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雙換元求有約束條件式子最值
【知識(shí)梳理】
在2020年江蘇高考考試大綱中，基本不等式考點(diǎn)是C級(jí)要求的考點(diǎn)，要求很高.而且基本不等式可以和其他知識(shí)點(diǎn)高度融合后進(jìn)行考查.近來(lái)年，在全國(guó)各地的高考和模擬試卷中屢見(jiàn)不鮮，其中有一類(lèi)題型，題干中給出約束條件，約束條件以等式居多(也有一小部分是不等式約束)，然后再求式子或者是變量的取值范圍.涉及到方法方法非常多，有“1”的代換、雙換元、消元、萬(wàn)能k法等許多方法，方法雖多，但抓住減元這一核心要義，將變量的個(gè)數(shù)減少至方便進(jìn)行最值的求取，問(wèn)題就能迎刃而解。今天，來(lái)看看如何用雙換元來(lái)求有約束條件式子的最值.
【典型例題】
例題1 （江蘇省常州市2020屆高三第一學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）11．已知正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的最小值為 ．
解法1 由可得，所以，
從而有，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)
所以的最小值為.
解法2 由可得，令，則，由為正數(shù)，可得，也為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.
【解題反思】關(guān)于的式子(前的系數(shù)不為1時(shí)，可以在式子兩邊同時(shí)原系數(shù)，把的系數(shù)變?yōu)?)都可以進(jìn)行因式分解變形為，然后可以用基本不等式去完成，此外遇到這種式子還可以像解法2一樣進(jìn)行雙換元，簡(jiǎn)化整個(gè)解題過(guò)程.
例題2（蘇州2020屆高三第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷13）已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為 .
解法1 整理得有，令，解得，所以
，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為4.
解法2 整理得，所以
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為4.
【解法反思】雖然換元時(shí)只用了一個(gè)變量，但變量與變量的倒數(shù)相當(dāng)于是兩個(gè)變量，雙換元在解決兩個(gè)變量二次式子時(shí)可以起到簡(jiǎn)化解題過(guò)程的妙處，這個(gè)方法在近幾年的各地模擬題中屢見(jiàn)不鮮.
【鞏固練習(xí)】
1.（★★★江蘇省揚(yáng)州市2020屆高三上學(xué)期期中調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷13）已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足且，則的最小值是 ．

2.（★★★江蘇省常熟中學(xué)2020屆高三上學(xué)期階段性抽測(cè)二12月數(shù)學(xué)試題11）已知正實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足，則的最小值是________.

3.（★★★★2020屆江蘇高考南通學(xué)科基地?cái)?shù)學(xué)密卷四13）已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為 .

4.（★★★★南京師范大學(xué)附屬揚(yáng)子中學(xué)2020屆高三一模模擬數(shù)學(xué)試卷11）已知正數(shù)滿(mǎn)足則的最小值為_(kāi)_________．

5.（★★★★江蘇省蘇州市五校2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷11）已知，且，則的最小值為_(kāi)_____.

6.（★★★★江蘇省常州市2020屆高三第一學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)試題12）已知，為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為 ．

【參考答案】

1. 2. 15 3.
4. 5. 6.











【詳細(xì)解答】

1.（★★★江蘇省揚(yáng)州市2020屆高三上學(xué)期期中調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷）13．已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足且，則的最小值是 ．
2.（★★★江蘇省常熟中學(xué)2020屆高三上學(xué)期階段性抽測(cè)二12月數(shù)學(xué)試題）11.已知正實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足，則的最小值是________.15



3.（★★★★2020屆江蘇高考南通學(xué)科基地?cái)?shù)學(xué)密卷四）13.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為 .

4.（★★★★南京師范大學(xué)附屬揚(yáng)子中學(xué)2020屆高三一模模擬數(shù)學(xué)試卷）11．已知正數(shù)滿(mǎn)足則的最小值為_(kāi)_________．

5.【★★★★江蘇省蘇州市五校2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷】11.已知，且，則的最小值為_(kāi)_____.



6.（★★★★江蘇省常州市2020屆高三第一學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)試題）12．已知，為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為 ．

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