資源簡(jiǎn)介

人教版六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 教材知識(shí)點(diǎn)系統(tǒng)梳理
分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算
知識(shí)精講1：
分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義
分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義與整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算。
2. 分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法
分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變。
結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)（約分）。
3. 分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的簡(jiǎn)便算法
能約分的可以先約分，再計(jì)算，這樣可以簡(jiǎn)便些。

知識(shí)精講2：
1. 分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的意義：分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，表示求這個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少。
2. 分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法：用分子相乘的積作分子，用分母相乘的積作分母。
3. 結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)（約分）。

知識(shí)精講3：
1. 能約分的先約分再計(jì)算比較簡(jiǎn)便。
2. 可以把小數(shù)轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)來(lái)計(jì)算；
3. 如果分?jǐn)?shù)能化成有限小數(shù)，也可以把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)來(lái)計(jì)算。
4. 可以根據(jù)數(shù)的特點(diǎn)，靈活選擇方法進(jìn)行計(jì)算。


















奧數(shù)思維拓展：
運(yùn)用拆分法解決稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)計(jì)算問(wèn)題
1.滲透兩種數(shù)學(xué)思想：歸納、轉(zhuǎn)化。
2.學(xué)習(xí)兩種思維方法：拆分法、抵消法。
思維提升：
[例題]計(jì)算： ＋ ＋ ＋…＋
[分析]
因?yàn)? ＝ ＝ - ＝1- ， ＝ ＝ - ＝ - 。

所以，以此類(lèi)推可得 ＝ - ，…， ＝ - 。利用這個(gè)規(guī)律，我們可以很快地計(jì)算出算式的得數(shù)。
[解答]
＋ ＋ ＋…＋

＝（1- ）＋（ - ）＋（ - ）＋ …＋（ - ）

＝ 1- ＋ - ＋ - ＋ …＋ -

＝1-

＝

[技巧]
形如 的分?jǐn)?shù)可以拆分成 - （a≠0）的形式。

舉一反三
計(jì)算：（1） ＋ ＋ ＋…＋





（2） ＋ ＋ ＋…＋






（3） ＋ ＋ ＋…＋





















整數(shù)乘法運(yùn)算定律推廣到分?jǐn)?shù)
知識(shí)精講1：
分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算順序：分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算順序與整數(shù)四則混合運(yùn)算相同。
1.同級(jí)運(yùn)算：算式中只有加、減或只有乘、除，要按照從左到右的順序計(jì)算；
2.兩級(jí)運(yùn)算：算式中既有乘、除又有加、減，要先算乘、除法，后算加、減法；
3.有小括號(hào)：先算小括號(hào)里面的，后算小括號(hào)外面的。


知識(shí)精講2：
1.運(yùn)算定律：
加法交換律：a+b=b+a
加法運(yùn)算定律：
加法結(jié)合律:a+b+c=a+(b+c)


乘法交換律:a×b=b×a
乘法運(yùn)算定律： 乘法結(jié)合律:a×b×c=a×(b×c)
乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c
(a-b)×c=a×c-b×c
減法的性質(zhì)： a－b－c = a－(b＋c)
除法的性質(zhì)： a÷b÷c = a÷(b×c)


奧數(shù)思維拓展：
(一)用改造法解決復(fù)雜的有關(guān)乘法分配律的問(wèn)題
滲透兩種數(shù)學(xué)思想：推理、類(lèi)比。
學(xué)習(xí)兩種思維方法：轉(zhuǎn)化法、分析法。

思維提升
[例題]計(jì)算： × ＋ ×
[分析]
因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)乘法是用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母，所以互換分子或分母.積的大小不變，即 × ＝ ＝ ×
這樣就同前一個(gè)乘法算式有相同的因數(shù) ，然后運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算。

[解答]
× ＋ × 交換了分子
＝ × ＋ × 的位置

＝ ×（ ＋ ）
＝
[技巧]
在分?jǐn)?shù)乘法中，為了計(jì)算簡(jiǎn)便，可以運(yùn)用交換律交換兩個(gè)分?jǐn)?shù)的位置，還可以交換它們
分子或分母的位置，積不變。計(jì)算時(shí)有些題目從表面上看不能直接運(yùn)用運(yùn)算定律進(jìn)行簡(jiǎn)
便計(jì)算，實(shí)際上可以運(yùn)用轉(zhuǎn)化、變形等方法進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。
[舉一反三]
計(jì)算下面各題。
× ＋ × × ＋ × × ＋ ×









（二）運(yùn)用拆分法解決稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)計(jì)算問(wèn)題
1、滲透兩種數(shù)學(xué)思想：歸納、轉(zhuǎn)化。
2、學(xué)習(xí)兩種思維方法：拆分法、抵消法。
思維提升
[例題]


[分析]把題中的每個(gè)數(shù)分別擴(kuò)大到原來(lái)的2（分母中兩個(gè)因數(shù)的差）倍，各加數(shù)分別變?yōu)? ，

， ,…， ，而 ＝1- ， ＝ - ， ＝ - ，…， ＝

- ，可知把各項(xiàng)拆分成兩個(gè)數(shù)的差計(jì)算比較簡(jiǎn)便，最后把所得的結(jié)果再縮小到它的 ，

從而得出原題的結(jié)果。
[解答]

＝（ ＋ ＋ ＋…＋ ）×

＝（1- ＋ - ＋ - ＋…＋ - ）×

＝（1- ）×

＝ ×

＝

[技巧] 形如 的分?jǐn)?shù)可以拆分成（ － ）× （a≠0,n≠0）的形式。

[舉一反三]：









分?jǐn)?shù)乘法的應(yīng)用

知識(shí)精講1：
連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的問(wèn)題：
解決“連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”的實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是弄清每一步單位“1”的量。
用示意圖可以比較清楚地表示出他們之間的數(shù)量關(guān)系：?jiǎn)挝弧?”的量×比較量占單位“1”的幾分之幾＝比較量。
根據(jù)關(guān)鍵詞巧判斷單位“1”：
“的”前“比”后。
☆補(bǔ)充知識(shí)：
①“比”字后面是單位“1”（分率在后面）；
②“是”字后面是單位“1”（分率在后面）；
③“占”字后面是單位“1”（分率在后面）；
④“相當(dāng)于”字后面是單位“1”（分率在后面）。

知識(shí)精講2：
1.求比一個(gè)數(shù)多幾分之幾的數(shù)是多少的問(wèn)題的解題方法
單位“1”的量＋單位“1”的量×比單位“1”多的幾分之幾＝所求的量
單位“1”的量×（1＋比單位“1”多的幾分之幾）＝所求的量

2.求比一個(gè)數(shù)少幾分之幾的數(shù)是多少的問(wèn)題的解題方法
（1）單位“1”的量－單位“1”的量×比單位“1”多的幾分之幾＝所求的量
（2）單位“1”的量×（1－比單位“1”少的幾分之幾）＝所求的量



奧數(shù)思維拓展：
（一）重疊問(wèn)題：
1.滲透三種數(shù)學(xué)思想：集合、推理、數(shù)形結(jié)合
2.學(xué)習(xí)一種思維方法：數(shù)形結(jié)合法

[例題]六（1）班一共有48人，琪琪對(duì)全班同學(xué)喜歡語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩門(mén)課程的人進(jìn)行了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)喜歡數(shù)學(xué)的人占全班人數(shù)的 ，喜歡語(yǔ)文的人數(shù)占全班人數(shù)的 ，每個(gè)人至少喜歡一門(mén)。這個(gè)班既喜歡語(yǔ)文又喜歡數(shù)學(xué)的 一共有多少人？

[分析]畫(huà)圖分析題意。

喜歡語(yǔ)文 喜歡數(shù)學(xué)



既喜歡語(yǔ)文又喜歡數(shù)學(xué)
思路1：根據(jù)下面的數(shù)量關(guān)系解答。

既喜歡語(yǔ)文又喜歡數(shù)學(xué)＝喜歡語(yǔ)文的人數(shù) + 喜歡數(shù)學(xué)的人數(shù) - 全班人數(shù)

思路2：先求出喜歡語(yǔ)文的人數(shù)和喜歡數(shù)學(xué)的人數(shù)一共占全班的幾分之幾，再求比單位“1”超出幾分之幾，最后用總?cè)藬?shù)乘超出的幾分之幾，就是既喜歡語(yǔ)文又喜歡數(shù)學(xué)的人數(shù)。

[解答]
方法1: 48× ＋48× ﹣48＝8（人）

方法2： 48×（ ＋ ﹣1）＝8（人）

答：這個(gè)班既喜歡語(yǔ)文又喜歡數(shù)學(xué)的一共有8人。

[技巧]解決重疊問(wèn)題時(shí)，先從條件入手，借助示意圖進(jìn)行分析，找出哪些是重復(fù)的，重復(fù)了幾次，明確求的是哪一部分，從而找出解題的方法。

[舉一反三]
1.中心小學(xué)六（1）班有45名學(xué)生，其中訂《英語(yǔ)報(bào)》的占全班人數(shù)的 ，訂《數(shù)學(xué)報(bào)》的占全班人數(shù)的 ，每人至少訂閱一種。兩種報(bào)紙都訂閱的學(xué)生有多少名？









2.樂(lè)器興趣小組有24人，其中會(huì)彈鋼琴的占 ，會(huì)彈古箏的占 ，每人至少會(huì)一種。兩種樂(lè)器都會(huì)的有多少人？






3.六（6）班有學(xué)生55人，參加學(xué)校繪畫(huà)比賽的占 ，即參加繪畫(huà)比賽又參加書(shū)法比賽的 ，
兩項(xiàng)比賽都參加的有14人。參加書(shū)法比賽的有多少人？





（二）用列表法解決分?jǐn)?shù)連乘問(wèn)題：
1.滲透一種數(shù)學(xué)思想：推理思想。
2.學(xué)習(xí)兩種思維方法：列舉法、嘗試法。
思維提升
[例題]皮球從高處自由落下，每次接觸地面彈起的高度是前一次的 ，如果皮球從50m高處落下，第三次彈起的的高度是多少米？
[分析]
列表觀察每次彈起的高度變化情況。
次數(shù) 第一次 第二次 第三次
彈起的高度/m 50× 50× × 50× × ×
[解答]
50× × × ＝ （m）
答：第三次彈起的高度是 m。
[技巧]
通過(guò)列表，可以清楚地觀察到皮球每次彈起的高度變化情況，便于理解數(shù)量關(guān)系。
[舉一反三]
1.瓶子中裝有一種孢子，每小時(shí)分裂1次，體積增大1倍，如果最初孢子的體積占瓶子的
，三小時(shí)后孢子的體積占瓶子的幾分之幾？





2.一件商品1200元，每次所降的價(jià)格都是上一次售價(jià)的 ，這件商品第二次降價(jià)后的售價(jià)是多少元？





3.猴王把2000個(gè)桃子分給一群猴子吃，第一次分了總數(shù)的 ，第二次分了余下的 ，第三次分了第二次余下的 ，猴王第三次分了多少個(gè)桃子？



















位置與方向（二）
知識(shí)精講1：
根據(jù)方向和距離在平面圖上確定物體位置
1.確定參照點(diǎn)，建立方向標(biāo)。
2.根據(jù)方向初步確定物體位置。（用量角器確定方向）
3.根據(jù)距離確定物體的具體位置，標(biāo)上名稱(chēng)。
（以選定的單位長(zhǎng)度為基準(zhǔn)，用直尺確定圖上距離）。

知識(shí)精講2：
描述簡(jiǎn)單的路線圖的方法
（1）先按行走路線確定每一個(gè)參照點(diǎn)，然后確定行走的方向和路程，
（2）即每一步都要說(shuō)清是從哪里出發(fā)，向什么方向走多遠(yuǎn)的距離到達(dá)哪兒。





知識(shí)精講3：
繪制路線圖的步驟和方法:
確定方向標(biāo)和單位長(zhǎng)度。
確定起點(diǎn)的位置。
根據(jù)描述,從起點(diǎn)出發(fā),找好方向和距離,一段一段地畫(huà)。除第一段(以起點(diǎn)為參照點(diǎn)),其余每段都要以前一段的終點(diǎn)為參照點(diǎn)。
以誰(shuí)為參照點(diǎn)，就以誰(shuí)為中心畫(huà)出“十”字方向標(biāo)，然后判斷下一點(diǎn)的方向和距離。











倒數(shù)的認(rèn)識(shí)和分?jǐn)?shù)除法計(jì)算
知識(shí)精講1：
1.倒數(shù)的意義：乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。

2. 和 互為倒數(shù)，就是指： 的倒數(shù)是 ， 的倒數(shù)是 。

3.互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)特點(diǎn)：
（1）如果兩個(gè)數(shù)都是分?jǐn)?shù)，那么兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母正好顛倒了位置；
（2）如果一個(gè)是整數(shù)，則另一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子是1，分母是這個(gè)整數(shù)；
（3）0沒(méi)有倒數(shù)。

知識(shí)精講2：
分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，等于分?jǐn)?shù)乘以這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)。
分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，用分?jǐn)?shù)的分子除以這個(gè)整數(shù)的方法存在局限性，它僅僅適用于分子能被整數(shù)整除的情況。
（2）分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法進(jìn)行計(jì)算的方法具有實(shí)用性和普遍性，運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

知識(shí)精講3：
1.一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，用這個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。

（1）被除數(shù)不變；
2.將分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)乘法的要點(diǎn)： （2）除號(hào)變乘號(hào)；
（3）除數(shù)變成它的倒數(shù)。

小于1的數(shù)（0除外），商大于被除數(shù)；
3.（1）一個(gè)數(shù)（0除外）除以 1，商等于被除數(shù)；
大于1的數(shù)，商小于被除數(shù)。

（2）0除以任何數(shù)（0除外）都得0。


知識(shí)精講4：
分?jǐn)?shù)的四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序與整數(shù)的四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序相同。
（1）在沒(méi)有括號(hào)的算式里：只有乘、除法或者只有加、減法， 按照從左到右的順序依次進(jìn)行計(jì)算。——同級(jí)運(yùn)算
（2）在沒(méi)有括號(hào)的算式里，既有加、減法又有乘、除法，要先算乘、除法，再算加、減法。——兩級(jí)運(yùn)算
（3）有小括號(hào)的算式里，應(yīng)該先算小括號(hào)里面的，后算小括號(hào)外面的。——含括號(hào)




奧數(shù)思維拓展
一、簡(jiǎn)便計(jì)算：
1、滲透兩種數(shù)學(xué)思想：推理思想、轉(zhuǎn)化思想。
2、學(xué)習(xí)三種思維方法：拆分法、轉(zhuǎn)化法與嘗試法。

[例題]計(jì)算：（1） ÷ 41 （2）2014 ÷

[分析]
仔細(xì)觀察算式和數(shù)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：

中的 可以分成一個(gè)41的倍數(shù)與另一個(gè)較小的數(shù)相加，再利用除法的性質(zhì)運(yùn)算簡(jiǎn)便。

中的 化為假分?jǐn)?shù)時(shí)，將分子用兩個(gè)數(shù)想乘的形式呈現(xiàn)，則便于約分和計(jì)算。

[解答]
÷ 41 （2）2014 ÷

＝（205＋2 ）÷ 41 ＝2014÷

＝205÷41＋2 ÷41 ＝2014÷

＝5＋ ＝2014×

＝5 ＝

[技巧]
仔細(xì)觀察運(yùn)算符號(hào)和數(shù)的特點(diǎn)，合理地把參加運(yùn)算的數(shù)拆開(kāi)或?qū)Х謹(jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)等，使其變成符合運(yùn)算定律的模式，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算。

[舉一反三]

166 ÷ 41 54 ÷ 17 235÷ 1997÷










二、用轉(zhuǎn)化法解決復(fù)雜的分?jǐn)?shù)問(wèn)題：
1、滲透兩種數(shù)學(xué)思想：類(lèi)比思想、推理思想。
2、學(xué)習(xí)兩種思維方法：抵消法、轉(zhuǎn)化法。
[例題1]有一個(gè)分?jǐn)?shù)，分子加上5可化簡(jiǎn)為 ，分子減5可化簡(jiǎn)為 ，這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？
[分析]
比原分?jǐn)?shù)多5個(gè)位數(shù)單位， 比原分?jǐn)?shù)少5個(gè)分?jǐn)?shù)單位， 與 的和正好是原分?jǐn)?shù)的2倍

（多5個(gè)分?jǐn)?shù)單位和少5個(gè)分?jǐn)?shù)單位相互抵消)，用它們的和除以2就得到原分?jǐn)?shù)。

[解答]（ ＋ ）÷2 ＝ × ＝

答：這個(gè)分?jǐn)?shù)是 。

[例題2]有一個(gè)分?jǐn)?shù)，分母加7可化簡(jiǎn)為 ，分母減7可化簡(jiǎn)為 ，這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？
[分析]
分母加的數(shù)和分母減的數(shù)相同，將這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母交換位置，則條件可以轉(zhuǎn)化為

分子加7可化簡(jiǎn)為 ，分子減7可化簡(jiǎn)為 。

比原分?jǐn)?shù)的倒數(shù)多7個(gè)分?jǐn)?shù)單位， 比原分?jǐn)?shù)的倒數(shù)少7個(gè)分?jǐn)?shù)單位， 與 的和

正好是原分?jǐn)?shù)倒數(shù)的2倍（多7個(gè)分?jǐn)?shù)單位和少7個(gè)分?jǐn)?shù)單位正好抵消）。

[解答] （ ＋ ）÷2 ＝ × ＝

的倒數(shù)是 。

答：這個(gè)分?jǐn)?shù)是 。

[技巧]
一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子加、減同一個(gè)數(shù)后得到兩個(gè)新的分?jǐn)?shù)，那么這兩個(gè)新的分?jǐn)?shù)的平均數(shù)就是原分?jǐn)?shù)。
一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母加、減同一個(gè)數(shù)后得到兩個(gè)新的分?jǐn)?shù)，兩個(gè)新分?jǐn)?shù)倒數(shù)的平均數(shù)就是原分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。
[舉一反三]
1.有一個(gè)分?jǐn)?shù)，分子加上1可化簡(jiǎn)為 ，分子減1可化簡(jiǎn)為 ，這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？




2.有一個(gè)分?jǐn)?shù)，分母加1可化簡(jiǎn)為 ，分母減1可化簡(jiǎn)為 ，這個(gè)分?jǐn)?shù)是多少？



分?jǐn)?shù)除法 解決問(wèn)題1
知識(shí)精講1：
已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)：
用算數(shù)法解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：
①找準(zhǔn)單位“1”的量，設(shè)為x; ②找出題目中的等量關(guān)系；
③列出方程求解； ④檢驗(yàn)作答。
用算書(shū)法解決“已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)”的方法：
①找出單位“1”；
②找出已知量和已知量占單位“1”的幾分之幾；
③列出除法算式，即 已知量÷已知量占單位“1”的幾分之幾＝單位“1”的量。
知識(shí)精講2：
已知一個(gè)數(shù)的連續(xù)幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)：
①?gòu)暮蟹致实木渥永镎覝?zhǔn)單位“1”；
②明確各量之間的等量關(guān)系；
（可輔助線段圖找等量關(guān)系）
③根據(jù)等量關(guān)系列方程或用算術(shù)方法解答。
知識(shí)精講3：
1.已知比一個(gè)數(shù)多（或少）幾分之幾的數(shù)是多少，求這個(gè)數(shù)。
（1）“已知比一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾的數(shù)是多少，求這個(gè)數(shù)”的實(shí)際問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征：
單位“1”是未知的，已知比較量和比較量比單位“1”多（少）幾分之幾，求單位“1”。
（2）解題方法—方程法 解題方法—算書(shū)法
①找準(zhǔn)單位“1”的量，設(shè)為x； ①先找到題中單位“1”的量；
②找出題目中的等量關(guān)系； ②計(jì)算出已知量占單位“1”的幾分之幾或
③列出方程求解； 是單位“1”的幾分之幾倍；
④檢驗(yàn)作答。 ③再根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義列除法算式解答。
2.方法總結(jié)：
（1）已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)；
（2）已知一個(gè)數(shù)的連續(xù)幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)；
（3）已知比一個(gè)數(shù)多（或少）幾分之幾的數(shù)是多少，求這個(gè)數(shù)。
①?gòu)暮蟹致实木渥永镎覝?zhǔn)單位“1”；
②明確各量之間的等量關(guān)系；

③根據(jù)等量關(guān)系列方程或用算術(shù)方法解答。
奧數(shù)思維拓展：
轉(zhuǎn)化單位“1”
滲透兩種數(shù)學(xué)思想：化歸思想、方程思想。
學(xué)習(xí)兩種思維方法：轉(zhuǎn)化法、對(duì)應(yīng)法。

[例題]明明三天讀完一本書(shū)，第一天讀了全書(shū)的 ，第二天讀了余下的 ，第二天比第一天多讀了15頁(yè)，這本書(shū)共有多少頁(yè)？

[分析]
是把全書(shū)看作單位“1”，而 是把第一天讀后余下的頁(yè)數(shù)看作單位“1”。

（2）根據(jù)“第一天讀了全書(shū)的 ”和“第二天讀了余下的 ”，可以求出第二天讀的頁(yè)數(shù)是（1－ ）× ＝ 。

（3）根據(jù)“第二天比第一天多讀了15頁(yè)”，結(jié)合分析（2）列方程解答。

[解答]
解：設(shè)這本書(shū)有x 頁(yè)。
（1－ ）× x－ x ＝15

x－ x＝15

x＝300
答：這本書(shū)共有300頁(yè)。

[技巧]
把不同的數(shù)量當(dāng)作單位“1”，得到的分率可以在一定條件下轉(zhuǎn)化，需要統(tǒng)一單位“1”才能解決問(wèn)題。
[舉一反三]
1.加工一批零件，第一天完成這批零件的 ，第二天完成第一天的 ，還剩120個(gè)零件沒(méi)有完成。這批零件共有多少個(gè)？






2.修一條水渠，第一個(gè)月完成了這條水渠的 ，第二天完成了余下的 ，已知兩個(gè)月共修水渠1200m,這條水渠全長(zhǎng)多少米？








3.某家電城出售一批電視機(jī)，第一個(gè)月賣(mài)出這批電視機(jī)的 ，第二個(gè)月賣(mài)出余下的 。已知第二個(gè)月賣(mài)出的臺(tái)數(shù)比第一個(gè)月少200臺(tái)，這批電視機(jī)共有多少臺(tái)？




























分?jǐn)?shù)除法 解決問(wèn)題2
知識(shí)精講1：
解答“已知兩個(gè)數(shù)的和（差），其中一個(gè)量是另一個(gè)量的幾分之幾，求這兩個(gè)量”的實(shí)際問(wèn)題時(shí)需要注意：
題中有兩個(gè)未知數(shù)，可以選擇一個(gè)設(shè)為x，把另一個(gè)未知數(shù)用含x的式子表示出來(lái)，列出方程；
解方程求出x后，再求初另一個(gè)未知數(shù)；
通過(guò)列式計(jì)算，檢驗(yàn)兩個(gè)得數(shù)的和（差）及倍數(shù)關(guān)系是否符合已知條件。

知識(shí)精講2：
1.工程問(wèn)題
數(shù)量關(guān)系：工作總量=工作效率×工作時(shí)間
工作效率=工作總量÷工作時(shí)間
工作時(shí)間=工作總量÷工作效率
把工作總量看作單位“1”，完成此項(xiàng)工作的時(shí)間是幾，其工作效率就是幾分之一。
列式時(shí)，工作效率可以當(dāng)作已知條件直接參與列式。

2.工程問(wèn)題的解決方法：
在實(shí)際生活中，有很多像蓋房子、修公路這樣的問(wèn)題，它們統(tǒng)稱(chēng)為“工程問(wèn)題”。解決這類(lèi)問(wèn)題的一般步驟：
一設(shè)：設(shè)工作總量為一個(gè)具體的數(shù)量或者單位“1”；
二列：根據(jù)“工作總量÷兩隊(duì)的工作效率和=工作時(shí)間”列式；
三算：計(jì)算并檢驗(yàn)作答。















奧數(shù)思維拓展：
用假設(shè)法解答工程問(wèn)題中的請(qǐng)假問(wèn)題：
1.滲透兩種數(shù)學(xué)思想：假設(shè)思想、數(shù)學(xué)模型思想。
2.學(xué)習(xí)兩種思維方法：假設(shè)法、數(shù)量關(guān)系法。
[例題]某項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要20天完成，乙單獨(dú)做要30天完成。開(kāi)始兩人合作，中途因甲有事請(qǐng)假離開(kāi)幾天，一共經(jīng)過(guò)15天才完成工程，甲請(qǐng)了幾天假？
[分析]
假設(shè)甲沒(méi)有請(qǐng)假，計(jì)算15天兩人一共完成這項(xiàng)工程的幾分之幾，得到超出這項(xiàng)工程的幾分之幾；
計(jì)算超出的部分如果由甲單獨(dú)做幾天完成，所求的天數(shù)即為甲請(qǐng)假的天數(shù)。
根據(jù)“工作總量÷工作效率＝工作時(shí)間”列式解答。

[解答] （ ＋ ）×15 （ －1）÷ 檢驗(yàn)：
甲完成的工作量： ×（15－5）＝
＝ ×15 ＝ ×20
乙完成的工作量： ×15＝
＝ ＝5（天）
完成的工作總量： ＋ ＝1
答：甲請(qǐng)了5天假。
正好是這項(xiàng)工程單位“1”。
[技巧] 要求甲請(qǐng)了幾天假，直接計(jì)算很難入手，用假設(shè)沒(méi)請(qǐng)假的方法可以使復(fù)雜的問(wèn)題迎刃而解。解題的關(guān)鍵是理解甲完成超出工作量的時(shí)間就是甲請(qǐng)假的時(shí)間。
[舉一反三]
1.一件工作，甲單獨(dú)做要20天完成，乙單獨(dú)做要12天完成，這項(xiàng)工作先由甲做了若干天，再由乙繼續(xù)做完，從開(kāi)始到完工共用了14天，甲做了幾天？




2.一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做要50天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做要75天完成，現(xiàn)在兩隊(duì)合作，中間乙隊(duì)休息了若干天，這樣共用了40天才完成，乙隊(duì)休息多少天？






比的意義和性質(zhì)
知識(shí)精講1：比與比值。
1.兩個(gè)數(shù)的比表示兩個(gè)數(shù)相除。



2.注意：（1）比與除法：都表示兩個(gè)數(shù)的倍比關(guān)系，表現(xiàn)形式不同；
（2）比與比值：比表示兩個(gè)數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系，比值是一個(gè)具體的數(shù)；
a:b或 整數(shù)或分?jǐn)?shù)或小數(shù)
分?jǐn)?shù)，既可以表示a:b，又可以表示a:b的比值，需要具體情況具體分析。
知識(shí)精講2：
1.比與分?jǐn)?shù)、除法之間的聯(lián)系。
比 除法 分?jǐn)?shù)
3 : 5 = 3 ÷ 5 =



各項(xiàng)名稱(chēng) 意義 表示方法 結(jié)果表達(dá)
比 前項(xiàng) ：（比號(hào)） 后項(xiàng) 比值 表示兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系 可以用分?jǐn)?shù)表示 比值
除法 被除數(shù) ÷（除號(hào)） 除數(shù) 商 一種運(yùn)算 不能用分?jǐn)?shù)表示 商
分?jǐn)?shù) 分子 —（分?jǐn)?shù)線） 分母 分?jǐn)?shù)值 一個(gè)數(shù) 表示比或具體數(shù) 本身就是一個(gè)數(shù)，無(wú)需計(jì)算
除法： 被除數(shù) ÷ 除數(shù) = 商 被除數(shù)÷商=除數(shù) 商×除數(shù)=被除數(shù)

比： 前 項(xiàng) ÷ 后項(xiàng) = 比值 前 項(xiàng)÷比值=后項(xiàng) 比 值×后項(xiàng)=前項(xiàng)
比的前項(xiàng)、后項(xiàng)、比值三者中，已知任意兩項(xiàng)都可以求出第三項(xiàng)。
求比值
前項(xiàng) ÷ 后項(xiàng) = 比值
前項(xiàng) ÷ 比值 = 后項(xiàng)
（3）比值 × 后項(xiàng) = 前項(xiàng)

知識(shí)精講3：
1.比的基本性質(zhì)
（1）商不變的性質(zhì)：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變。
（2）分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)大小不變。
（3）比的基本性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），比值不變。
a : b = （a×c）:（b×c）= a : b
a : b = （a÷c）:（b÷c）= a : b （c≠0）
2.化簡(jiǎn)比
（1）最簡(jiǎn)整數(shù)比：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)都是整數(shù)，且只有公因數(shù)1的比。
（2）整數(shù)比→最簡(jiǎn)整數(shù)比：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)除以它們的最大公因數(shù)。
①先化成整數(shù)比（前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘分母的最小公倍數(shù)），
（3）分?jǐn)?shù)比→最簡(jiǎn)整數(shù)比： 再化成最簡(jiǎn)整數(shù)比。
②先求比值（前項(xiàng)除以后項(xiàng)），再將結(jié)果寫(xiě)成比的形式。
（4）小數(shù)比→最簡(jiǎn)整數(shù)比：先化成整數(shù)比（前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘不為0的數(shù)），
再化成最簡(jiǎn)整數(shù)比。
（5）一個(gè)比中既有小數(shù)又有分?jǐn)?shù)，可以把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，也可以把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，
再按照上述方法化成最簡(jiǎn)整數(shù)比。











奧數(shù)思維拓展：
用找中間量法解決連比問(wèn)題
1、滲透兩種數(shù)學(xué)思想：歸納、推理。
2、學(xué)習(xí)兩種思維方法：找中間量法、轉(zhuǎn)化法。
[例]甲數(shù)與乙數(shù)的比是3:8，乙數(shù)與丙數(shù)的比是6:5，甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的比是多少？
[分析]
甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的中間量是乙數(shù)，在兩個(gè)比中，乙所占的份數(shù)不同，乙數(shù)在甲數(shù)與乙數(shù)的比中占8份，在乙數(shù)與丙數(shù)的比中占6份。
因?yàn)?和6的最小公倍數(shù)是24，所以只要把第一個(gè)比的后項(xiàng)和第二個(gè)比的前項(xiàng)都化為24，就能將兩個(gè)比合并成連比。
[解答]
8和6的最小公倍數(shù)是24。
甲數(shù)與乙數(shù)的比是3:8＝9:24
乙數(shù)與丙數(shù)的比是6:5＝24:20
甲數(shù)：乙數(shù)：丙數(shù)＝9:24:20
答：甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的比是9:24:20。
[技巧]
用找中間量法解決多比合并成連比的問(wèn)題，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用了比的基本性質(zhì)，簡(jiǎn)便易懂。

[舉一反三]
1、甲、乙兩校圖書(shū)館圖書(shū)本數(shù)比是7:5，乙、丙兩校圖書(shū)館圖書(shū)本數(shù)比是3:4，甲、乙、丙三個(gè)學(xué)校圖書(shū)館圖書(shū)本數(shù)的比是多少？










2、科技組與作文組的人數(shù)比是9:10，作文組與數(shù)學(xué)組的人數(shù)比是5:7，已知三個(gè)小組共有132人，各小組分別有多少人？










3、科技組與作文組的人數(shù)比是9:10，作文組與數(shù)學(xué)組的人數(shù)比是5:7，已知數(shù)學(xué)組與科技組共有69人，各小組分別有多少人？













比的應(yīng)用
知識(shí)精講：
按一定比例分配問(wèn)題的解題方法：
把比看作分得的份數(shù)，先求出每份是多少，在解答。即為：
求出總份數(shù) 求出每份是多少 求出各部分對(duì)應(yīng)的具體數(shù)量
轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)乘法來(lái)解答：
先根據(jù)比求出 在求出各部分量占 求出各部分對(duì)
總份數(shù) 總分?jǐn)?shù)的幾分之幾 應(yīng)的具體數(shù)量


奧數(shù)思維拓展：
比的應(yīng)用：
滲透兩種數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合、化歸。
學(xué)習(xí)兩種思維方法：數(shù)形結(jié)合法、轉(zhuǎn)化法。

[例]某糧店新運(yùn)進(jìn)一批糧食，小米和大米的袋數(shù)比是3：4，小米比大米少20袋，小米和大米一共運(yùn)進(jìn)多少袋？

[分析]
畫(huà)線段圖理解題意
把小米和大米的總袋數(shù)看作單位“1”，平均分成3＋4＝7（份），小米占3份，大米占4份。小米比大米少4－3＝1（份），正好是20袋。







20袋


？袋
思路分析：
思路一：3：4 小米、大米各占總袋數(shù)的幾分之幾 20袋是總袋數(shù)的幾分之幾 總袋數(shù)

思路二：3：4 小米、大米各占幾份 小米比大米少幾份 每份多少袋 總袋數(shù)

[解答]
解法1： 解法2：
總份數(shù)：3＋4＝7 小米比大米少的份數(shù)：4－3＝1

總袋數(shù)：20÷（ － ） 每份袋數(shù)：20÷1＝20（袋）

＝140（袋） 總袋數(shù)：20×（3＋4）＝140（袋）



[技巧]
已知兩個(gè)量的比與它們的差，求各個(gè)部分量或總量，可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)除法問(wèn)題，也可以直接作為份數(shù)問(wèn)題解決，解法不唯一。



[舉一反三]
1、小強(qiáng)讀一本書(shū)，已經(jīng)讀的頁(yè)數(shù)和未讀的頁(yè)數(shù)的比是3:2，且已經(jīng)讀的頁(yè)數(shù)比未讀的頁(yè)數(shù)多30頁(yè)，這本書(shū)一共有多少頁(yè)？










果園里有蘋(píng)果樹(shù)和梨樹(shù)兩種果樹(shù)，蘋(píng)果樹(shù)與梨樹(shù)的棵樹(shù)比是7:9，已知蘋(píng)果樹(shù)比梨樹(shù)少60棵，果園里共有多少棵果樹(shù)？










3、李老師用一根長(zhǎng)60cm的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形框架，長(zhǎng)和寬的比是2:1，已知長(zhǎng)比寬多10cm，這個(gè)長(zhǎng)方形框架的面積是多少？
















方向、距離缺一不可

每走到一處，
都要換一個(gè)新的參照點(diǎn)

每畫(huà)一段路，都要重新確定
參照點(diǎn)、方向、距離。

方法總結(jié)

可輔助線段圖找等量關(guān)系

比值可以是分?jǐn)?shù)，
可以是小數(shù)，
可以是整數(shù)

前項(xiàng)÷后項(xiàng)
求比值

比值

比值

前項(xiàng)

比號(hào)

后項(xiàng)

前項(xiàng)

比號(hào)

后項(xiàng)

被除數(shù)

除 號(hào)

除 數(shù)

分 子

分?jǐn)?shù)線

分 母

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