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2020屆全國各地最新模擬試題（理）分類匯編
13 立體幾何

1．（2020?廣州一模）陀螺是中國民間最早的娛樂工具，也稱陀羅．如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某個陀螺的三視圖，則該陀螺的表面積為　　

A． B． C． D．
2．（2020?橋東區校級模擬）胡夫金字塔是底面為正方形的錐體，四個側面都是相同的等腰三角形．研究發現，該金字塔底面周長除以2倍的塔高，恰好為祖沖之發現的密率．若胡夫金字塔的高為，則該金字塔的側棱長為　　
A． B． C． D．
3．（2020?橋東區校級模擬）已知為一圓錐的頂點，為底面圓的直徑，，點在底面圓周上，若為的中點，則異面直線與所成角的大小為　　
A． B． C． D．
4．（2020?梅河口市校級模擬）如圖，某幾何體的三視圖是由三個邊長為2的正方形和其內部的一些虛線構成的，則該幾何體的體積為　　

A． B．
C．6 D．與點的位置有關
5．（2020?東寶區校級模擬）如圖，已知四面體為正四面體，，，分別是，中點．若用一個與直線垂直，且與四面體的每一個面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為　　

A．1 B． C．2 D．
6．（2020?宜昌模擬）已知正方體的棱長為2，點為棱的中點，則平面截該正方體的內切球所得截面面積為　　
A． B． C． D．
7．（2020?龍巖一模）已知四棱錐的所有頂點都在球的球面上，，，底面是等腰梯形，，且滿足，則球的表面積是　　
A． B． C． D．
8．（2020?眉山模擬）已知腰長為3，底邊長2為的等腰三角形，為底邊的中點，以為折痕，將三角形翻折，使，則經過，，，的球的表面積為　　
A． B． C． D．
9．（2020?五華區校級模擬）已知圓錐的底面半徑為3，母線長為5．若球在圓錐內，則球的體積的最大值為　　
A． B． C． D．
10．（2020?墊江縣校級模擬）過球的一條半徑的中點，作與該半徑所在直線成的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為　　
A． B． C． D．
11．（2020?內蒙古模擬）如圖：空間四邊形中，，，，異面直線與所成角的余弦值為　　

A． B． C． D．
12．（2020?凱里市校級模擬）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺，問積幾何？“其意思為：“今有底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐，它的底面長、寬分別為7尺和5尺，高為8尺，問它的體積是多少？”若以上的條件不變，則這個四棱錐的體積為　　
A．140立方尺 B．280立方尺 C．立方尺 D．立方尺
13．（2020?龍巖一模）已知正三棱柱的底面邊長為2，用一平面截此棱柱與側棱，，分別交于，，，若為直角三角形，則面積的最小值為　　
A． B．3 C． D．6
14．（2020?咸陽二模）正四棱錐的五個頂點在同一個球面上，它的底面邊長為，高為3，則它的外接球的表面積為　　
A． B． C． D．
15．（2020?重慶模擬）如圖，四棱柱中，為平行四邊形，，分別在線段，上，且，在上且平面平面，則　　

A． B． C． D．
16．（2020?邯鄲模擬）如圖一，在中，，，為中點，，將沿翻折，得到直二面角，連接，是中點，連接，如圖二，則下列結論正確的是　　
A． B． C．平面 D．平面
17．（2020?福清市一模）已知正方體的棱長為2，平面．平面截此正方體所得的截面有以下四個結論：
①截面形狀可能是正三角形
②截面的形狀可能是正方形
③截面形狀可能是正五邊形
④截面面積最大值為
則正確結論的編號是　　
A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
18．（2020?道里區校級一模）已知三棱錐的外接球為球，為球的直徑，且，若面面，則三棱錐的體積最大值為　　
A． B． C．1 D．2
19．（2020?焦作一模）某三棱柱的平面展開圖如圖，網格中的小正方形的邊長均為1，是線段上的點，則在原三棱柱中，的最小值為　　

A． B． C． D．
20．（2020?吉林二模）等腰直角三角形與等邊三角形中，，，現將沿折起，則當直線與平面所成角為時，直線與平面所成角的正弦值為　　

A． B． C． D．

21．（2020?眉山模擬）如圖，在長方體中，，為的中點，為的中點，為線段上一點，且滿足，為的中點．
（1）求證：平面；
（2）求三棱錐的體積；
（3）求直線與直線所成角的余弦值．



22．如圖，在長方體中，，為的中點，為的中點，為線段上一點，且滿足，為的中點．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值．



23．（2020?宜昌模擬）如圖，在四棱錐中，，，．
（1）證明：平面；
（2）若，，為線段上一點，且，求直線與平面所成角的正弦值．



24．（2020?五華區校級模擬）如圖所示的幾何體中，正方形所在平面垂直于平面，四邊形為平行四邊形，為上一點，且平面，．
（1）求證：平面平面；
（2）當三棱錐體積最大時，求平面與平面所成二面角的正弦值．


25．（2020?龍巖一模）如圖，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，，頂點在底面內的射影恰為點．
（1）求證：平面；
（2）若直線與底面所成的角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．










2020屆全國各地最新模擬試題（理）分類匯編
13 立體幾何

1．（2020?廣州一模）陀螺是中國民間最早的娛樂工具，也稱陀羅．如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某個陀螺的三視圖，則該陀螺的表面積為　　

A． B． C． D．
【解答】解：由題意可知幾何體的直觀圖如圖：上部是圓柱，下部是圓錐，
幾何體的表面積為：．
故選：．

2．（2020?橋東區校級模擬）胡夫金字塔是底面為正方形的錐體，四個側面都是相同的等腰三角形．研究發現，該金字塔底面周長除以2倍的塔高，恰好為祖沖之發現的密率．若胡夫金字塔的高為，則該金字塔的側棱長為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設該金字塔的底面邊長為，則，可得：．
該金字塔的側棱長．
故選：．

3．（2020?橋東區校級模擬）已知為一圓錐的頂點，為底面圓的直徑，，點在底面圓周上，若為的中點，則異面直線與所成角的大小為　　
A． B． C． D．
【解答】解：如圖所示，建立直角坐標系．不妨設．
，，底面．
則，0，，，1，，，0，，，0，，，，，
，1，，，1，，
，，
，，
異面直線與所成角的大小為．
故選：．

4．（2020?梅河口市校級模擬）如圖，某幾何體的三視圖是由三個邊長為2的正方形和其內部的一些虛線構成的，則該幾何體的體積為　　

A． B．
C．6 D．與點的位置有關
【解答】解：如圖：

還原后的幾何體，是由棱長為2的正方體挖去一個四棱錐構成的，正方體的體積為8，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，頂點在平面上，高為2，所以四棱錐的體積為，所以該幾何體的體積為，
故選：．
5．（2020?東寶區校級模擬）如圖，已知四面體為正四面體，，，分別是，中點．若用一個與直線垂直，且與四面體的每一個面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為　　

A．1 B． C．2 D．
【解答】解：把正四面體補為正方體，如圖，
根據題意，，，
，
所以，，
故，
，當且僅當時成立，
故選：．

6．（2020?宜昌模擬）已知正方體的棱長為2，點為棱的中點，則平面截該正方體的內切球所得截面面積為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設圓心到截面距離為，截面半徑為，
由，即，
，
，
故，又，
，
所以截面的面積為，
故選：．
7．（2020?龍巖一模）已知四棱錐的所有頂點都在球的球面上，，，底面是等腰梯形，，且滿足，則球的表面積是　　
A． B． C． D．
【解答】解：底面是等腰梯形，，且滿足，
可知底面的外心為的中點，到頂點的距離為1，
因為，，，
所以，的中點到的距離為1，
所以是四棱錐的外接球的球心，外接球的半徑為1，
所以球的表面積是：．
故選：．
8．（2020?眉山模擬）已知腰長為3，底邊長2為的等腰三角形，為底邊的中點，以為折痕，將三角形翻折，使，則經過，，，的球的表面積為　　
A． B． C． D．
【解答】解：如圖所示，
由題意可得：，，兩兩相互垂直．
．
設經過，，，的球的半徑為．
則．
球的表面積．
故選：．

9．（2020?五華區校級模擬）已知圓錐的底面半徑為3，母線長為5．若球在圓錐內，則球的體積的最大值為　　
A． B． C． D．
【解答】解：設圓錐的軸截面為等腰，則球的體積最大時，球的軸截面是 的內切圓，所以，
解得：，所以球的體積的最大值為，
故選：．
10．（2020?墊江縣校級模擬）過球的一條半徑的中點，作與該半徑所在直線成的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為　　
A． B． C． D．
【解答】解：畫大圓，設半徑為，取半徑的中點，過做截面，為直徑，取中點，連接，截面，由題意可得，
所以，
在三角形中，，即，
整理可得：，
解得：，
所以，
所以所得截面的面積與球的表面積的比為，
故選：．

11．（2020?內蒙古模擬）如圖：空間四邊形中，，，，異面直線與所成角的余弦值為　　

A． B． C． D．
【解答】解：如圖，過作，交于，并連接，則，
，
，
，，，
，且，
為異面直線與所成角或其補角，
在中，根據余弦定理得，，
異面直線與所成角的余弦值為．
故選：．

12．（2020?凱里市校級模擬）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺，問積幾何？“其意思為：“今有底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐，它的底面長、寬分別為7尺和5尺，高為8尺，問它的體積是多少？”若以上的條件不變，則這個四棱錐的體積為　　
A．140立方尺 B．280立方尺 C．立方尺 D．立方尺
【解答】解：由題意可得：這個四棱錐的體積立方尺，
故選：．
13．（2020?龍巖一模）已知正三棱柱的底面邊長為2，用一平面截此棱柱與側棱，，分別交于，，，若為直角三角形，則面積的最小值為　　
A． B．3 C． D．6
【解答】解：如圖，以中點為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，
建立空間直角坐標系，設，，，，0，，，1，，
不妨設為直角，，，
，


．
故選：．

14．（2020?咸陽二模）正四棱錐的五個頂點在同一個球面上，它的底面邊長為，高為3，則它的外接球的表面積為　　
A． B． C． D．
【解答】解：正四棱錐的五個頂點在同一個球面上，它的底面邊長為，高為3，設它的外接球的半徑為，球心為，底面的中心為．
設．
則，．
解得：．
可得球的表面積為．
故選：．

15．（2020?重慶模擬）如圖，四棱柱中，為平行四邊形，，分別在線段，上，且，在上且平面平面，則　　

A． B． C． D．
【解答】解：四棱柱中，為平行四邊形，
，分別在線段，上，且，
，平面平面，
在上且平面平面，，
．
故選：．
16．（2020?邯鄲模擬）如圖一，在中，，，為中點，，將沿翻折，得到直二面角，連接，是中點，連接，如圖二，則下列結論正確的是　　
A． B． C．平面 D．平面
【解答】解：在中，，，為中點，，
將沿翻折，得到直二面角，連接，是中點，連接，
，，
，平面．
故選：．
17．（2020?福清市一模）已知正方體的棱長為2，平面．平面截此正方體所得的截面有以下四個結論：
①截面形狀可能是正三角形
②截面的形狀可能是正方形
③截面形狀可能是正五邊形
④截面面積最大值為
則正確結論的編號是　　
A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
【解答】解：對①當截此正方體所得截面為時滿足，故①正確．

對②，由對稱性得截面形狀不可能為正方形，故②錯誤．
對③，由對稱性得截面形狀不可能是正五邊形，故③錯誤．
對④，當截面為正六邊形時面積最大，為，故正確．

故選：．
18．（2020?道里區校級一模）已知三棱錐的外接球為球，為球的直徑，且，若面面，則三棱錐的體積最大值為　　
A． B． C．1 D．2
【解答】解：如圖，
連接，，則，
兩三棱錐高的和的最大值為．
要使三棱錐的體積最大，則面積最大為．
三棱錐的體積最大值為．
故選：．

19．（2020?焦作一模）某三棱柱的平面展開圖如圖，網格中的小正方形的邊長均為1，是線段上的點，則在原三棱柱中，的最小值為　　

A． B． C． D．
【解答】解：將展開圖折成立體圖形，如圖①，
然后再把空間最短距離問題轉化為平面兩點間的距離最短問題，如圖②所示．
因為，，所以，即的最小值為．
故選：．

20．（2020?吉林二模）等腰直角三角形與等邊三角形中，，，現將沿折起，則當直線與平面所成角為時，直線與平面所成角的正弦值為　　

A． B． C． D．
【解答】解：設為中點，連接、，
由題可知，，
所以平面，
過作于點，連接，則平面，
所以即為直線與平面所成角的平面角，
所以，可得，
在中可得，
又，即點與點重合，此時有平面，
過作于點，
又平面，所以，
所以平面，
從而即為直線與平面所成角，．
故選：．




21．（2020?眉山模擬）如圖，在長方體中，，為的中點，為的中點，為線段上一點，且滿足，為的中點．
（1）求證：平面；
（2）求三棱錐的體積；
（3）求直線與直線所成角的余弦值．

【解答】（1）證明：在長方體中，建立如圖所示空間直角坐標系，
由，為的中點，為的中點，為線段上一點，且滿足，
得，0，，，0，，，，，，0，，，4，，
，，4，，，，．
設平面的一個法向量為．
由，取，得，
，且平面，
平面；
（2）解：設到平面的距離為，則．
；
（3）解：由（1）知，，
又，．
直線與直線所成角的余弦值．

22．如圖，在長方體中，，為的中點，為的中點，為線段上一點，且滿足，為的中點．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值．

【解答】解：（1）證明：作的中點，連接，，
又為的中點，
為△的中位線，
，
又為的中點，
為梯形的中位線，
，
在平面中，，在平面中，，
平面平面，
又在平面內，
平面．
（2）以點為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
設平面的一個法向量為，則，可取，
同理可求得平面的一個法向量為，
，
又二面角的平面角為鈍角，故二面角的余弦值為．


23．（2020?宜昌模擬）如圖，在四棱錐中，，，．
（1）證明：平面；
（2）若，，為線段上一點，且，求直線與平面所成角的正弦值．

【解答】（1）證明：在四棱錐中，，，．
，，
，，
，平面．
（2）解：，平面，
以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，
，，為線段上一點，且，，．
，，，，0，，，0，，，0，，，2，，
，，，，0，，，2，，
設平面的法向量，，，
則，取，得，1，，
設直線與平面所成角為，
則直線與平面所成角的正弦值為：
．

24．（2020?五華區校級模擬）如圖所示的幾何體中，正方形所在平面垂直于平面，四邊形為平行四邊形，為上一點，且平面，．
（1）求證：平面平面；
（2）當三棱錐體積最大時，求平面與平面所成二面角的正弦值．

【解答】
（1）證明：因為平面平面，平面平面，
四邊形為為正方形，即，平面，
所以平面，
又因為平面，所以，
因為面，平面，
所以，
因為，，平面，
所以平面，
因為平面，
所以平面平面．
（2）解：，
求三棱錐體積的最大值，只需求的最大值．
令，，
由（1）知，
所以，當且僅當，
即 時，．
以中點為坐標原點建立空間直角坐標系如圖，則
，，，，1，，，1，，，0，．
設為平面的一個法向量，
則，
可取，則，
因為四邊形為平行四邊形，為等腰直角三角形，
所以四邊形為正方形，取平面的一個法向量為，
所以，，所以，，
即平面與平面所成二面角的正弦值為


25．（2020?龍巖一模）如圖，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，，頂點在底面內的射影恰為點．
（1）求證：平面；
（2）若直線與底面所成的角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

【解答】解：（1）證明：如圖，連接，則平面，
平面，，
在等腰梯形中，連接，過點作于點，
，，，
則，，，
，
因此滿足，，
又，平面，，
平面．
（2）解：由（1）知，，兩兩垂直，
平面，，，
以為坐標原點，分別以，，，所在直線為軸，軸，軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，0，，，0，，，2，，，0，，
，2，，，0，，
設平面的法向量，，，
由，取，得，
又，0，為平面的一個法向量，
設平面與平面所成銳二面角為，
則．
平面與平面所成銳二面角的余弦值為．

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