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1
如何解答高考數學壓軸題



高考壓軸題怎么解？羅增儒教授把解題總結為“條件預示可知并啟發解題手段，結論預
告需知并誘導解題方向.”即從已知條件入手推出中間結論（可知），當中間結論能直接證明
最終結論時，則解題成功.當中間結論不能直接證明最終結論時，可把最終結論等價轉化為
“需知”，再用中間結論證明“需知”從而達到解題目的.有時還要挖掘題目的隱含條件.從
某種意義上說，解題就是“找關系”----找出已知與未知的聯系，不斷縮小以至消除二者之
間的差距，從而達到解題目的.可以用框圖或打油詩表示如下：
逛公園順道看景，
好風光駐足留影.
把條件翻成圖式，
關鍵處深挖搞清.
綜合法由因導果，
分析法執果索因.
兩方法嫁接聯姻，
讓難題遁現原形.
以下通過例題說明解答壓軸題的
基本策略.
1. 學會分析轉化
所謂轉化簡言之，就是縮小已知和求證（解）之間的差距，其方法就是不斷等價轉化，
或轉化條件，或轉化結論，直到二者的因果關系，使解題得以實施.
例 1設b ? 0 ,數列 滿足a1 ? b，
1
1
( 2)
1n
n
n
nba
a n
a n
?
?
?
? ?
≥ .
（1）求數列 的通項公式；（2）證明：對于一切正整數 n ， 12 1.nna b
?? ?
解 求通項好像沒有頭緒的題目，第一想法就是要把它轉化成熟悉的形式，這時就要看
腦子里有哪些熟悉的模型，如果記得形如 1
1 2
n
n
n
a
a
a
?
?
?
?
（教材有類似的習題）的求通項的
解法：兩邊取倒數得 1
1 1
21 2
1n
n n n
a
a a a
?
? ?
?
? ? ? ，從而轉化成 1n nc pc q?? ? 的形式來求解.那
么對（1）下述解法是自然的：
兩邊取倒數得 1
1
1 1n
n n
a n
a bna
?
?
? ?
? ，即 1
1 1
1 1 1 1n
n n n
n a n n
a ba b b a
?
? ?
? ? ?
? ? ? ? .記 n
n
n
c
a
? ，則
1
1 1
n nc c
b b
?? ? ? 11 1
1 1 1
n n
c
b b b? ?
? ? ? ?
1
1 1 1
.
n nb b b?
? ? ? ? 所以
? ?na
? ?na
否
已知條件 隱含條件
件
中間結論（可知） 已知條件的等價轉化
待求（證）的結論 結論的等價轉化（需知）
能
否
能
2
1, 1,
( 1)
, 1.
1
n
n
n
b
a nb b
b
b
??
?
? ? ?
??
??


（2）當 1b ? 時， 12 1 2nna b
?? ? ? ，結論成立。
當 1b ? ， 直 接 證 明 無 法 入 手 ， 于 是 想 到 把 結 論 進 行 等 價 轉 化 ：
12 ( 1)2 1,
1
n
n
n n
nb b
a b
b
??? ? ?
?
即
1 12 ( 1)
1
n
n n bnb b
b
? ?? ? ?
?
。
若通分
2 1 1
1 1 1( 1)
1 1
n n n n
n b b b bb
b b
? ?
? ? ? ? ?? ? ?
? ?
，右邊不好化簡，于是轉而把
1
1
nb
b
?
?
化成
1 2 1nb b b? ?? ? ? ? ，再乘以 1( 1)nb ? ? 得
1 2 2 1 2 2 1 1 2 21( 1) 1
1
n
n n n n n n nbb b b b b b b b b
b
? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?

注意到括號內距兩端“距離”相等的兩項之積為
2nb ，因此想到對括號內 2n項用重要
不等式得，右邊 2 ( ) 2 .n n n nb b b nb? ? ? ? ? ? 即
12 ( 1)2 1 .
1
n
n
n n
nb b
a b
b
??? ? ?
?

綜上所述 12 1.nna b
?? ?
由此我們看出解壓軸題的基本思路：
1.把已知條件轉化到熟悉的問題，本題是轉化為二階遞推數列 1n nc pc q?? ? 的形式，
從而順利完成第（1）的解答.
2. 當條件不能直接證明結論時，就要對條件或結論進行等價轉化，直至轉化后的條件
能證明結論（或轉化后的結論）.本題在（1）的條件下，要直接證明（2）是困難的，因此，
就要對此作等價轉化，有時可能需要多次等價轉化（本例是對結論進行 3 次轉化），最終達
到要證明的目標.
2.熟悉基本模型
對一些綜合問題，常有一些同學說沒有思路，或即使有思路但太繁，以至很難做到底.
其實，有些問題有簡單方法，但這些似乎不是書本上的“正統”內容，但平時學習中又似曾
相識.若能把這些似曾相識的內容整理成基本模型，對解答綜合題不僅能提供思路，還能給
出簡單解法.
例 2 在平面直角坐標系 中，已知橢圓 ．如圖
所示，斜率為 且不過原點的直線 交橢圓 于 ， 兩點，
xOy
2
2: 1
3
x
C y? ?
( 0)k k＞ l C A B
3
線段 的中點為 ，射線 交橢圓 于點 ，交直線 于點 ．
（1）求 的最小值；
（2）若
2
OG OD OE? ? ，
（i）求證：直線 過定點；
（ii）試問點 ， 能否關于 軸對稱？若能，求出此時 ABG? 的外接圓方程；若不能，
請說明理由．
解 如果熟悉結論:若橢圓
2 2
2 2
1? ?
x y
a b
的弦 AB （不與坐標軸平行）的中點為 P ，則
2
2AB OP
b
k k
a
? ? ? (證明只要設
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，代入橢圓方程,作差整理即得) .那么第
(1)的證明很簡單:
1
3
OEk k? ? ? ,所以直線 OE 的方程為
1
3
y x
k
? ? ,因 G 在直線 OE 上,故
1 1
( 3)
3
m
k k
? ? ? ? ? ,即 1mk ? , 2 2mk? ? ，當且僅當m k? ，即 1k ? 時取等號。
（2）（i）設 ( , )( 0, 0)G s t s t? ? ，則
2
2 1
3
s
t? ? ，再設 0 0( , )E x y ， l ： y kx n? ? 。
因
2
OG OD OE? ? 可變形為
| | | |
| | | |
OG OE
OD OG
? ，若把它投影到坐標軸上，則可得
2
0
2 0
0
3 ,
.
s x
y
t my
k
? ? ?
?
?
? ??
?
即
2
0
2
0
,
3
.
s
x
y kt
?
? ??
?
? ??

因點 E在直線 l 上，所以 0 0y kx n? ? ，即
2
2
3
s
kt k n?? ? ? ，亦即
2
2( )
3
s
n k t k? ? ? 。
所以直線 l 的方程為 ( 1)y kx k k x? ? ? ? ，從而直線 l 過定點 ( 1,0)? 。
（ii）設 ， 能否關于 軸對稱，則 ( , )B s t? ，因 B 在 l 上，所以 ( 1)t k x? ? ? ，
1
t
k
s
? ?
?
。
又 OE OGk k? ，所以
1
3
s
t k
? ? ，即
3
s
k
t
? ? ，與上式聯立得 2 23s s t? ? ，又
2
2 1
3
s
t? ? ，
解得
3 1
,
2 2
s t? ? ? ，此時 1k ? ，從而
3 1
( , )
2 2
G ? ，
3 1
( , )
2 2
B ? ? 。
由于直線 l 的方程為 1y x? ? 過點 (0,1) 在橢圓上，所以 (0,1)A ，因圓心在弦 AG、BG
AB E OE C G 3x ? ? ( 3, )D m?
2 2m k?
l
B G x
2 2m k?
B G x
4
的垂直平分線上，所以圓心坐標
1
( ,0)
2
? ，半徑為
5
2
，圓方程為
2 21 5( ) .
2 4
x y? ? ?
所以，當 、 關于 軸對稱時， ABG? 的外接圓方程為
2 21 5( ) .
2 4
x y? ? ?
評述：從上述解答過程中讀者能看出思考途徑：（1）是利用已知結論，對焦點在 y 軸上
的橢圓有類似結論，對雙曲線也有類似結論，證明都是用解決中點弦問題常用方法----“點
差法”。只有平時學習中應該多注意積累，把一些典型的例題、習題的結論推廣到一般情況，
總結成模型，就能解答一類問題，對壓軸題是十分有利的，不僅解題思路開闊，還能能選擇
簡捷的方法，又好又快地解題。2010年上海卷最后一題（見本書§3.2例 3）用此解法十分
簡單。
（2）是把線段乘積轉化為比例問題，從而想到投影到坐標軸上，轉化為坐標間的乘積。
有些同學要問，是怎么想到投影到坐標軸上？其實，這是向量坐標法的本質所在，讀者不妨
回憶一下向量的坐標是怎么定義的。回到定義，往往能使較難問題獲得非常簡單的加法，復
習要格外注意。解答 2008年浙江一道壓軸題（見§3.5發散訓練 3）也用此法會獲簡解。
本題常規解法是把直線方程代入橢圓方程，計算冗長，極易出錯，即使對理科同學也不
是輕而易舉就能得到正確答案。
3.有了想法就寫
解答綜合題往往有“看不到底”的經歷，即不能從開始到結束都能有明確的思路，但若
能根據條件，寫出由此能得到的相應結論，一步一步摸索向前，并運用分析轉化等方法，最
終得到正確結論.然而，實際上不少同學遇到問題是首先看是否做過或有沒有明確思路，一
旦不是熟悉的問題，就不自信，不能冷靜分析，坐失良機.
例 3 已知拋物線 1C :
2x ＝ y ，圓 2C :
2 2( 4) 1x y? ? ? 的圓心為點 M.
（Ⅱ）已知點 P 是拋物線 1c 上一點（異于原點），過點 P 作圓 2c 的兩條切線，交拋物線 1c
于 A，B 兩點，若過 M，P 兩點的直線 l 垂直于 AB，求直線 l 的方程.
解 由MP AB? ，得 1AB MPk k? ? ? ，因此要用某個量（選擇參數）表示
,AB MPk k 。由題意，點 P 是“主動”點，故以點 P 的坐標為參數。設
2( , )P t t ，
則
2 4
MP
t
k
t
?
? 。
還要再求直線 AB的方程，一時還沒有明確方向，從已知條件看，只能從切線入手。
設
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，由題意 1 20, 1,t t x x? ? ? ? 。那么過點 P 的圓 C2 的切線 PA
的方程為 2
1( )( )y x t x t t? ? ? ? ，即 1 1( ) 0x t x y tx? ? ? ? 。
因 M 到直線 AP 的距離為 1，則 1
2
1
| 4 |
1
1 ( )
tx
t x
? ?
?
? ?
，即 2 2
1 16 ( 1) 15 0tx t y t? ? ? ? ? 。
同 理 ，
2 2
2 26 ( 1) 15 0tx t y t? ? ? ? ? ， 由 此 可 知 ， 點 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 在
B G x
5
2 26 ( 1) 15 0tx t y t? ? ? ? ? 上，故
2
6
1
AB
t
k
t
?
?
，所以
2
2
4 6
1
1
MP AB
t t
k k
t t
?
? ? ? ? ?
?
，解得
115
115
t ? ? ，所以直線 l 的方程為
115
4
115
y x? ? ? 。
評述：雖然開始并沒有想到直接求 AB 方程的方法，但在根據已知條件得出的結論中發
現了 AB 的方程，難點就此突破，解題也就妙在其中。由 PA、PB方程得到 AB的方程可能有
些同學未必一眼看出，這是對曲線和方程的概念理解不深所致。因為點 AB 的坐標適合方程
2 26 ( 1) 15 0tx t y t? ? ? ? ? ，故它是直線 AB的方程。
由此我們看出解答沒有明確思路的壓軸題，可以把已知條件具體化（或從特殊到一般，
如本書§2.1 發散訓練 4 等），再結合結論的要求，一步步向結論靠近，最終達到證明的目
的.關鍵是要自信，要敢于動手，同時要審時度勢，把陌生問題轉化成熟悉的問題.
4．巧解客觀題
填空題的最后兩題，選擇題的最后一題通常也是壓軸題.應盡可能不當成解答題來做，
而運用數學思想方法，比如合情推理、特殊化思想、數形結合、利用已知結論等，找到簡單
的解法.
例 5 如圖，體積為V 的大球內有 4 個小球，每個小球的球面過大球球心且與大球球面
有且只有一個交點，4個小球的球心是以大球球心為中心的正方形的 4
個頂點． 1V 為小球相交部分（圖中陰影部分）的體積， 2V 為大球內、
小球外的圖中黑色部分的體積，則下列關系中正確的是 （ ）
（A） 1
2
V
V ? (B) 2
2
V
V ? （C） 1 2V V? （D） 1 2V V?
解 由于選擇支出現 1V 、 2V 、
1
2
V ，因此，只要比較 1V 、 2V 與
1
2
V 的大小．直接計算 1V
是麻煩的，可以先估計其大致范圍．
設大球半徑為 r ，則小球半徑為
1
2
r ，那么
34
3
V r?? ，內部 4 個小球的體積之和為
344 ( )
3 2
r
??
1
2
V? ，而 1V 只是 4個球相交的部分，因此 1
1
2
V V? ， 2
1
2
V V? ，所以 1 2V V? ，
選（D）．
這其實是合情推理，有一點計算,還有一點估算.
例 6設 1 2 3 4, , ,A A A A 是平面上給定的 4個不同的點，則使 1 2 3 4 0MA MA MA MA? ? ? ?
成立的點M 的個數為 （ ）
（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 4
可以先考慮 3 點的情況： 1 2 3 0MA MA MA? ? ? ，這時M 是 1 2 3A A A? 的重心，只有 1
個，由此可知M 是四邊形 1 2 3 4A A A A 的重心，因而選 B.
解答復雜問題直接解答有困難，從特殊化入手是常用方法，即華羅庚先生說的“退到不
6
失本質”的地方，直到突破口再完成解答.當然，本題也可以設出各點坐標來解.
例7 長方體的一條對角線長為 7 ，它在過一個頂點的3個側面上的投影長分別為 6 、
m 和 n ，則m n? 的最大值為_______。
解 如圖，設長方體的長、寬、高分別為 , ,a b c， 2 2 6a b? ? ，
2 2 2a c m? ? ， 2 2 2b c n? ? 。因要求m n? 的最大值，且m 和
n 是對稱的，可令m n? ，則a b? ，由 2 2 6a b? ? 得 2 3a ? ，又 2 2 2 7a b c? ? ? ，所以 1c ? ，
從而 2m n? ? ，m n? 的最大值為 4。
本題之所以能令m n? ，是基于法國物理學家皮埃爾·居里（1859-1906）的對稱原理：
對稱性原理是凌駕于物理規律之上的自然界的一條基本原理，它是宇宙間超越物理各個領域
的普遍法則.它在數學領域的應用之一就是極值問題的對稱性原理：“如果一個函數（代數式）
中的若干變量具有對稱性，則這個函數（代數式）的極值往往在這些變量都相等時取得.至
于它是極大值或極小值，或由問題本身決定，或靠理論作出判斷.”
具有對稱性問題，特殊化思想往往會使解答變得簡單，在客觀題中更是解題“秘笈”。
例 8 已知以 4T ? 為周期的函數
21 , ( 1,1]
( )
1 2 , (1,3]
m x x
f x
x x
? ? ? ??
? ?
? ? ???
，其中 0m ? 。若方程
3 ( )f x x? 恰有 5個實數解，則m 的取值范圍為（ ）w.w.w.k.s.5.
（A）
15 8
( , )
3 3
（B）
15
( , 7)
3
（C）
4 8
( , )
3 3
（D）
4
( , 7)
3

解 因為當 ( 1,1]x? ? 時，將函數化為方程
2
2
2
1( 0)
y
x y
m
? ? ? ，其圖象是 x 軸上方的半
一個半橢圓；當 (1,3]x? 時，
1(1 2),
3 (2 3).
x x
y
x x
? ? ??
? ?
? ? ??
其圖象是折線段，由于周期是 4，作出
它們的圖象（如圖）。由圖易知直線
3
x
y ? 與第二個橢圓
2
2
2
( 4) 1( 0)
y
x y
m
? ? ? ? 相交，而
與第三個半橢圓
2
2
2
( 8) 1( 0)
y
x y
m
? ? ? ? 無公共點時，方程恰有 5個實數解，
當
4
3
m ? 時,從圖象很難發現在區間 (3,4)
直線與半橢圓的交點情況,同樣當
8
3
m ? 時,也
難以從圖象發現在區間 (7,8) 直線與半橢圓的交
點情況,正如華羅庚先生所說“形缺數數時難入
微”，所以還是把直線方程與代入橢圓方程聯立，
消去一個變量，得到一元二次方程，利用判別式來解：
將
3
x
y ? 代入
2
2
2
( 4) 1( 0)
y
x y
m
? ? ? ? 得 2 2 2 2(9 1) 72 135 0,m x m x m? ? ? ?
令
29 ( 0)t m t? ? ，則 2( 1) 8 15 0t x tx t? ? ? ? 。
n
m
c
b
a
D C
BA
A1 B1
C1D1
4
3
8
3
y=
x
3
1
O
y
x987654321
7
由 0 15t? ? ?得 ，解得
15
3
m ? 。
同樣由
3
x
y ? 與第二個橢圓
2
2
2
( 8) 1( 0)
y
x y
m
? ? ? ? 由 0? ? 可計算得 7m ? 。
綜上知
15
( , 7)
3
m? ，選（B）。
希望以上方法對解答壓軸題能起到拋磚的作用，相信同學們在老師的指導下，通過自己
的努力，切實提高解答壓軸題的能力.
最后，以一副對聯結束本文
宏觀藐視 理解題意 有了想法寫出來
微觀重視 實時轉化 細節落實回基礎
橫批：相信自己

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