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函數中的等高線
【知識回顧】
函數性質是用來描述函數的，包括定義域、值域、單調新、奇偶性、對稱性、周期性等.如果單獨去研究某個函數性質，我們可以僅僅抓住相關性質的概念去探討，不過在高考中，關于函數性質的考查都會同時對2-3個性質進行考查，這樣一來的話，題目的難度就會上升很多，不過萬變不離其宗，不管同時考查幾個函數性質，我們在研究函數題如果可以把相關的函數性質都研究出來，那這樣的函數題在我們面前就是紙老虎一只，在函數性質考點部分中，有一類常見的題型，給出同一個函數(分段函數居多)兩個或者多個函數值相等的條件，然后解決跟與此有關的問題.由于函數值相等，在圖形上直觀顯現的結果是高度一樣，于是就稱之為等高線，此類問題，看似很難，實則非常簡單，抓住一個關鍵詞就能解決——消元，將多元變量努力消元變成單元變量的函數問題，這樣就回到我們熟悉的函數性質的研究.
【典型例題】
例1（江蘇省昆山中學2020年3月月考12）設函數，若方程有四個不同的實數解，則的取值范圍是 .

解 如圖所示，由函數性質可知，且，所以
=在上減，所以原式的取值范圍為
【解題反思】本題中函數模型之一y=|x＋1|的圖象具有對稱性，函數模型之二y=|lgx|中的等高值的兩個自變量之積為1，這樣分段函數等高值的四個變量兩兩關系都確定了，從而可以把四個變量迅速減少到一個，接下來的解題過程就是一片坦途.
例2（江蘇省常熟中學2020屆高三上學期階段性抽測二12月數學試題）已知函數，其中e為自然對數的底數，若存在實數滿足，且，則的取值范圍為____________.

解 因為，，所以且，所以
所以，記，
，易知在上增，在上減，又，
，，所以，所以的取值范圍為.

【解題反思】這道題的等高值變量就兩個，根據函數值相等就能得到兩個變量的等量關系，就順利的減少一個變量，得到一個新的函數，研究新函數的值域即可.
【舉一反三】
1.(★★★江蘇省南通市重點中學2020屆高三上學期階段10月模擬測試14)已知函數若存在，當時，，則的取值范圍是 ．

2.(★★★江蘇省泰州中學、江都中學、宜興中學2020屆高三第一學期第一次聯合測試試卷13)已知函數，若，且，則的最小值是_____.

3.（★★★江蘇省蘇州中學2020屆高三第一學期數學期初考試11）已知函數，若，且，則的最大值是_________.

4.（★★★常州2020屆高三第一學期期末考試數學試卷）12.已知函數互不相等的實數滿足，則的最小值為 .
5.（★★★揚州市2020屆高三第一學期期末考試數學試卷）12.已知函數若存在實數滿足，則的取值范圍為 .
6.（★★★★2020屆江蘇高考南通學科基地數學密卷九12）兩條直線和，與函數的圖像從左至右相交于點，與圖像從左至右相交于點，則的最大值為 .

7.（★★★★南京金陵中學2020屆高三上學期數學檢測卷二）14．已知函數f(x)＝ex(e為自然對數的底數)，g(x)＝a．若對任意的x1∈R，存在x2＞x1，使得f(x1)＝g(x2)，且x2－x1的最小值為，則實數a的值為 ．

【參考答案】

1. 2. 3. 16 4. 14
5. 6. 7.









【詳細答案】
1.(★★★江蘇省南通市重點中學2020屆高三上學期階段10月模擬測試14)已知函數若存在，當時，，則的取值范圍是 ．

2.(★★★江蘇省泰州中學、江都中學、宜興中學2020屆高三第一學期第一次聯合測試試卷13)已知函數，若，且，則的最小值是_____.

3.（★★★江蘇省蘇州中學2020屆高三第一學期數學期初考試11）已知函數，若，且，則的最大值是_________.16

4.（★★★常州2020屆高三第一學期期末考試數學試卷）12.已知函數互不相等的實數滿足，則的最小值為 .14

5.（★★★揚州市2020屆高三第一學期期末考試數學試卷）12.已知函數若存在實數滿足，則的取值范圍為 .

6.（★★★★2020屆江蘇高考南通學科基地數學密卷九12）兩條直線和，與函數的圖像從左至右相交于點，與圖像從左至右相交于點，則的最大值為 .

7.（★★★★南京金陵中學2020屆高三上學期數學檢測卷二）14．已知函數f(x)＝ex(e為自然對數的底數)，g(x)＝a．若對任意的x1∈R，存在x2＞x1，使得f(x1)＝g(x2)，且x2－x1的最小值為，則實數a的值為 ．



x

O

1

3

y

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