠1與∠2互為補角
余角和補角的性質 同角或等角的余角相等；同角或等角的補角相等
對頂角的概念 兩條直線相交后所得的只有一個公共頂點而沒有公共邊的兩個角叫做對頂角
對頂角的性質 對頂角相等
相交線
垂線的概念 兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線
垂線的性質 性質1：在同一平面內，過一點有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線；性質2：連結直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短
點到直線的距離 從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離
平行線的性質與判定
平行線的性質與判定之間的關系 (1)同位角相等，兩直線平行?兩直線平行，同位角相等；(2)內錯角相等，兩直線平行?兩直線平行，內錯角相等；(3)同旁內角互補，兩直線平行?兩直線平行，同旁內角互補
注意 (1)在同一平面內，不重合的兩條直線的位置關系只有兩種：相交或平行；(2)平行于同一條直線的兩直線平行；(3)在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行
平行線的性質與判定
平行線的基本事實 經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行
平行線的性質定理及推論 (1)夾在兩條平行線間的平行線段相等；(2)夾在兩條平行線間的垂線段相等
平行線之間的距離 兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離
命題、定理、證明
命題的結構 (1)條件；(2)結論
真假命題 正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題
逆命題 在兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題；如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題；每個命題都有它的逆命題，但每個真(假)命題的逆命題不一定是真(假)命題
定理 用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理
逆定理 如果一個定理的逆命題被證明是真命題，那么就叫它是原定理的逆定理，這兩個定理叫做互逆定理
平行線的性質與判定
證明 要判定一個命題是真命題，往往需要從命題的條件出發，根據已知條件的定義、基本事實、定理(包括推論)，一步一步推得結論成立，這樣的推理過程叫做證明
反證法 在證明一個命題時，先假設命題不成立，再從這樣的假設出發，經過推理得出和已知條件矛盾，或者與定義、基本事實、定理等矛盾，從而得出假設命題不成立是錯誤的，即所求證的命題正確的證明方法
第5講　三角形
第1節　三角形
知識點 內容
三角形的穩定性 三角形三提哦啊變的長度確定時，三角形的形狀、大小完全被確定
三角形的三邊的關系 三角形任何兩邊的和大于第三邊，任何兩邊的差小于第三邊
三角形的內角 三角形三個內角的和等于180°
三角形內角和的推論 三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和
三角形中的重要線段 (1)三角形的角平分線(角平分線的性質)；(2)三角形的中線(將三角形的面積等分)；(3)三角形的高(鈍角三角形高的尺規作圖)
三角形的外心 三角形的三個頂點確定的圓叫做外接圓，其圓心是三角形三邊的垂直平分線的交點，這個交點叫做三角形的外心
三角形的內心 和三角形的三邊都相切的圓叫做內切圓，其圓心是三角形三條角平分線的交點，這個交點叫做三角形的內心
三角形的重心 三角形的重心是三角形三條中線的交點；三角形的重心分每一條中線成1∶2的兩條線段
三角形全等
概念 能夠重合的兩個三角形叫做全等三角形
性質 (1)全等三角形的對應邊、對應角相等；(2)全等三角形的對應角平分線、對應中線、對應高相等；(3)全等三角形的周長和面積都相等
判定 (1)SSS：三邊對應相等的兩個三角形全等；(2)SAS：兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等；(3)ASA：兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等；(4)AAS：兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等；(5)HL：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等
注意 AAA和SSA不能判定兩個三角形全等
三角形的中位線 三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半





第2節　等腰三角形與直角三角形
知識點 內容
等腰三角形
性質 (1)等腰三角形的兩個底角相等，即“在同一個三角形中，等邊對等角”；(2)三線合一：等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線和高線互相重合；(3)對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形，它的對稱軸是底邊上的高(底邊上的中線或頂角的平分線)所在的直線
判定 (1)如果一個三角形的兩條邊相等，那么這個三角形是等腰三角形；(2)如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形，即“在同一個三角形中，等角對等邊”
等邊三角形
性質 (1)等邊三角形的三條邊相等；(2)等邊三角形的各個內角都等于60°；(3)對稱性：等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸
判定 (1)三條邊都相等的三角形是等邊三角形；(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形；(3)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形
線段的垂直平分線
性質 線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等
性質定理的逆定理 到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上
角的平分線
性質 角平分線上的點到角兩邊的距離相等
性質定理的逆定理 角的內部到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上
直角三角形
性質 (1)直角三角形的兩個銳角互余；(2)直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊長的一半；(3)在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半
判定 (1)有一個角是直角的三角形是直角三角形；(2)有兩個角互余的三角形是直角三角形；(3)勾股定理的逆定理；(4)如果三角形一條邊的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形
勾股定理及其逆定理
勾股定理 直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方
勾股定理的逆定理 如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形



第6講 邊形與多邊形
第1節　多邊形與平行四邊形
知識點 內容
多邊形
概念 在同一平面內，由任意兩條都不在同一條直線上的若干條線段(線段的條數不小于3)首尾順次相接形成的圖形叫做多邊形
對角線 (1)從n邊形的一個頂點可以引(n－3)條對角線，并且這些對角線把多邊形分成了(n－2)個三角形；(2)n邊形對角線的條數為
內角和定理 n邊形的內角和為(n－2)×180°(n≥3)
外角和 任何多邊形的外角和都為360°
正多邊形 (1)各邊相等，各角相等的多邊形叫做正多邊形(2)中心：即一個正多邊形的外接圓的圓心(3)半徑：即正多邊形的外接圓的半徑(4)中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角(5)邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離(6)正n邊形的每個內角為
平行四邊形
性質 (1)對邊相等，對邊平行(邊)；(2)對角相等，鄰角互補(角)；(3)對角線互相平分(對角線)；(4)中心對稱(對稱性)
判定 (1)兩組對邊分別平行的四邊形；(2)一組對邊平行并且相等的四邊形；(3)兩組對邊分別相等的四邊形；(4)兩組對角分別相等的四邊形；(5)對角線互相平分的四邊形
重要結論 (1)平行四邊形相鄰兩邊之和等于周長的一半；(2)平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點為對稱中心；(3)平行四邊形面積＝底×高
第2節　特殊的平行四邊形
知識點 內容
特殊平行四邊形的性質
四邊形 邊 角 對角線 對稱性
矩形 對邊平行且相等 四個角都是直角 對角線相等且互相平分 軸對稱，中心對稱
菱形 對邊平行，四條邊相等 對角相等，鄰角互補 對角線互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角 軸對稱，中心對稱
正方形 對邊平行，四條邊相等 四個角都是直角 對角線相等且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角 軸對稱，中心對稱
特殊平行四邊形的判定
矩形 有一個角是直角的平行四邊形；(2)有三個角是直角的四邊形；(3)兩條對角線相等的平行四邊形
菱形 有一組鄰邊相等的平行四邊形；(2)四條邊相等的四邊形；(3)對角線互相垂直的平行四邊形
正方形 有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形；(2)有一組鄰邊相等的矩形；(3)有一個角是直角的菱形；(4)對角線相等且互相垂直平分的四邊形
特殊平行四邊形之間的關系及相互轉化
特殊平行四邊形的面積
矩形 矩形面積＝長×寬
菱形 菱形面積＝底×高＝×兩條對角線的積
正方形 正方形面積＝邊長×邊長＝×兩條對角線的積
第7講　圓
第1節　圓的基本性質
知識點 內容
圓的基本概念
等圓 半徑相等的兩個圓叫做等圓
半圓 圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓
弧 圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧；大于半圓的弧叫做優弧，小于半圓的弧叫做劣弧；能夠重合的圓弧稱為相等的弧
弦 連結圓上任意兩點的線段叫做弦
直徑 經過圓心的弦叫做直徑
弦心距 圓心到弦的距離叫做弦心距
圓心角 頂點在圓心的角叫做圓心角
圓周角 頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角
確定圓的條件 不在同一條直線上的三點確定一個圓
垂徑定理及其推論
定理 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧
推論 (1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧；(2)平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦
弧、弦、圓心角之間的關系
圓心角定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等
圓心角定理的推論 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個弦心距中有一對量相等，那么它們所對應的其余各對量都相等
注意 弧的度數等于它所對圓心角的度數
圓周角定理及其推論
定理 圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半
推論 (1)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；相等的圓周角所對的弧也相等；(2)半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑
圓內接四邊形的性質 圓內接四邊形的對角互補，任意一個外角等于它的內對角(和它相鄰的內角的對角)
第2節　與圓有關的位置關系
知識點 內容
點與圓的位置關系 (1)d＜r 點P在⊙O內； (2)d＝r 點P在⊙O上；(3)d＞r 點P在⊙O外
直線和圓的位置關系
關系 相離 相切 相交
圖形
公共點個數 0 1 2
數量關系 d＞r d＝r d＜r
切線的性質與判定
切線的性質定理 圓的切線垂直于過切點的半徑
切線的判定定理 經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線
注意 經過切點并垂直于切線的直線必過圓心
切線長定理 從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角
第3節　與圓有關的計算
知識點 內容
扇形 l＝，S＝＝lr
圓柱 S側＝Ch＝2πrh，S全＝2πrh＋2πr2
圓錐 S側＝Cl＝πrl，S全＝πr2＋πrl
第8講　尺規作圖
知識點 內容
尺規作圖及基本作圖
定義 在幾何中，把限定用沒有刻度的直尺和圓規來畫圖稱為尺規作圖
五種基本作圖 作一條線段等于已知線段；(2)作一個角等于已知角；(3)作一個角的平分線；(4)過定點作已知直線的垂線；(5)作線段的垂直平分線
一般步驟 (1)已知；(2)求作；(3)作法
注意 當不要求寫作法時，一般要保留作圖痕跡．對于較復雜的作圖，可先畫出草圖，使它同所要作的圖大致相同，然后借助草圖尋找作法



第9講　圖形與變換
第1節　圖形的軸對稱、平移與旋轉
知識點 內容
圖形的軸對稱
軸對稱圖形的定義 如果把一個圖形沿著一條直線折疊后，直線兩側的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形
軸對稱圖形的性質 對應線段相等，對應角相等；對稱軸垂直平分連結兩個對稱點的線段
圖形的軸對稱
圖形的軸對稱圖形的概念 由一個圖形變為另一個圖形，并使這兩個圖形沿某一條直線折疊后能夠互相重合，這樣的圖形改變叫做圖形的軸對稱，這條直線叫做對稱軸
圖形的軸對稱的性質 (1)成軸對稱的兩個圖形是全等圖形；(2)對應線段或延長線相交，交點在對稱軸上
圖形的中心對稱
中心對稱圖形的定義 把一個圖形繞著一個點旋轉180°后，能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心
中心對稱圖形的性質 對稱中心平分連結兩個對稱點的線段
成中心對稱 如果一個圖形繞著一個點旋轉180°后，能夠和另一個圖形互相重合，那么就稱這兩個圖形關于該點成中心對稱
圖形的平移
定義 一個圖形沿某個方向移動，在移動的過程中，原圖形上所有的點都沿同一個方向移動相等的距離，這樣的圖形運動叫做圖形的平移
性質 (1)平移不改變圖形的形狀和大小， 只改變圖形的位置，平移后新舊兩個圖形全等；(2)平移后，對應線段相等且平行，對應點的連線平行(或在同一條直線上)且相等；(3)平移后，對應角相等且對應角的兩邊分別平行、方向相同
圖形的旋轉
定義 一般地，一個圖形變為另一個圖形，在運動的過程中，原圖形上的所有點都有一個固定的點，按同一個方向，轉動同一個角度，這樣的圖形運動叫做圖形的旋轉，這個固定的點叫做旋轉中心
性質 (1)圖形經過旋轉所得的圖形和原圖形全等；(2)在圖形旋轉過程中，圖形上每一個點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同角度；(3)任何一對對應點與旋轉中心連線所成的角度都等于旋轉的角度；(4)對應點到旋轉中心的距離相等
坐標與圖形的位置及運動
圖形的平移變換 在平面直角坐標系內，如果把一個圖形各個點的橫坐標都加上(或減去)一個正數a，相應的新圖形就是把原圖形向右(或向左)平移a個單位；如果把它各個點的縱坐標都加上(或減去)一個正數a，相應的新圖形就是把原圖形向上(或向下)平移a個單位
圖形關于坐標軸成對稱變換 在平面直角坐標系內，如果兩個圖形關于x軸對稱，那么這兩個圖形上的對應點的橫坐標相等，縱坐標互為相反數；在平面直角坐標系內，如果兩個圖形關于y軸對稱，那么這兩個圖形上的對應點的橫坐標互為相反數，縱坐標相等
圖形關于原點成中心對稱 在平面直角坐標系內，如果兩個圖形關于原點成中心對稱，那么這兩個圖形上的對應點的橫坐標互為相反數，縱坐標互為相反數
圖形關于原點成位似變換 在平面直角坐標系內，如果兩個圖形的位似中心為原點，相似比為k，那么這兩個位似圖形對應點的坐標的比等于k或－k
第2節　圖形的相似
知識點 內容
比例線段 在四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比等于c與d的比，即＝，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段
比例的基本性質 (1)基本性質：＝ 則 ad＝bc (a，b，c，d都不為0)；(2)合比性質：＝ 則 ＝；(3)等比性質：＝＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)則＝k
平行線分線段成比例定理 兩條直線被一組平行線(不少于3條)所截，所得的對應線段成比例
黃金分割 定義：如果點P把線段AB分成兩條線段AP和BP，使AP＞BP，且＝，那么線段AB被點P黃金分割，點P叫做線段AB的黃金分割點，AP與AB的比叫做黃金比(黃金比的比值為，約為0.618)
相似三角形
定義 對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形，叫做相似三角形
性質 (1)對應角相等，對應邊成比例；(2)周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方；(3)對應高之比、對應角平分線之比和對應中線之比都等于相似比
判定 (1)有兩個角對應相等的兩個三角形相似；(2)兩邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似；(3)三邊對應成比例的兩個三角形相似
注意 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形和原三角形相似
位似圖形
概念 如果兩個圖形滿足以下兩個條件：(1)所有經過對應點的直線都相交于一點；(2)這個交點到兩個對應點的距離之比都相等，那么這兩個圖形叫做位似圖形，
性質 位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比
第3節　解直角三角形
知識點 內容
銳角三角函數的概念(注：在Rt△ABC中，∠C＝90°)
正弦 sinA＝＝
余弦 cosA＝＝
正切 tanA＝＝
特殊角的三角函數值
角 30° 45° 60°
sin
cos
tan 1
解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形
解直角三角形的理論依據 (1)三邊之間的關系：a2＋b2＝c2；(2)銳角之間的關系：∠A＋∠B＝90°；(3)邊角之間的關系：sinA＝，cosA＝，tanA＝
解直角三角形及其應用
仰角、俯角、坡度、坡角和方向角 (1)仰角：視線在水平線上方的角叫做仰角；俯角：視線在水平線下方的角叫做俯角；(2)坡度：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示；坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用α表示，則有i＝tanα；(3)方向角：平面上，通過觀察點Ο作一條水平線(向右為東向)和一條鉛垂線(向上為北向)，則從點O出發的視線與水平線或鉛垂線所夾的角，叫做觀測的方向角
解直角三角形實際應用的一般步驟 (1)弄清題中名詞、術語，根據題意畫出圖形，建立數學模型；(2)將條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉化為解直角三角形問題；(3)選擇合適的邊角關系式，使運算簡便、準確；(4)得出數學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解



第4節　視圖與投影
知識點 內容
三視圖 主視圖：從正面看到的圖形；俯視圖：從上面看到的圖形；左視圖：從左面看到的圖形
三視圖的對應關系 (1)長對正：主視圖與俯視圖的長相等，且相互對正；(2)高平齊：主視圖與左視圖的高相等，且相互平齊；(3)寬相等：俯視圖與左視圖的寬相等，且相互平行
常見幾何體的三視圖 (1)正方體的三視圖都是正方形；(2)圓柱的三視圖有兩個是矩形，另一個是圓；(3)圓錐的三視圖中有兩個是三角形，另一個是圓；(4)球的三視圖都是圓
投影
平行投影 由平行光線形成的投影
中心投影 由同一點(點光源)發出的光線形成的投影



第10講　統計與概率
第1節　抽樣與數據分析
知識點 內容
數據的收集
數據收集的常用方法 (1)全面調查；(2)抽樣調查(注意：在抽樣調查中我們通常采用的方法是簡單隨機抽樣，即總體中的每一個個體都有相等的機會被抽到)
總體 要考察的全體對象
個體 組成總體的每一個考察對象
樣本 被抽查的那些個體組成一個樣本
樣本容量 樣本中個體的數目(不用寫單位)
數據的分析反映數據集中程度的量
平均數 n個數x1，x2，…，xn的平均數x＝(x1＋x2＋…＋xn)
加權平均數 (1)一般地，若n個數x1，x2，…，xn的權分別是ω1，ω2，…，ωn，則 叫做這n個數的加權平均數；(2)若x1出現f1次，x2出現f2次，…，xk出現fk次，且f1＋f2＋…＋fk＝n，則這k個數的加權平均數＝(x1f1＋x2f2＋…＋xkfk)
中位數 將一組數據按從小到大(或從大到小)的順序排列，如果數據的個數是奇數，則稱處于中間位置的數為這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數，則稱中間兩個數據的平均數為這組數據的中位數
眾數 一組數據中出現次數最多的數據
數據的分析反映數據離散程度的量
極差 最大數－最小數
方差 設x1，x2，…，xn的平均數為x，則這n個數據的方差為s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]
注意 方差越大，數據的波動越大；方差越小，數據的波動越小，越穩定
數據的整理和描述
頻數 每個對象出現的次數
頻率 頻數與數據總數的比
條形統計圖 能夠顯示每組中的具體數據
扇形統計圖 能夠顯示部分在總體中的百分比
折線統計圖 能夠顯示數據的變化趨勢
數據的整理和描述
頻數分布直方圖 能夠顯示數據的分布情況
畫頻數分布直方圖的步驟 (1)計算最大值與最小值的差；(2)決定組距與組數；(3)列頻數分布表；(4)畫頻數分布直方圖
第2節　事件的概率
知識點 內容
概率事件的類型
公式 P(A)＝(m表示試驗中事件A出現的次數，n表示所有等可能出現的結果的次數)
用頻率可以估計概率 一般地，在大量重復試驗中，如果事件A發生的頻率穩定在某個常數p附近，那么事件A發生的概率P(A)＝p＝
確定性事件
必然事件 概率為1
不可能事件 概率為0
不確定性事件(隨機事件) 概率為0隨機事件概率的計算 直接列舉法、列表法、畫樹狀圖法

展開更多......

收起↑