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第3章函數(shù)的基本性質(zhì)
本章知識網(wǎng)絡(luò)

知識梳理
.理解函數(shù)的有關(guān)概念
（1）函數(shù)的定義：在某個變化過程中有兩個變量x、y ，如果對于x 在某個實(shí)數(shù)集合D 內(nèi)
的每一個確定的值，按照某個對應(yīng)法則 f ， y 都有唯一確定的實(shí)數(shù)值與它對應(yīng)，那么 y 就是x 的函數(shù)，記作 y = f (x) ，（x ∈ D ），x 叫做自變量，y 叫做因變量，x 的取值范圍D 叫做定義域．．．，和x 對應(yīng)的 y 的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．
【小貼士】
據(jù)此可知函數(shù)圖像與x 軸的垂線至多有一個公共點(diǎn)，但與 y 軸垂線的公共點(diǎn)可能沒有，也可能 有任意個.即函數(shù)的圖像特征：對于任意與x 軸垂直的直線，與圖像最多只有一個交點(diǎn).
【說明】
如果函數(shù)只給出解析式，未指明定義域，那么函數(shù)的定義域就是使得解析式有意義的實(shí)數(shù)x的集合.

【求函數(shù)值域的方法】
（1） 二次函數(shù)類型 （二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間[,mn]上的最值；二是求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題；求二次函數(shù)的最值問題，勿忘數(shù)形結(jié)合，注意“兩看”：一看開口方向；二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系）；
（2） 可換元成二次函數(shù)類型 ，換元一定要注意新元的取值范圍；


單調(diào)性法:一般來說一道求值域或最值的題目，如果不是常見類型，就可以考慮利用單調(diào)性來求解，包括數(shù)列的最大最小項(xiàng)問題；
（6）數(shù)形結(jié)合法――函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)間的距離、直線斜率、等等；
（7）判別式法――對分式函數(shù)（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其它方法進(jìn)行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過分離變量后，再利用基本不等式：（注意：當(dāng)分式是最簡分式，并且自變量x 沒有其它限制時，可直接用判別式法解題。若不符合上述要求雖也可用此法，但要增加其他條件比如在某范圍內(nèi)有解，這時我們不提倡用此種方法，而改用基本不等式及耐克函數(shù)求解）.
【溫馨提示】
（1 ） 求函數(shù)的定義域、值域時，你按要求寫成集合形式了嗎？
（2 ） 函數(shù)的最值與值域之間有何關(guān)系？
（3 ） 兩個函數(shù)相等：當(dāng)兩個函數(shù)的定義域、對應(yīng)法則及值域均相等，則兩個函數(shù)相等.
當(dāng)然 ，當(dāng)定義域和對應(yīng)法則均相等的時候，兩個函數(shù)的值域也必然相等，因此，定義域和對應(yīng)法則 為函數(shù)的兩個基本條件，當(dāng)且僅當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù).
函數(shù)的三種表示法：解析法、列表法、圖像法．
【求函數(shù)解析式的常用方法】
（1） 待定系數(shù)法――已知所求函數(shù)的類型；
（2） 代換（配湊）法――已知形如 f ((gx))的表達(dá)式，求 f（x)的表達(dá)式；
3）方程的思想――已知條件是含有 f（x)及另外一個函數(shù)的等式，可抓住等式的特征 對等式的進(jìn)行賦值，從而得到關(guān)于 f（x)及另外一個函數(shù)的方程組.

常見的函數(shù)圖像的變換




函數(shù)關(guān)系的建立
在解決實(shí)際問題中，首先要把問題中的有關(guān)變量及其關(guān)系用數(shù)學(xué)的形式表示出來，這個過程叫做建模；建立函數(shù)關(guān)系是表示函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的一種常用方法，在建立的函數(shù)關(guān)系的后面必須標(biāo)明函數(shù)的定義域，其值域由定義域和對應(yīng)法則確定，這時函數(shù)的三要素就完全具備了.

3. 函數(shù)的運(yùn)算
（1） 函數(shù)和：一般地，已知兩個函數(shù) y = f (x)(x ∈ D1) ， y = g(x)(x ∈ D2 ) ，設(shè)D = D1 ∩ D2 ，并且D 不是空集，那么當(dāng)x ∈ D時，y = f (x) 和 y = g(x) 都有意義，
于是把函數(shù) y = f (x) + g(x)(x ∈ D) 叫做函數(shù) y = f (x) 與 y = g(x) 的和.
函數(shù)的積、差、商：

【注意】
①兩個函數(shù)的和函數(shù)的定義域?yàn)樗鼈兌x域的交集，當(dāng)定義域的交集為空集時，他們的和函數(shù)無意義；
②在求兩個函數(shù)商的定義域，還要除去使得分母上的函數(shù)值為零 的 x 的值.


【注意】
①定義本身蘊(yùn)涵著：函數(shù)的定義域必須是關(guān)于原點(diǎn)的對稱區(qū)間，這是奇（偶）函數(shù)的必要條件；
②“定義域內(nèi)任一個”：意味著奇（偶）性是函數(shù)的整體性質(zhì)而非局部性質(zhì) ③使用函數(shù)奇偶性的定義解題時，得到的是關(guān)于變量x 的恒等式而不是方程.

（2）判斷奇偶性的步驟：
【步驟】
① 看定義域是否是關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間（是的話就繼續(xù)，不是就是非奇非偶函數(shù)）
② 找 f（x)與 f（?x)之間的關(guān)系，

【提醒】
若函數(shù) y = f (x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則此函數(shù)的定義域必關(guān)于原點(diǎn)對稱；反之，若一函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則該函數(shù)既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)；若 y = f (x)是奇函數(shù)且 f (0)存在，則 f (0) = 0（這里要強(qiáng)調(diào)的是 f (0)一定要存在才可以用）；反之不然，如： f (x) = x + 2x ， f (0) = 0，但是 f (x) 為非奇非偶函數(shù)。



（5） 函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：
① 奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；
偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.
② 如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù);
③ 若 f（x)為偶函數(shù)，則 f (?x）=f(x)=f(|x|;)
④ 若奇函數(shù) f (x)定義域中含有0 ，則必有 f (0) = 0.故 f (0) = 0是 f( x)為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件;
⑤ 定義在關(guān)于原點(diǎn)對稱區(qū)間上的任意一個函數(shù)，都可表示成“一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和（或差）”;
⑥ 復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”;
⑦ 既奇又偶函數(shù)有無窮多個（ f(x)= 0，定義域是關(guān)于原點(diǎn)對稱的任意一個數(shù)集）.
5. 函數(shù)的周期性
定義：設(shè)函數(shù) f (x) ， x ∈ D ，如果存在非零常數(shù)T ，使得對任意的 x ∈ D ，都有
f (x + T ) = f (x) ，則稱 f (x) 為周期函數(shù)，T 為 f (x) 的一個周期，周期函數(shù)的周期往往不唯一.

【復(fù)習(xí)小貼士】


【注意】
① 函數(shù)的單調(diào)性只能在定義域內(nèi)討論，可以是定義域的某個子區(qū)間，也可以是整個定義域，如果函數(shù)在整個定義域上單調(diào)，則它在子區(qū)間上也是單調(diào)的；
② 如果函數(shù)的圖像不是連續(xù)的，討論單調(diào)性需分段討論，在整個定義域上是否單調(diào)要根據(jù)單調(diào)性的定義來分析；
③ 函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)局部的性質(zhì)，在對函數(shù)圖像的一部分進(jìn)行研究時，經(jīng)常用到；
④ 定義法是判斷函數(shù)單調(diào)性的最基本方法，特別是在一些非初等函數(shù)中.
（2） 復(fù)合函數(shù)單調(diào)性特點(diǎn)：“同増異減”
（3） 利用定義證明函數(shù) f(x)在給定的區(qū)間 D 上的單調(diào)性的一般步驟：

















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