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平面圖形與幾何知識(shí)匯總梳理
四邊形：
（1）四邊形的特征： 有4條直的邊，有4個(gè)角，是封閉圖形。
（2）長(zhǎng)方形和正方形的特征：
長(zhǎng)方形特征：4個(gè)角都是直角，對(duì)邊相等，較長(zhǎng)的邊叫做長(zhǎng)，較短的邊叫做寬。
正方形的特征：4個(gè)角都是直角，每條邊都相等，每條邊的長(zhǎng)叫做邊長(zhǎng)。
圖形的周長(zhǎng)： 封閉圖形一周的長(zhǎng)度，是它的周長(zhǎng)。
周長(zhǎng)的求法：
（1）測(cè)直邊物體和圖形的周長(zhǎng)：用直尺分別測(cè)量出每條邊的長(zhǎng)度，再計(jì)算長(zhǎng)度之和。
（2）測(cè)量圓形物體的周長(zhǎng)：
①繞繩法：用一根繩繞圓的邊緣一周，剪去多余的部分，再拉直，量出它的長(zhǎng)度即得到圓的周長(zhǎng)。
②滾動(dòng)法：把圓放在直尺上滾動(dòng)一周，直接量出圓的周長(zhǎng)。
（3）測(cè)量不規(guī)則物體的周長(zhǎng)：用細(xì)線繞樹(shù)葉周?chē)蝗Γ焙鬁y(cè)量細(xì)線的長(zhǎng)度。
3. 長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)＝長(zhǎng)＋寬＋長(zhǎng)＋寬
長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的計(jì)算方法 長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)＝長(zhǎng)×2＋寬×2
長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)＝（長(zhǎng)＋寬）×2
正方形周長(zhǎng)的計(jì)算方法 正方形的周長(zhǎng)＝邊長(zhǎng)＋邊長(zhǎng)＋邊長(zhǎng)＋邊長(zhǎng)
正方形的周長(zhǎng)＝邊長(zhǎng)×4
4.用相同的小正方形拼長(zhǎng)方形和正方形，拼成正方形時(shí)周長(zhǎng)最短，擺成一排拼成長(zhǎng)方形時(shí)周長(zhǎng)最長(zhǎng)。
5.面積：物體的表面或封閉圖形的大小，就是它們的面積。
周長(zhǎng)與面積的區(qū)別：周長(zhǎng)是指封閉圖形一周的長(zhǎng)度，面積是指物體所占平面大小。
6.常用面積單位：
（1）平方厘米（cm2）：邊長(zhǎng)1厘米的正方形，面積是1平方厘米。
（2）平方分米（dm2）：邊長(zhǎng)1分米的正方形，面積是1平方分米。
（3）平方米（m2）：邊長(zhǎng)1米的正方形，面積是1平方米。
7.面積公式： 長(zhǎng)方形面積 = 長(zhǎng)×寬
正方形面積 = 邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)
8.平行與垂直： 同一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系只有兩種不相交——平行
相交 垂直
不垂直
平行：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線，也可以說(shuō)這兩條直線互相平行。
垂直：兩條直線相交成直角，就說(shuō)這兩條直線互相垂直。
其中一條直線叫做另一條直線的垂線，這兩條直線的交點(diǎn)叫做垂足。
拓展：① “在同一個(gè)平面內(nèi)”是確定兩條直線是不是平行關(guān)系的前提。如果不在同一個(gè)平面內(nèi)，有些直線雖然不相交，但也不能稱(chēng)為互相平行。
② 在同一個(gè)平面內(nèi)，如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行。如果a∥b，b∥c，那么a∥c。
③ 在同一個(gè)平面內(nèi)，如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線互相平行。如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c。
9.垂直的畫(huà)法：
（1）在畫(huà)互相垂直的兩條直線時(shí)，可以借助三角尺或量角器來(lái)畫(huà)。
（2）過(guò)直線上一點(diǎn)畫(huà)已知直線的垂線的方法：
① 把三角尺的一條直角邊與已知直線重合。
② 沿著直線移動(dòng)三角尺，使三角尺的直角頂點(diǎn)和直線上的已知點(diǎn)重合。
③ 沿著三角尺的另一條直角邊畫(huà)一條直線（三角尺的直角頂點(diǎn)是垂足），這條直線就是已知直線的垂線。
④ 標(biāo)出直角符號(hào)。
（3）過(guò)直線外一點(diǎn)畫(huà)已知直線的垂線的方法：
① 把三角尺的一條直角邊與已知直線重合。
② 沿著直線移動(dòng)三角尺，使三角尺的另一條直角邊過(guò)直線外的一點(diǎn)。
③ 沿著三角尺的另一條直角邊畫(huà)一條直線（三角尺的直角頂點(diǎn)是垂足），這條直線就是已知直線的垂線。
④ 標(biāo)出直角符號(hào)。



10.點(diǎn)到直線的距離：
(1)從直線外一點(diǎn)到這條直線所畫(huà)的垂直線段最短，它的長(zhǎng)度叫做這點(diǎn)到直線的距離。
(2)平行線間的距離處處都相等。

11.畫(huà)長(zhǎng)方形的方法：
(1)先畫(huà)出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)；
(2)再以這條長(zhǎng)的兩個(gè)端點(diǎn)為垂足，向同一個(gè)方向畫(huà)兩條長(zhǎng)度相等且與這條長(zhǎng)垂直的線段作為長(zhǎng)方形的兩條寬；
(3)最后把這兩條寬的另外兩個(gè)端點(diǎn)連接起來(lái)，畫(huà)出長(zhǎng)方形的另一條長(zhǎng)。

12.平行四邊形：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形，叫做平行四邊形。
特征：兩組對(duì)邊分別平行且相等。
平行四邊形的底和高：從平行四邊形一條邊上的一點(diǎn)向?qū)呉粭l垂線，這點(diǎn)和垂足之間
的線段叫做平行四邊形的高，垂足所在的邊叫做平行四邊形的底。




平行四邊形特性：易變形，具有不穩(wěn)定性。
13.梯形：只有一組對(duì)邊平行的四邊形，叫做梯形。
梯形各部分的名稱(chēng)：
特殊梯形：①等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。（如圖1）
②直角梯形：有一個(gè)角是直角的梯形叫做直角梯形。（如圖2）



畫(huà)梯形高的方法：在梯形的底上選一點(diǎn)向?qū)叜?huà)一條垂線，這點(diǎn)和垂足之間的線段就是梯形的高。（通常從上底的一個(gè)端點(diǎn)向它的對(duì)邊畫(huà)高。）
14.補(bǔ)充：
（1）.平行四邊形和梯形畫(huà)高的注意事項(xiàng)：
①要用虛線表示。②一定要畫(huà)直角符號(hào)。③一般把高畫(huà)在圖形內(nèi)。
（2）.四邊形之間的關(guān)系






（3）.比較各種四邊形的特征：
四邊形 邊數(shù) 對(duì)邊是否平行 對(duì)邊是否相等 對(duì)角是否相等
正方形
長(zhǎng)方形
平行四邊形
梯形








15.平行四邊形的面積

平行四邊形 長(zhǎng)方形







長(zhǎng)方形的面積 ＝ 長(zhǎng) × 寬
平行四邊形的面積 ＝ 底 × 高


平行四邊形的面積＝底×高
S＝ah


注意：①求平行四邊形的面積，要先找到底和其相對(duì)應(yīng)的高，再計(jì)算。
②平行四邊形底不變，高擴(kuò)大到原來(lái)的n倍，則面積擴(kuò)大到原來(lái)的n倍；
平行四邊形底不變，高縮小到原來(lái)的，則面積縮小到原來(lái)的。
平行四邊形高不變，底擴(kuò)大到原來(lái)的n倍，則面積擴(kuò)大到原來(lái)的n倍；
平行四邊形高不變，底縮小到原來(lái)的，則面積縮小到原來(lái)的。
平行四邊形的底擴(kuò)大到原來(lái)的n倍，高縮小到原來(lái)的，面積不變。






16.三角形的面積
三角形 平行四邊形 或 長(zhǎng)方形










兩個(gè)完全相同的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形，拼成一個(gè)平行四邊形的兩個(gè)三角形完全相同。
三角形的底 ＝ 平行四邊形的底
三角形的高 ＝ 平行四邊形的高
每個(gè)三角形的面積 ＝ 平行四邊形的面積÷2
＝ 平行四邊形的底×平行四邊形的高÷2
＝ 三角形的底×三角形的高÷2 （相對(duì)應(yīng)的底和高）
三角形的面積 ＝ 底×高÷2
S ＝ ah÷2











17.梯形的面積
梯形 平行四邊形





兩個(gè)完全相同的梯形可以拼成一個(gè)平行四邊形。
梯形的（上底+下底）＝ 平行四邊形的底
梯形的高 ＝ 平行四邊形的高
每個(gè)梯形的面積 ＝ 平行四邊形的面積÷2
＝ 平行四邊形的底×平行四邊形的高÷2
＝ （梯形的上底+梯形的下底）×梯形的高÷2
梯形的面積 ＝ （上底＋下底）×高÷2
S ＝（a＋b）×h÷2


















18.圓的認(rèn)識(shí)
（1）圓：一條線段繞著它固定的一端在平面上旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，它的另一端就會(huì)畫(huà)出一條封閉的
曲線，這條封閉曲線叫做圓。
（2）圓規(guī)畫(huà)圓的方法。
① 把圓規(guī)的兩腳分開(kāi)，定好兩腳之間的距離；→定半徑
② 把帶有針尖的角固定在一點(diǎn)上；→定圓心
③ 把裝有鉛筆的腳旋轉(zhuǎn)一周，就畫(huà)出了一個(gè)圓。→畫(huà)圓
（3）圓的認(rèn)識(shí)。
①圓心：用圓規(guī)畫(huà)圓時(shí)，針尖所在的點(diǎn)叫圓心。用字母O表示。→決定圓的位置
②半徑：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段叫半徑。用字母r表示。
③直徑：通過(guò)圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。用字母d表示。
半徑（直徑）越長(zhǎng)，圓越大；半徑（直徑）越短，圓越小。



④等圓：半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓。等圓經(jīng)過(guò)平移可以完全重合。
⑤同心圓：圓心重合，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓。
⑥在同圓或等圓中：或
半徑擴(kuò)大到原來(lái)的幾倍，直徑也擴(kuò)大到原來(lái)的幾倍；
半徑縮小到原來(lái)的幾分之一，直徑也縮小到原來(lái)的幾分之一。
⑦圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱(chēng)軸，圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸。









19.圓的周長(zhǎng)
圓的周長(zhǎng)。
（1）圓的周長(zhǎng)：圍成圓的曲線的長(zhǎng)是圓的周長(zhǎng)。
（2）測(cè)量方法：滾動(dòng)法、繞繩法、直接測(cè)量法。
（3）圓周率是任意一個(gè)圓的周長(zhǎng)和它直徑的比值。這個(gè)比值是一個(gè)固定數(shù)，用π表示。
它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，π=3.1415926535……通常取π≈3.14。




（4）圓的周長(zhǎng)



半徑×2
拓展：
圓的半徑或直徑擴(kuò)大到原來(lái)的幾倍，它的周長(zhǎng)也擴(kuò)大到原來(lái)的幾倍。
圓的半徑或直徑縮小到原來(lái)的幾分之一，它的周長(zhǎng)也縮小到原來(lái)的幾分之一。
②
③ 圓周長(zhǎng)的一半；
半圓=圓周長(zhǎng)的一半+直徑






20.圓的面積公式推導(dǎo)
（1）圓的面積定義：
圓所占平面的大小叫做圓的面積。圓的面積的大小與半徑（直徑）的長(zhǎng)短有關(guān)。
（2）圓的面積公式：
把圓等分成若干份，用這些接近于等腰三角形的小圖形拼成學(xué)過(guò)的圖形來(lái)進(jìn)行推導(dǎo)。












圓的面積 ＝ 長(zhǎng)方形的面積
＝ 長(zhǎng) × 寬
＝ ×
＝ ×
＝



梯形的（上底+下底）→圓的 三角形的 底 →圓的
梯形的 高 →圓的 三角形的 高 →圓的
21.圓的半徑、直徑、周長(zhǎng)、面積之間的關(guān)系。
①圓的半徑擴(kuò)大到原來(lái)的a倍， 則它的直徑擴(kuò)大到原來(lái)的a倍，
它的周長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的a倍，
它的面積擴(kuò)大到原來(lái)的a2倍。
例如：圓的半徑擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，則它的直徑擴(kuò)大到原來(lái)的（ ）倍，周長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的（ ）倍，面積擴(kuò)大到原來(lái)的（ ）倍。
②圓的半徑縮小到原來(lái)的，則它的直徑縮小到原來(lái)的，
它的周長(zhǎng)縮小到原來(lái)的，
它的面積縮小到原來(lái)的。
例如：圓的半徑縮小到原來(lái)的，則它的直徑縮小到原來(lái)的（ ），周長(zhǎng)縮小到原來(lái)的（ ），面積縮小到原來(lái)的（ ）。

③


22.圓環(huán)的面積
圓環(huán)（環(huán)形）：兩個(gè)半徑不相等的同心圓之間的部分叫做圓環(huán)，也叫做環(huán)形。
外圓：圓環(huán)中較大的圓。 外圓的半徑用字母“R”表示。
內(nèi)圓：圓環(huán)中較小的圓。 內(nèi)圓的半徑用字母“r”表示。
環(huán)寬：兩個(gè)圓之間的寬度。 環(huán)寬＝外圓半徑－內(nèi)圓半徑，用字母“L”表示，即L＝R－r。

圓環(huán)的面積 = S大圓 — S小圓
=
=
23.外方內(nèi)圓 和 外圓內(nèi)方
圓的直徑是正方形的 。
S陰影 = S正 — S圓
= —
外方內(nèi)圓 =

圓的直徑是正方形的 。
圓的直徑是三角形的 。
圓的半徑是三角形的 。
外圓內(nèi)方 S陰影 = S圓 — S正
= S圓 — 2S三角
= —
=





















24.用數(shù)對(duì)表示具體情境中物體位置
用數(shù)對(duì)表示具體情境中物體位置的方法
（1）豎排叫做列，橫排叫做行，確定列數(shù)要從左往右數(shù)，確定行數(shù)要從前往后數(shù)。
（2）用數(shù)對(duì)表示物體的位置時(shí)，先說(shuō)列，后說(shuō)行，表示形式為（列數(shù)，行數(shù)）。

○ ○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○ ○









25.在方格紙上用數(shù)對(duì)確定物體位置的方法
（1）用數(shù)對(duì)可以表示平面圖上物體的位置。
（2）給出物體在平面圖上的數(shù)對(duì)，就可以確定物體所在的位置。
○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○
（A，B）
（A，C）
（A，B）
（C，B）

在方格紙上，物體左右平移，行數(shù)不變。向左平移，列數(shù)減去平移格數(shù)，
向右平移，列數(shù)加上平移格數(shù)。
在方格紙上，物體上下平移，列數(shù)不變。向上平移，行數(shù)加上平移格數(shù)，
向下平移，行數(shù)減去平移格數(shù)。



轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想

a＝S÷h

h＝S÷a

底=平行四邊形的面積÷高

高=平行四邊形的面積÷底

底a

高h(yuǎn)

底

高

底

高

底

高

底

高

底

高

底

底

a＝2S÷h

h＝2S÷a

底 ＝ 三角形的面積×2÷高

高 ＝ 三角形的面積×2÷底

底a

高h(yuǎn)

下底b

高h(yuǎn)

上底a

上底 ＋下底 ＝ 梯形的面積×2÷高

高 ＝ 梯形的面積×2÷（上底＋下底）

a＋b ＝ 2S÷h

h ＝ 2S÷（a＋b）

決定圓的大小

等圓

同心圓








發(fā)現(xiàn)：
把圓平均分成的份數(shù)越多，每一份就會(huì)越小，拼成的圖形就會(huì)越接近于一個(gè)長(zhǎng)方形。


長(zhǎng)方形的寬近似于
圓的半徑

長(zhǎng)方形

寬

長(zhǎng)

長(zhǎng)方形的長(zhǎng)近似于圓的周長(zhǎng)的一半







外圓

內(nèi)圓

R

r

L

環(huán)寬

r

r

第1列 第2列

豎排叫列

橫排叫行

列 從左往右數(shù)

行

從
前
往
后
數(shù)

第2行

（2,3）

第1行





第一個(gè)數(shù)相同，
物體在同一列

第二個(gè)數(shù)相同，
物體在同一行

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