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人教版五年級數學上冊 教材重難點知識梳理匯總(下)

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  1. 二一教育資源

人教版五年級數學上冊 教材重難點知識梳理匯總(下)

資源簡介

用字母表示數
知識精講1:
用字母表示數或數量關系
1.可以用字母或含有字母的式子來表示一個數或表示數量關系;
2.字母與數字相乘時,把乘號省略。省略乘號時,一般把數字寫在字母前面。含有字母的式子中的加、減、除號不能省略。

知識精講2:用字母表示運算定律
運算定律 用字母表示
加法交換律
加法結合律
乘法交換律
乘法結合律
乘法分配律
注意:









知識精講3:
用字母表示公式
公式 用文字表示 用字母表示
正方形面積 正方形面積=邊長×邊長
正方形周長 正方形周長=邊長×4
長方形面積 長方形面積=長×寬
長方形周長 長方形周長=(長+寬)×2

知識精講4:
用字母表示較復雜的數量關系的步驟:
1.分析出數量之間的關系。
2.列出含有字母的數量關系式。
3.根據實際情況,確定字母的取值范圍。
注意:根據給出的數值求一個式子的值時,結果一般不寫單位名稱。

知識精講5:
可以省略乘號或者利用運算定律化簡含有字母的式子。

知識精講6:
用字母表示圖形中的數量關系的步驟:
1.找出圖形中存在的數量關系,列出含有字母的式子(當數量關系中含有相同的字母時,要化成最簡結果)。
2.將數據代入含有字母的式子,求出值。




























奧數思維拓展:
圖形中的規律
1.滲透兩種數學思想:數形結合思想、歸納思想
2.學習兩類思維方法:比較與轉化法
[例題]食堂里就餐的桌子每張可以坐4人,多于4人就把兩張桌子排成一排,如圖所示,以此類推。如果有n張桌子,請用含字母n的式子表示就餐的總人數。



……


[分析]:

增加幾張桌子,能做的人就會增加2個。如果有n張桌子,能坐的人數為4+2(2n-1)。
[解答]:
如果有n張桌子,那么就餐的總人數是2(2n+2)。
[技巧]
解決此類題目需要先找出規律,再用含有字母的式子表示。

[舉一反三]
1.如圖,按圖中的方式擺放餐桌和椅子。

(1)1張餐桌可以坐8人,2張餐桌可以坐多少人?




按照圖中的方式繼續擺放餐桌和椅子,完成下表:
餐桌張數 3 4 5 6 …… n
可坐人數

2.如圖,每個等腰梯形的邊長分別是2cm,2cm,4cm,2cm,將幾個完全相同的梯形拼合,所成圖形的周長如下表。觀察下列圖形,并填表。


梯形個數 1 2 3 4 5 …… n
周長 10 16 22 28 ……


3.如圖,仔細觀察圖中正方形的個數與直角三角形個數的關系,填寫下表。


正方形的個數 2 3 4 5 …… n
直角三角形個數 4 8 ……



















等式的基本性質和解方程
知識精講1:等式的性質
(1)等式的性質1: 等式的兩邊同時加上或減去同一個數,左右兩邊仍然相等。
(2)等式的性質2:等式的兩邊同時乘或除以同一個不為0的數,左右兩邊仍然相等。
知識精講2:
1.方程的意義:含有未知數的等式是方程。
2.方程必須具備的兩個條件:(1)是等式; (2)含有未知數。
3.方程一定是等式;但等式不一定是方程。
4.解方程和方程的解:
(1)使方程左右兩邊相等的未知數的值,叫做方程的解;
(2)求方程的解的過程叫做解方程;
(3)方程的解是一個數值,而解方程是一個過程。
知識精講3:
解方程的方法
(1)形如x+a=b的方程的解法:
①先寫“解:”;
②在方程的兩邊同時減去a,使等式成立;
③求出x的值。
④將所求結果代入方程的左邊,檢驗所求是否是方程的解。

(2)形如x-a=b的方程的解法:
①先寫“解:”;
②在方程的兩邊同時加上a,使等式成立;
③求出x的值;
④將所求結果代入方程的左邊,檢驗所求是否是方程的解。

(3)形如ax=b的方程的解法:
①寫上“解:”;
②方程的兩邊同時除以a;
③計算出方程的解;
④將所求結果代入方程的左邊,檢驗所求是否是方程的解。
(4)形如a÷x=b的方程的解法:
①寫上“解:”;
②方程的兩邊同時乘以x;
③將方程的左右兩邊調換位置;
③計算出方程的解;
④將所求結果代入方程的左邊,檢驗所求是否是方程的解。
(5)形如a-x=b的方程的解法:
①寫上“解:”;
②方程的兩邊同時加上x;
③將方程的左右兩邊調換位置;
④計算出方程的解并檢驗;
(6)形如ax±b=c的方程的解法:
①寫出“解:”;
②把ax看作一個整體,在方程的兩邊同時減去或加上b;
③計算出ax的結果;
④方程的兩邊同時除以a;
⑤計算出未知數x的值并檢驗。
(7)形如a(x±b)=c的方程的解法:
方法一:把小括號里的x±b看作一個整體,
先求出x±b的值,再求出x的值。
方法二:根據乘法分配律,
把a(x±b)=c轉化成x±ab=c的方程,
求出ax的值,再求出x的值。
(8)形如(x±b)÷a=c的方程的解法:
方法一:把小括號里的x±b看作一個整體,
先求出x±b的值,再求出x的值。
方法二:根據乘法分配律,
把(x±b)÷a=c轉化成(x±b)÷a×a=c×a,
得到x±b=c×a形式的方程,
求出ax的值,再求出x的值。
奧數思維拓展:
(一)同解方程
1.滲透一種數學思想:等量代換。
2.學習一類思維方法:分析法。
[例題]方程 x-0.8=2.4與mx=9.6有相同的解,求m的值。

[分析]
兩個方程的解相同,也就是x的值相同,因此先求出 x-0.8=2.4的解,再把它帶入mx=9.6中,會得到一個含有未知數m的新方程,求出這個方程的解,就是m的值。

[解答]
x-0.8=2.4 3.2m=9.6
解: x-0.8+0.8=2.4+0.8 3.2m÷3.2=9.6÷3.2
x =3.2 m=3
把 x =3.2帶入mx=9.6中,得到3.2m=9.6。 答:m的值是3。

[技巧]
方程中雖然有兩個未知數,但其中一個未知數的值隱含在已知條件中,通過計算可以先求出來,再把求出來的數值帶入方程中,就可以求出另一個未知數。

舉一反三:
1.方程x-0.6=5.4 與a÷x=0.6有相同的解,a是多少?






2.方程6÷x=4與bx=9有相同的解,b是多少?






3.方程c-x=4.5與d+x=2.5有相同的解,求c+d。







解復雜的方程
1.滲透兩種數學思想:方程、轉化。
2.學習一類思維方法:分析法。

[例題]解方程:7x+8x-13=17

[解答]
7x+8x-13=17
解:15x-13=17
15x=30
x=2

[技巧]觀察方程,將能夠先計算的部分先計算,使其簡化,在求出x的值。

舉一反三
1.解方程。
9.5x-6.1x+1.8=12 4x+0.7x-2x+1.9=10









2.解方程: 8x-7=2.5x+20.5。
















實際問題與方程
知識精講1:列方程解決實際問題的步驟
(1)找出未知數,用字母x表示;
(2)找出等量關系,列方程;
(3)解方程并檢驗作答。
注意:① 解后面不寫單位名稱。 ② 沒有檢驗要求時,可以口算檢驗。
知識精講2:形如a(x±b)=c的方程的解法和應用
1.形如a(x±b)=c的方程有兩種解法:
(1)把小括號里的x±b看作一個整體,先求出x±b的值,再求出x的值。
(2)根據乘法分配律,把a(x±b)=c轉化成ax±ab=c的方程,求出ax的值,再求x的值。
2.形如a(x±b)=c的方程的應用:
(1)把要求的未知數設成x,再列方程;
(2)求出的解的后面不寫單位名稱;
(3)檢驗作答。

知識精講3:形如ax±bx=c的方程的解法和應用:
1.形如ax±bx=c的方程的解法:
可以先將方程轉化為(a±b)x=c的形式,再求解。具體解法如下:
ax±bx = c
解: (a±b)x = c
(a±b)x÷ (a±b)= c ÷(a±b)
x = c ÷(a±b)

2.形如ax±bx=c的方程的應用(和/差倍問題):
用方程解和倍問題時,先設其中一個未知量為x(通常設一倍數為x),再根據兩個數的倍數關系,用含有x的式子表示另一個未知量,然后根據這兩個數量的和或差列出形如ax±bx=c的方程解答。

知識精講4:列方程解決路程問題(畫線段圖法)
用畫線段圖法解決方程問題(使數量關系更直觀)
奧數思維拓展:盈虧問題
1.滲透三種數學思想:化歸思想、模型思想、方程思想
2.學習兩類思維方法:比較法、對應法

思維提升:
[例]建設路小學學生乘汽車去春游,計劃準備若干量車,如果每輛車上坐45人,那么有30人沒有座位;如果每輛車上多坐5人,那么多出一輛汽車。原計劃準備多少輛汽車?學校共有學生多少人?

[分析]
假設原計劃準備x輛汽車,由第一種坐法,得出(45x+30)名學生;由第二種坐法,得出(45+5)(x-1)名學生,而學生總數是不變的,我們根據“總人數相等”得出等量關系并列出方程。

[解答]
解:設原計劃準備x輛汽車。
45x+30 =(45+5)(x-1)
45x+30 = 50(x-1)
45x+30 = 50x-50
30 = 5x-50
80 = 5x
5x = 80
x= 16
學生:45×16+30=750(人)或50×(16-1)=750(人)
答:原計劃準備16輛汽車,學校共有學生,750人。


[技巧]
解決盈虧問題的關鍵是先找出不變量,再根據不變量列出相應的等式。例如:根據“總人數相等”列出相應的等式是解答此題的關鍵。

舉一反三:
1.綠化隊植樹,如果每人栽15棵樹苗,那么還剩27棵沒有栽;如果每人載18棵,那么少3棵樹苗。綠化隊總共要栽多少棵樹苗?









2.舞蹈隊同學排隊,計劃每行站8人,則多出3人;如果每行站9人,那么少了1行。舞蹈隊共有多少人?原計劃站幾行?









3.老師給學生發練習本,如果每人發8本,那么少了84本;如果每人發5本,那么多了36本。算一算共有學生多少人?練習本多少本?








4.用一根繩子測量井深,如果把繩子對著量,那么多出3.6米,如果把繩子三折量,還差2.4米,那么這根繩子多長?井有多深?



















奧數思維拓展:環形行程問題
1.滲透三種數學思想:對應思想、數形結合思想、方程思想
2.學習一類思維方法:圖示法

思維提升:
[例]在一條長0.24千米的環形跑道上,小麗、小娟同時同地起跑,小麗每分鐘跑0.12千米。
如果背向而跑,兩人36秒第一次相遇,小娟每分鐘跑多少米?
如果筒向而跑,小娟90秒后第一次追上小麗,小娟每分鐘跑多少米?


[分析]














[解答]
解:設小娟每分鐘跑x km。 解:設小娟每分鐘跑x km。
36秒=0.6分 90秒=1.5分
(x+0.12 )×0.6 = 0.24 (x-0.12 )×1.5 = 0.24
x+0.12 = 0.4 x-0.12 = 0.16
x = 0.28 x = 0.28
答:小娟每分鐘跑0.28 km。 答:小娟每分鐘跑0.28 km。


[技巧]
解決環形行程問題,畫簡圖比較直觀:
同時同地背向而行,相遇幾次的路程和就是幾個環形跑道長;
同時同地相向而行,第幾次追上的路程差就是幾個環形跑道長。





[舉一反三]
1.在一條長0.4km的環形跑道上,小寶和小貝同時同向起跑,小貝每分鐘跑0.18km,過了10分鐘小貝追上了小寶,小寶每分鐘跑多少千米?











2.小明和小亮在0.4km的環形跑道上練習跑步,兩人同時出發,背向而行。小明的速度為0.08km/min,小亮的速度為0.12km/min,兩人經過多長時間第二次相遇?













3.一臺環形車道上,甲騎一圈需要30分鐘。現在甲、乙兩人騎自行車從環形車道的同一地點同時出發,背向而行,18分鐘后,兩人第一次相遇。如果乙的速度是0.3千米/分,那么甲的速度是多少?












平行四邊形、三角形、梯形的面積
知識精講1:平行四邊形的面積

平行四邊形 長方形







長方形的面積 = 長 × 寬
平行四邊形的面積 = 底 × 高


平行四邊形的面積=底×高
S=ah


注意:①求平行四邊形的面積,要先找到底和其相對應的高,再計算。
②平行四邊形底不變,高擴大到原來的n倍,則面積擴大到原來的n倍;
平行四邊形底不變,高縮小到原來的,則面積縮小到原來的。
平行四邊形高不變,底擴大到原來的n倍,則面積擴大到原來的n倍;
平行四邊形高不變,底縮小到原來的,則面積縮小到原來的。
平行四邊形的底擴大到原來的n倍,高縮小到原來的,面積不變。





知識精講2:三角形的面積
三角形 平行四邊形 或 長方形










兩個完全相同的三角形可以拼成一個平行四邊形,拼成一個平行四邊形的兩個三角形完全相同。
三角形的底 = 平行四邊形的底
三角形的高 = 平行四邊形的高
每個三角形的面積 = 平行四邊形的面積÷2
= 平行四邊形的底×平行四邊形的高÷2
= 三角形的底×三角形的高÷2 (相對應的底和高)
三角形的面積 = 底×高÷2
S = ah÷2












知識精講3:梯形的面積
梯形 平行四邊形





兩個完全相同的梯形可以拼成一個平行四邊形。
梯形的(上底+下底)= 平行四邊形的底
梯形的高 = 平行四邊形的高
每個梯形的面積 = 平行四邊形的面積÷2
= 平行四邊形的底×平行四邊形的高÷2
= (梯形的上底+梯形的下底)×梯形的高÷2
梯形的面積 = (上底+下底)×高÷2
S =(a+b)×h÷2




















奧數思維拓展:
(一)平行四邊形的高
1.滲透兩種數學思想:推理思想、歸納思想
2.學習一類思維方法:分析法

思維提升:
[例題]如圖,平行四邊形的底增加1米,它的面積就增加2平方米(陰影部分)。原來平行四邊形的面積是多少平方米?

[分析]
增加的面積也是一個平行四邊形的面積(陰影部分),增加的小平行四邊形和原來平行四邊形的高相等。所以可以先通過增加的圖形的面積算出高,在計算原來平行四邊形的面積。

[解答]
高:2÷1=2(米)
原來平行四邊形的面積:5×2=10(平方米)
答:原來平行四邊形的面積是10平方米。

[舉一反三]
1.如圖,陰影部分是一個平行四邊形,它的面積是30平方厘米。三角形的高是多少?


2.如圖,平行四邊形(陰影部分)的底是長方形長的一半,它的面積是多少平方厘米?





3.如圖,大平行四邊形的面積是288平方厘米,小平行四邊形(陰影部分)的面積是多少平方厘米?





兩個三角形面積的倍數關系
1.滲透一種數學思想:轉化思想
2.學習一類思維方法:推理分析法

思維提升:
[例題]如圖,三角形AEC的面積是三角形ABE面積的多少倍?(單位:厘米)






[解答]
三角形AEC的面積=6×h÷2
三角形ABE的面積=3×h÷2
因為EC的長是BE長的2倍,所以三角形AEC的面積是三角形ABE面積的2倍。

[提醒]
根據兩個三角形底和高之間的大小關系,可以知道它們面積的大小關系。

[舉一反三]
1.如圖,三角形AEC的面積是三角形ABE面積的多少倍?(單位:cm)


2.BD的長是DC的2倍,求三角形ABC的面積。(單位:cm)







組合圖形的面積
知識精講:求組合圖形的面積
組合圖形是由幾個簡單的圖形組合而成,其面積既可以看作幾個簡單圖形相加,也可以看作幾個簡單圖形相減。
計算組合圖形的面積,要根據已知條件對圖形進行分解,轉化成已學過的簡單圖形,先分別計算出它們的面積,再求和或差。
估算不規則圖形的面積時,可以先通過數格子確定面積的范圍,再將不滿一格的都按半格計算,也可以根據圖形的特點轉化成已學過的圖形來估算面積。





















奧數思維拓展:
(一)用轉化法求面積
1.滲透兩種數學思想:推理思想、歸納思想
2.學習兩類思維方法:剔除法、轉化法

思維提升:
[例題]如圖,把兩個完全相同的直角三角形的一部分疊放在一起,求陰影部分的面積。
(單位:cm)




[分析]
如果想直接求陰影部分的面積,顯然有很大困難,我們不妨利用轉化法。因為三角形ABC和三角形DEF完全相同,而它們的重疊部分為三角形CGE,所以梯形ABEG的面積等于CFDG的面積,可以先求出梯形ABEG的面積。

[解答]
EG的長:7-3=4(厘米) (4+7)×3÷2=16.5(平方厘米)
答:陰影部分的面積是16.5平方厘米。
[技巧]
解決此類題目的關鍵是找到可以轉化成的容易求解的圖形。

[舉一反三]
1.如圖,三角形ABC和三角形DEF是兩個完全相同的直角三角形,把它們的一部分重疊在一起,求陰影部分的面積。(單位:m)











2.如圖,三角形ABC和三角形DEF是兩個完全相同的直角三角形,把它們的一部分重疊在一起,求陰影部分的面積。(單位:dm)












3.如圖,把兩個完全相同的直角梯形的一部分重疊在一起,求陰影部分的面積。
(單位:cm)


















等積變形
1.滲透兩種數學思想:轉化思想、歸納思想
2.學習一類思維方法:轉化與平移法

思維提升:
[例題1]求圖1的面積。(單位:厘米)

[分析]
等積變形法:根據“等底等高的兩個三角形的面積相等”,可以轉化為圖2,直接求梯形的面積。

[解答]
(16+6+8)×10÷2=190(平方厘米)

[技巧]
同底等高(等底等高)的三角形,形狀不同但面積相等。

[例題2]一塊平行四邊形草地(如圖3),中間有一條長方形小路,草地的實際面積是多少平方米?

[分析]
等積變形法:長為5m、寬為0.8m的長方形和底為0.8m、高為5m的平行四邊形的面積相等,把這個長方形轉化為平行四邊形,并向左平移,草地的實際面積就是底為(5.4-0.8)m,高為5m的平行四邊形。

[解答]
(5.4-0.8)×5=23(平方米)
答:草地的實際面積是23平方米。

[技巧]
面積相等的平行四邊形和長方形,形狀可以相互轉化。

[舉一反三]
1.用兩種方法求下面圖形的面積。





2.一塊你長方形稻田里有一條平行四邊形的水渠(如圖),稻田的實際面積是多少平方米?




3.一塊長方形草地,長為20m,寬為15m,中間有一條寬為2m的小路,求草地(陰影部分)的實際面積。









植樹問題
知識精講1:在一條線段上植樹(兩端都栽樹)的解題方法:
總距離÷株距=間隔數, 棵樹=間隔數+1。

知識精講2:在一條線段上植樹(兩端都不栽樹)的解題方法:
總距離÷株距=間隔數, 棵樹=間隔數-1。

知識精講3:在不封閉路線上植樹(一端栽樹,另一端不栽樹)的解題方法:
總距離÷株距=間隔數, 棵樹=間隔數。

知識精講4:在一條首尾相接的封閉曲線上植樹的問題:
總距離÷株距=間隔數, 棵樹=間隔數。



























奧數思維拓展:
方陣問題
1.滲透一種數學思想:數形結合思想
2.學習兩類思維方法:觀察分析法、抽象概括法

思維提升:
[例題]光明小學要舉行秋季運動會,老師安排同學們組成一個13行13列的方陣。最外面的一層有多少人?最外面的第二層有多少人?

[分析]
















[解答]
最外面的一層人數:
方法一: 方法二: 方法三:
13×2+11×2=48 12×4=48 11×4+4=48
最外面第二層的人數:
48-8=40
答:最外面的一層有48人,最外面的第二層有40人。

[技巧]
在方陣中,某一層的人(或物)數=每天人(或物)×4-1×4,并且牢記“每相鄰兩層的數量都相差8”。
[舉一反三]
張叔叔家有一個正方形的魚塘,他在魚塘的每條邊上等距離栽了10棵樹苗,每個角上都栽一棵,那么張叔叔在魚塘的四周共栽了多少棵數?







2.植物園舉行植物展會,在廣場上用花盆擺了一個方陣,最外層有200盆花,那么最外層的每邊上有多少盆花?










3.棋盤上有一堆棋子,如果排成三層空心方陣,多出10個旗子;如果在中間的空心部分增加一層,反而又少了10個。那么棋盤上一共有多少棵棋子?


(1)在含有字母的式子里,字母之間只有乘號可以省略。
(2)同一運算定律或計算公式中相同的量要用同一個字母表示。
(3)讀作“的平方”,表示2個相乘,;
讀作“二”,表示2個相加,。
(4)將數據代入字母公式求值的方法:先寫出字母公式,再代入數據求值,計算結果后面加單位名稱。

含有兩個未知數時,設其中的標準量為x,另一個未知量用含有x的式子表示出來。

轉化的數學思想

a=S÷h

h=S÷a

底=平行四邊形的面積÷高

高=平行四邊形的面積÷底

底a

高h

























a=2S÷h

h=2S÷a

底 = 三角形的面積×2÷高

高 = 三角形的面積×2÷底

底a

高h

下底b

高h

上底a

上底 +下底 = 梯形的面積×2÷高

高 = 梯形的面積×2÷(上底+下底)

a+b = 2S÷h

h = 2S÷(a+b)



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